2.5.1 椭圆的标准方程(Word学生用书)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教B版)

该高中数学导学案聚焦椭圆的标准方程，引导学生了解椭圆的实际背景，经历从具体情境抽象椭圆定义的过程，掌握椭圆定义及标准方程。通过日常生活中的椭圆现象导入，联系圆的定义提出问题，搭建从圆到椭圆的认知支架，帮助学生建立知识脉络。 资料注重数学抽象与直观想象，通过情境导入、定义辨析（如2a与|F1F2|关系讨论）、一题多解等设计，助力学生理解概念本质。典例研析覆盖求方程、定义应用、轨迹问题，规律方法总结提升逻辑推理能力，自我诊断和随堂检测便于自主学习与教学评估，培养学生用数学眼光观察、用数学思维思考的核心素养。

2.5.1　椭圆的标准方程 课标 要求 1.了解椭圆的实际背景（数学抽象）． 2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义及标准方程（直观想象）． 　　在日常生活与学习中，可以见到很多有关椭圆的现象，如图1图2所示．我们还知道，圆是平面内到圆心的距离等于半径的点的集合，圆上的点的特征是：任意一点到圆心的距离都等于半径． 【问题】　（1）你能说说到底什么是椭圆吗？ （2）椭圆上任意一点的特征是什么？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　椭圆的定义 　如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个常数，且2a＞|F1F2|，则平面内满足　　　　　　的动点P的轨迹称为椭圆，其中，两个定点F1，F2称为椭圆的焦点，两个焦点之间的距离|F1F2|称为椭圆的焦距． 【想一想】 　椭圆定义中，将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？ 知识点二　椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 　　　　　　 　　　　　　　 图形 焦点坐标 　　　　　　 　　　　　　 a，b，c的关系 c2=　　　　　　 【想一想】 1.确定椭圆的标准方程需要知道哪些量？ 2.根据椭圆方程，如何确定焦点位置？ 1.判断正误．（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）已知点F1（－1，0），F2（1，0），动点P满足|PF1|＋|PF2|=4，则点P的轨迹是椭圆．（　　） （2）已知点F1（－1，0），F2（1，0），动点P满足|PF1|＋|PF2|=2，则点P的轨迹是椭圆．　（　　） （3）椭圆的两种标准方程中，虽然焦点位置不同，但都有a2=b2＋c2.（　　） （4）方程＋=1（a＞0，b＞0）表示的曲线是椭圆．　（　　） 2.焦点坐标为（0，3），（0，－3），椭圆上一点到两焦点的距离之和为10，则椭圆的标准方程为（　　） A．＋=1　　 B．＋=1 C．＋=1　　 D．＋=1 3.椭圆＋=1的焦距为（　　） A．2　 　 B．2　　 C．4　 　 D．8 4.已知P为椭圆C：＋y2=1上一点，点F1，F2为其左右焦点，|PF1|=3|PF2|，则|PF1|=　　　　． 题型一　求椭圆的标准方程 （链接教科书第132页例1）〔一题多解〕求满足下列条件的椭圆的标准方程： （1）两个焦点的坐标分别为F1（0，－2），F2（0，2），且椭圆经过点（4，3）； （2）经过点A（，－2）和点B（－2，1）． 尝试解答 规律方法 确定椭圆的方程包括“定位”和“定量”两个方面 （1）“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，即焦点的位置由x2，y2项系数分母的大小决定，焦点在系数分母大的项对应的坐标轴上； （2）“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解． 提醒：在求椭圆的标准方程时，若焦点的位置不确定，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n），不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值即可． 1.已知椭圆的两个焦点的坐标分别是（－3，0）和（3，0），且椭圆经过点（4，0），则该椭圆的标准方程是（　　） A．＋=1　　 B．＋=1 C．＋=1　　 D．＋=1 2.〔一题多解〕过点（，－），且与椭圆＋=1有相同焦点的椭圆的标准方程为　　 　． 题型二　椭圆的定义及其应用 （1）（链接教科书第135页练习B2题）椭圆＋=1的两焦点为F1，F2，一直线过F1交椭圆于A，B两点，则△ABF2的周长为　　　　； （2）椭圆＋=1的两焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|=6，则∠F1PF2的大小为　　　　． 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 规律方法 椭圆定义的应用技巧 （1）椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|＋|MF2|=2a（2a＞|F1F2|），则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a； （2）涉及焦点三角形面积时，可把|PF1|•|PF2|看作一个整体，运用|PF1|2＋|PF2|2=（|PF1|＋|PF2|）2－2|PF1|•|PF2|及余弦定理求出|PF1|•|PF2|，而无需单独求解． 1.设F1，F2为椭圆C：＋y2=1的两个焦点，点P在C上，若•=0，则|PF1|•|PF2|=（　　） A．1　　 B．2 C．4　　 D．5 2.设F1，F2是椭圆＋=1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|=4∶3，则△PF1F2的面积为（　　） A．2　　 B．4 C．4　　 D．6 题型三　与椭圆有关的轨迹问题 （1）已知P是椭圆＋=1上一动点，O为坐标原点，求线段OP的中点Q的轨迹方程； （2）一个动圆与圆Q1：（x＋3）2＋y2=1外切，与圆Q2：（x－3）2＋y2=81内切，试求这个动圆圆心的轨迹方程． 尝试解答 规律方法 求动点轨迹方程的方法 （1）定义法：若动点的轨迹特点符合某一基本轨迹（如椭圆、圆等）的定义，则可用定义法求解； （2）直接法：将动点满足的几何条件或者等量关系直接坐标化，列出等式后化简，得出动点的轨迹方程； （3）相关点法：根据相关点所满足的方程，通过转换求出动点的轨迹方程． 　已知B，C是两个定点，顶点A为动点，|BC|=6，且△ABC的周长为16，求顶点A的轨迹方程． 1.到两定点F1（－2，0）和F2（2，0）的距离之和为4的点的轨迹是（　　） A．椭圆　　 B．线段 C．圆　　 D．以上都不对 2.已知方程＋=1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是（　　） A．（0，2）　　 B．（2，＋∞） C．（0，1）　　 D．（0，1）⋃（1，2） 3.已知椭圆C：＋=1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1作直线l交椭圆C于M，N两点，则△F2MN的周长为（　　） A．3　　 B．4 C．6　　 D．8 4.已知椭圆中，c∶a=5∶13，且椭圆上一点到两焦点的距离之和为26.则椭圆的标准方程为　　　　． 完成课后作业　第二章　2.5　2.5.1 答案 2.5.1　椭圆的标准方程 【基础落实】 新知初探 知识点一 |PF1|＋|PF2|=2a 想一想 提示：2a与|F1F2|的大小关系所确定的点的轨迹如下表： 条件 结论 2a＞|F1F2| 动点的轨迹是椭圆 2a=|F1F2| 动点的轨迹是线段F1F2 2a＜|F1F2| 动点不存在，因此轨迹不存在 知识点二 ＋=1（a＞b＞0）　＋=1（a＞b＞0）　F1（－c，0），F2（c，0）　F1（0，－c），F2（0，c）　a2－b2 想一想 1.提示：a，b的值及焦点所在的位置． 2.提示：把方程化为标准形式，x2，y2的分母哪个大，焦点就在相应的坐标轴上． 自我诊断 1.（1）√　（2）×　（3）√　（4）× 2.D　由题意a=5，c=3，且焦点在y轴上，∴b==4，∴椭圆的标准方程为＋=1.故选D． 3.C　由题意得a2=10，b2=2，所以c2=a2－b2=10－2=8，所以c=2，焦距为2c=4．故选C． 4.3　解析：由题意可得|PF1|＋|PF2|=4，又因为|PF1|=3|PF2|，所以4|PF2|=4，则|PF2|=1，所以|PF1|=3. 【典例研析】 【例 1】　解：（1）因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为＋=1（a＞b＞0）． 法一　由椭圆的定义知2a=＋=6＋＋6－=12，解得a=6.又c=2，所以b==4． 所以椭圆的标准方程为＋=1. 法二　因为所求椭圆过点（4，3），代入方程得＋=1.又c2=a2－b2=4， 联立解得所以椭圆的标准方程为＋=1. （2）法一　①当椭圆的焦点在x轴上时，设它的标准方程为＋=1（a＞b＞0）． 依题意有解得故所求椭圆的标准方程为＋=1. ②当椭圆的焦点在y轴上时，设它的标准方程为＋=1（a＞b＞0）． 依题意有解得不满足a＞b＞0，故方程不存在． 综上所述，所求椭圆的标准方程为＋=1. 法二　设所求椭圆的标准方程为mx2＋ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n）， 依题意有解得故所求椭圆的标准方程为＋=1. 跟踪训练 1.A　因为焦点坐标为（－3，0）和（3，0），焦点在x轴，所以c=3，椭圆经过点（4，0），所以a=4，又b2＋c2=a2， 所以b=．故选A． 2.＋=1　解析：法一（定义法）　椭圆＋=1的焦点为（0，－4），（0，4），即c=4.由椭圆的定义知，2a=＋，解得a=2．由c2=a2－b2可得b2=4，∴所求椭圆的标准方程为＋=1. 法二（待定系数法）　∵所求椭圆与椭圆＋=1的焦点相同，∴其焦点在y轴上，且c2=25－9=16.设它的标准方程为＋=1（a＞b＞0）．∵c2=16，且c2=a2－b2，故a2－b2=16　①．又点（，－）在所求椭圆上，∴＋=1，则＋=1　②．由①②得b2=4，a2=20，∴所求椭圆的标准方程为＋=1. 【例 2】　（1）20　（2）60°　解析：（1）A，B都在椭圆上，由椭圆的定义知|AF1|＋|AF2|=2a，|BF1|＋|BF2|=2a．又∵|AB|=|AF1|＋|BF1|，∴△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|=|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|=4a．故△ABF2的周长为4×5=20. （2）由＋=1，知a=4，b=3，c=，∴|PF2|=2a－|PF1|=2，|F1F2|=2c=2，∴cos∠F1PF2==，∴∠F1PF2=60°． 跟踪训练 1.B　因为•=0，所以PF1⊥PF2，所以|PF1|2＋|PF2|2=|F1F2|2=（2c）2=16.因为|PF1|＋|PF2|=2a=2，所以（|PF1|＋|PF2|）2=20，即|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|•|PF2|=20，所以|PF1|•|PF2|=2，故选B． 2.D　易知a2=，b2=6，所以c2=a2－b2=，a=，即c=，由椭圆的定义，知|PF1|＋|PF2|=2a=7，又因为|PF1|∶|PF2|=4∶3，所以|PF1|=4，|PF2|=3，又|F1F2|=2c=5，所以△PF1F2为直角三角形，所以S△PF1F2=×3×4=6.故选D． 【例 3】　解：（1）设Q（x，y），P（x0，y0），由点Q是线段OP的中点知x0=2x，y0=2y，又＋=1. 所以＋=1，即x2＋=1. （2）由已知，得两定圆的圆心和半径分别为Q1（－3，0），R1=1；Q2（3，0），R2=9. 设动圆圆心为M（x，y），半径为R，如图． 由题设有|MQ1|=1＋R，|MQ2|=9－R， 所以|MQ1|＋|MQ2|=10＞|Q1Q2|=6. 由椭圆的定义，知点M在以Q1，Q2为焦点的椭圆上，且a=5，c=3. 所以b2=a2－c2=25－9=16， 故动圆圆心的轨迹方程为＋=1. 跟踪训练 解：如图所示，以线段BC所在直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，设A（x，y），由题意知： B（－3，0），C（3，0），|AB|＋|AC|＋|BC|=16. 又|BC|=6，∴|AB|＋|AC|=10. ∵|AB|＋|AC|＞|BC|， ∴点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆． 易知a=5，c=3，则b=4， 又A，B，C构成三角形， ∴点A，B，C不共线，∴x≠±5. ∴点A的轨迹方程为＋=1（x≠±5）． 随堂检测 1.B　|MF1|＋|MF2|=|F1F2|=4，∴点M的轨迹为线段F1F2.故选B． 2.C　由题意可得解得0＜m＜1.故选C． 3.D　由题意，椭圆C：＋=1，可得a2=4，即a=2，如图所示，根据椭圆的定义，可得△F2MN的周长为|MN|＋|MF2|＋|NF2|=|MF1|＋|MF2|＋|NF1|＋|NF2|=2a＋2a=4a=8.故选D． 4. ＋ =1或 ＋ =1　 解析：由题意知，2a=26，即a=13，又c∶a=5∶13，所以c=5，所以b2=a2－c2=132－52=144，因为焦点所在的坐标轴不确定，所以椭圆的标准方程为 ＋ =1或 ＋ =1. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $