2.7.1抛物线的标准方程（教学课件）高二数学人教B版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦抛物线的定义、四种标准方程及焦点准线关系，通过生活情境（篮球弧线、喷泉等）激趣，类比椭圆双曲线的“定义—建系—推导—性质”流程，搭建新旧知识衔接的学习支架。 其亮点在于用动画演示定义形成过程，通过坐标法推导方程培养数学思维，分类讨论标准方程并总结口诀强化数学语言表达。典例涵盖定义法、待定系数法及最值问题，助力学生提升运算与推理能力，教师可直接应用系统教学流程和丰富题型提升教学效率。

第二章 平面解析几何 2.7.1抛物线的标准方程 2.7抛物线及其方程 【新教材】人教B版·高二选修第一册 学 习 目 标 1 2 理解抛物线的严格定义，明确定点（焦点）、定直线（准线）的概念，清楚“定点不在定直线上”的核心前提。掌握平面直角坐标系中抛物线四种标准方程的形式，理解参数p的几何意义（焦点到准线的距离，熟练掌握标准方程与焦点坐标、准线方程的对应关系，能根据抛物线位置写出标准方程，也能根据标准方程判断抛物线开口方向、焦点和准线。学会利用定义法、待定系数法求解抛物线的标准方程，解决基础求值问题 类比椭圆、双曲线的学习思路，经历“定义—建系—推导方程—分析性质”的圆锥曲线研究流程，巩固坐标法的解题思想。通过自主推导抛物线标准方程的过程，提升数学运算、逻辑推理能力，体会数形结合、分类讨论的数学思想。 同学们，我们在生活中随处可见抛物线的身影：投篮时篮球划过的弧线、喷泉喷出的水流轨迹、卫星接收天线、手电筒的反光曲面、拱桥的轮廓等，这些优美的曲线都是抛物线。 初中我们学过二次函数(a≠0) 的图像是抛物线，但这只是抛物线的其中一种特殊形式。 生活情境激趣 此前我们已经系统学习了椭圆、双曲线，都是通过几何定义→建立坐标系→推导标准方程→研究几何性质的思路展开学习。今天我们用同样的研究方法，学习最后一种重要的圆锥曲线——抛物线。 新旧知识衔接 提问1：椭圆、双曲线都是借助“距离和、距离差”定义的曲线，抛物线能否用距离关系给出精准定义？ 提问2：除了开口向上、向下的抛物线，是否存在开口向左、向右的抛物线？它们对应的方程是什么形式？ 通过本节课的学习，我们将掌握抛物线的严格定义、四种标准方程，彻底理清不同位置抛物线的方程、焦点、准线的对应关系。 目标一：抛物线的定义 演示 知识讲解 互动探究 新课引入 在画板上画一条直线 l，使 l 与画板左侧的边线平行；再在直线 l 外画一个定点 F. 取一个直角三角板靠紧画板左侧外沿，三角板某直角边和直线 l 垂直且相交于点 M，在三角板某直角边另一端取一点 A，将一条长度等于 的细绳，一端固定在点 A，另一端固定在点 F，用笔尖靠着某直角边缘并扣紧细绳，然后上下平移三角板，笔尖作出的曲线是抛物线的一部分. 观看动画 6 抛物线定义 一般地，设 是平面内的一个定点， 是不过点 的一条定直线，则平面上到 的距离与到 的距离相等的点的轨迹称为抛物线。 定点 F 称为抛物线的焦点， 定直线 l 称为抛物线的准线。 思考：平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹一定是抛物线吗？ 不一定. 当直线 l 经过点 F 时，点的轨迹是过定点 F 且垂直于定直线 l 的一条直线； l 不经过点 F 时，点的轨迹是抛物线. 过点 A(3,0) 且与 y 轴相切的圆的圆心的轨迹为（ ）。 A. 圆 B. 椭圆 C. 直线 D. 抛物线 定义应用 解 如图 ，设 P 为满足条件的一点，不难得出点 P 到点 A 的距离等于点 P 到 y 轴的距离，故点 P 在以点 A 为焦点，y 轴为准线的抛物线上，故点 P 的轨迹为抛物线。 已知平面直角坐标系中, 动点 M 到 F(0,-2) 的距离比 M 到 x轴的距离大 2, 求 M 的轨迹方程, 并在平面直角坐标系中作出轨迹曲线简图. 定义应用 解：动点 M 到 F(0,-2) 的距离比 M 到 x轴的距离大 2,说明：动点 M 到 F(0,-2) 的距离等于 M 到 y=2的距离，故点 P 的轨迹为F为焦点，y=2为准线的抛物线。 目标二 ：抛物线的标准方程 坐标法求方程 知识讲解 互动探究 新课引入 这种作抛物线的方法实际上验证了抛物线定义中的 P 点一定存在而且有无数多个：那么，从数学上能不能证明这一点呢？ 用坐标法来探讨问题，并求出抛物线的标准方程. 过抛物线的焦点 F 作准线 l 的垂线，记垂足为 K，设 p(p>0)， 如图，以直线 KF 为 x 轴，线段 KF 的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系.则抛物线的焦点为 F(,0) ，准线为 x=-. 设点 M(x,y) 是抛物线上一点，则 M 到 F 的距离为 ， M 到直线 l 的距离为 ，所以 . 将上式两边平方并化简， 12 换位思考 方程 =2px(p>0) 就是抛物线的方程，通常称为焦点在 x 轴正半轴上的抛物线的标准方程. 显然，满足方程 =2px(p>0) 的点的坐标有无穷多组，这无穷多组解对应的点组成的抛物线. 如果建立的平面直角坐标系分别如图(1)(2)(3)所示，其他条件不变，则抛物线的焦点坐标和准线方程有变化吗？此时能否通过①式得到抛物线的标准方程具有的形式呢？ 可以看出，如果按照图（1）的方式建立平面直角坐标系，则抛物线的焦点为 F(-,0)，准线为 x=；只要将 ① 中的 x 变为 -x 即可得到抛物线的方程为 =-2px ②. 通常称 ② 为焦点在 x 轴负半轴上的抛物线的标准方程. 开口向左 如果按照图（2）的方式建立平面直角坐标系，则抛物线的焦点为 F(0,)，准线为 y=-；只要将 ① 中的 x 与 y 互换即可得到抛物线的方程为 =2py ③. 通常称 ③ 为焦点在 y 轴正半轴上的抛物线的标准方程. 开口向上 如果按照图（3）的方式建立平面直角坐标系，则抛物线的焦点为 F(0,-)，准线为 y=；只要将 ① 中的 x 变为 -y 且 y 变为 -x 即可得到抛物线的方程为 =-2py ④. 通常称 ④ 为焦点在 y 轴负半轴上的抛物线的标准方程. 开口向下 四种形态 标准方程 图像 焦点坐标 准线方程 知识剖析 （1）抛物线的焦点所在坐标轴（x 轴、y 轴）由标准方程中的一次项来确定，开口方向（向左、向右、向上、向下）由一次项系数的符号来确定，可简记为“对称轴要看一次项，符号决定开口方向”。 (2）“p”是抛物线的焦点到准线的距离，所以 p>0。特别注意，当抛物线标准方程中的一次项系数为负时，不要出现 的错误。 题型1求抛物线标准方程 例1 根据下列条件，求出抛物线的标准方程。 （1）经过点 (-3,1)； （2）准线与直线 x=1 的距离为 3； （3）准线方程为 2y+4=0； （4）焦点在直线 x+3y+15=0 上。 典例分析 牛刀小试 答 （1）因为抛物线经过点 ，所以其开口方向为向左或向上。 当开口向左时，设抛物线标准方程为 。将点 代入，得 ， 所以其标准方程为 。 当开口向上时，设抛物线标准方程为 。将点 代入，得 ，所以其标准方程为 。 题型1求抛物线标准方程 例1 根据下列条件，求出抛物线的标准方程。 （1）经过点 (-3,1)； （2）准线与直线 x=1 的距离为 3； （3）准线方程为 2y+4=0； （4）焦点在直线 x+3y+15=0 上。 典例分析 牛刀小试 （2）准线与直线 的距离为 3，说明抛物线的准线与 轴垂直，所以抛物线开口向左或向右。设抛物线方程为 ，则抛物线的准线方程为 ，则 ，解得 或 ，所以其标准方程为 或 。 题型1求抛物线标准方程 例1 根据下列条件，求出抛物线的标准方程。 （1）经过点 (-3,1)； （2）准线与直线 x=1 的距离为 3； （3）准线方程为 2y+4=0； （4）焦点在直线 x+3y+15=0 上。 典例分析 牛刀小试 （3）准线方程为 ，即 ，故抛物线焦点在 轴的正半轴上，设其方程为 。又 ，所以 ，故所求抛物线的标准方程为 。 题型1求抛物线标准方程 例2 分别根据下列条件，求抛物线的焦点坐标和标准方程： （1）抛物线的焦点到 x 轴的距离是 2，而且焦点在 y 轴的正半轴上； （2）抛物线的焦点是双曲线 =1 的焦点之一． 典例分析 牛刀小试 解: (1) 由已知可得焦点坐标为 , 因此抛物线的标准方程具有 的形式, 且 , 从而所求抛物线的标准方程是 . 题型1求抛物线标准方程 例2 分别根据下列条件，求抛物线的焦点坐标和标准方程： （1）抛物线的焦点到 x 轴的距离是 2，而且焦点在 y 轴的正半轴上； （2）抛物线的焦点是双曲线 =1 的焦点之一． 典例分析 牛刀小试 解: (2) 因为双曲线 中, , 又因为双曲线的焦点在 轴上, 所以焦点坐标为 或 . 如果抛物线的焦点坐标为 , 则抛物线的标准方程具有 的形式, 且 , 此时抛物线的标准方程是 ; 如果抛物线的焦点坐标为 , 则抛物线的标准方程具有 的形式, 且 , 此时抛物线的标准方程是 . 目标三 ：抛物线的焦半径 焦半径的定义 设点 M 是抛物线上一点，抛物线的焦点为 F，则线段 MF 叫作抛物线的焦半径。 焦半径公式 由抛物线的定义可知，若点 在抛物线 上，则点 到点 的距离等于点 到准线 的距离，即 。同理可得，若点 在抛物线 上，则 ；若点 在抛物线 上，则 ；若点 在抛物线 上，则 。 题型2 抛物线焦半径 例3 已知抛物线 C:=x 的焦点为 F，A() 是 C 上一点，。 A. 4 B. 2 C. 1 D. 8 典例分析 牛刀小试 解 示意图如图 2-7-1-2，，过点 作 准线 于点 ，，即 ，。 题型2抛物线焦半径 例4 抛物线 y=4 上的一点 M 到焦点的距离为 1，则点 M 的纵坐标是( )。 A. B. C. D. 0 典例分析 牛刀小试 解 抛物线的标准方程为 ，焦点坐标 为 ，准线方程为 。因为点 到焦点的距离为 1，所以点 到准线的距离为 1，即 ，故 。 直接用焦半径公式，更快。 目标四 ：与抛物线定义有关的最值问题 求解抛物线上一点 P 到抛物线的焦点 F 的距离 与到已知点 M (M 在抛物线内) 的距离 之和的最小值问题，只要点 P 到抛物线的准线 l 的距离与到点 M 的距离之和最小即可。由抛物线的图形可知，过点 M 作准线 l 的垂线，其与抛物线的交点 P取得最小值的点。同理可求 当点 M 在抛物线外时，根据上述方法结合平面几何中的三点共线知识，也可以解决 和最小差最大 题型3 与抛物线有关最值 例5 已知点 P 是抛物线 =-2x 上的一个动点，则点 P 到点 M(0,2) 的距离与点 P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )。 A. B. 3 C. D. 典例分析 牛刀小试 【解】利用抛物线的定义及平面几何知识找到“最值点”即得答案。如图 2-7-1-3 所示，由抛物线的定义知，点 到准线 的距离 到点 的距离(当点 位于 的位置时)，即最小值为 。 题型3 与抛物线有关最值 例6 已知 为抛物线 上的任意一点， 为抛物线的焦点，点 的坐标为 。 典例分析 牛刀小试 答 如图 ，点 在抛物线外(即不含焦点的区域)。 (1) ，当且仅当点 为线段 与抛物线的交点时取等号，所以 。 题型3 与抛物线有关最值 例6 已知 为抛物线 上的任意一点， 为抛物线的焦点，点 的坐标为 。 典例分析 牛刀小试 (2) 如图 ，延长 交抛物线于点 ，则 ，当且仅当点 在点 的位置时取等号，所以 。又 ，过点 作准线 的垂线，垂足为 ，延长 交抛物线于点 ，过点 作准线 的垂线，垂足为 ，如图 2-7-1-5，则 ，当且仅当点 在点 的位置时取等号，即 ，所以 。 目标五 ：针对训练 举一反三 1.顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点的抛物线的标准方程为（ ） A. B. C.或 D.或 答案：D 解析：若焦点在轴上，设抛物线方程为，将点的坐标代入，得，所以抛物线的标准方程为.若焦点在轴上，设方程为，将点的坐标代入，得，所以抛物线的标准方程为.故所求抛物线的标准方程是或. 举一反三 2.抛物线的准线与直线的距离为3，则此抛物线的方程为（ ） A. B. C.或 D.或 答案：D 解析：将化为，其准线方程为.由题意知或，解得或.则所求抛物线的标准方程为或. 举一反三 3.若抛物线的焦点是椭圆的一个顶点，则的值为（ ） A.2 B.3 C.4 D.8 答案：D 解析：由题意知，（）的焦点为，的右顶点为，所以，解得. 举一反三 4.若抛物线的准线与直线之间的距离等于1，则实数的值为______. 答案： 解析：抛物线的标准方程为，由于其准线与直线之间的距离等于1，所以抛物线的准线方程为则且，于是. 5.若直线经过抛物线的焦点，则______. 答案： 解析：由题意得，抛物线方程可化为，易知抛物线的焦点在轴上，又直线经过该抛物线的焦点，且直线经过点，所以抛物线的焦点坐标为，因此，解得. 举一反三 6.根据下列条件求抛物线的标准方程： (1)焦点在轴上，且准线与直线的距离为3； (2)焦点在直线上. 答案：(1)由题意，方程可设为.其准线方程为，，解得或，故所求抛物线的标准方程为或. (2)令，则；令，则，抛物线的焦点为或. 当焦点为时，抛物线的标准方程为，当焦点为时，抛物线的标准方程为.所求抛物线的标准方程为或. 目标六：小结 学海拾贝 1. 核心知识梳理 （1）抛物线定义：平面内与一个定点为准线。 （2）参数意义： 口诀记忆：变量定对称轴，符号定开口向 学海拾贝 2. 方法思想总结 本节课沿用圆锥曲线通用研究方法：几何定义出发，通过建立最优坐标系、化简方程得到标准式，全程运用坐标法、数形结合、分类讨论思想。求解抛物线标准方程常用两种方法：定义法、待定系数法。 3. 易错点归纳 （1）忽略定义前提：焦点不能在准线上，否则轨迹不是抛物线； （2）混淆四种标准方程的焦点、准线位置，记错变量对应关系； （3）误将二次函数图像等同于所有抛物线，局限认知。 学海拾贝 4. 课后展望 下节课我们将基于标准方程，进一步研究抛物线的顶点、对称性、离心率等几何性质，并解决综合应用问题。 【新教材】人教B版·高一必修第二册 感谢聆听! $