2.3.1 圆的标准方程(Word学生用书)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教B版)

该高中数学导学案聚焦圆的标准方程及点与圆的位置关系，以“南昌之星”摩天轮为情境导入，通过问题引导学生从几何要素（圆心、半径）过渡到代数方程，设置填空式知识点和自我诊断题作为学习支架，衔接前后知识。 资料特色在于情境化与实践性结合，通过摩天轮、拱桥等现实问题培养学生数学眼光，一题多解发展数学思维，实际应用题型提升数学语言表达能力，分层习题设计助力学生自主学习，夯实数学运算与直观想象核心素养。

2.3.1　圆的标准方程 课标 要求 　　回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程（直观想象、数学运算）．　 　　“南昌之星”摩天轮是目前世界上第二高的摩天轮，它位于江西省南昌市红谷滩新区红角洲赣江边上的赣江市民公园，是南昌市标志性建筑．该摩天轮总高度为160米，转盘直径为153米，比位于英国泰晤士河边的135米高的“伦敦之眼”摩天轮还要高． 【问题】　（1）游客在摩天轮转动过程中离摩天轮中心的距离一样吗？ （2）若以摩天轮中心所在位置为原点，建立平面直角坐标系，游客在任一点（x，y）的坐标满足什么关系？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　圆的标准方程 1.圆的定义：平面内到　　　　的距离等于　　　　的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径． 2.确定圆的要素是　　　　和　　　　，如图所示． 3.圆的标准方程：圆心为A（a，b），半径长为r的圆的标准方程是　　　　　　． 当a=b=0时，方程为x2＋y2=r2，表示以　　　　为圆心、半径为r的圆． 提醒：（1）圆的标准方程体现了圆的集合性质，突出了圆的几何意义：圆心位置和半径；（2）当圆心在坐标原点时，圆的方程为x2＋y2=r2. 知识点二　点与圆的位置关系 点M（x0，y0）与圆C：（x－a）2＋（y－b）2=r2的位置关系及判断方法： 位置关系 利用距离判断 利用方程判断 点M在圆上 |CM|=r （x0－a）2＋（y0－b）2=r2 点M在圆外 |CM|＞r （x0－a）2＋（y0－b）2＞r2 点M在圆内 |CM|＜r （x0－a）2＋（y0－b）2＜r2 1.判断正误．（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）方程（x－a）2＋（y－b）2=m2一定表示圆．　（　　） （2）确定一个圆的几何要素是圆心和半径．（　　） （3）圆（x＋1）2＋（y＋2）2=4的圆心坐标是（1，2），半径是4.（　　） 2.点（1，1）在圆（x－a）2＋（y＋a）2=4的内部，则a的取值范围是（　　） A．－1＜a＜1 B．a＜－1 C．a＜－1或a＞1　　 D．a＞1 3.已知圆的方程：（x－2）2＋（y＋8）2=9，则圆心坐标　　　　，半径为　　　　． 4.经过原点，圆心在x轴的负半轴上，半径为2的圆的方程是　　　　　　　　． 题型一　求圆的标准方程 （链接教科书第104页例1）（1）求圆心为点C（－2，1），且过点A（2，－2）的圆的方程； （2）〔一题多解〕求经过点P（1，1）和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1=0上的圆的方程． 尝试解答 规律方法 求圆的标准方程的方法 　　确定圆的标准方程就是设法确定圆心C（a，b）及半径r，其求解的方法：一是待定系数法，建立关于a，b，r的方程组，进而求得圆的方程；二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径，一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几何性质作转化较为简捷．三是已知圆的直径的两端点A（x1，y1），B（x2，y2），直接写出圆的方程为（x－x1）（x－x2）＋（y－y1）（y－y2）=0，再化简成标准方程． 1.〔一题多解〕已知点A（1，－1），B（－1，1），则以线段AB为直径的圆的方程是（　　） A．x2＋y2=2　　 B．x2＋y2= C．x2＋y2=1　　 D．x2＋y2=4 2.若直线2x＋y－1=0是圆x2＋（y＋a）2=1的一条对称轴，则圆心坐标为　　　　． 题型二　点与圆的位置关系 （链接教科书第106页练习A3题）已知圆N的标准方程为（x－5）2＋（y－6）2=a2（a＞0）． （1）若点M（6，9）在圆上，求a的值； （2）已知点P（3，3）和点Q（5，3），线段PQ（不含端点）与圆N有且只有一个公共点，求a的取值范围． 尝试解答 规律方法 判断点与圆的位置关系的方法 （1）确定圆的方程：化为（x－a）2＋（y－b）2=r2； （2）将点的坐标（x0，y0）代入代数式（x－a）2＋（y－b）2，比较代数式的值与r2的大小关系； （3）下结论：若（x0－a）2＋（y0－b）2=r2，表示点在圆上；若（x0－a）2＋（y0－b）2＞r2，表示点在圆外；若（x0－a）2＋（y0－b）2＜r2，表示点在圆内． 　　此外，也可以利用点与圆心的距离d与半径r的大小关系来判断．当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内． 1.已知a，b是方程x2－x－=0的两个不相等的实数根，则点P（a，b）与圆C：x2＋y2=8的位置关系是（　　） A．点P在圆C内　　 B．点P在圆C外 C．点P在圆C上　　 D．无法确定 2.已知点P（2，1）和圆C：（x＋）2＋（y－1）2=1，若点P在圆C上，则实数a=　　　；若点P在圆C外，则实数a的取值范围为　　　　． 题型三　圆的方程的应用 为了开发古城旅游观光，某市决定在护城河上建一座圆形拱桥，河面跨度AB为32米，拱桥顶点C离河面8米． （1）如果以跨度AB所在直线为x轴，以AB中垂线为y轴建立如图所示的直角坐标系，试求出该圆形拱桥所在圆的方程； （2）现有游船船宽8米，船顶离水面7米，为保证安全，要求行船顶部与拱桥顶部的竖直方向高度差至少要0.5米．问这条船能否顺利通过这座拱桥，并说出理由． 尝试解答 规律方法 坐标法解决此类问题的“三步曲” 　如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图．这个圆的圆拱跨度AB=20 m，拱高OP=4 m，建造时每间隔4 m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度（精确到0.01 m）． 1.圆心为（－1，0），半径为5的圆的方程是（　　） A．（x＋1）2＋y2=　　 B．（x＋1）2＋y2=25 C．（x－1）2＋y2=　　 D．（x－1）2＋y2=25 2.点P（a，10）与圆（x－1）2＋（y－1）2=2的位置关系是（　　） A．在圆内　　 B．在圆上 C．在圆外　　 D．不确定 3.若直线y=ax＋b经过第一、二、三象限，则圆C：（x＋a）2＋（y＋b）2=1的圆心位于（　　） A．第一象限　　 B．第二象限 C．第三象限　　 D．第四象限 4.经过点（－2，0），（－2，2）且圆心在直线l：x＋y=0上的圆的标准方程为　　　　　 ． 完成课后作业　第二章　2.3　2.3.1 答案 2.3.1　圆的标准方程 【基础落实】 新知初探 知识点一 1.定点　定长　 2.圆心　半径 3.（x－a）2＋（y－b）2=r2　原点 自我诊断 1.（1）×　（2）√　（3）× 2.A　∵点（1，1）在圆（x－a）2＋（y＋a）2=4的内部，∴（1－a）2＋（1＋a）2＜4，解得－1＜a＜1.故选A． 3.（2，－8）　3 4.（x＋2）2＋y2=4　解析：圆心是（－2，0），半径是2，所以圆的方程是（x＋2）2＋y2=4. 【典例研析】 【例 1】　解：（1）将圆心（－2，1）代入圆的标准方程（x－a）2＋（y－b）2=r2（r＞0）， 有（x＋2）2＋（y－1）2=r2，再将点A（2，－2）代入方程有r2=（2＋2）2＋（－2－1）2=52. 从而圆的方程为（x＋2）2＋（y－1）2=25. （2）法一（待定系数法）　设圆的标准方程为（x－a）2＋（y－b）2=r2， 则有解得 ∴圆的标准方程是（x－4）2＋（y＋3）2=25. 法二（几何法）　由题意知OP是圆的弦，其垂直平分线为x＋y－1=0. ∵弦的垂直平分线过圆心， ∴由得 即圆心坐标为（4，－3），半径r==5. ∴圆的标准方程是（x－4）2＋（y＋3）2=25. 跟踪训练 1.A　法一　AB的中点坐标为（0，0），|AB|==2，所以圆的方程为x2＋y2=2. 法二　以AB为直径的圆的方程为（x－1）（x＋1）＋（y＋1）（y－1）=0，即x2＋y2=2. 2.（0，1）　解析：圆x2＋（y＋a）2=1的圆心为（0，－a），因为直线2x＋y－1=0是圆的一条对称轴，所以圆心（0，－a）在直线2x＋y－1=0上，所以2×0＋（－a）－1=0，解得a=－1，故圆心坐标为（0，1）． 【例 2】　解：（1）因为点M在圆上， 所以（6－5）2＋（9－6）2=a2， 又a＞0，可得a=． （2）由两点间距离公式可得， |PN|==， |QN|==3. 因为线段PQ（不含端点）与圆有且只有一个公共点，即P，Q两点一个在圆N内，另一个在圆N外，又3＜，所以3＜a＜．即a的取值范围是（3，）． 跟踪训练 1.A　由题意，得a＋b=1，ab=－，∴a2＋b2=（a＋b）2－2ab=1＋2＜8，∴点P在圆C内． 2.－2或－6　（－∞，－6）⋃（－2，＋∞） 解析：由题意，得（x＋）2＋（y－1）2=1，当点P在圆C上时，（2＋）2＋（1－1）2=1，解得a=－2或－6.当点P在圆C外时，（2＋）2＋（1－1）2＞1，解得a＜－6或a＞－2. 【例 3】　解：（1）B（16，0），C（0，8），设圆心（0，b），圆的方程为x2＋（y－b）2=r2， 由圆过点B、C可得解得b=－12，r=20， 所以拱桥所在圆的方程是x2＋（y＋12）2=400. （2）可设船右上角竖直方向0.5米处点为P（4，7.5）， 代入圆方程左端得396.25＜400，所以点P在圆内，故船可以通过． 跟踪训练 解：建立如图所示的平面直角坐标系，使圆心在y轴上．设圆心的坐标是（0，b），圆的半径是r，那么圆的方程是x2＋（y－b）2=r2. 因为P，B都在圆上，所以它们的坐标（0，4），（10，0）都满足方程x2＋（y－b）2=r2.于是，得到方程组解得b=－10.5，r2=14.52. 所以圆的方程是x2＋（y＋10.5）2=14.52. 把点P2的横坐标x=－2代入圆的方程，得（－2）2＋（y＋10.5）2=14.52， 即y＋10.5=（P2的纵坐标y＞0，平方根取正值）．所以y=－10.5 ≈14.36－10.5=3.86（m）． 故支柱A2P2的高度约为3.86 m． 随堂检测 1.B　因为圆心为（－1，0），半径为5，则圆的方程是（x＋1）2＋y2=25.故选B． 2.C　∵（a－1）2＋（10－1）2=81＋（a－1）2＞2，∴点 P在圆外． 3.C　因为直线y=ax＋b经过第一、二、三象限，所以a＞0，b＞0，因为圆C：（x＋a）2＋（y＋b）2=1的圆心为（－a，－b），所以圆心位于第三象限，故选C． 4.（x＋1）2＋（y－1）2=2　解析：若经过点（－2，0），（－2，2），则圆心在直线y=1上，又圆心在直线l：x＋y=0上，令y=1，则x=－1，故圆心坐标为（－1，1），半径为r==，故所求圆的标准方程为（x＋1）2＋（y－1）2=2. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $