1.2.5 空间中的距离(Word学生用书)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教B版)

该高中数学导学案聚焦空间中的距离，涵盖两点距、点到直线、点到平面、线面距及面面距。以生活限高杆情境导入，通过问题引导学生思考距离定义，新知初探以填空形式结合向量方法，搭建从直观到抽象的学习支架，衔接空间向量知识。 资料特色突出，情境导入联系现实培养数学眼光，向量方法贯穿始终强化数学运算，典例研析与跟踪训练结合，规律方法总结提升数学思维，助力学生自主构建知识，提升解决几何问题的能力与核心素养。

1.2.5　空间中的距离 课标 要求 1.了解空间中的距离（直观想象）． 2.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用（数学运算）． 在生活中可以看到很多道路上都有限高杆．主要的作用就是为了防止过高的车辆通过，以保障车辆和路上设施的安全．比如限高路段内有不能移动的重要电缆、管道，或者涵洞，或者附近有高速路桥、铁路桥等．图中所示，限高3.1米． 【问题】　（1）同学们，你知道3.1 m指的是哪段距离吗？ （2）数学中的距离是如何定义的呢？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　空间距离及向量求法 1.空间中两点之间的距离 空间中两点之间的距离指的是这　　　　　　　　　　． 2.点到直线的距离 给定空间中一条直线l及l外一点A，因为l与A能确定　　　　　　，所以过A可以作直线l的一条　　　　，　　　　　　　称为点A到直线l的距离． 3.点到平面的距离 （1）给定空间中一个平面α及α外一点A，过A可以作平面α的一条垂线段，　　　　　称为点A到平面α的距离； （2）一般地，若A是平面α外一点，B是平面α内一点，n是平面α的一个法向量，则点A到平面α的距离为d=． 4.相互平行的直线与平面之间、相互平行的平面与平面之间的距离 （1）当直线与平面平行时，直线上　　　　　　　　　　　　称为这条直线与这个平面之间的距离，如果直线l与平面α平行，n是平面α的一个法向量，A，B分别是l上和α内的点，则直线l与平面α之间的距离为d=； （2）当平面与平面平行时，一个平面内任意一点　　　　　　　　　　　称为这两个平行平面之间的距离． 如果平面α与平面β平行，n是平面β的一个法向量，A和B分别是平面α和平面β内的点，则平面α和平面β之间的距离为d=　　　　　　　　． 【想一想】 1.在空间中怎样求两点之间的距离？ 2.线面距、面面距与点面距有什么关系？ 1.判断正误．（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）平面α外一点A到平面α的距离，就是点A与平面α内一点B所成向量的长度．（　　） （2）若直线l∥平面α，则直线l到平面α的距离就是直线l上的点到平面α的距离．（　　） （3）若平面α∥平面β，则两平面α，β的距离可转化为平面α内某条直线到平面β的距离，也可转化为平面α内某点到平面β的距离．　（　　） （4）直线l上两点到平面α的距离相等，则l平行于平面α．（　　） 2.已知点A（1，1，1），B（0，1，0），C（－1，0，1），则点A到直线BC的距离是（　　） A.1　　 B． C．　　 D.2 3.已知平面α的一个法向量n=（1，0，1），点A（－1，1，0）在α内，则平面外点P（－1，1，1）到平面α的距离为　　　　． 题型一　空间中两点之间的距离 如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥DC，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点． （1）证明：BE⊥PD； （2）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求线段PF的长． 尝试解答 规律方法 计算两点间的距离的两种方法 （1）利用|a|2=a•a，通过向量运算求|a|，如求A，B两点间的距离，一般用||==求解； （2）用坐标法求向量的长度（或两点间距离），此法适用于求解的图形适宜建立空间直角坐标系． 　已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点A关于直线A1C，BD1的对称点分别为P，Q，则P，Q两点间的距离是（　　） A．　　 B． C．　　 D． 题型二　点到直线的距离 已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1=1，AB=4，BC=3，∠ABC=90°，求点B到直线A1C1的距离． 尝试解答 【母题探究】 1.（变设问）条件不变，试求点B到AC1的距离． 2.（变条件）若将本例中的条件改为“正三棱柱ABC－A1B1C1且所有棱长均为2”，如何求B到A1C1的距离？ 规律方法 用向量法求点到直线的距离的思路 第一步：建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标； 第二步：在已知直线AB上取一点E，使E满足两个条件：①=λ，②ME⊥AB（或者求出AB的单位方向向量u，计算所求点M与AB上某一点所构成的向量a）； 第三步：利用第二步中的两个关系求出λ，进而求得E的坐标，求出的模长即可（或者是利用公式d=）． 〔一题多解〕四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，AD=2AB=4，且PD与底面ABCD所成的角为45°．求点B到直线PD的距离． 题型三　点到平面的距离 （链接教科书第58页例3）已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD=1，E，F分别为AB，BC的中点．求点D到平面PEF的距离． 尝试解答 规律方法 求点到平面的距离的四步骤 　（2026•日照高二期末）如图所示，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，AB=2，AA1=4，M，N分别是BC，CC1的中点，则点C到平面AMN的距离为（　　） A．1　　 B． C．　　 D． 题型四　直线到平面、平面到平面的距离 如图，矩形ADFE和梯形ABCD所在平面互相垂直，AB∥CD，∠ABC=∠ADB=90°，CD=1，BC=2，DF=1. （1）求证：BE∥平面DCF； （2）求BE到平面DCF的距离． 尝试解答 规律方法 线面距离与面面距离的求解思路 （1）求相互平行的直线与平面间的距离可以转化为求直线上任意一点到平面的距离，利用求点到平面的距离的方法求解即可； （2）求两个平行平面间的距离可以转化为求点到平面的距离，利用求点到平面的距离的方法求解即可．　 1.若正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底边长为2，∠B1AB=，E是D1D的中点，则A1C1到平面EAC的距离为（　　） A．　　 B.2 C．　　 D． 2.两平行平面α，β 分别经过坐标原点O和点A（2，1，1），且两平面的一个法向量n=（－1，0，1），则两平面间的距离是（　　） A．　　 B． C．　　 D.3 答案 1.2.5　空间中的距离 【基础落实】 新知初探 知识点 1.两个点连线的线段长 2.一个平面　垂线段　垂线段的长 3.（1）垂线段的长 4.（1）任意一点到平面的距离　（2）到另一个平面的距离　 想一想 1.提示：利用向量法转化为求向量的模． 2.提示： 自我诊断 1.（1）×　（2）√　（3）√　（4）× 2.B　由已知得=（－1，0，－1），=（－1，－1，1），所以•=－1×（－1）＋0×（－1）＋（－1）×1=0，所以⊥，所以点A到直线BC的距离是||==．故选B． 3.　解析：=（0，0，1），n=（1，0，1），d===． 【典例研析】 【例 1】　解：（1）证明：∵PA⊥底面ABCD，AD⊥AB， ∴以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，由题意B（1，0，0），P（0，0，2），C（2，2，0），E（1，1，1），D（0，2，0）， =（0，1，1），=（0，2，－2）， ∴•=0，∴BE⊥PD． （2）∵=（1，2，0），=（－2，－2，2），=（2，2，0）， 由点F在棱PC上，设=λ=（－2λ，－2λ，2λ），0≤λ≤1， ∴=＋=（1－2λ，2－2λ，2λ）， ∵BF⊥AC，∴•=2（1－2λ）＋2（2－2λ）=0，解得λ=， ∴||=（1－）||==，即线段PF的长为． 跟踪训练 A　以直线DA，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（图略），则A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），A1（1，0，1），D1（0，0，1）．在平面A1AC上，点A关于直线A1C的对称点P的坐标为（，，）；在平面ABD1上，点A关于直线BD1的对称点Q的坐标为（，，）．故|PQ|=． 【例 2】　解：以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系． 则A1（4，0，1），C1（0，3，1）， 所以=（－4，3，0）． 设E满足=λ， 且BE⊥A1C1， 则=＋=（4，0，1）＋λ（－4，3，0）=（4－4λ，3λ，1），又⊥， ∴（4－4λ，3λ，1）•（－4，3，0）=0， ∴λ=． ∴=（4－4×，3×，1）， ∴||==， ∴B到直线A1C1的距离为． 母题探究 1.解：=（－4，3，1），设M满足=λ且•=0，则=＋=（4，0，0）＋λ（－4，3，1）=（4－4λ，3λ，λ）． 又•=0，∴（4－4λ，3λ，λ）•（－4，3，1）=0， ∴λ=， ∴=（4－，，）=（，，）， ∴||==， ∴B到AC1的距离为． 2.解：以B为原点，分别以BA所在直线，过B垂直于BA的直线，BB1所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则B（0，0，0），A1（2，0，2），C1（1，，2），=（2，0，2）， 所以A1C1的方向向量=（－1，，0），而=（1，，2）， 设E满足=λ且BE⊥A1C1， =＋=（2，0，2）＋λ（－1，，0）=（2－λ，λ，2）， 又⊥，∴（2－λ，λ，2）•（－1，，0）=0， ∴λ－2＋3λ=0，∴λ=，∴=（，，2）． ∴||==， ∴B到A1C1的距离为． 跟踪训练 解：∵PA⊥平面ABCD，∴∠PDA即为PD与平面ABCD所成的角， ∴∠PDA=45°，∴PA=AD=4，AB=2. 以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示． ∴A（0，0，0），B（2，0，0），P（0，0，4），D（0，4，0），=（0，－4，4）． 法一　设存在点E，使=λ，且BE⊥DP，设E（x，y，z），∴（x，y－4，z）=λ（0，－4，4）， ∴x=0，y=4－4λ，z=4λ， ∴E（0，4－4λ，4λ），=（－2，4－4λ，4λ）． ∵BE⊥DP，∴•=－4（4－4λ）＋4×4λ=0，解得λ=． ∴=（－2，2，2），∴||==2，故点B到直线PD的距离为2． 法二　=（－2，0，4），=（0，－4，4），∴•=16，∴在上的投影的长度为==2． ∴点B到直线PD的距离为d===2． 【例 3】　解：建立以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系，如图所示． 则D（0，0，0），P（0，0，1），A（1，0，0），C（0，1，0），E（1，，0），F（，1，0）， ∴=（1，，－1），=（，1，－1）， =（1，，0）． 设n=（x，y，z）是平面PEF的法向量， 则n•=x＋y－z=0，① n•=x＋y－z=0，② ①－②并整理得x－y=0. 令x=y=1，则z=． ∴n=（1，1，）． ∴点D到平面PEF的距离d====． 跟踪训练 D　由题意知，该几何体为长方体，建立空间直角坐标系如图所示，则A（2，0，0），C（0，2，0），M（1，2，0），N（0，2，2），可得=（－1，2，0），=（－1，0，2），=（0，0，2），设平面AMN的一个法向量为n=（x，y，z），则设y=1，则x=2，z=1，则n=（2，1，1），所以点C到平面AMN的距离为==．故选D． 【例 4】　解：（1）证明：∵四边形ADFE为矩形， ∴AE∥DF．又∵梯形ABCD中AB∥CD， AE⋂AB=A，DF⋂DC=D， AE，AB⊂平面ABE，DF，DC⊂平面DFC， ∴平面ABE∥平面DFC， ∵BE⊂平面ABE，∴BE∥平面DCF． （2）如图，以D为原点，建立空间直角坐标系． ∵AB∥CD，∠ABC=∠ADB=90°， 则△ADB∽△BCD⇒=，　 ∵CD=1，BC=2.∴BD=， ∴AD=2，AB=5，∴F（0，0，1）， D（0，0，0），A（2，0，0），B（0，，0），C（－，，0），=（0，－，1），=（，－，1），=（－，，0）． 设平面DCF的法向量为n=（x，y，z）， 则∴ 令x=1，y=2，z=0.∴n=（1，2，0）． d==2.∴B到平面DCF的距离等于2，即为直线BE到平面DCF的距离． 跟踪训练 1.C　由棱柱的几何性质可知，A1C1∥AC，又A1C1⊄平面EAC，AC⊂平面EAC，则A1C1∥平面EAC，所以点A1到平面EAC的距离即为直线A1C1到平面EAC的距离，因为正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底边长为2，∠B1AB=，则AA1=2，以点A为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，则A（0，0，0），A1（0，0，2），C（2，2，0），E（0，2，），所以=（0，2，），=（2，2，0），=（0，0，2），设平面AEC的法向量为n=（x，y，z），则即令x=，则y=－，z=2，故n=（，－，2），所以点A1到平面EAC的距离d===，故A1C1到平面EAC的距离为．故选C． 2.B　∵两平行平面α，β 分别经过坐标原点O和点A（2，1，1），=（2，1，1），且两平面的一个法向量n=（－1，0，1），∴两平面间的距离===，故选B． 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $