1.2.4 二面角(Word学生用书)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教B版)

该高中数学导学案聚焦“二面角”，涵盖定义、平面角确定及向量法计算等核心知识点。通过十二星座黄道面与赤道面交角的生活情境导入，衔接空间向量与平面法向量知识，搭建从直观到抽象的学习支架。 资料特色鲜明，情境导入贴近生活激发兴趣，体现用数学眼光观察现实世界。几何法与向量法双解法结合，培养逻辑推理与数学运算素养。自我诊断、典例研析及分层检测设计，助力学生自主构建知识，提升解决问题能力。

1.2.4　二面角 课标 要求 1.能用向量语言表述平面与平面的夹角（直观想象）． 2.能用向量方法解决二面角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用（逻辑推理、数学运算）．　 　　同学们可能经常谈论某某同学是白羊座的，某某同学是双子座的，可是你知道十二星座的由来吗？ 　　我们知道，地球绕太阳公转的轨道平面称为“黄道面”，黄道面与地球赤道面交角（二面角的平面角）约为23°26′，它与天球相交的大圆为“黄道”，黄道及其附近的南北宽8°以内的区域为黄道带，黄道带内有十二个星座，称为“黄道十二宫”，从春分（节气）点起，每30°便是一宫，并冠以星座名，如白羊座、金牛座、双子座等等，这便是星座的由来…… 【问题】　你知道二面角是如何定义的吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　二面角 1.定义：从一条直线出发的两个　　　　所组成的图形称为二面角，如图． 2.范围：我们约定，二面角及其平面角的大小不小于0°，不大于180°，而且，两个平面相交时，它们所成角的大小，指的是它们所形成的四个二面角中，不小于0°且不大于90°的角的大小，平面角是直角的二面角称为　　　　　　． 提醒：找二面角的平面角的三种方法 定义法 在棱上取一点，分别在两平面内过此点引两条射线与棱垂直，这两条射线所成的角就是二面角的平面角 垂面法 已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为二面角的平面角 垂线法 过二面角的一个面内异于棱上的A点向另一个平面作垂线，垂足为B，由点B向二面角的棱作垂线，垂足为O，连接AO，则∠AOB为二面角的平面角或其补角，如图，∠AOB为二面角α－l－β的平面角 知识点二　空间向量与二面角 如果n1，n2分别是平面α1，α2的一个法向量，设α1与α2所成角的大小为θ，则θ=　　　　或　　　　　　，如图． 特别地sin θ=　　　　　　． 【想一想】 若二面角α－l－β的两个半平面的法向量分别为n1，n2，那么二面角的平面角与两法向量夹角〈n1，n2〉一定相等吗？ 1.判断正误．（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）两个平面夹角的范围是［0，］，二面角的范围是［0，π］，若夹角为，则两个平面垂直．（　　） （2）两个平面的夹角等于两个平面的法向量的夹角或其补角．（　　） （3）二面角的大小等于平面与平面的夹角．（　　） 2.在一个二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为（0，－1，3），（2，2，4），则这个二面角的余弦值为（　　） A．　　 B．－ C．　　 D．或－ 3.正方形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，若PA=AB，则二面角P－CD－A的大小为　　　，平面PAD与平面PBC所成的角为　　　　． 4.在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=90°，则二面角B－PA－C的大小为　　　　． 题型一　几何法求二面角 如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB=AC=AA1=2，∠BAC=90°．求二面角A－A1C－B的正切值． 尝试解答 规律方法 求二面角大小的步骤（一作二证三求） 　如图，空间四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA=a，对角线AC=a，BD=a，求二面角A－BD－C的大小． 题型二　向量法求二面角 〔一题多解〕如图，在四棱台ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，B1C1=1. （1）证明：AA1∥平面BDC1； （2）若AA1⊥BD，BC1=CC1=2，求平面BC1D与平面B1CD1夹角的余弦值． 尝试解答 规律方法 向量法求二面角的三个步骤 （1）建立适当的坐标系，写出相应点的坐标； （2）求出两个半平面的法向量n1，n2； （3）设两平面的夹角为θ，则cos θ=|cos〈n1，n2〉|． 提醒：（1）若要求的是二面角，则根据图形判断该二面角是钝角还是锐角，从而用法向量求解；（2）要注意两平面所成的角与二面角的区别． 如图，在四棱锥P－ABCD中，△PAD是等边三角形，O为线段AD的中点，PO⊥AC，BC∥AD，AB⊥AD，AD=2，AB=BC=1，E为PD上一点． （1）证明：平面ACE⊥平面POB； （2）若E为PD中点，求平面PAB与平面EAC所成角的余弦值． 1.三棱锥A－BCD中，平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1，n2，若〈n1，n2〉=，则二面角A－BD－C的大小为（　　） A．　 B．　 C．或 D．或 2.已知二面角α－l－β中，平面α的一个法向量为n1=（，，），平面β的一个法向量为n2=（0，，），则二面角α－l－β的平面角满足（　　） A．余弦值为　　 B．正弦值为 C．大小为60°　　 D．大小为30° 3.〔多选〕在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=AD=2，AA1=3，以D为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（　　） A．B1的坐标为（2，2，3） B．=（－2，0，3） C．平面A1BC1的一个法向量为（－3，3，－2） D．二面角B－A1C1－B1的余弦值为 4.已知P为锐二面角α－l－β内一点，且P到面α，β及棱l的距离之比为1∶∶2，则此二面角的度数为　　　　． 完成课后作业　第一章　1.2　1.2.4 答案 1.2.4　二面角 【基础落实】 新知初探 知识点一 1.半平面 2.直二面角 知识点二 〈n1，n2〉　θ=π－〈n1，n2〉　sin〈n1，n2〉 想一想 提示：不一定．可能相等，也可能互补． 自我诊断 1.（1）√　（2）√　（3）× 2.D　∵=， ∴这个二面角的余弦值为或－． 3.45°　45° 4.90°　解析：因为PA⊥平面ABC，所以AC⊥PA，BA⊥PA，所以∠BAC为二面角B－PA－C的平面角，又∠BAC=90°，所以二面角B－PA－C的大小为90°． 【典例研析】 【例 1】　解：设A1C的中点为M，连接BM，AM， 因为BA1=BC，AA1=AC，所以BM⊥A1C，AM⊥A1C， 所以∠AMB是二面角A－A1C－B的平面角， 由直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，且AB⊂平面ABC， 可得AB⊥AA1，由∠BAC=90°，可得AB⊥AC，且AC⋂AA1=A，所以AB⊥平面ACC1A1， 又因为AM⊂平面ACC1A1，所以AB⊥AM， 在Rt△ABM中，AB=2，AM=，可得tan∠AMB==， 所以二面角A－A1C－B的正切值为． 跟踪训练 解：如图，取BD的中点O，分别连接AO，CO，　 ∵AB=AD，BC=CD， ∴AO⊥BD，CO⊥BD． ∴∠AOC为二面角A－BD－C的平面角． ∵AB=AD=a，BD=a， ∴AO=a． ∵BC=CD=a，BD=a， ∴OC=a． 在△AOC中，OC=a，OA=a，AC=a，OA2＋OC2=AC2. ∴∠AOC=90°．即二面角A－BD－C的大小为90°． 【例 2】　解：（1）证明：法一　由棱台定义可知AA1与CC1共面，且平面ABCD∥平面A1B1C1D1. 又平面ABCD⋂平面ACC1A1=AC，平面A1B1C1D1⋂平面ACC1A1=A1C1， 所以AC∥A1C1. 连接AC交BD于点O，如图，则O为AC的中点． 因为BC=2B1C1=2，所以A1C1=AO． 所以四边形A1AOC1是平行四边形，所以AA1∥OC1. 又AA1⊄平面BDC1，OC1⊂平面BDC1，所以AA1∥平面BDC1. 法二　将棱台补形成棱锥P－ABCD，如图， 由棱台定义知平面ABCD∥平面A1B1C1D1. 又平面ABCD⋂平面BCC1B1=BC，平面A1B1C1D1⋂平面BCC1B1=B1C1， 所以BC∥B1C1. 连接AC交BD于点O，则O为AC的中点．又△BCP∽△B1C1P，所以==2，所以C1为PC的中点，所以OC1为△ACP的中位线，所以AA1∥OC1. 又AA1⊄平面BDC1，OC1⊂平面BDC1，所以AA1∥平面BDC1. （2）法一　在正方形ABCD中，BD⊥AC，又BD⊥AA1，AC⋂AA1=A，AC，AA1⊂平面ACC1A1，所以BD⊥平面ACC1A1.因为OC1⊂平面ACC1A1，所以BD⊥OC1. 在Rt△BOC1中，∠BOC1=90°，BO=，BC1=2，所以OC1=． 在△OCC1中，OC=OC1=，CC1=2，所以OC2＋O=C，所以OC⊥OC1. 以O为原点，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示． 则B（，0，0），D（－，0，0），C（0，，0），B1（，－，），D1（－，－，）． 所以=（－，0，0），=（－，，－）． 设平面B1CD1的法向量为n=（x，y，z）， 则化简整理得令y=2，则z=3，所以n=（0，2，3）， 又因为平面BC1D的一个法向量m=（0，1，0），所以|cos〈m，n〉|==， 所以平面BC1D与平面B1CD1夹角的余弦值为． 法二　在正方形ABCD中，BD⊥AC， 又BD⊥AA1，AC⋂AA1=A，AC，AA1⊂平面ACC1A1，所以BD⊥平面ACC1A1. 因为OC1⊂平面ACC1A1，所以BD⊥OC1. 在Rt△BOC1中，∠BOC1=90°，BO=，BC1=2，所以OC1=． 在△OCC1中，OC=OC1=，CC1=2，所以OC2＋O=C，所以OC⊥OC1. 连接B1C交BC1于点M，连接CD1交C1D于点N，连接MN， 则MN为平面BC1D与平面B1CD1的交线，设MN交OC1于点Q，连接CQ． 由△BCM∽△C1B1M，有==，同理=， 所以MN∥BD，所以MN⊥平面ACC1A1. 又QO⊂平面ACC1A1，QC⊂平面ACC1A1，所以MN⊥QO，MN⊥QC， 又∠OQC为锐角，所以∠OQC为平面BC1D与平面B1CD1的夹角． 由MN∥BD得==，所以QO=．在Rt△QOC中，QO=，OC=，QC=，所以cos∠OQC=．所以平面BC1D与平面B1CD1夹角的余弦值为． 跟踪训练 解：（1）证明：连接BO，因为O为线段AD的中点，AD=2，所以AO=AB=BC=1， 因为BC∥AD，所以BC∥AO，又因为AB⊥AD，所以四边形ABCO为正方形， 所以BO⊥AC，因为PO⊥AC，且PO⋂BO=O，PO，BO⊂平面POB， 所以AC⊥平面POB，又因为AC⊂平面ACE，所以平面ACE⊥平面POB． （2）因为△PAD是等边三角形，O为线段AD的中点，所以PO⊥AD， 又因为PO⊥AC，AC⋂AD=A，所以PO⊥平面ABCD， 所以PO，CO，DO两两互相垂直，建立如图所示的空间直角坐标系， A（0，－1，0），B（1，－1，0），P（0，0，），E（0，，），C（1，0，0）， =（1，0，0），=（0，1，），=（0，，），=（1，1，0）， 设平面PAB的法向量为m=（x1，y1，z1），则令z1=1，得y1=－，x1=0， 所以平面PAB的一个法向量为m=（0，－，1）， 设平面EAC的法向量为n=（x2，y2，z2）， 则令x2=1，得y2=－1，z2=，所以平面EAC的一个法向量为n=（1，－1，）， 设平面PAB与平面EAC所成角为θ，cos θ==， 所以平面PAB与平面EAC所成角的余弦值为． 随堂检测 1.C　当二面角A－BD－C为锐角时，它等于〈n1，n2〉=．当二面角A－BD－C为钝角时，它等于π－〈n1，n2〉=π－=． 2.B　设所求二面角的平面角的大小为θ，则|cos θ|===，所以θ=30°或150°，故C、D错误；又因为sin 30°=sin 150°=，故A错误，B正确． 3.AD　如图，因为AB=AD=2，AA1=3，所以A1（0，2，3），B（2，2，0），B1（2，2，3），C1（2，0，3），所以=（0，－2，3），=（2，0，－3），即A正确，B不正确；设平面A1BC1的法向量m=（x，y，z），所以即令x=－3，则y=－3，z=－2，即平面A1BC1的一个法向量为m=（－3，－3，－2），故C错误；由几何体易得平面A1B1C1的一个法向量为n=（0，0，1），由于cos〈m，n〉===－，结合图形可知二面角B－A1C1－B1的余弦值为，故D正确；故选A、D． 4.75°　解析：如图，作PA⊥α于A，PB⊥β于B，PC⊥l于C，连接BC，AC，则易得∠ACB为二面角的平面角．又sin∠PCB=，∠PCB=45°，sin∠PCA=，∴∠PCA=30°，故二面角的平面角为∠PCA＋∠PCB=75°． 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $