2.7.1 抛物线的标准方程(Word学生用书)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教B版)

该高中数学导学案聚焦抛物线的标准方程，引导学生掌握抛物线的定义、几何图形及四种标准方程形式，通过拉链与三角板操作的情境导入直观演示曲线形成过程，衔接椭圆、双曲线知识，以问题链、新知填空、自我诊断为支架构建学习路径。 资料亮点在于情境导入培养直观想象，定义辨析强化数学抽象，实际应用题提升数学建模能力，典例分层设计与母题探究变式训练，助力学生深化理解，自我诊断与随堂检测及时反馈，有效提升学习效率与问题解决能力。

2.7.1　抛物线的标准方程 课标 要求 1.了解抛物线的实际背景，感受抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用（数学抽象）． 2.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程（直观想象）． 　　如图，在黑板上画一条直线EF，然后取一个三角板，将一条拉链AB固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在C点，将三角板的另一条直角边贴在直线EF上，在拉链D处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线． 【问题】　（1）这是一条什么曲线，由画图过程你能给出此曲线的定义吗？ （2）抛物线的定义中，l能经过点F吗？为什么？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　抛物线的定义 　设F是平面内的一个定点，l是不过点F的一条定直线，则平面上到F的距离与到l的距离　　　　的点的轨迹称为抛物线，其中定点F称为抛物线的　　　　，定直线l称为抛物线的　　　　． 提醒：定义中要注意强调定点F不在定直线l上．当直线l经过点F时，点的轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线． 【想一想】 　在抛物线定义中，若去掉条件“l不经过点F”，点的轨迹还是抛物线吗？ 知识点二　抛物线标准方程的几种形式 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 　　　　　　　　 　　　　 　　　　 　　　　　　　　 　　　　 　　　　 　　　　　　　　 　　　　 　　　　 　　　　　　　　 　　　　 　　　　 提醒：四个标准方程的区分：焦点在一次项变量对应的坐标轴上，开口方向由一次项系数的符号确定．当系数为正时，开口向坐标轴的正方向；当系数为负时，开口向坐标轴的负方向． 【想一想】 抛物线标准方程中的p有什么几何意义？ 1.判断正误．（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）抛物线的方程都是二次函数．（　　） （2）抛物线的焦点到准线的距离是p（p＞0）．（　　） （3）平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线．（　　） （4）只有抛物线的顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上时，抛物线才具有标准形式．（　　） 2.抛物线y=8x2的准线方程是（　　） A．y=－2 B．x=－1 C．y=－　　 D．x=－ 3.抛物线y2=16x上点P的横坐标为4，则点P到抛物线焦点F的距离|PF|=（　　） A．12　　 B．10 C．8　　 D．6 4.焦点为F（－1，0）的抛物线的标准方程为　　　　． 题型一　抛物线的标准方程 （链接教科书第160页例1）求适合下列条件的抛物线的标准方程： （1）过点M（－6，6）； （2）焦点F在直线l：3x－2y－6=0上． 尝试解答 规律方法 求抛物线的标准方程的方法 定义法 根据定义求p，最后写标准方程 待定系数法 设标准方程，列有关的方程组求系数 直接法 建立恰当的坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出对应方程，化简方程 提醒：当抛物线的焦点位置不确定时，应分类讨论，也可以设y2=ax或x2=ay（a≠0）的形式，以简化讨论过程． 1.若某抛物线过点（－1，3），且关于x轴对称，则该抛物线的标准方程为（　　） A．y2=－9x B．x2=y C．y2=－9x或x2=y D．y2=±9x 2.已知抛物线y=x2，其准线方程为（　　） A．x=－　　 B．x= C．y=　　 D．y=－ 3.若抛物线y2=2px（p≠0）的焦点与椭圆＋=1的右焦点重合，则实数p=　　　　． 题型二　抛物线定义的应用 已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，求点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值． 尝试解答 【母题探究】 1.（变设问）若将本例中的点（0，2）改为点A（3，2），求|PA|＋|PF|的最小值． 2.（变设问）若将本例中的点（0，2）换为直线l1：3x－4y＋=0，求点P到直线3x－4y＋=0的距离与P到该抛物线的准线的距离之和的最小值． 规律方法 抛物线定义的两种应用 （1）实现距离转化．根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距离与点线距离的相互转化，从而简化某些问题； （2）解决最值问题．在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题． 1.已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点是F，点M（x0，2）在抛物线C上，若|MF|=4，则x0=（　　） A．±4　　 B．±2 C．±8　　 D．±2 2.已知F是抛物线C：y2=8x的焦点，P是C上的一动点，A（4，2），则|PA|＋|PF|的最小值为（　　） A．5　　 B．6 C．7　　 D．8 题型三　抛物线的实际应用 河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5 m时，水面宽为8 m，一小船宽4 m，高2 m，载货后船露出水面上的部分高0.75 m，问：水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？ 尝试解答 规律方法 求解抛物线实际应用题的步骤 　如图是一种加热水和食物的太阳灶，上面装有可旋转的抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分，盛水和食物的容器放在抛物线的焦点处，容器由若干根等长的铁筋一头焊接在镜口圆边沿，另一头焊接在一起的架子支撑．已知镜口圆的直径为12米，镜深2米，若把盛水和食物的容器近似地看作点，求每根铁筋的长度为多少米． 1.若抛物线y2=16x上的点M到焦点的距离为12，则它到y轴的距离是（　　） A．6　　 B．8 C．9　　 D．10 2.已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上一点（－2，m）到焦点距离为4，那么抛物线的方程是（　　） A．y2=8x　　 B．y2=－8x C．y2=4x　　 D．y2=－4x 3.已知点P是抛物线y2=－4x上的一个动点，则点P到点M（0，2）的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（　　） A．3　　 B． C．　　 D． 4.如图是抛物线型拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m，水位下降1 m后，水面宽为　　　　m． 完成课后作业　第二章　2.7　2.7.1 答案 2.7.1　抛物线的标准方程 【基础落实】 新知初探 知识点一 相等　焦点　准线 想一想 提示：当F∈l时，点的轨迹是一条直线． 知识点二 y2=2px（p＞0）　（，0）　x=－ y2=－2px（p＞0）　（－，0）　 x=　x2=2py（p＞0）　（0，）　 y=－　x2=－2py（p＞0）　 （0，－）　y= 想一想 提示：p是焦点到准线的距离． 自我诊断 1.（1）×　（2）√　（3）×　（4）√ 2.C　由y=8x2可得x2=y，所以2p=，可得p=，所以抛物线y=8x2的准线方程是y=－．故选C． 3.C　因为2p=16，所以p=8，所以|PF|=4＋=4＋4=8．故选C． 4.y2=－4x　解析：由题意，设抛物线的标准方程为y2=－2px，则－=－1，可得p=2.因此，抛物线的标准方程为y2=－4x． 【典例研析】 【例 1】　解：（1）由于点M（－6，6）在第二象限， ∴过M的抛物线开口向左或开口向上． 若抛物线开口向左，焦点在x轴上， 设其方程为y2=－2px（p＞0）， 将点M（－6，6）代入，可得36=－2p×（－6）， ∴p=3.∴抛物线的方程为y2=－6x． 若抛物线开口向上，焦点在y轴上， 设其方程为x2=2py（p＞0）， 将点M（－6，6）代入，可得36=2p×6， ∴p=3，∴抛物线的方程为x2=6y． 综上所述，抛物线的标准方程为y2=－6x或x2=6y． （2）①∵直线l与x轴的交点为（2，0）， ∴抛物线的焦点是F（2，0），∴=2，∴p=4， ∴抛物线的标准方程是y2=8x． ②∵直线l与y轴的交点为（0，－3）， 即抛物线的焦点是F（0，－3）， ∴=3，∴p=6， ∴抛物线的标准方程是x2=－12y． 综上所述，所求抛物线的标准方程是y2=8x或x2=－12y． 跟踪训练 1.A　依题意设抛物线解析式为y2=－2px，把（－1，3）代入得9=2p，解得p=，所以抛物线标准方程为y2=－9x，故选A． 2.D　因为抛物线y=x2，故其标准方程为x2=2y，则其准线方程为y=－．故选D． 3.4　解析：因为椭圆＋=1，所以a2=6，b2=2，所以c2=a2－b2=4，故c=2，所以右焦点为（2，0），所以=2，p=4． 【例 2】　解：由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于它到焦点的距离．由图可知，点P，点（0，2）和抛物线的焦点F（，0）三点共线时距离之和最小， 所以最小距离d==． 母题探究 1.解：将x=3代入y2=2x， 得y=±．所以点A在抛物线内部．设点P为其上一点，点P到准线（设为l）x=－的距离为d，则|PA|＋|PF|=|PA|＋d． 由图可知，当PA⊥l时，|PA|＋d最小，最小值是．即|PA|＋|PF|的最小值是． 2.解：如图，作PQ垂直于准线l于点Q，作PA1垂直于直线l1于点A1， |PA1|＋|PQ|=|PA1|＋|PF|≥|A1F|min， 即A1、P、F三点共线时最小， 所以|A1F|的最小值为点F到直线3x－4y＋=0的距离d==1.即所求最小值为1. 跟踪训练 1.A　∵|MF|=4，∴|MF|=＋yM=＋2=4，得p=4，∴抛物线C的方程为x2=8y，再将点M（x0，2）的坐标代入x2=8y，得x0=±4. 2.B　设P到C的准线x=－2的距离为d，则|PA|＋|PF|=|PA|＋d≥4－（－2）=6，所以|PA|＋|PF|的最小值为6. 【例 3】　解：以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角坐标系（图略）．设抛物线方程为x2=－2py（p＞0），由题意可知，点B（4，－5）在抛物线上，故p=，得x2=－y．当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA′，则A（2，yA），由22=－yA，得yA=－．又知船面露出水面上的部分高为0.75 m，所以h=|yA|＋0.75=2（m）．所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2 m时，小船开始不能通航． 跟踪训练 解：如图，在反光镜的轴截面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，x轴垂直于镜口直径． 由已知，得A点坐标是（2，6）， 设抛物线方程为y2=2px（p＞0）， 则36=2p×2，p=9. 所以所求抛物线的标准方程是y2=18x， 焦点坐标是F（，0）．因为盛水和食物的容器在焦点处，所以A，F两点间的距离即为每根铁筋长． |AF|==6.5，故每根铁筋的长度是6.5米． 随堂检测 1.B　抛物线y2=16x的焦点F（4，0），准线为x=－4，由M到焦点的距离为12，可知M到准线的距离也为12，故点M到y轴的距离是8.故选B． 2.B　因为抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，且点（－2，m）在抛物线上，所以设抛物线方程为y2=－2px（p＞0），因为点（－2，m）到焦点距离为4，所以－（－2）=4，解得p=4，所以抛物线方程为y2=－8x，故选B． 3.C　如图所示，由抛物线的定义得|PN|=|PF|，所以|PN|＋|PM|=|PF|＋|PM|，由图象知，当P，F，M三点共线时，|PN|＋|PM|最小，（|PN|＋|PM|）min=|FM|==．故选C． 4.2　解析：以抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴建立直角坐标系（图略）．设抛物线方程为x2=－2py（p＞0），则点（2，－2）在抛物线上，代入可得p=1，抛物线方程为x2=－2y．当y=－3时，x2=6，所以水面宽为2 m． 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $