2.8 直线与圆锥曲线的位置关系(Word学生用书)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教B版)

该高中数学导学案聚焦直线与圆锥曲线的位置关系，涵盖判定方法、弦长及中点弦问题。课堂导入通过激光武器击毁卫星情境，联系椭圆轨道，搭建现实问题到数学模型的学习支架。 导学案以情境激发兴趣，一题多解培养数学思维，分层习题提升运算能力。注重用数学眼光观察现实，用数学语言规范表达，助力学生构建知识体系，发展直观想象与数学运算核心素养。

2.8　直线与圆锥曲线的位置关系 课标 要求 1.直线与圆锥曲线的位置关系（直观想象）． 2.弦长、中点弦问题以及直线与圆锥曲线的位置问题（数学运算）． 　　激光武器是一种利用激光束攻击目标的定向武器．目前我国的高能激光武器完全有能力击毁敌方飞机，导弹或间谍卫星，假如有一天我们要用激光武器对付间谍卫星或敌方导弹就需要用到我们本节课要学习的直线与圆锥曲线的位置关系的知识，因为激光是直线光而卫星轨道是椭圆，激光击毁卫星实际上是直线与椭圆的相交问题． 【问题】　（1）我们知道，可以用圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断直线与圆的位置关系，这种方法称为几何法，能否用几何法判断直线与椭圆的位置关系？ （2）用什么方法判断直线与圆锥曲线的位置关系？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　直线与圆锥曲线的位置关系 1.直线与圆锥曲线的位置关系的判定 （1）代数法：把圆锥曲线方程C1与直线方程l联立消去y，整理得到关于x的方程ax2＋bx＋c=0. 方程ax2＋bx＋c=0的解 l与C1的交点 a=0 b=0 无解（含l是双曲线的渐近线） 　　　　 b≠0 有一解（含l与抛物线的对称轴平行（重合）或与双曲线的渐近线平行） 　　　　 a≠0 Δ＞0 两个　　　　的解 　　　　 Δ=0 两个相等的解 　　　　 Δ＜0 无实数解 　　　　 （2）几何法：在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线，利用图象和性质可判定直线与圆锥曲线的位置关系． 提醒：研究直线与圆锥曲线的位置关系时要注意直线斜率不存在的情况． 2.直线与圆锥曲线的相交弦长问题 设斜率为k（k≠0）的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A（x1，y1），B（x2，y2），则 |AB|=|x1－x2| = =|y1－y2| = ． 【想一想】 　直线与抛物线、双曲线只有一个公共点时，是否一定相切？ 1.判断正误．（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）平面上到定点A（1，0）和到定直线l：x＋2y＋3=0的距离相等的点的轨迹为抛物线．（　　） （2）一条直线与双曲线的两支交点个数最多为2个．（　　） （3）抛物线与直线只有一个公共点是直线与抛物线相切的充要条件．（　　） 2.〔一题多解〕直线y=x＋1与椭圆＋=1的位置关系是（　　） A．相交　 B．相切　 C．相离　 D．无法判断 3.过点（2，4）的直线与抛物线y2=8x只有一个公共点，这样的直线有（　　） A．1条　　 B．2条　　 C．3条　　 D．4条 4.过双曲线－=1的焦点且与x轴垂直的弦的长度为　　　　． 题型一　直线与圆锥曲线的位置关系 已知双曲线x2－y2=4，直线l：y=k（x－1），直线l与双曲线有两个不同的交点，确定满足条件的实数k的取值范围． 尝试解答 【母题探究】 （变设问）在本例条件不变的情况下，若直线l与双曲线有且只有一个公共点，确定满足条件的实数k的取值范围． 规律方法 1.解决直线与双曲线的交点问题，不仅要考虑判别式，更要注意二次项系数为0时，直线与渐近线平行的特殊情况． 2.双曲线与直线只有一个交点的题目，应分两种情况讨论：直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行． 3.注意对直线的斜率是否存在进行讨论． 1.若直线y=kx＋b与椭圆＋=1恒有两个公共点，则b的取值范围为　　　　． 2.已知直线y=k（x－3）与双曲线－=1有且仅有一个公共点，则实数k的取值为　　　　． 题型二　弦长及中点弦问题 〔一题多解〕（链接教科书第168页例1）已知点P（4，2）是直线l被椭圆＋=1所截得的线段的中点，求直线l的方程． 尝试解答 【母题探究】 （变设问）〔一题多解〕在本例条件下，求直线l被椭圆截得的弦长． 规律方法 解决椭圆中点弦问题的两种方法 （1）根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决； （2）点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆＋=1（a＞b＞0）上的两个不同的点，M（x0，y0）是线段AB的中点， 则 由①－②，得（－）＋（－）=0，变形得=－•=－•，即kAB=－． 1.〔一题多解〕已知直线l：x－y＋3=0与双曲线C：－=1（a＞0，b＞0）交于A，B两点，点P（1，4）是弦AB的中点，则双曲线C的渐近线方程是（　　） A．y=±x　　 B．y=±2x C．y=±x　　 D．y=±4x 2.〔一题多解〕过点P（4，1）作抛物线y2=8x的弦AB，恰被点P平分，求AB所在直线的方程及弦AB的长度． 题型三　直线与圆锥曲线的综合问题 已知抛物线C：x2=4y，过点D（0，2）的直线l交抛物线于A，B两点，抛物线在点A处的切线为l1，在点B处的切线为l2，直线l1与l2交于点M． （1）设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，证明：k1k2=－2； （2）设线段AB的中点为N，求的取值范围． 尝试解答 规律方法 解析几何中的“设而不求，整体代换”策略 　　“设而不求”是简化运算的一种重要手段，它的精彩在于设而不求，化繁为简．解题过程中，巧妙设点，避免解方程组，常见类型有：（1）灵活应用“点、线的几何性质”解题；（2）根据题意，整体消参或整体代入等． 　若椭圆E：＋=1（a＞b＞0）过抛物线x2=4y的焦点，且与双曲线x2－y2=1有相同的焦点． （1）求椭圆E的方程； （2）不过原点O的直线l：y=x＋m与椭圆E交于A，B两点，求△OAB面积的最大值以及此时直线l的方程． 1.直线y=kx＋2与椭圆＋=1有且只有一个交点，则k的值是（　　） A．　　 B．－ C．±　　 D．± 2.已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点在直线x＋y－1=0上，又经过抛物线C的焦点且倾斜角为60°的直线交抛物线C于A，B两点，则|AB|=（　　） A．18　　 B．16 C．14　　 D．12 3.直线y=x－1被双曲线2x2－y2=3所截得的弦的中点坐标是（　　） A．（1，2）　　 B．（－2，－1） C．（－1，－2）　　 D．（2，1） 4.若点（3，1）是抛物线y2=2px（p＞0）的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p的值是　　　　． 完成课后作业　第二章　2.8 答案 2.8　直线与圆锥曲线的位置关系 【基础落实】 新知初探 知识点 1.无交点　一个交点　不相等　两个交点　一个交点　无交点 想一想 提示：不一定，当直线与双曲线的渐近线平行或与抛物线的对称轴平行时，直线与双曲线、抛物线只有一个公共点，但此时直线与双曲线、抛物线相交． 自我诊断 1.（1）√　（2）√　（3）× 2.A　法一　直线过点（0，1），而0＋＜1，即点（0，1）在椭圆内部，所以可推断直线与椭圆相交． 法二　联立直线与椭圆的方程消去y得9x2＋10x－15=0，Δ=100－4×9×（－15）=640＞0，所以直线与椭圆相交． 3.B　因为点（2，4）在抛物线y2=8x上，所以过该点与抛物线相切的直线和过该点与x轴平行的直线都与抛物线只有一个公共点．故选B． 4.　解析：设弦的两端点A（c，y0），B（c，－y0），y0＞0，a2=3.b2=4，∴c2=7，c=，由－=1，∴y0=，|AB|=2y0=． 【典例研析】 【例 1】　解：联立消去y得（1－k2）x2＋2k2x－k2－4=0. 当1－k2≠0，即k≠±1时，Δ=（2k2）2－4（1－k2）•（－k2－4）=4（4－3k2）． 由得－＜k＜且k≠±1， 故直线l与双曲线有两个不同的交点时，实数k的取值范围为{k|＜k＜，且k≠±1}． 母题探究 解：联立消去y得（1－k2）x2＋2k2x－k2－4=0.（*） 当1－k2≠0，即k≠±1时，Δ=（2k2）2－4（1－k2）•（－k2－4）=4（4－3k2）． 由得k=±，此时方程（*）有两个相同的实数解，即直线l与双曲线有且只有一个公共点； 当1－k2=0，即k=±1时，直线l与双曲线的渐近线平行，方程（*）化为2x=5， 故方程（*）只有一个实数解，即直线l与双曲线相交，有且只有一个公共点． 故当k=±或±1时，直线l与双曲线有且只有一个公共点． 跟踪训练 1.（－2，2）　解析：因为直线y=kx＋b恒过定点（0，b），且直线y=kx＋b与椭圆＋ =1恒有两个公共点，所以点（0，b）在椭圆＋ =1内部，所以－2＜b＜2. 2.±1　解析：因为双曲线的方程为－=1，所以渐近线方程为y=±x．由消去y整理得（1－k2）x2＋6k2x－9k2－4=0.当1－k2=0即k=±1时，此时直线与双曲线的渐近线平行，此时直线与双曲线相交于一点，符合题意；当1－k2≠0即k≠±1时，Δ=36k4＋4（9k2＋4）（1－k2）=0无实数解，综上所述：符合题意的k的取值为±1. 【例 2】　解：法一（根与系数关系法）　由题意可设直线l的方程为y－2=k（x－4）， 而椭圆的方程可以化为x2＋4y2－36=0. 将直线方程代入椭圆方程有（4k2＋1）x2－8k（4k－2）x＋4（4k－2）2－36=0. 所以x1＋x2==8，解得k=－． 所以直线l的方程为y－2=－（x－4）， 即x＋2y－8=0. 法二（点差法）　设直线l与椭圆的交点为A（x1，y1），B（x2，y2）， 所以 两式相减，有（x1＋x2）（x1－x2）＋4（y1＋y2）（y1－y2）=0. 又x1＋x2=8，y1＋y2=4，所以=－， 即k=－．所以直线l的方程为x＋2y－8=0. 母题探究 解：由本例解可知直线l的方程为x＋2y－8=0，联立椭圆方程得x2－8x＋14=0. 法一　解方程得 所以直线l被椭圆截得的弦长为 =． 法二　因为x1＋x2=8，x1x2=14. 所以直线l被椭圆截得的弦长为 ×=． 跟踪训练 1.B　设A（x1，y1），B（x2，y2），可得－=1，－=1，两式相减可得=． 法一　由点P（1，4）是弦AB的中点，且直线l：x－y＋3=0，可得x1＋x2=2，y1＋y2=8，y1－y2=x1－x2，即有b2=4a2，即b=2a，所以双曲线的渐近线方程为y=±2x． 法二　由题意知kAB=1，kOP=4（O为坐标原点），则=•=kAB•kOP=4，所以b2=4a2，b=2a，故双曲线C的渐近线方程为y=±2x． 2.解：法一　设A（x1，y1），B（x2，y2），则有=8x1，=8x2， 两式相减，得（y1－y2）（y1＋y2）=8（x1－x2）．因为P是AB的中点， 所以x1＋x2=8，y1＋y2=2，则k===4， 所以所求直线AB的方程为y－1=4（x－4），即4x－y－15=0. 由 消去x整理得y2－2y－30=0，因为Δ＞0，所以y1＋y2=2，y1y2=－30. 由弦长公式得|AB|=•|y1－y2|=•=． 法二　由题意知AB所在直线的斜率存在且不为0. 设AB所在直线的方程为y=k（x－4）＋1（k≠0）， 由消去x整理得ky2－8y－32k＋8=0，则Δ＞0. 设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1＋y2=，因为P是AB的中点，所以=1， 所以=2，解得k=4.所以所求直线AB的方程为4x－y－15=0. 由消去x整理得y2－2y－30=0，因为Δ＞0，所以y1＋y2=2，y1y2=－30，由弦长公式得|AB|=•|y1－y2|=•=． 【例 3】　解：（1）证明：由题意知，直线l的斜率存在， 设点A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的方程为y=kx＋2， 由得x2－4kx－8=0，Δ=16k2＋32＞0，x1＋x2=4k，x1x2=－8. 由y=x2，得切点A（x1，），B（x2，）， 则切线l1的方程为y－=k1（x－x1），代入x2=4y，得x2－4k1x－（－4k1x1）=0， 所以Δ1=16－16k1x1＋4=0，解得k1=x1， 同理，得切线l2的斜率k2=x2，所以k1k2=x1x2=×（－8）=－2. （2）由（1）可得y1＋y2=k（x1＋x2）＋4=4（k2＋1）， 故=2（k2＋1），N（2k，2（k2＋1））． 由（1）得l1：y－=（x－x1）， 可化为y=x1x－，① 同理得l2：y=x2x－，② 由①②，得x==2k，y==－2，即M（2k，－2）， 则MN=2（k2＋1）＋2=2（k2＋2）． AB=•|x1－x2|=•=•=4， 所以==． 由k2≥0，k2＋1≥1，得0＜≤1，故∈（，］， 即的取值范围为（，］． 跟踪训练 解：（1）抛物线x2=4y的焦点为（0，1），双曲线x2－y2=1的焦点为（－，0）或（，0）， 依题意可得又c2=a2－b2，所以a2=3，所以椭圆方程为＋y2=1. （2）根据题意，设点A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线方程与椭圆方程可得， 消去y得，4x2＋6mx＋3m2－3=0，得x1＋x2=－，x1x2=， 则由相交弦长公式可得|AB|=× =×， 又由点到直线距离公式可得，点O到直线AB的距离即为d==|m|， 所以S△OAB=•d•|AB|=××|m|××=×≤， 当且仅当m2=2，即m=±时，△OAB面积取得最大值为，此时直线l的方程为y=x±． 随堂检测 1.C　由得，（2＋3k2）x2＋12kx＋6=0，由题意知Δ=（12k）2－4×6×（2＋3k2）=0，解得k=±，故选C． 2.B　因为直线x＋y－1=0与y轴的交点为（0，1），所以抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点坐标为（0，1），设F（0，1），抛物线方程为x2=4y，所以过焦点且倾斜角为60°的直线方程为y=x＋1，设A（x1，y1），B（x2，y2），由得y2－14y＋1=0，所以y1＋y2=14，所以|AB|=y1＋y2＋p=14＋2=16，故选B． 3.C　将y=x－1代入2x2－y2=3，得x2＋2x－4=0，由此可得弦的中点的横坐标为 =－1，纵坐标为－2.故选C． 4.2　解析：设过点（3，1）的直线交抛物线y2=2px（p＞0）于A，B两点，A（x1，y1），B（x2，y2），则由①－②得－=2p（x1－x2），即=，由题意知kAB=2，且y1＋y2=2，故kAB==2，所以p=y1＋y2=2. 3 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $