拓视野 与圆有关的探究性问题(Word学生用书)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教B版)

该高中数学导学案聚焦圆的方程、直线与圆位置关系、弦长计算及存在性探究，通过例题导入，先复习圆的标准方程和点到直线距离公式，再引导学生探究倾斜角和弦长关系、中点弦存在性，构建从基础到应用的学习支架。 以探究性问题为主线，引导学生假设推理，培养数学思维中的逻辑推理能力。迁移应用和随堂检测结合具体情境，发展数学眼光中的抽象能力和创新意识，规范解答强化数学语言表达，分层练习设计便于自主学习和教师评估，提升学习效率。

　与圆有关的探究性问题 　如图，圆x2＋y2=8内有一点P0（－1，2），AB为过点P0且倾斜角为α的弦． （1）当α=135°时，求AB的长； （2）是否存在弦AB被点P0平分？若存在，写出直线AB的方程；若不存在，请说明理由． 【问题探究】 　此题目为探究性问题，属探究题存在类型范畴，解决这类问题一般思路：首先假设所探究的问题存在，在这个假设条件下进行推理论证，如果能得到一个合情合理的推理结果，就肯定假设正确．如果得到一个矛盾结论，就应否定假设，对问题作出反面回答． 【迁移应用】 1.对上述问题进行解答． 2.在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点坐标分别是A（0，0），B（3，3），C（1，－），记△ABC外接圆为圆M． （1）求圆M的方程； （2）在圆M上是否存在点P，使得|PB|2－|PA|2=12？若存在，求点P的个数；若不存在，说明理由． 1.若直线x－y＋1=0与圆（x－a）2＋（y－1）2=2没有公共点，则实数a的取值范围是（　　） A．（－∞，－）⋃（，＋∞） B．（，＋∞） C．（－∞，－2）⋃（2，＋∞） D．（2，＋∞） 2.以点（2，－1）为圆心，且与直线3x－4y＋5=0相切的圆的方程为（　　） A．（x－2）2＋（y＋1）2=3 B．（x＋2）2＋（y－1）2=3 C．（x＋2）2＋（y－1）2=9 D．（x－2）2＋（y＋1）2=9 3.已知圆C：x2＋y2－4x－4y=0，则以P（1，1）为中点的弦所在的直线方程为（　　） A．x－y=0　　 B．x＋2y－3=0 C．x＋y－2=0　　 D．x－y＋2=0 4.若点P（1，2）在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为　　　　． 完成课后作业　第二章　2.3　2.3.3 答案 拓视野　与圆有关的探究性问题 迁移应用 1.解：（1）直线AB的斜率为k=tan 135°=－1， ∴直线AB的方程为y－2=－（x＋1），即x＋y－1=0. ∵圆心O（0，0）到直线AB的距离d==， ∴弦长|AB|=2=2=． （2）假设存在弦AB被点P0平分， ∴P0为弦AB的中点，又|OA|=|OB|=r，∴OP0⊥AB． 又∵kOP0==－2，∴kAB=． ∴直线AB的方程为y－2=（x＋1），即x－2y＋5=0. 由以上求解可知，存在被P0点平分的弦AB，此弦所在直线方程为x－2y＋5=0. 2.解：（1）设△ABC外接圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0， 将A（0，0），B（3，3），C（1，－）代入上述方程得解得 则圆M的方程为x2＋y2－6x=0. （2）设点P的坐标为（x，y）， 因为|PB|2－|PA|2=12，所以（x－3）2＋（y－3）2－x2－y2=12， 化简得x＋y－1=0. 因为圆M的圆心M（3，0）到直线x＋y－1=0的距离为d==，又圆M的半径r=3，＜3， 所以直线x＋y－1=0与圆M相交，故满足条件的点P有两个． 随堂检测 1.C　由题得圆心坐标为（a，1），半径为，∴ ＞，∴|a|＞2，∴a＞2或a＜－2．∴实数a的取值范围是（－∞，－2）⋃（2，＋∞）．故选C． 2.D　圆心到直线3x－4y＋5=0的距离d==3，即圆的半径为3，所以所求圆的方程为（x－2）2＋（y＋1）2=9. 3.C　由圆的方程可知圆心坐标为C（2，2），则kPC==1，则所求直线的斜率k=－1，直线方程为y－1=－（x－1），即x＋y－2=0.故选C． 4.x＋2y－5=0　解析：设切线斜率为k，则由已知得 k•kOP=－1.∴k=－．∴切线方程为x＋2y－5=0. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $