2.4 曲线与方程(Word学生用书)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教B版)

该高中数学导学案聚焦“曲线与方程”，核心知识点为曲线与方程的对应关系及“曲线的方程”“方程的曲线”概念。课堂通过笛卡尔爱心函数故事导入，结合已学曲线实例，以填空、“想一想”为支架，引导学生理解定义及求曲线方程步骤，衔接前后知识。 资料亮点突出，情境导入激发兴趣，培养数学眼光；典例研析分题型教学，涵盖直接法、代入法等，训练数学思维；自我诊断与跟踪训练强化理解，注重纯粹性和完备性，帮助学生用数学语言表达关系，提升应用意识与逻辑推理能力。

2.4　曲线与方程 课标 要求 1.结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系（数学抽象）． 2.通过具体实例理解“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念（直观想象）． 　　笛卡尔被誉为“近代科学的始祖”“近代哲学之父”，是17世纪的欧洲哲学界和科学界最有影响的巨匠之一，他在哲学、数学、物理学、天文学、心理学、神学等方面都有研究且成就颇高．其中有一个很有名的故事，笛卡尔给他的恋人写的一封信内容只有短短的一个公式：r=a（1－sin θ）．你知道这是何意？其实这就是笛卡尔的爱心函数，图形是心形线（如图所示），是一个圆上的固定一点在它绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周滚动时所形成的轨迹，因其形状像心形而得名． 【问题】　你能举例说出一条曲线和它对应的方程有怎样的关系吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　曲线与方程 1.曲线的方程、方程的曲线 在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程F（x，y）=0之间具有如下关系： （1）曲线C上的　　　　　　都是方程F（x，y）=0的解； （2）以方程F（x，y）=0的解为　　　　　都在曲线C上． 则称曲线C为方程F（x，y）=0的曲线，方程F（x，y）=0为曲线C的方程． 【想一想】 1.如果曲线与方程仅满足“以方程F（x，y）=0的解为坐标的点都在曲线C上”，会出现什么情况？举例说明． 2.如果曲线C的方程是F（x，y）=0，那么点P（x0，y0）在曲线C上的充要条件是什么？ 2.求曲线的方程的步骤 【想一想】 1.从集合角度怎样理解曲线与方程的关系？ 2.怎样判断曲线F（x，y）=0与G（x，y）=0是否有交点？ 1.判断正误．（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）若以方程F（x，y）=0的解为坐标的点都在曲线上，则方程F（x，y）=0，即为曲线C的方程．（　　） （2）方程x＋y－2=0是以A（2，0），B（0，2）为端点的线段的方程．（　　） （3）在求曲线方程时，对于同一条曲线，坐标系的建立不同，所得的曲线方程也不一样．（　　） （4）求轨迹方程就是求轨迹．（　　） 2.方程（3x－y＋1）（y－）=0表示的曲线为（　　） A．两条线段　　　 B．一条线段和半个圆 C．一条直线和半个圆　　 D．一条射线和半个圆 3.平面直角坐标平面内到两坐标轴距离之差等于1的点的轨迹方程是（　　） A．|x|－|y|=1　　 B．|x－y|=1 C．||x|－|y||=1　　 D．|x±y|=1 4.曲线x2＋y2＋2x=0与曲线y＋|x|=0的交点个数是　　　　． 题型一　曲线与方程关系的应用 （链接教科书第124页例1）分析下列曲线上的点与相应方程的关系： （1）过点A（2，0）平行于y轴的直线与方程|x|=2之间的关系； （2）与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy=5之间的关系； （3）第二、四象限两轴夹角平分线上的点与方程x＋y=0之间的关系． 尝试解答 规律方法 判定曲线和方程的对应关系的策略 （1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多”，称为纯粹性； （2）以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为完备性． 提醒：只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程． 1.方程x2＋y2=1（xy＜0）表示的曲线是（　　） 2.已知条件甲：曲线C是方程f（x，y）=0的曲线，条件乙：曲线C上的点的坐标都是方程f（x，y）=0的解，则甲是乙的（　　） A．充分不必要条件　 B．必要不充分条件 C．充要条件　　 D．既不充分也不必要条件 题型二　由方程研究曲线的性质 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：x2＋y2=1＋|x|y就是其中之一（如图）．给出下列三个结论： ①曲线C上任意一点到原点的距离都不超过； ②曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3； ③曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）． 其中，所有正确结论的序号是（　　） A．①②　　 B．①③ C．②③　　 D．①②③ 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 规律方法 讨论曲线的几何性质一般包括以下几个方面 （1）研究曲线的组成和范围，即看一下所求的曲线是由哪些基本的曲线组成的，在某些情况下可以根据方程求得方程所表示曲线的大致范围； （2）研究曲线与坐标轴是否相交，如果相交，求出交点的坐标，因为曲线与坐标轴的交点是确定曲线位置的关键点； （3）研究曲线的对称性（关于x轴、y轴、原点）； （4）研究曲线的变化趋势，即y随x的增大或减小的变化情况； （5）根据方程画出曲线的大致形状，在画曲线时，可充分利用曲线的对称性，通过列表、描点的方法先画出曲线在一个象限的图象，然后根据对称性画出整条曲线． 　〔多选〕如图A（2，0），B（1，1），C（－1，1），D（－2，0），是以OD为直径的圆上一段圆弧，是以BC为直径的圆上一段圆弧，是以OA为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线W．则下述正确的是（　　） A．曲线W与x轴围成的面积等于2π B．曲线W上有5个整点（横纵坐标均为整数的点） C．所在圆的方程为x2＋（y－1）2=1 D．与的公切线方程为x＋y=＋1 题型三　求曲线方程 角度1　直接法求曲线方程 （链接教科书第127页例4）已知平面上两定点A，B，|AB|=2a，平面上一动点M到A，B的距离之比为2∶1，求动点M的轨迹方程． 尝试解答 规律方法 直接法求轨迹方程的2种常见类型及解题策略 　　直接法求轨迹方程，就是设出动点的坐标（x，y），然后根据题目中的等量关系列出x，y之间的关系并化简．主要有以下两类常见题型： （1）题目给出等量关系，求轨迹方程，可直接代入即可得出方程； （2）题中未明确给出等量关系，求轨迹方程．可利用已知条件寻找等量关系，得出方程． 提醒：求出曲线的方程后要注意验证方程的纯粹性和完备性． 　如图，线段AB与CD互相垂直平分于点O，|AB|=2a（a＞0），|CD|=2b（b＞0），动点P满足|PA|•|PB|=|PC|•|PD|，求动点P的轨迹方程． 角度2　代入法求曲线方程 已知动点M在曲线x2＋y2=1上移动，M和定点B（3，0）连线的中点为P，求P点的轨迹方程． 尝试解答 【母题探究】 1.（变条件）本例中把条件“M和定点B（3，0）连线的中点为P”改为“=2”，求P点的轨迹方程． 2.（变条件）本例中把条件“M和定点B（3，0）连线的中点为P”改为“一动点P和定点B（3，0）连线的中点为M”，试求动点P的轨迹方程． 规律方法 代入法求解曲线方程的步骤 （1）设动点P（x，y），相关动点M（x0，y0）； （2）利用条件求出两动点坐标之间的关系 （3）代入相关动点的轨迹方程； （4）化简、整理，得所求轨迹方程． 其步骤可总结为：“一设、二找、三代、四整理”． 1.下列四个图形中，图形下面的方程是图形中曲线的方程的是（　　） 2.关于方程x2＋xy＋2y2=4所表示的曲线，下列说法正确的是（　　） A．关于x轴对称　 B．关于y轴对称 C．关于y=x对称　　 D．关于原点中心对称 3.方程＋（y＋2）2=0表示的图形是（　　） A．圆　　 B．两条直线 C．一个点　 D．两个点 4.平面上有互不重合的三点A（－2，y），B（0，），C（x，y），若⊥，则动点C的轨迹方程为　　　　． 完成课后作业　第二章　2.4 答案 2.4　曲线与方程 【基础落实】 新知初探 知识点 1.（1）点的坐标　（2）坐标的点 想一想 1.提示：如果曲线与方程仅满足“以方程F（x，y）=0的解为坐标的点都在曲线C上”，有可能扩大曲线的边界．如方程y=表示的曲线是半圆，而非整圆． 2.提示：若点P在曲线C上，则F（x0，y0）=0；若F（x0，y0）=0，则点P在曲线C上，所以点P（x0，y0）在曲线C上的充要条件是F（x0，y0）=0. 2.有序实数对（x，y）　P={M|P（M）}　条件P（M）　F（x，y）=0　方程F（x，y）=0 想一想 1.提示：设A是曲线C上的所有点组成的点集，B是所有以方程F（x，y）=0的实数解为坐标的点组成的点集，那么集合A与集合B具有一一对应关系．即A中任一元素在B中都有唯一一个元素与之对应，并且B中任一元素在A中都有唯一一个元素与之对应． 2.提示：转化为方程组是否有实数解． 自我诊断 1.（1）×　（2）×　（3）√　（4）× 2.B　由1－x2≥0，解得－1≤x≤1.因为（3x－y＋1）（y－）=0，所以3x－y＋1=0或y=．故3x－y＋1=0表示一条线段．因为y=，所以x2＋y2=1，y≥0，即y=表示以原点为圆心的半个圆．故选B． 3.C　设点的坐标为（x，y），由题意可知，平面直角坐标平面内到两坐标轴距离之差等于1的点的轨迹方程是||x|－|y||=1，故选C． 4.2　解析：由可得x2＋x=0，所以或所以交点个数是2. 【典例研析】 【例 1】　解：（1）过点A（2，0）平行于y轴的直线上的点的坐标都是方程|x|=2的解；但以方程|x|=2的解为坐标的点不一定都在过点A（2，0）且平行于y轴的直线上．因此，|x|=2不是过点A（2，0）平行于y轴的直线的方程． （2）与两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy=5；但以方程xy=5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5.因此，与两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy=5. （3）第二、四象限两轴夹角平分线上的点的坐标都满足x＋y=0；反之，以方程x＋y=0的解为坐标的点都在第二、四象限两轴夹角的平分线上．因此，第二、四象限两轴夹角平分线上的点的轨迹方程是x＋y=0. 跟踪训练 1.D　因为x2＋y2=1表示圆心在原点，半径为1的圆，又xy＜0，说明图象在二、四象限，故选D． 2.A　因为若曲线是方程f（x，y）=0的曲线，则曲线上的点的坐标都是方程f（x，y）=0的根；但若曲线上的点的坐标都是方程f（x，y）=0的根，曲线不一定是方程f（x，y）=0的曲线．故甲是乙的充分不必要条件．故选A． 【例 2】　B　因为x2＋y2=1＋|x|y≤1＋|xy|≤1＋，所以x2＋y2≤2，故曲线C上任意一点到原点的距离都不超过，①正确；当x=0时，y=±1，当x=±1时，y=0或1，故曲线过（0，1），（0，－1），（1，0），（1，1），（－1，0），（－1，1）6个整数点，③正确；当把曲线的6个整数点连接后，可求出矩形加三角形的面积和为3，显然曲线面积大于3，故②错误． 跟踪训练 BCD　如图所示，连接BC，过点C作CK⊥x轴于K，BL⊥x轴于L并取点E（0，2）．则面积S=π＋2，故A错误；曲线W上有A，B，C，D，E 5个整点，故B正确；所在圆的圆心为（0，1），半径为1，故圆的方程为x2＋（y－1）2=1，C正确；设与的公切线方程为y=kx＋b，根据图象知k＜0，则=1，=1，解得k=－1，b=＋1，即x＋y=＋1，D正确；故选B、C、D． 【例 3】　解：以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系（图略）．设A（a，0），则B（－a，0），设M（x，y）为所求轨迹上任意一点，那么点M属于集合P={M||MA|∶|MB|=2∶1}． 由距离公式，得点M适合的条件可表示为∶=2∶1， 两边平方化简，得3x2＋3y2＋10ax＋3a2=0，即为动点M的轨迹方程． 跟踪训练 解：以O为坐标原点，直线AB，CD分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系（图略），则A（－a，0），B（a，0），C（0，－b），D（0，b），设P（x，y）是曲线上的任意一点， 由题意知，|PA|•|PB|=|PC|•|PD|， 即•=•， 化简得x2－y2=．故动点P的轨迹方程为x2－y2=． 【例 4】　解：设P（x，y），M（x0，y0）， ∵P为MB的中点． ∴即 又∵M在曲线x2＋y2=1上， ∴（2x－3）2＋4y2=1， ∴P点的轨迹方程为（2x－3）2＋4y2=1. 母题探究 1.解：设P（x，y），M（x0，y0）， 则=（x－x0，y－y0），=（3－x，－y）， 由=2得 即又∵M在曲线x2＋y2=1上， ∴（3x－6）2＋9y2=1， ∴点P的轨迹方程为（3x－6）2＋9y2=1. 2.解：设P（x，y），M（x0，y0），∵M为PB的中点． ∴又∵M在曲线x2＋y2=1上， ∴（）2＋（）2=1，即（x＋3）2＋y2=4， ∴P点轨迹方程为（x＋3）2＋y2=4. 随堂检测 1.D　对于A，点（0，－1）满足方程，但不在曲线上，排除A；对于B，点（1，－1）满足方程，但不在曲线上，排除B；对于C，曲线上第三象限的点，由于x＜0，y＜0，不满足方程，排除C，故选D． 2.D　对于A，用－y替换方程中的y，得x2－xy＋2y2=4，方程发生变化，即曲线关于x轴不对称，A错误；对于B，用－x替换方程中的x，得x2－xy＋2y2=4，方程发生变化，即曲线关于y轴不对称，B错误；对于C，用x替换y，y替换x，得2x2＋xy＋y2=4，方程发生变化，即曲线关于y=x不对称，C错误；对于D，将点（－x，－y）代入原方程仍为x2＋xy＋2y2=4，因此曲线关于原点中心对称，D正确． 3.C　由已知得即所以方程表示点（2，－2）．故选C． 4.y2=8x（x≠0）　解析：=（2，－），=（x，），由⊥，得2x－ =0，即y2=8x（x≠0）． 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $