2.2.2 第2课时 直线的两点式和一般式方程(Word学生用书)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教B版)

该高中数学导学案聚焦直线的两点式、截距式和一般式方程，通过体育老师检查队伍是否成直线的情境导入，以问题驱动关联旧知，搭建从点斜式到新方程形式的学习支架，引导学生掌握方程条件、形式及适用范围。 含情境图、知识点对比表格及例题示意图，情境导入培养数学眼光，表格梳理与一题多解发展数学思维，分层训练提升数学语言表达，助力学生理解方程本质，提升解决实际问题的能力。

第二课时　直线的两点式和一般式方程 　　上体育课时，老师检查学生队伍是不是一条直线，只要看第一个学生就可以了，若还能够看到其他学生，那就不在一条直线上． 【问题】　老师如此做的依据是什么？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　直线的两点式与截距式方程 两点式 截距式 条件 P1（x1，y1）和P2（x2，y2） 其中x1≠x2，y1≠y2 在x轴上截距为a， 在y轴上截距为b 图形 方程 　　　　　　　　 ＋=1 适用范围 不表示　　　　坐标轴的直线 不表示　　　　坐标轴及过　　　　　　的直线 【想一想】 　方程=和方程（y－y1）（x2－x1）=（x－x1）（y2－y1）的适用范围相同吗？ 知识点二　直线的一般式方程 1.定义：关于x，y的二元一次方程 　　　　　　　　（其中A，B不同时为0）叫作直线的一般式方程，简称一般式． 2.系数的几何意义 （1）当B≠0时，直线斜率k=　　　　，在y轴上的截距b=　　　　； （2）当B=0，A≠0直线斜率不存在，直线过点（－，0）； （3）v=（A，B）为直线Ax＋By＋C=0的一个法向量．u=（－B，A）或u=（B，－A）是直线Ax＋By＋C=0的一个方向向量． 3.一般式与其他形式的互化 提醒：（1）当B≠0时，则－=k（斜率），－=b（y轴上的截距）；（2）当B=0，A≠0时，则－=a（x轴上的截距），此时不存在斜率． 【想一想】 　直线与二元一次方程有怎样的关系？ 1.判断正误．（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）能用两点式方程表示的直线也可用点斜式方程表示．（　　） （2）能用截距式方程表示的直线都能用两点式表示．（　　） （3）平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C=0来表示．（　　） （4）直线l：Ax＋By＋C=0的斜率为－．（　　） 2.过点A（5，6）和点B（－1，2）的直线的两点式方程是（　　） A．=　　 B．= C．=　　 D．= 3.直线x－2y=4的截距式方程是　　　　． 4.经过点A（2，5），B（－3，6）的直线方程为　　　　． 题型一　直线的两点式方程 （1）已知△ABC的三个顶点分别为A（2，8），B（－4，0），C（6，0），则过点B将△ABC的面积平分的直线方程为（　　） A．2x－y＋4=0　　 B．x＋2y＋4=0 C．2x＋y－4=0　　 D．x－2y＋4=0 （2）已知两点A（－1，2），B（m，3），则直线AB的方程为　　　　． 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 规律方法 求直线的两点式方程的策略及注意点 （1）当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程； （2）由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误．在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系．　 已知A（－3，2），B（5，－4），C（0，－2），在△ABC中． （1）求BC边所在的直线方程； （2）求BC边上的中线所在直线的方程． 题型二　直线的截距式方程 〔一题多解〕（链接教科书第87页例4）已知直线l过点M（2，1），且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程． 尝试解答 【母题探究】 1.（变条件）在本例条件下，当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程． 2.（变条件）〔一题多解〕本例中，当|MA|•|MB|取得最小值时，求直线l的方程． 规律方法 截距式方程应用的注意事项 （1）如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可； （2）选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直； （3）要注意截距式直线方程的逆向应用． 〔一题多解〕已知直线l：kx－y＋1＋2k=0（k∈R）． （1）证明：直线l过定点； （2）若直线不经过第四象限，求k的取值范围； （3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，△AOB的面积为S（O为坐标原点），求S的最小值并求此时直线l的方程． 题型三　直线的一般式方程 （链接教科书第88页例5、例6）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程： （1）斜率是 且经过点A（5，3）； （2）经过A（－1，5），B（2，－1）两点； （3）〔一题多解〕经过点A（3，1），v=（3，－2）是直线的一个法向量． 尝试解答 规律方法 求直线一般式方程的策略 （1）当A≠0时，方程可化为x＋y＋=0，只需求，的值；若B≠0，则方程化为x＋y＋=0，只需确定，的值．因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程； （2）在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式． 根据下列条件求直线的一般式方程： （1）直线的斜率为2，且经过点A（1，3）； （2）斜率为，且在y轴上的截距为4； （3）经过两点A（2，－3），B（－1，－5）； （4）在x，y轴上的截距分别为2，－4. 1.已知点A（1，2），B（－1，－2），则直线AB的方程是（　　） A．2x－y=0　　 B．2x＋y－4=0 C．x＋2y－5=0　　 D．x－2y＋3=0 2.在x轴和y轴上的截距分别为－2，3的直线方程是（　　） A．＋=1　　 B．＋=1 C．＋=1　　 D．＋=1 3.〔多选〕若AC＞0，BC＜0，则直线Ax＋By＋C=0经过（　　） A．第一象限　　 B．第二象限 C．第三象限　　 D．第四象限 4.△ABC中，已知A（2，1），B（－2，3），C（0，1），则BC边上的中线所在直线的一般式方程为　　　　． 完成课后作业　第二章　2.2　2.2.2　第二课时 答案 第二课时　直线的两点式和一般式方程 【基础落实】 新知初探 知识点一 =　垂直于　垂直于　原点 想一想 提示：不同．前者为分式形式，要求x1≠x2，y1≠y2，后者为整式形式，适用于任何两点的直线方程． 知识点二 1.Ax＋By＋C=0　 2.（1）－　－ 想一想 提示：（1）在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示． （2）每个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线． 自我诊断 1.（1）√　（2）√　（3）√　（4）× 2.B 3.＋=1　解析：求直线方程的截距式，必须把方程化为＋=1的形式，即右边为1，左边是和的形式． 4.x＋5y－27=0　解析：由两点式得直线方程为=，即x＋5y－27=0. 【典例研析】 【例 1】　（1）D　（2）x=－1或y=x＋＋2　解析：（1）由A（2，8），C（6，0），则A，C的中点坐标为D（4，4），则过点B将△ABC的面积平分的直线过点D（4，4），则所求直线方程为y=（x＋4），即x－2y＋4=0， 故选D． （2）当m=－1时，直线AB的方程为x=－1；当m≠－1时，直线AB的方程为=，即y=x＋＋2.所以x=－1或y=x＋＋2. 跟踪训练 解：（1）BC边过两点B（5，－4），C（0，－2）， 由两点式，得=，即2x＋5y＋10=0， 故BC边所在的直线方程为2x＋5y＋10=0. （2）设BC的中点为M（a，b），则a==，b==－3，所以M（，－3）， 又BC边上的中线过点A（－3，2），所以由两点式得=，即10x＋11y＋8=0， 所以BC边上的中线所在直线的方程为10x＋11y＋8=0. 【例 2】　解：法一　设直线l的方程为y－1=k（x－2）（k＜0），则A（2－，0），B（0，1－2k）， S△AOB=（1－2k）（2－）=［4＋（－4k）＋（－）］≥×（4＋4）=4， 当且仅当－4k=－，即k=－时，等号成立． 故直线l的方程为y－1=－（x－2），即x＋2y－4=0. 法二　设直线l：＋=1，且a＞0，b＞0，因为直线l过点M（2，1），所以＋=1， 则1=＋≥2，故ab≥8，故S△AOB的最小值为×8=4， 当且仅当==时取等号，此时a=4，b=2，故直线l的方程为＋=1，即x＋2y－4=0. 母题探究 1.解：由本例法二知，＋=1，a＞0，b＞0， 所以|OA|＋|OB|=a＋b=（a＋b）•（＋）=3＋＋≥3＋2， 当且仅当a=2＋，b=1＋时等号成立， 所以当|OA|＋|OB|取最小值时，直线l的方程为x＋y－2－=0. 2.解：法一　由本例法一知A（，0），B（0，1－2k）（k＜0）． 所以|MA|•|MB|=•=2×=2［（－k）＋］≥4. 当且仅当－k=－，即k=－1时取等号．此时直线l的方程为x＋y－3=0. 法二　由本例法二知A（a，0），B（0，b），a＞0，b＞0，＋=1.所以|MA|•|MB|=||•||=－•=－（a－2，－1）•（－2，b－1）=2（a－2）＋b－1=2a＋b－5=（2a＋b）（＋）－5=2（＋）≥4，当且仅当a=b=3时取等号，此时直线l的方程为x＋y－3=0. 跟踪训练 解：（1）证明：法一　直线l的方程可化为k（x＋2）＋（1－y）=0， 令解得∴无论k取何值，直线l总经过定点（－2，1）． 法二　方程kx－y＋1＋2k=0可化为y－1=k（x＋2），显然直线l恒过定点（－2，1）． （2）法一　由方程知，当k≠0时，直线在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则必须有解得k＞0； 当k=0时，直线为y=1，符合题意， 故k的取值范围是［0，＋∞）． 法二　直线l方程可化为y=kx＋1＋2k，∴∴k∈［0，＋∞）． （3）由题意可知k≠0，再由l的方程，得A（－，0），B（0，1＋2k）． 依题意得解得k＞0. ∵S=•|OA|•|OB|=•||•|1＋2k|=•=（4k＋＋4）≥×（2×2＋4）=4， 当且仅当k＞0且4k=，即k=时“=”成立， ∴Smin=4，此时直线l的方程为x－2y＋4=0. 【例 3】　解：（1）由点斜式方程得y－3=（x－5）， 整理得x－y＋3－5=0. （2）由两点式方程得=， 整理得2x＋y－3=0. （3）法一　因为v=（3，－2）是直线l的一个法向量，所以可以设l的方程为3x－2y＋C=0，代入点A（3，1），可求得C=－7，因此所求方程为3x－2y－7=0. 法二　设P（x，y）为平面直角坐标系中任意一点，则P在直线l上的充要条件是与v=（3，－2）垂直．又因为=（x－3，y－1），所以3×（x－3）＋（－2）×（y－1）=0， 整理可得一般式方程为3x－2y－7=0. 跟踪训练 解：（1）因为k=2，且经过点A（1，3），由直线的点斜式方程可得y－3=2（x－1），整理可得2x－y＋1=0，所以直线的一般式方程为2x－y＋1=0. （2）由直线的斜率k=，且在y轴上的截距为4，得直线的斜截式方程为y=x＋4. 整理可得直线的一般式方程为x－y＋4=0. （3）由直线的两点式方程可得=，整理得直线的一般式方程为2x－3y－13=0. （4）由直线的截距式方程可得＋=1，整理得直线的一般式方程为2x－y－4=0. 随堂检测 1.A　∵直线的两点式方程为=，代入 A（1，2），B（－1，－2）得=，整理得直线AB的方程是2x－y=0.故选A． 2.C　由直线的截距式方程可得＋=1. 3.ABC　由题意，直线方程为y=－x－，因为AC＞0，BC＜0，所以＜0，＞0，=•＜0，于是－＞0，－＞0，故直线过第一、第二和第三象限．故选A、B、C． 4.x＋3y－5=0　解析：线段BC的中点D（－1，2）．BC 边上的中线所在的直线的方程：y－1=（x－2），化简为一般式方程：x＋3y－5=0. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $