2.5.2 椭圆的几何性质(Word学生用书)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教B版)

该高中数学导学案聚焦椭圆的几何性质，通过“天宫一号”运行轨迹等生活情境导入，引导学生从椭圆定义及标准方程过渡到几何性质的探究，以问题驱动结合表格梳理范围、顶点、轴长等性质，搭建知识递进支架。 资料特色在于情境与问题融合培养直观想象的数学眼光，典例研析与规律方法指导强化数学运算的思维能力，分层习题与卫星轨道等实际应用提升模型意识的数学语言表达，助力学生构建知识体系，发展核心素养。

2.5.2　椭圆的几何性质 课标 要求 1.掌握椭圆的简单几何性质（直观想象）． 2.通过椭圆与方程的学习，了解椭圆的简单应用，进一步体会数形结合的思想（数学运算）． 　　“天宫一号”的运行轨迹是椭圆形的，椭圆在我们的生活中经常出现． 【问题】　你知道椭圆有什么样的性质吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 　　　　　　　　 　　　　　　　　 范围 　　　　　　　　 　　　　　　　　 顶点 　　　　　　　　 　　　　　　　　 　　　　　　　　 　　　　　　　　 轴长 长轴长=　　　　，短轴长=　　　　 对称性 对称轴 　　　　　，对称中心　　　　 离心率 e=　　　　　　 提醒：椭圆的离心率e的大小反映椭圆的扁平程度，e越大，椭圆越扁；e越小，椭圆越圆． 【想一想】 1.能用a，b表示椭圆离心率e吗？ 2.椭圆上到对称中心距离最近和最远的点各是哪些？ 1.判断正误．（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）椭圆＋=1（a＞b＞0）的长轴长等于a．（　　） （2）椭圆＋=1的离心率e=．（　　） （3）椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是（0，13），另一个顶点是（－10，0），则焦点坐标为（0，±）．（　　） （4）椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为a＋c，最小值为a－c．（　　） 2.椭圆＋=1的长轴长为（　　） A．2 B．4 C．8　　 D．4 3.椭圆x2＋4y2=4的离心率为（　　） A．　　 B． C．　　 D． 4.已知椭圆的焦距为8，离心率为0.8，则椭圆的标准方程为　　　　． 题型一　椭圆的几何性质 角度1　由椭圆方程研究几何性质 设椭圆方程mx2＋4y2=4m（m＞0）的离心率为，试求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标及顶点坐标． 尝试解答 规律方法 用标准方程研究几何性质的步骤 （1）将椭圆方程化为标准形式； （2）确定焦点位置； （3）求出a，b，c； （4）写出椭圆的几何性质． 提醒：长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c，而应是a，b，c的两倍． 1.〔多选〕已知椭圆＋=1与椭圆＋=1有相同的长轴，椭圆＋=1的短轴长与椭圆＋=1的短轴长相等，则（　　） A．a2=25　　 B．b2=25 C．a2=9　　 D．b2=9 2.已知椭圆C：＋=1的长轴长为4，则C的焦距为　　　　． 角度2　椭圆离心率的求法 已知椭圆C：＋=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，短轴的一个端点为B，且△BF1F2是一个等边三角形，则椭圆C的离心率为　　　　． 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【母题探究】 （变条件）〔一题多解〕若本例条件变为“已知椭圆C：＋=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，该椭圆上有一点A满足△AOF2是等边三角形（O为坐标原点）”，则椭圆C的离心率为　　　　． 规律方法 求椭圆离心率及范围的两种方法 （1）直接法：若已知a，c可直接利用e=求解．若已知a，b或b，c可借助于a2=b2＋c2求出c或a，再代入公式e=求解； （2）方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2=b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围． 1.设椭圆C1：＋y2=1（a＞1），C2：＋y2=1的离心率分别为e1，e2，若e2=e1，则a=（　　） A．　　 B． C．　　 D． 2.已知椭圆＋=1的焦点在x轴上，则离心率e的最大值为　　　　． 题型二　利用几何性质求标准方程 （链接教科书第141页练习A2题）求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）长轴长是10，离心率是； （2）在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6. 尝试解答 规律方法 利用椭圆的几何性质求标准方程的思路 　　利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是： （1）确定焦点位置； （2）设出相应椭圆的标准方程（对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程）； （3）根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程（组）求参数．列方程（组）时常用的关系式有b2=a2－c2，e=等． 1.已知椭圆一个焦点（2，0），离心率为，则椭圆的标准方程（　　） A．＋=1　　 B．x2＋=1 C．＋=1　　 D．＋=1 2.已知椭圆方程为＋=1（a＞b＞0），椭圆上的点到左焦点的最大值为5，最小值为1，则椭圆方程是（　　） A．＋=1　　 B．＋=1 C．＋=1　　 D．＋=1 题型三　椭圆的实际应用问题 （链接教科书第140页例4）我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地心（地球的中心）F2为一个焦点的椭圆．已知它的近地点A（离地面最近的点）距地面439 km，远地点B（离地面最远的点）距地面2 384 km，并且F2，A，B在同一直线上，地球半径约为6 371 km，求卫星运行的轨道方程（精确到1 km）． 尝试解答 规律方法 解决椭圆的实际问题的基本步骤 （1）认真审题，理顺题中的各种关系，如等量关系； （2）结合所给图形及题意建立适当的平面直角坐标系； （3）利用椭圆知识及其他相关知识求解． 　嫦娥六号月球探测器于2024年5月3日搭载长征五号遥八运载火箭在中国文昌航天发射场成功发射，8日顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里，已知月球的直径约为3 476公里，对该椭圆有四个结论：①焦距长约为300公里；②长轴长约为3 988公里；③两焦点坐标约为（0，±150）；④离心率约为．则上述结论正确的是（　　） A．①②④　　 B．①③ C．①③④　　 D．②③④ 1.椭圆C：＋y2=1，下列结论不正确的是（　　） A．离心率e=　　 B．长轴长为4 C．焦距为2　　 D．短轴长为1 2.若中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程（　　） A．＋=1　　 B．＋=1 C．＋=1　　 D．＋=1 3.〔多选〕已知椭圆的标准方程为＋=1（m＞0），并且焦距为6，则实数m的值可能是（　　） A．4　　 B． C．6　　 D． 4.若椭圆＋=1的离心率为，则实数k的值为　　　　． 完成课后作业　第二章　2.5　2.5.2 答案 2.5.2　椭圆的几何性质 【基础落实】 新知初探 知识点 ＋=1（a＞b＞0）　＋=1（a＞b＞0）　－a≤x≤a且－b≤y≤b　－b≤x≤b且－a≤y≤a　A1（－a，0），A2（a，0），B1（0，－b），B2（0，b）　A1（0，－a），A2（0，a），B1（－b，0），B2（b，0）　2a　2b　x轴和y轴　（0，0）　（0＜e＜1） 想一想 1.提示：能，e=． 2.提示：短轴端点B1和B2到中心O的距离最近；长轴端点A1和A2到中心O的距离最远． 自我诊断 1.（1）×　（2）×　（3）√　（4）√ 2.C　由＋=1，可得a=4，所以长轴长为2a=8.故选C． 3.D　∵x2＋4y2=4⇒＋y2=1，∴a2=4，b2=1.∴c2=a2－b2=3，e==．故选D． 4.＋=1或＋=1　解析：设椭圆的方程为＋=1或＋=1（a＞b＞0），由题意可得解得若椭圆的焦点在x轴上，可得椭圆的标准方程为＋=1，若椭圆的焦点在y轴上，可得椭圆的标准方程为＋=1. 【典例研析】 【例 1】　解：椭圆方程可化为＋=1（m＞0）． ①当0＜m＜4时，a=2，b=，c=， ∴e===， ∴m=3，∴b=，c=1， ∴椭圆的长轴长和短轴长分别是4，2，焦点坐标为F1（－1，0），F2（1，0），顶点坐标为A1（－2，0），A2（2，0），B1（0，－），B2（0，）． ②当m＞4时，a=，b=2，∴c=， ∴e===，解得m=，∴a=，c=， ∴椭圆的长轴长和短轴长分别为，4，焦点坐标为F1（0，－），F2（0，），顶点坐标为A1（0，－），A2（0，），B1（－2，0），B2（2，0）． 跟踪训练 1.AD　因为椭圆＋=1的长轴长为10，且椭圆＋=1的短轴长为6，所以椭圆＋=1中，a=5，b=3，即a2=25，b2=9.故选A、D． 2.2　解析：因为椭圆C：＋=1的长轴长为4，所以2=4，解得m=4，所以c2=4－3=1，即c=1，故C的焦距为2c=2. 【例 2】　　解析：因为|BF1|=|BF2|=a，|F1F2|=2c，由题意知a=2c，所以e==． 母题探究 －1　解析：法一　由题意知F2（c，0），又△AOF2是等边三角形，所以A（，c），代入椭圆方程得＋=1　①，又a2=b2＋c2　②，联立①②得c2=（4－2）a2，即c=（－1）a，则椭圆C的离心率e==－1. 法二　连接AF1，则∠AF1O=∠OAF1=，所以∠F1AF2=，所以|AF1|=|AF2|=c，又|AF1|＋|AF2|=2a，即c＋c=2a，所以e===－1. 跟踪训练 1.A　由题意知e1=，e2==，因为e2=e1，所以=×，得a=．故选A． 2.　解析：由题意得5a＞4a2＋1，∴＜a＜1，∴椭圆的离心率e==≤=（当且仅当4a=，即a=时取等号），∴椭圆的离心率的最大值为． 【例 3】　解：（1）设椭圆的方程为 ＋=1（a＞b＞0）或＋=1（a＞b＞0）． 由已知得2a=10，a=5. 又∵e==，∴c=4. ∴b2=a2－c2=25－16=9. ∴椭圆方程为＋=1或＋=1. （2）依题意可设椭圆方程为＋=1（a＞b＞0）． 如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线（高），且|OF|=c，|A1A2|=2b， 则c=b=3，a2=b2＋c2=18， 故所求椭圆的方程为＋=1. 跟踪训练 1.D　因为椭圆一个焦点（2，0），所以椭圆的焦点在横轴上，且c=2，又因为该椭圆的离心率为，所以有=⇒a=4，所以b2=a2－c2=16－4=12，因此椭圆的方程为＋=1，故选D． 2.A　设椭圆焦距为2c，由题意得解得则b==，所以椭圆方程为＋=1. 【例 4】　解：如图，建立直角坐标系，使点A，B，F2在x轴上，F2为椭圆右焦点（记F1为左焦点）， 设椭圆的标准方程为＋=1（a＞b＞0）， 则a－c=|OA|－|OF2|=|F2A|=6 371＋439=6 810， a＋c=|OB|＋|OF2|=|F2B|=6 371＋2 384=8 755， ∴a=7 782.5≈7 783. ∴b= ==≈7 721， ∴卫星运行的轨道方程是＋=1. 跟踪训练 C　依题意⇒⇒2c=300，①正确；2a=3 976，②错误；焦点坐标为（0，±150），③正确；离心率e===，④正确．所以正确的为①③④．故选C． 随堂检测 1.D　因为椭圆C：＋y2=1，所以a=2，b=1，c=，因此离心率e=，故A正确；长轴长为2a=4，故B正确；短轴长为2b=2，故D错误；焦距为2c=2，故C正确．故选D． 2.A　由已知得a=9，2c=×2a，∴c=a=3，b2=a2－c2=72.又焦点在x轴上，∴椭圆方程为＋=1. 3.AB　∵2c=6，∴c=3.当椭圆的焦点在x轴上时，由椭圆的标准方程知a2=25，b2=m2.由a2=b2＋c2，得25=m2＋9，∴m2=16，又m＞0，故m=4；当椭圆的焦点在y轴上时，由椭圆的标准方程知a2=m2，b2=25.由a2=b2＋c2，得m2=25＋9=34，又m＞0，故m=．综上可知，实数m的值为4或． 4.－或10　解析：当椭圆的焦点在x轴上时，则a=，c==，所以离心率e===，解得k=10；当椭圆的焦点在y轴上时，则a=3，c==，所以离心率e===，解得k=－．综上可得实数k的值为－或10. 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $