拓视野 异面直线间的距离(Word学生用书)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教B版)

该高中数学导学案聚焦空间距离问题，核心涵盖异面直线间的距离、点到平面的距离等知识点。通过教材例题引入，以问题探究引导学生自主定义异面直线距离、总结求法，搭建从具体实例到抽象方法的学习支架，衔接前后知识脉络。 资料特色突出问题驱动与能力培养，问题探究环节激发数学眼光，助力抽象能力与空间观念形成。迁移应用及随堂检测结合空间直角坐标系与向量法，强化数学思维，提升推理与运算能力。以向量语言表达距离公式，体现数学语言的模型观念，便于学生自主学习与教师教学评估。

　异面直线间的距离 通过教材P36例4，我们知道线段MN的长度为异面直线l1与l2的公垂线段的长度，也就是直线l1与l2间的距离． 【问题探究】 1.你认为该如何定义异面直线间的距离？ 2.你能总结出求异面直线间距离的一般方法吗？ 【迁移应用】 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=4，AD=3，AA1=2，M，N分别为CD，BB1的中点，则直线MN到直线A1B的距离为　　　　． 1.已知平面α的一个法向量为n=（－2，－2，1），点A（－1，3，0）在平面α内，则点P（－2，1，4）到平面α的距离为（　　） A．10 B．3 C． D． 2.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=，E，F分别是平面A1B1C1D1， 平面BCC1B1的中心，则E，F两点间的距离为（　　） A.1　　 B．　　 C．　　 D． 3.已知直线l过点M（1，1，1），且方向向量为n=（－1，0，1），则点A（1，－1，－1）到直线l的距离为（　　） A．2　　 B．　　 C．　　 D． 4.已知点P（1，1，2），A（1，0，1），B（－1，3，0），C（0，0，2），则点P到平面ABC的距离为　　　　． 完成课后作业　第一章　1.2　1.2.5 答案 拓视野　异面直线间的距离 问题探究 1.提示：与两条异面直线都垂直相交的直线叫做这两条异面直线的公垂线，异面直线的公垂线在两条异面直线上的垂足间的距离叫做这两条异面直线间的距离． 2.提示：求异面直线间距离的一般步骤： ①求出与a，b都垂直的向量n； ②在直线a，b上任意取点A，B，得到； ③套公式得d=||． 迁移应用 　解析：以A为原点，AD，AB，AA1所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图． 则M（3，2，0），N（0，4，1），A1（0，0，2），B（0，4，0），即=（－3，2，1），=（0，4，－2）．由题意可知MN与A1B为异面直线，设MN，A1B公垂线的方向向量为n=（x，y，z），则有⇒令y=1，则z=2，x=，即n=（，1，2），|n|=．又=（－3，－2，2）在n上的射影的长度为d====．即直线MN到直线A1B的距离为． 随堂检测 1.D　∵n=（－2，－2，1），=（1，2，－4），点P到平面α的距离d===． 2.C　以点A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则点E（1，1，），F（2，1，），所以||==，故选C． 3.B　根据题意可知=（0，2，2），=（－1，0，1）=（－，0，），所以点A（1，－1，－1）到直线l的距离d===． 4.　解析：因为P（1，1，2），A（1，0，1），B（－1，3，0），C（0，0，2），则=（0，1，1），=（－2，3，－1），=（－1，0，1），设平面ABC的法向量n=（x，y，z），则令x=1，则y=z=1，可得n=（1，1，1），所以点P到平面ABC的距离d===． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $