课时测评9　空间直角坐标系的构建问题-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（人教B版）

课时测评9　空间直角坐标系的构建问题 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9每小题5分，共45分) 1．如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB＝BB1＝2，则点C到直线AB1的距离为(　　) A． 　　 B． C． 　　 D． 答案：B 解析：取AC的中点O，则BO⊥AC，BO＝，以O为原点，，的方向分别为x，y轴的正方向建立空间直角坐标系，则A(0，－1，0)，B1(，0，2)，C(0，1，0)，所以＝，＝，所以在上的投影的长度为＝＝，故点C到直线AB1的距离d＝＝.故选B. 2．如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别为DD1，BD，BB1的中点，则EF与CG所成的角的余弦值为(　　) A． B． C． D． 答案：C 解析：以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则E，F，C(0，1，0)，G，所以＝，＝，设EF与CG所成的角的大小为θ，则cos θ＝＝＝＝＝. 故选C. 3．如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，AA1＝8.点A2，C2，D2分别在棱AA1，CC1，DD1上，AA2＝2，DD2＝4，CC2＝6，则点D到平面A2C2D2的距离为(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：以C为坐标原点，CD，CB，CC1所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则D(4，0，0)，C2(0，0，6)，D2(4，0，4)，A2(4，4，2)，＝(0，0，4)，＝(－4，－4，4)，＝(－4，0，2).设平面A2C2D2的法向量为m＝(a，b，c)，则即令a＝1，得m＝(1，1，2).点D到平面A2C2D2的距离为＝＝.故选D. 4．如图，将菱形纸片ABCD沿对角线AC折成直二面角，E，F分别为AD，BC的中点，O是AC的中点，∠ABC＝，则折后直线AC与平面OEF所成角的正弦值为(　　) A． B． C． D． 答案：A 解析：连接OD，OB，依题意可得OD⊥AC，OB⊥AC，又平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC＝AC，OD⊂平面ADC，所以OD⊥平面ABC，以O为原点，OB，OC，OD所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，AB为两个单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，则D，E，F，＝，＝.设平面OEF的法向量为n＝，则即取y＝1，得n＝(－，1，)，易得与共线的一个向量为m＝，所以直线AC与平面OEF所成角的正弦值为＝＝.故选A. 5．在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BC，CD的中点，则直线BD到平面EFD1B1的距离为(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：如图建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，E，F，B1(1，1，1)，D1(0，0，1)，所以＝，＝(－1，－1，0)，＝，设平面EFD1B1的法向量为n＝(x，y，z)，则即令z＝1，则n＝(－2，2，1)，因为BD∥B1D1，BD⊄平面EFD1B1，B1D1⊂平面EFD1B1，所以BD∥平面EFD1B1，所以直线BD到平面EFD1B1的距离即为点B到平面EFD1B1的距离，所以直线BD到平面EFD1B1的距离为d＝＝＝.故选D. 6．(多选)已知正方体ABCD-A1B1C1D的棱长为2，M为棱CC1上的动点，AM⊥平面α，则直线AB与平面α所成角的正弦值可以是(　　) A． B． C． D． 答案：ABC 解析：以D为坐标原点，以DA，DC，DD1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A(2，0，0)，B(2，2，0)，设M(0，2，a)，0≤a≤2，因为AM⊥平面α，故＝(－2，2，a)可作为平面α的一个法向量，而＝(0，2，0)，设直线AB与平面α所成角为θ，θ∈，则sin θ＝|cos〈，〉|＝＝＝，因为0≤a≤2，故2≤≤2，故∈，即sin θ∈，而∈，∉.故选ABC. 7．如图，三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，且AB＝BC＝2，AP＝a.若D是棱PC上的点，满足PD＝PC，且AD⊥PB，则a＝　　　　Ｗ． 答案： 解析：因为PA⊥平面ABC，AB，BC⊂平面ABC，所以PA⊥AB，PA⊥BC，又AB⊥BC，故PA，AB，BC两两垂直，以A为坐标原点，AB，AP所在直线分别为y，z轴，平行于BC的直线为x轴，建立空间直角坐标系，故A，B(0，2，0)，C(2，2，0)，P，因为PD＝PC，所以D，因为AD⊥PB，所以·＝·＝－a2＝0，解得a＝(负值舍去). 8．(2024·山东淄博高二质量检测)如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，若已知AB＝3，AD＝4，PA＝1，则D到直线PB的距离为　　　　　Ｗ． 答案： 解析：由于PA⊥平面ABCD，AB，AD⊂平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD，而四边形ABCD是矩形，所以AB⊥AD，由此以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则P，B，D，＝，＝，·＝－9，＝，＝5，所以D到直线PB的距离为＝＝. 9．已知梯形CEPD如图①所示，其中PD＝8，CE＝6，A为线段PD的中点，四边形ABCD为正方形，现沿AB进行折叠，使得平面PABE⊥平面ABCD，得到如图②所示的几何体．已知当AB上一点F满足＝λ(0<λ<1)时，平面DEF⊥平面PCE，则λ的值为　　　　Ｗ． 答案： 解析：由题意，可构建以A为原点，射线AB，AD，AP为x，y，z轴正方向的空间直角坐标系(图略)，所以C(4，4，0)，D(0，4，0)，E(4，0，2)，P(0，0，4)，F(4λ，0，0)，则＝(4，0，－2)，＝(4，4，－4)，＝(4(λ－1)，0，－2)，＝(4，－4，2)，若m＝(x，y，z)是平面DEF一个法向量，则⇒⇒可得m＝，若n＝(a，b，c)是平面PCE一个法向量，则⇒⇒可得n＝(1，1，2)，由平面DEF⊥平面PCE，所以有＋＋4＝0，解得λ＝. 10．(10分)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB＝90°，＝＝|CC1|＝2. (1)求证：AB1⊥BC1； (2)求点B到平面AB1C1的距离． 解：(1)证明：建立空间直角坐标系，其中C为坐标原点． 依题意得A(2，0，0)，B(0，2，0)，B1(0，2，2)，C1(0，0，2)， 因为·＝(－2，2，2)·(0，－2，2)＝0，所以AB1⊥BC1. (2)设n1＝是平面AB1C1的法向量， 由得 所以令z1＝1，则n1＝(1，0，1)， 因为＝(－2，2，0)，所以B到平面AB1C1的距离为d＝＝＝. 11．(5分)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，动点M在线段CC1上，动点P在平面A1B1C1D1上，且AP⊥平面MBD1，则线段AP长度的取值范围为(　　) A．[1，] B．[1，] C．[，4] D．[2，4] 答案：D 解析：以D为坐标原点，以DA，DC，DD1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设P(a，b，4)，CM＝t，t∈[0，4]，则M(0，4，t)，A(4，0，0)，B(4，4，0)，D1(0，0，4)，则＝(a－4，b，4)，＝(－4，－4，4)，＝(0，－4，4－t)，因为AP⊥平面MBD1，则即解得故P(4＋t，4－t，4)，则|AP|＝＝，而函数y＝22＋24，t∈[0，4]在t＝2时取到最小值24，在t＝0，4时，取最大值32，故|AP|∈[2，4]．故选D. 12．(5分)(多选)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，∠ABC＝，AB＝PA＝CD＝2，BC＝2，M为PD的中点，则下列结论正确的是(　　) A．直线CM与AD所成角的余弦值为 B．||＝2 C．BM⊥PC D．点M到直线BC的距离为 答案：ABD 解析：过A作AE⊥CD，垂足为E，则DE＝2，以A为原点，分别以AE，AB，AP所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0，2，0)，C(2，2，0)，D(2，－2，0)，P(0，0，2)，M(，－1，1)，＝(，－3，1)，＝(－，－3，1)，＝(2，2，－2)，＝(2，0，0)，＝(0，－2，2)，＝(2，－2，0)，因为cos〈，〉＝＝＝，所以直线CM与AD所成角的余弦值为，故A正确；因为||＝＝2，所以B正确；因为·＝×2＋(－3)×2＋1×(－2)＝－4≠0，所以BM与PC不垂直，故C不正确；设点M到直线BC的距离为d，则d＝＝＝，即点M到直线BC的距离为，故D正确．故选ABD. 13．(15分)已知四棱锥P-ABCD中，侧面△PAD为等边三角形，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠ABC＝90°，BC＝CD＝AB＝2，PA⊥BD. (1)求证：平面PAD⊥平面ABCD； (2)求直线PC与平面PBD所成角的正弦值． 解：(1)证明：四棱锥P-ABCD中，∠ABC＝90°，BC＝CD＝AB＝2， 则BD＝＝2，AD＝＝2，AB＝4， 所以BD2＋AD2＝AB2， 所以AD⊥BD， 又PA⊥BD，且PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD， 所以BD⊥平面PAD，又BD⊂平面ABCD， 所以平面ABCD⊥平面PAD，即平面PAD⊥平面ABCD. (2)如图建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，B(0，2，0)，C(－，，0)，P(，0，)， 所以＝，＝，＝， 设平面PBD的法向量为n＝，则即 令x＝，则z＝－1，所以n＝， 设直线PC与平面PBD所成角为θ，则sin θ＝＝＝＝， 所以直线PC与平面PBD所成角的正弦值为. 14．(5分)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知异面直线A1C与AD，A1C与AB所成角的大小分别为60°和45°，则直线B1D和平面A1BC所成的角的余弦值为(　　) A． B． C． D． 答案：A 解析：设AD＝1，AB＝a，AA1＝c，则A1C＝，由于AD∥BC，所以异面直线A1C与AD所成角为∠A1CB＝60°，从而A1C＝2，由于AB∥CD，所以异面直线A1C与AB所成角为∠A1CD＝45°，从而A1C＝a，所以c＝1，a＝，以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B(1，，0)，C(0，，0)，B1(1，，1)，＝(－1，－，－1)，＝(0，，－1)，＝(－1，0，0)，设平面A1BC的法向量为n＝(x，y，z)，则即取n＝(0，1，).所以直线B1D和平面A1BC所成的角的正弦值为＝＝，从而直线B1D和平面A1BC所成的角的余弦值为＝.故选A. 15．(15分)如图，梯形ABCD中，AD＝4，E为AD中点，且CE⊥AD，CE＝BC＝1，将△DEC沿CE翻折到△PEC，使得∠PEA＝.连接PA，PB. (1)求证：BE⊥PC； (2)Q为线段PA上一点，若＝λ，若二面角Q-BC-A的平面角的余弦值为时，求实数λ的值． 解：(1)证明：因为CE⊥AD，所以CE⊥AE，CE⊥PE.又PE∩AE＝E，PE，AE⊂平面PAE， 所以CE⊥平面PAE. 又CE⊂平面ABCE，所以平面ABCE⊥平面PAE. 在梯形ABCD中，DE＝2，所以AE＝2. 所以在四棱锥P-ABCE中，PE＝AE＝2. 因为∠PEA＝，所以△PAE为正三角形． 取AE中点O，连接PO，OB，OC.易得PO⊥AE，OB⊥AE. 由面面垂直的性质可得PO⊥平面ABCE， 所以PO⊥BE. 又BC＝CE＝OE＝1，CE⊥AE，CE⊥BC， 所以四边形OBCE为正方形，所以BE⊥OC. 又OC∩PO＝O，OC，PO⊂平面POC， 所以BE⊥平面POC. 又PC⊂平面POC，所以BE⊥PC. (2)由(1)知OA，OB，OP两两垂直．以O为坐标原点．以OA，OB，OP所在直线建立如图所示的坐标系，则A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(－1，1，0)，P(0，0，)，由＝λ得Q(1－λ，0，λ)(0≤λ≤1)，则＝(1－λ，－1，λ)，＝(－1，0，0). 设平面QBC的法向量为m＝， 则即即m＝. 易知平面ABC的一个法向量为n＝， 所以＝＝＝， 解得λ＝或－(舍).所以λ＝. 学生用书↓第35页 学科网（北京）股份有限公司 $