2.2.2 第2课时 直线的两点式方程与一般式方程-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步教参（人教B版）

本讲义聚焦高中数学直线的两点式方程与一般式方程核心知识点，先通过两点坐标推导两点式方程（斜率存在且不为零），延伸出截距式（与坐标轴交点的特殊形式），最终统一为一般式方程（Ax+By+C=0，A、B不同时为零），构建从特殊到一般的学习支架。 资料以斜拉桥实例导入，用数学眼光观察现实问题，通过思考环节引导推理（如两点式中斜率关系）培养数学思维，例题与跟踪训练结合（如截距式分类讨论、一般式转化）提升数学语言表达。课中辅助教师系统授课，课后例题解析与训练帮助学生查漏补缺。

第2课时　直线的两点式方程与一般式方程 新课导入 学习目标 斜拉桥又称斜张桥，桥身简约刚毅，力感十足．若以桥面所在直线为x轴，桥塔所在直线为y轴建立平面直角坐标系，那么斜拉索可看成过桥塔上一点与桥面上一点的直线，如何建立这条直线的方程？这两个点有什么特别之处吗？ 1.掌握直线两点式方程的形式、特点及适用范围． 2.了解直线截距式方程的形式、特点及适用范围． 3.掌握直线的一般式方程；理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)都表示一条直线． 4.会进行直线方程的五种形式之间的转化． 思考　给定直线l上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，x1≠x2，任选直线上一点P(x，y)，其中P不与P1，P2重合，那么kPP1与kP1P2有什么关系？ [提示]　kPP1＝kP1P2， 即＝. [知识梳理] 名称 两点式 已知条件 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2 图示 方程 ＝ 适用范围 斜率存在且不为零的直线 [即时练] 1．(多选)已知直线l的两点式方程为＝，则下列选项正确的是(　　) A．直线l经过点(3，－3) B．直线l的斜截式方程为y＝－x－ C．直线l的一个方向向量为a＝(4，－5) D．直线l的倾斜角为锐角 解析：选AB.对于A，由直线l的两点式方程可知，直线l经过点(3，－3)，(－2，1)，A正确；对于B，将直线l的方程变形为－＝，即y＝－x－，B正确；对于C，直线l的方向向量可以为a＝(1，－)＝(5，－4)，C错误；对于D，直线l的斜率k＝tan α＝－<0，所以倾斜角为钝角，D错误． 2．已知△ABC的三个顶点是A(－1，4)，B(－2，－1)，C(2，3)，则BC边的中线AD所在的直线的方程是________________． 解析：因为B(－2，－1)，C(2，3)，所以BC的中点D(0，1)，又A(－1，4)， 所以AD所在的直线方程为＝，整理，得y＝－3x＋1. 答案：y＝－3x＋1 3．若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3，4)的直线上，则m＝__________． 解析：由直线的两点式方程得＝，即＝. 所以直线AB的方程为y＋1＝－x＋2，因为点P(3，m)在直线AB上，所以m＋1＝－3＋2，解得m＝－2. 答案：－2 求直线的两点式方程的策略以及注意点 (1)适用条件：如果两点的连线不平行于坐标轴，则考虑用两点式求方程． (2)差的顺序性：一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误，在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系． 思考　若给定直线上两点A(a，0)，B(0，b)(a≠0，b≠0)，你能否得出直线的方程呢？ [提示]　由两点式方程可得＝，即＋＝1. [知识梳理] 名称 截距式 已知条件 在x轴、y轴上的截距分别为a，b，且a≠0，b≠0 图示 方程 ＋＝1 适用范围 斜率存在且不为零，不过原点的直线 [例1] (对接教材例3)(2026·南开月考)经过点M(2，2)且在两坐标轴上截距相等的直线是(　　) A．x＋y＝4 B．x＋y＝2 C．x＋y＝4或x＝y D．x－y＝4或x＝y 【解析】　若截距不为0，设直线方程为＋＝1，则＋＝1，解得a＝4，故所求直线方程为x＋y＝4；若截距均为0，则直线过原点和M(2，2)，所以直线方程为x＝y. 【答案】　C (1)如果已知直线在两坐标轴上的截距，可以直接代入截距式求直线的方程． (2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图． (3)解决问题的过程中要注意分类讨论． [跟踪训练1] (1)在平面直角坐标系中，直线l：－＝1，则直线l过(　　) A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限 解析：选D.直线l在x轴上的截距为2，在y轴上的截距为－3，所以直线l过第一、三、四象限． (2)已知一条直线经过点M(－4，6)，并且与x轴、y轴分别交于A，B两点，当M为AB的中点时，此直线的截距式方程为______________． 解析：因为M(－4，6)为AB的中点，故A(－8，0)，B(0，12)，则直线的截距式方程为＋＝1. 答案：＋＝1 思考1　平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示吗？ [提示]　可以．当直线斜率存在时，点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可视为二元一次方程；当斜率不存在时，x－x0＝0也可以认为是y的系数为0的二元一次方程． 思考2　任意一个关于x，y的二元一次方程都可以表示一条直线吗？ [提示]　可以．任意一个二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)，当B≠0时，y＝－x－；当B＝0时，x＝－均表示直线． [知识梳理] 1．定义 我们把形如Ax＋By＋C＝0的方程(其中A，B，C都是实常数，而且A，B不同时为零)称为直线的一般式方程，其中ν＝(A，B)为直线Ax＋By＋C＝0的一个法向量． 2．直线方程的一般式与其他形式的互化 [例2] (对接教材例6)根据下列各条件分别写出直线的方程，并化成一般式． (1)斜率是－，且经过点A(8，－6)； (2)在x轴和y轴上的截距分别是和－3； (3)经过点(2，－3)，且一个方向向量为a＝(2，4). 【解】　(1)根据点斜式方程可得y＋6＝－(x－8)，化简可得x＋2y＋4＝0. (2)根据截距式方程可得，＋＝1， 化简可得2x－y－3＝0. (3)由直线的一个方向向量为a＝(2，4)可得直线的斜率k＝2， 所以所求直线方程为y＋3＝2(x－2)， 即2x－y－7＝0. 在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选出四种特殊形式之一求方程，然后转化为一般式． [跟踪训练2] (1)(多选)(2026·台州期中)已知直线2x＋y＋3＝0，则下列说法正确的是(　　) A．直线过点(－1，1) B．直线的斜率为－2 C．直线在y轴上的截距为3 D．直线不经过第一象限 解析：选BD.已知直线2x＋y＋3＝0，即y＝－2x－3， 则直线的斜率为－2，在y轴上的截距为－3，B正确，C错误； 再令x＝－1，得y＝－1，所以直线不过点(－1，1)，A错误； 作出直线(图略)，可知直线不经过第一象限，D正确． (2)已知直线l经过点P(2，－3)，且它的一个方向向量的坐标为(2，－1)，则直线l的一般式方程为________；其截距式方程为________． 解析：因为直线l的一个方向向量的坐标为(2，－1)，所以其斜率为k＝－， 又直线过P(2，－3)，所以直线l的方程为y＋3＝－(x－2)， 化为一般式方程为x＋2y＋4＝0，其截距式方程为＋＝1. 答案：x＋2y＋4＝0　＋＝1 [例3] (2026·驻马店月考)已知直线l：(2a＋3)x－(a－1)y＋3a＋7＝0，a∈R. (1)证明直线l过定点A，并求出点A的坐标； (2)在(1)的条件下，若直线l′过点A，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的12倍，求直线l′的方程． 【解】　(1)直线l：(2a＋3)x－(a－1)y＋3a＋7＝0可化为(2x－y＋3)a＋3x＋y＋7＝0， 则解得 所以直线l过定点，且定点A的坐标为(－2，－1). (2)因为直线l′过点(－2，－1)，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的12倍， 则当直线l′过坐标原点时，符合题意，此时直线方程为y＝x，即x－2y＝0； 当直线l′的横、纵截距均不为零时，设直线l′的方程为＋＝1， 代入点(－2，－1)，得＋＝1，解得m＝－， 此时直线l′的方程为＋＝1，即12x＋y＋25＝0. 综上，直线l′的方程为x－2y＝0或12x＋y＋25＝0. (1)若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则需满足A，B不同时为0. (2)令x＝0可得在y轴上的截距，令y＝0可得在x轴上的截距，若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式． (3)解分式方程要注意验根． [跟踪训练3] 设直线l的方程为(a＋1)x＋y－5－2a＝0(a∈R)，且分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A(xA，0)，B(0，yB). (1)当xA·yB最小时，求直线l的方程； (2)当直线l在两坐标轴上的截距均为正整数且a也为正整数时，求直线l的方程． 解：(1)由题意知，xA＝>0，yB＝5＋2a>0，则a>－1， 所以xA·yB＝·(5＋2a) ＝＝ ＝4(a＋1)＋＋12 ≥2＋12＝24， 当且仅当4(a＋1)＝，即a＝时，等号成立， 所以当a＝时，xA·yB最小， 此时直线l的方程为3x＋2y－12＝0. (2)因为直线l在两坐标轴上的截距均为正整数， 所以不妨设5＋2a＝k(a＋1)，k∈N*， 又a也为正整数，所以a＝>0，即2<k<5，所以k＝3或k＝4. 当k＝3时，a＝2，此时A(3，0)，B(0，9)， 所以直线l的方程为＋＝1，即3x＋y－9＝0； 当k＝4时，a＝，不符合题意，舍去． 综上所述，直线l的方程为3x＋y－9＝0. 1．直线2x－4y＋3＝0在y轴上的截距为(　　) A． B．－ C． D．－ 解析：选A.令x＝0，解得y＝，即直线2x－4y＋3＝0在y轴上的截距为. 2．(多选)(2026·晋中月考)如果AC＞0，BC<0，那么直线Ax＋By＋C＝0通过(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选ABC.因为AC>0，BC<0，所以B≠0，AB<0，由直线Ax＋By＋C＝0，可得y＝－x－，则直线斜率k＝－>0，且－>0， 所以直线经过第一、二、三象限． 3．(教材P89练习AT5改编)经过两点M(4，3)，N(1，5)的直线交x轴于点P，则点P的坐标是________． 解析：由直线的两点式方程，得MN所在直线的方程为＝，即2x＋3y－17＝0，令y＝0，得x＝，故点P的坐标为. 答案： 4．已知直线l：ax＋(1－2a)y＋1－a＝0. (1)当直线l在x轴上的截距是它在y轴上的截距的3倍时，求实数a的值； (2)求直线l所过定点的坐标． 解：(1)由条件知，a≠0且a≠，在直线l的方程中，令y＝0得x＝，令x＝0得y＝，所以＝×3，解得a＝1或a＝，经检验，a＝1或a＝均符合要求，故实数a的值为1或. (2)由ax＋(1－2a)y＋1－a＝0，得a(x－2y－1)＋y＋1＝0. 由解得 所以直线l所过定点的坐标为(－1，－1). 1．已学习：直线的两点式方程、截距式方程、一般式方程及直线方程的综合应用． 2．须贯通：截距式方程是两点式方程的特殊形式；直线方程各种形式之间的相互转化． 3．应注意：利用截距式方程求直线方程时忽略过原点的情况导致漏解；利用一般式方程处理问题常忽视直线斜率不存在和两直线重合的情况． 学科网（北京）股份有限公司 $