2.6.2 双曲线的几何性质(Word学生用书)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教B版)

该高中数学导学案聚焦双曲线的几何性质，通过冷却水塔纵切面的实际情境导入，引导学生类比椭圆性质猜想双曲线特性，以表格形式呈现两种标准方程的范围、对称性、顶点等性质，搭建知识学习支架。 资料特色在于情境导入联系生活培养直观想象，类比椭圆性质发展数学思维，设置自我诊断、典例研析及跟踪训练，结合规律方法总结提升数学运算能力，助力学生系统掌握知识，适合教师教学与学生自主学习。

2.6.2　双曲线的几何性质 课标 要求 1.了解双曲线的几何图形及简单几何性质（直观想象）． 2.通过双曲线的方程的学习，进一步体会数形结合的思想，了解双曲线的简单应用（直观想象、数学运算）． 　　如图，冷却水塔的纵切面是双曲线，双曲线是非常优美的曲线，也是我们在生产生活中经常用到的曲线，因此，我们有必要探究其有怎样的特性． 【问题】　你能否类比椭圆的几何性质去猜想双曲线有哪些几何性质呢？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　双曲线的几何性质 标准方程 －=1 （a＞0，b＞0） －=1 （a＞0，b＞0） 性质 图形 范围 　　　或 　　　，y∈　　　　 　　　或 　　　，x∈　　　　 对称性 对称轴：　　 　；对称中心：　　 　 顶点 　　　　　　　　 　　　　 　　　　 轴 实轴：线段　　　　，长：　　　　； 虚轴：线段　　　　，长：　　　　； 半实轴长：　　　，半虚轴长：　　　 离心率 e=　　　　∈　　　　 渐近线 　　　　　　 　　　　　　 提醒：等轴双曲线：①实轴与虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线，等轴双曲线的一般方程为－=1或－=1（a＞0）；②等轴双曲线的渐近线方程为y=±x，离心率e=． 【想一想】 1.能否用a，b表示双曲线的离心率？ 2.离心率对双曲线开口大小有影响吗？满足什么对应关系？ 1.判断正误．（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）双曲线有四个顶点，分别是双曲线与其实轴及虚轴的交点．（　　） （2）双曲线－=1与－=1（a＞0，b＞0，a≠b）的渐近线方程相同．（　　） （3）等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率e=．（　　） （4）双曲线的离心率越大，双曲线的开口越开阔．（　　） 2.已知双曲线C：y2－=1，则该双曲线的实轴长为（　　） A．1　　 B．2 C．　　 D．2 3.双曲线C：－=1的离心率为3，则m=（　　） A．3　　 B． C．2　　 D．1 4.若双曲线x2－=1的渐近线方程为y=±2x，则实数m=　　　　． 题型一　双曲线的几何性质 角度1　由双曲线方程求解几何性质 求双曲线25y2－4x2＋100=0的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率、渐近线方程． 尝试解答 【母题探究】 （变条件）若将本例中双曲线的方程变为nx2－my2=mn（m＞0，n＞0），求双曲线的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程． 规律方法 由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤 （1）把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键； （2）由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值； （3）由c2=a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质． 提醒：求性质时一定要注意焦点的位置． 角度2　求双曲线的离心率 已知F1，F2分别是双曲线E：－=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△ABF2为等边三角形，则双曲线E的离心率为（　　） A．　　 B． C．＋1　　 D．＋1 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 规律方法 求双曲线离心率的两种方法 （1）直接法：若已知a，c可直接利用e=求解，若已知a，b，可利用e= 求解； （2）方程法：若无法求出a，b，c的具体值，但根据条件可确定a，b，c之间的关系，可通过b2=c2－a2，将关系式转化为关于a，c的齐次方程，借助于e=，转化为关于e的n次方程求解． 1.已知双曲线C：－=1的离心率e=，过焦点F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为M，则|MF|=（　　） A．1　　 B． C．　　 D． 2.双曲线E：－=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P是以F1F2为直径的圆与双曲线E的一个交点，若|PF1|＋|PF2|=|F1F2|，则双曲线E的离心率为（　　） A．　　 B． C．　　 D． 题型二　由双曲线的几何性质求标准方程 角度1　构造方程组求双曲线的标准方程 （链接教科书第156页习题A3题）求适合下列条件的双曲线的标准方程： （1）焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为； （2）两顶点间的距离是6，两焦点的连线被两顶点和对称中心四等分． 尝试解答 规律方法 求双曲线标准方程的步骤 （1）确定焦点所在的坐标轴，从而确定双曲线标准方程的形式； （2）根据双曲线的几何性质建立关于a，b，c的方程（组），并解出a，b的值； （3）写出双曲线的标准方程． 角度2　利用渐近线求双曲线的标准方程 〔一题多解〕求过点（2，－2）且与－y2=1有相同渐近线的双曲线的标准方程． 尝试解答 规律方法 已知渐近线设双曲线标准方程的方法 （1）与双曲线－=1（a＞0，b＞0）有共同渐近线的双曲线方程可设为－=λ（λ≠0）； （2）若双曲线的渐近线方程是y=±x，则双曲线方程可设为－=λ（λ≠0）； （3）若双曲线的渐近线方程为mx＋ny=0或mx－ny=0，则双曲线的方程可设为（mx＋ny）（mx－ny）=λ（λ≠0），即m2x2－n2y2=λ（λ≠0）． 1.已知双曲线－=1（a＞0，b＞0）的实轴长为4，离心率为，则双曲线的标准方程为（　　） A．－=1　　 B．x2－=1 C．－=1　　 D．x2－=1 2.已知双曲线的焦点（0，2）到其渐近线的距离为1，则双曲线方程是（　　） A．－y2=1　　 B．－x2=1 C．x2－=1　　 D．y2－=1 题型三　双曲线性质的应用 已知F1，F2是双曲线C：－=1（a＞0）的左、右焦点，点A在双曲线的右支上，点P（7，2）是平面内一定点，若对任何实数m，直线4x＋3y＋m=0与双曲线C至多有一个公共点，则|AP|＋|AF2|的最小值为（　　） A．2－6　　 B．10－3 C．8－　　 D．2－2 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 规律方法 1.双曲线几何性质的综合应用涉及知识较宽，如双曲线定义、标准方程、对称性、渐近线、离心率等多方面的知识，在解决此类问题时要注意与平面几何知识的联系． 2.与双曲线有关的取值范围问题的解题思路 （1）若条件中存在不等关系，则借助此关系直接变换转化求解； （2）若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决． 　设O为坐标原点，直线x=a与双曲线C：－=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于D，E两点．若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为（　　） A.4　　 B.8 C.16　　 D.32 答案 2.6.2　双曲线的几何性质 【基础落实】 新知初探 知识点 x≤－a　x≥a　R　y≤－a　y≥a　R　坐标轴　原点　A1（－a，0），A2（a，0）　A1（0，－a），A2（0，a）　A1A2　2a　B1B2　2b　a　b　　（1，＋∞）　y=±x　y=±x 想一想 1.提示：能．e===． 2.提示：有影响，因为e===，故当的值越大，渐近线y=x的斜率越大，双曲线的开口越大，e也越大，所以e反映了双曲线开口的大小，即双曲线的离心率越大，它的开口就越大． 自我诊断 1.（1）×　（2）×　（3）√　（4）√ 2.B　双曲线C：y2－=1的实半轴长a=1，所以该双曲线的实轴长为2.故选B． 3.B　由题意得a2=m，b2=4，因为C的离心率为3，所以=9，得m=．故选B． 4.4　解析：双曲线x2－=1焦点在x轴上，∴渐近线为y=±x，∴=2⇒m=4. 【典例研析】 【例 1】　解：双曲线的方程25y2－4x2＋100=0可化为－=1， 所以焦点在x轴上，a2=25，b2=4，因此实半轴长a=5，虚半轴长b=2，顶点坐标为（－5，0），（5，0）．由c==，得焦点坐标为（，0），（－，0）．离心率e==，渐近线方程为y=±x． 母题探究 解：把方程nx2－my2=mn（m＞0，n＞0）化为标准方程为－=1（m＞0，n＞0）， 由此可知，实半轴长a=，虚半轴长b=，c=， 焦点坐标为（，0），（－，0），离心率e===， 顶点坐标为（－，0），（，0），所以渐近线方程为y=±x，即y=±x．　 【例 2】　D　连接AF1，∵△ABF2为等边三角形，∴∠AF2B=60°∴∠OAF2=∠AF2F1=30°，∠AF1O=∠AOF1=60°，∴|AF1|=|F1F2|=c，|AF2|=|F1F2|=c，由双曲线定义得|AF2|－|AF1|=c－c=2a，双曲线E的离心率为e===＋1. 跟踪训练 1.D　依题意e===⇒b=．焦点（c，0）到渐近线bx－ay=0的距离为==b，所以|MF|=b=．故选D． 2.D　如图，设P点在y轴右侧，则|PF1|－|PF2|=2a，因为|PF1|＋|PF2|=|F1F2|=c，所以|PF1|=c＋a，|PF2|=c－a，因为点P在以F1F2为直径的圆上，所以△PF1F2是直角三角形，|PF1|2＋|PF2|2=|F1F2|2，即（c＋a）2＋（c－a）2=4c2，化简得a2=c2，所以离心率e==． 【例 3】　解： （1）设所求双曲线的标准方程为－=1（a＞0，b＞0），则2b=8，e==，从而b=4，c=a，代入c2=a2＋b2，得a2=9，故双曲线的标准方程为－=1. （2）由两顶点间的距离是6，得2a=6，即a=3. 由两焦点的连线被两顶点和对称中心四等分， 可得2c=4a=12，即c=6，于是有b2=c2－a2=62－32=27. 由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程为－=1或－=1. 【例 4】　解：法一　当焦点在x轴上时，可知=， 故可设所求双曲线的方程为－=1， 代入点（2，－2）得b2=－2（舍去）； 当焦点在y轴上时，可知=， 故可设所求双曲线的方程为－=1， 代入点（2，－2）得a2=2. 所以所求双曲线的标准方程为－=1. 法二　因为所求双曲线与已知双曲线－y2=1有相同的渐近线，所以可设所求双曲线的方程为－y2=λ（λ≠0），代入点（2，－2）得λ=－2，所以所求双曲线的方程为－y2=－2，化为标准方程为－=1. 跟踪训练 1.A　因为双曲线－=1（a＞0，b＞0）的实轴长为4，所以a=2，由离心率为，可得=，c=2，所以b===4，则双曲线的标准方程为－=1.故选A． 2.B　由题可知双曲线焦点在y轴上，其中一个焦点为（0，c），一条渐近线为y=x⇒ax－by=0，焦点到渐近线的距离为=b，∴c=2，b=1，a=，∴双曲线方程为－x2=1.故选B． 【例 5】　A　由题意得，双曲线的渐近线方程为y=±x，∵对任意实数m，直线4x＋3y＋m=0与双曲线C至多有一个公共点，∴直线4x＋3y＋m=0与双曲线的渐近线方程为y=±x重合或平行，∴－=－，得a=3，c=5，∴F1为（－5，0），∵P（7，2），∴|PF1|==2，∴|AP|＋|AF2|=|AP|＋|AF1|－6≥|PF1|－6=2－6，∴|AP|＋|AF2|的最小值为2－6.故选A． 跟踪训练 B　由题意知双曲线的渐近线方程为y=±x．因为D，E分别为直线x=a与双曲线C的两条渐近线的交点，所以不妨设D（a，b），E（a，－b），所以S△ODE=×a×|DE|=×a×2b=ab=8，所以c2=a2＋b2≥2ab=16，所以c≥4，所以2c≥8，所以C的焦距的最小值为8，故选B． 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $