2.6.1 双曲线的标准方程(Word学生用书)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教B版)

该高中数学导学案聚焦“双曲线的标准方程”，引导学生掌握双曲线的定义、几何图形及标准方程。通过拉链实验情境导入，类比椭圆定义，观察动点满足的几何条件，建立新旧知识联系，搭建学习支架。 资料特色突出，情境创设直观生动，动手操作培养直观想象，问题链设计促进数学抽象，典例涵盖方程辨识、求解、定义应用及实际建模，母题变式训练提升数学思维，助力学生构建知识体系，发展核心素养。

2.6.1　双曲线的标准方程 课标 要求 1.了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用（数学抽象）． 2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程（直观想象）． 如图，取一条拉链，打开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在拉链的拉手M处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢，笔尖所经过的点就画出一条曲线，这条曲线就是双曲线的其中一支． 【问题】　类比椭圆，你认为该情境中的曲线上的点应满足怎样的几何条件？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　双曲线的定义 　如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个正常数，且2a＜|F1F2|，则平面上满足　　　　　　的动点P的轨迹称为双曲线，两个定点F1，F2称为双曲线的　　　　，两个焦点的距离|F1F2|称为双曲线的　　　　． 【想一想】 1.双曲线的定义中，若2a=|F1F2|，则点P的轨迹是什么？2a＞|F1F2|呢？ 2.定义中若常数为0，则点P的轨迹是什么？ 知识点二　双曲线的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准 方程 　　　　　　（a＞0，b＞0） 　　　　　　（a＞0，b＞0） 图形 焦点坐标 　　　　　　　　 　　　　　　　　 a，b，c的关系 c2=　　　　 提醒：巧记双曲线焦点位置与方程的关系：焦点跟着正项走，即若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上． 【想一想】 　双曲线中a，b，c的关系如何？与椭圆中a，b，c的关系有何不同？ 1.判断正误．（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）平面内到两定点的距离的差等于常数（小于两定点间距离）的点的轨迹是双曲线．（　　） （2）平面内到点F1（0，4），F2（0，－4）的距离之差等于8的点的轨迹是双曲线．（　　） （3）双曲线标准方程中，a，b的大小关系是a＞b．（　　） 2.设P是双曲线－=1右支上任意一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，则|PF1|－|PF2|=（　　） A．2　　 B．4 C．8　　 D．16 3.以F1（－，0），F2（，0）为焦点且过点P（2，1）的双曲线的方程是（　　） A．－y2=1　　 B．－y2=1 C．－y2=1　　 D．x2－=1 4.双曲线－y2=1的焦距为　　　　． 题型一　双曲线标准方程的认识 〔多选〕已知方程＋=1表示曲线C，则（　　） A．当1＜t＜4时，曲线C一定是椭圆 B．当t＞4或t＜1时，曲线C一定是双曲线 C．若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则1＜t＜ D．若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则t＞4 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 规律方法 双曲线方程的辨识方法 　　将曲线方程化为标准方程的形式，假如曲线的方程为＋=1，则①当＋=1表示双曲线时，mn＜0；②当mn＜0时，方程＋=1表示双曲线．若则方程表示焦点在x轴上的双曲线；若则方程表示焦点在y轴上的双曲线．　 1.若k∈R，则“k＞2”是“方程－=1表示双曲线”的（　　） A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件 C．充要条件　　 D．既不充分又不必要条件 2.〔多选〕已知方程x2－y2sin 2θ=1，则（　　） A．存在实数θ，使得该方程对应的图形是圆 B．存在实数θ，使得该方程对应的图形是平行于x轴的两条直线 C．存在实数θ，使得该方程对应的图形是焦点在x轴上的双曲线 D．存在实数θ，使得该方程对应的图形是焦点在y轴上的椭圆 题型二　求双曲线的标准方程 （链接教科书第146页例1）根据下列条件，求双曲线的标准方程： （1）a=4且经过点A（1，－）； （2）〔一题多解〕与双曲线－=1有公共焦点，且过点（3，2）； （3）双曲线过两点P（3，），Q（－，5），且焦点在坐标轴上． 尝试解答 规律方法 1.求双曲线标准方程的步骤 （1）定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式； （2）定量：是指确定a2，b2的数值，常由条件列方程组求解． 2.双曲线标准方程的两种求法 （1）定义法：根据双曲线的定义得到相应的a，b，c，再写出双曲线的标准方程； （2）待定系数法：先设出双曲线的标准方程－=1或－=1（a，b均为正数），然后根据条件求出待定的系数代入方程即可．特别地，与－=1共焦点的双曲线方程可设为－=1（－b2＜k＜a2）． 提醒：若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx2＋ny2=1的形式，注意标明条件mn＜0. 1.焦点分别为（－2，0），（2，0），且经过点（2，3）的双曲线的标准方程为（　　） A．x2－=1　　 B．－y2=1 C．y2－=1　　 D．－=1 2.已知双曲线过点P1（－2，）和P2（，4），则双曲线的标准方程为（　　） A．－=1　　 B．－=1 C．－=1　　 D．－=1 题型三　双曲线定义的应用 如图，若F1，F2是双曲线－=1的两个焦点． （1）若双曲线上一点P到它的一个焦点的距离等于16，求点P到另一个焦点的距离； （2）若P是双曲线左支上的点，且|PF1|•|PF2|=32，试求△F1PF2的面积． 尝试解答 【母题探究】 1.（变条件，变设问）若本例中双曲线的标准方程不变，且其上一点P到焦点F1的距离为10.求点P到F2的距离． 2.（变条件）若本例条件“|PF1|•|PF2|=32”改成“|PF1|∶|PF2|=2∶5”其他条件不变，求△F1PF2的面积． 3.（变条件）本例双曲线方程不变，若双曲线上存在一点P使得∠F1PF2=60°，求△F1PF2的面积． 规律方法 　　在解决双曲线中与焦点有关的问题时，要注意定义中的条件||PF1|－|PF2||=2a的应用；与三角形有关的问题要考虑正、余弦定理、勾股定理等．另外在运算中要注意一些变形技巧和整体代换思想的应用． 题型四　双曲线的实际应用 （链接教科书第144页情境与问题）A，B，C是我方三个炮兵阵地，A在B正东6 km，C在B北偏西30°，相距4 km，P为敌炮阵地，某时刻A处发现敌炮阵地的某种信号，由于B，C两地比A距P地远．因此4 s后，B，C才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s，A若炮击P地，求炮击的方向角． 尝试解答 规律方法 　　双曲线在实际生活中有着广泛的应用，解答该类问题的关键是从实际问题中挖掘出所有相关条件，将实际问题转化为求双曲线的标准方程的问题． 　 某工程需要开挖一个横截面为半圆的柱形隧道，挖出的土只能沿道路AP，BP运到P处（如图），|AP|=100 m，|BP|=150 m，∠APB=60°，试说明怎样运土才能最省工． 答案 2.6.1　双曲线的标准方程 【基础落实】 新知初探 知识点一 ||PF1|－|PF2||=2a　焦点　焦距 想一想 1.提示：若2a=|F1F2|，点P的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线；若2a＞|F1F2|，点P的轨迹不存在． 2.提示：此时P的轨迹为线段F1F2的垂直平分线． 知识点二 －=1　－=1　F1（－c，0），F2（c，0）　F1（0，－c），F2（0，c）　a2＋b2 想一想 提示：双曲线标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b2=c2－a2，即c2=a2＋b2，其中c＞a，c＞b，a与b的大小关系不确定；而在椭圆中b2=a2－c2，即a2=b2＋c2，其中a＞b＞0，a＞c，c与b的大小关系不确定． 自我诊断 1.（1）×　（2）×　（3）× 2.C　P是双曲线－=1右支上任意一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，所以|PF1|－|PF2|=2a，又a2=16，a=4，2a=8，所以|PF1|－|PF2|=8.故选C． 3.A　由题意得双曲线焦点在x轴上且c=，设双曲线的标准方程为－=1（a＞0，b＞0），则有a2＋b2=c2=3，－=1，解得a2=2，b2=1，故所求双曲线的标准方程为－y2=1.故选A． 4.2　解析：令双曲线－y2=1的半焦距为c，则有c2=4＋1=5，解得c=，所以双曲线－y2=1的焦距为2． 【典例研析】 【例 1】　BD　对于A，当t= 时，曲线C是圆，故A错误；对于B，当t＞4时，曲线C是焦点在y轴上的双曲线，当t＜1时，曲线C是焦点在x轴上的双曲线，故B正确；对于C，若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则解得1＜t＜ ，故C错误；对于D，若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则解得t＞4，故D正确．故选B、D． 跟踪训练 1.A　方程－=1表示双曲线等价于（k－2）（k＋3）＞0，解得k＞2或k＜－3，所以“k＞2”是“方程－=1表示双曲线”的充分不必要条件． 2.ACD　对A，取θ=－，此时方程为x2＋y2=1，表示的图形为圆，故A正确；对B，y2sin 2θ=x2－1，若要该方程对应的图形是平行于x轴的两条直线，则x2－1必须满足为一个定值，显然不成立，故B错误；对C，取θ=，则方程为x2－y2=1，其对应的图形是焦点在x轴上的双曲线，故C正确；对D，取θ=－，此时方程为x2＋=1，其对应的图形是焦点在y轴上的椭圆，故D正确． 【例 2】　解：（1）当焦点在x轴上时，设所求标准方程为－=1（b＞0），把点A的坐标代入，得b2=－×＜0，不符合题意；当焦点在y轴上时，设所求标准方程为－=1（b＞0），把点A的坐标代入，得b2=9.故所求双曲线的标准方程为－=1. （2）法一　设双曲线的标准方程为－=1（a＞0，b＞0），由题意得c=2． 又双曲线过点（3，2）， ∴－=1，① 又a2＋b2=20，② 由①②得a2=12，b2=8，故双曲线的标准方程为－=1. 法二　设双曲线的方程为－=1（－4＜k＜16），将点（3，2）代入得k=4. 故双曲线的标准方程为－=1. （3）设所求双曲线方程为Ax2＋By2=1（AB＜0）． ∵点（3，），（－，5）在双曲线上， ∴解得 ∴双曲线的标准方程为－=1. 跟踪训练 1.A　∵双曲线的焦点在x轴上，∴设双曲线的标准方程为－=1（a＞0，b＞0）．由题知c=2，∴a2＋b2=4　①．又∵点（2，3）在双曲线上，∴－=1　②．由①②解得a2=1，b2=3，∴所求双曲线的标准方程为x2－=1. 2.B　因为双曲线的焦点位置不确定，所以设双曲线的方程为mx2＋ny2=1（mn＜0）．因为P1（－2，），P2（，4）两点在双曲线上，所以解得于是所求双曲线的标准方程为－=1.故选B． 【例 3】　解：双曲线的标准方程为－=1， 故a=3，b=4，c= =5. （1）由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||=2a=6， 又双曲线上一点P到它的一个焦点的距离等于16， 假设点P到另一个焦点的距离等于x， 则|16－x|=6，解得x=10或x=22. 故点P到另一个焦点的距离为10或22. （2）将||PF2|－|PF1||=2a=6，两边平方得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|•|PF2|=36， ∴|PF1|2＋|PF2|2=36＋2|PF1|•|PF2|=36＋2×32=100. 在△F1PF2中，由余弦定理得cos∠F1PF2= ==0， ∴∠F1PF2=90°， ∴S△F1PF2=|PF1|•|PF2|=×32=16. 母题探究 1.解：由双曲线的标准方程－=1， 得a=3，b=4，c=5. 由双曲线定义得||PF1|－|PF2||=2a=6， ∴|10－|PF2||=6， 解得|PF2|=4或|PF2|=16. 2.解：由|PF1|∶|PF2|=2∶5， |PF2|－|PF1|=6， 可知|PF2|=10，|PF1|=4， ∴△F1PF2是底边长为4，腰长为10的等腰三角形． ∴S△F1PF2=×4×4=8． 3.解：由－=1，得a=3，b=4，c=5. 由定义和余弦定理得|PF1|－|PF2|=±6， |F1F2|2=|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|•|PF2|•cos 60°， 所以102=（|PF1|－|PF2|）2＋|PF1|•|PF2|，　 所以|PF1|•|PF2|=64， 则S△F1PF2=|PF1|•|PF2|•sin∠F1PF2=×64×=16． 【例 4】　解：如图，以直线BA为x轴，线段BA的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则B（－3，0），A（3，0），C（－5，2）．因为|PB|=|PC|，所以点P在线段BC的垂直平分线上．设敌炮阵地的坐标为P（x，y），BC的中点为D．因为kBC=－，D（－4， ），所以直线PD的方程为y－=（x＋4）．① 又|PB|－|PA|=4，所以P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，且方程为－=1（x≥2）．② 联立①②，得x=8，y=5，所以P的坐标为（8，5）． 因此kPA==． 故炮击的方向角为北偏东30°． 跟踪训练 解：如图，以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，设M是分界线上的点，则|MA|＋|AP|=|MB|＋|BP|，即|MA|－|MB|=|BP|－|AP|=150－100=50（m）， 这说明分界线是以A，B为焦点的双曲线的右支，且a=25. 在△APB中，|AB|2=|AP|2＋|BP|2－2|AP|•|BP|•cos 60°=17 500， 从而c2=（）2=4 375，b2=3 750， 故所求分界线的方程为－=1（x≥25）． 即在运土时，将此分界线左侧的土沿道路AP运到P处，右侧的土沿道路BP运到P处最省工． 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $