1.1.2 空间向量基本定理(Word学生用书)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教B版)

该高中数学导学案聚焦空间向量基本定理，涵盖共线、共面向量定理及基底应用。以“小李面试路线”情境导入，用单位向量表示空间位置，衔接平面向量到空间向量的扩展，搭建从具体到抽象的学习支架。 资料特色在于情境化设计激发兴趣，结合正方体、平行六面体等模型培养直观想象，通过辨析题、一题多解强化逻辑推理，母题探究变式训练提升数学抽象能力，助力学生用数学思维解决空间问题，发展核心素养。

1.1.2　空间向量基本定理 课标 要求 1.理解空间向量的共线、共面基本定理，并能应用定理解决一些问题（数学抽象）． 2.掌握空间向量的基本定理及其意义（直观想象）． 　　学生小李参加某大学自主招生考试，在一楼咨询处小李得知：面试地点由此向东100米，再向南150米，然后乘1号电梯到位于6楼的2号学术报告厅参加面试．设e1是向东的单位向量，e2是向南的单位向量，e3是向上的单位向量． 【问题】　假定每层楼高为3米，你能用e1，e2，e3表示出由咨询处到面试地点的向量p吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　共面向量定理 1.共线向量基本定理 空间中，若a≠0且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得　　　　． 2.共面向量定理 如果两个向量a，b不共线，则向量a，b，c共面的充要条件是，存在唯一的实数对（x，y），使c=　　　　． 提醒：（1）向量c与a，b共面的充要条件是在向量a与b不共线的前提下才成立的，若a与b共线，则不成立；（2）三个向量共面，又称这三个向量线性相关；如果三个向量不共面，则称这三个向量线性不相关． 知识点二　空间向量基本定理 如果空间中的三个向量a，b，c　　　　，那么对空间中的任意一个向量p，存在　　　　的有序实数组（x，y，z），使得p=　　　　　．其中{a，b，c}叫作空间的一个　　　　，a，b，c都叫作　　　　．若p=xa＋yb＋zc，则称xa＋yb＋zc为p在基底{a，b，c}下的　　　　． 【想一想】 1.构成基底的三个向量中，可以有零向量吗？ 2.在四棱锥O－ABCD中，可表示为x＋y＋z且唯一，这种说法对吗？ 1.判断正误．（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）若A，B，C三点共线，则与共线．（　　） （2）向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上．（　　） （3）若p=xa＋yb，则p与a，b共面．（　　） （4）若p与a，b共面，则p=xa＋yb．（　　） 2.已知a，b，c是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（　　） A.3a，a－b，a＋2b　　 B.2b，b－2a，b＋2a C．a，2b，b－c　　 D．c，a＋c，a－c 3.如图在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为AC和BD的交点，若=a，=b，=c，则=　　　　．（用a，b，c表示） 题型一　空间向量共线问题 （链接教科书第16页练习A 2题）如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为A1C上一点，且=，BD与AC交于点M．求证：C1，O，M三点共线． 尝试解答 规律方法 1.要判定空间图形中的两向量共线，往往寻找图形中的三角形或平行四边形，并利用向量运算法则进行转化，从而使其中一个向量表示为另一个向量的倍数关系，即可证得这两向量共线． 2.证明空间三点P，A，B共线的方法 （1）=λ（λ∈R）； （2）对空间任一点O，=＋t（t∈R）； （3）对空间任一点O，=x＋y（x＋y=1）． 〔一题多解〕如图，四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，则与是否共线？ 题型二　空间向量共面问题 （链接教科书第13页例1）如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，求证：，，是共面向量． 尝试解答 规律方法 1.解决向量共面的策略 （1）若已知点P在平面ABC内，则有=x＋y或=x＋y＋z（x＋y＋z=1），然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数； （2）证明三个向量共面（或四点共面），需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示． 2.证明空间四点P，M，A，B共面的等价结论 （1）=x＋y； （2）对空间任一点O，=＋x＋y； （3）对空间任一点O，=x＋y＋z（x＋y＋z=1）； （4）∥（或∥或∥）． 如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，M为DD1的中点，N∈AC，且=2，求证：A1，B，N，M四点共面． 题型三　基底的判断及应用 角度1　基底的判断 （链接教科书第15页例2）已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且=e1＋2e2－e3，=－3e1＋e2＋2e3，=e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间的一个基底？ 尝试解答 规律方法 基底判断的基本思路及方法 （1）基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底； （2）方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底；②假设a=λb＋μc，运用空间向量基本定理，建立λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底；③依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断． 　〔多选〕设x=a＋b，y=b＋c，z=c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，则下列向量组中，可以作为空间一个基底的向量组有（　　） A．{a，b，x}　　 B．{x，y，z} C．{b，c，z}　　 D．{x，y，a＋b＋c} 角度2　空间向量基本定理的应用 如图，在三棱柱ABC－A′B′C′中，已知=a，=b，=c，点M，N分别是BC′，B′C′的中点，试用基底{a，b，c}表示向量，． 尝试解答 【母题探究】 1.（变条件）若把本例中的=a改为=a，其他条件不变，则结果又是什么？ 2.（变条件，变设问）如图所示，本例中增加条件“P在线段AA′上，且AP=2PA′”，试用基底{a，b，c}表示向量． 规律方法 用基底表示向量的步骤 （1）定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底； （2）找目标：用确定的基底（或已知基底）表示目标向量，需要根据三角形法则或平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果； （3）下结论：利用空间向量的一个基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量． 1.已知{a，b，c}能构成空间的一个基底，则下面的各组向量中，不能构成空间基底的是（　　） A．a＋b，b，c B．a，a－b，c C．a－c，b－c，a－b　　 D．a，b，a＋b＋c 2.已知空间向量a，b，c不共面，且2a＋b－c=（z－1）a＋xb＋2yc，则x，y，z的值分别是（　　） A.2，1，2　　 B.2，1，－2 C.1，－，3　　 D.1，，3 3.〔多选〕下列命题正确的是（　　） A．若p=xa＋yb，则p与a，b共面 B．若p与a，b共面，则p=xa＋yb C．若=x＋y，则M，P，A，B共面 D．若M，P，A，B共面，则=x＋y 4.从空间一点P引出三条射线PA，PB，PC，在PA，PB，PC上分别取=a，=b，=c，点G在PQ上，且PG=2GQ，H为RS的中点，则=　　　　．（用a，b，c表示） 完成课后作业　第一章　1.1　1.1.2 答案 1.1.2　空间向量基本定理 【基础落实】 新知初探 知识点一 1.b=λa　2.xa＋yb 知识点二 不共面　唯一　xa＋yb＋zc　基底　基向量　分解式 想一想 1.提示：不可以． 2.提示：对． 自我诊断 1.（1）√　（2）×　（3）√　（4）× 2.C　∵a＋2b=3a－2（a－b），∴3a，a－b，a＋2b共面；∵b＋2a=2b－（b－2a），∴2b，b－2a，b＋2a共面；∵a＋c=（a－c）＋2c，∴c，a－c，a＋c共面．故选C． 3.－a＋b－c　解析：=－=（＋）－（＋）=－＋－=－a＋b－c． 【典例研析】 【例 1】　证明：如图，连接AO，AC1，A1C1.∵=，∴=＋=＋=＋（＋）=＋． ∵=2，=＋=－=－2， ∴=（－2）＋=＋． ∴，，共面． ∵＋=1，∴C1，O，M三点共线． 跟踪训练 解：法一　∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形， ∴=＋＋ =＋＋．① 又∵=＋＋＋ =－＋－－，② ①＋②得2=， ∴∥，即与共线． 法二　∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形， ∴=－=（＋）－ =（＋）－（＋） =（－）=（－）=． ∴∥，即与共线． 【例 2】　证明：设=a，=b，=c， ∵四边形B1BCC1为平行四边形， ∴=c－a． ∵O是B1D1的中点， ∴=（a＋b）， ∴=－（a＋b）， =－=b－（a＋b）=（b－a）． ∵=，∴=c， ∴=＋=（b－a）＋c． 若存在实数x，y，使=x＋y（x，y∈R）成立，则c－a=x［（b－a）＋c］＋y［－（a＋b）］ =－（x＋y）a＋（x－y）b＋xc． ∵a，b，c不共线， ∴解得 ∴=＋， ∴，，是共面向量． 跟踪训练 证明：设=a，=b，=c，则=b－a， ∵M为线段DD1的中点， ∴=c－a， 又∵=2， ∴==（b＋c）， ∴=－=（b＋c）－a =（b－a）＋（c－a） =＋， ∴，，为共面向量． 又∵三个向量有相同的起点A1， ∴A1，B，N，M四点共面． 【例 3】　解：假设，，共面，由向量共面的充要条件知存在实数x，y，使=x＋y成立． ∴e1＋2e2－e3=x（－3e1＋e2＋2e3）＋y（e1＋e2－e3）=（－3x＋y）e1＋（x＋y）e2＋（2x－y）e3. ∵{e1，e2，e3}是空间的一个基底， ∴e1，e2，e3不共面，∴此方程组无解， 即不存在实数x，y，使=x＋y成立． ∴，，不共面． 故{，，}能作为空间的一个基底． 跟踪训练 BCD　如图所示，令a=，b=，c=，则x=，y=，z=，a＋b＋c=．由于A，B1，C，D1四点不共面，可知向量x，y，z也不共面，同理b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面． 【例 4】　解：=＋ =＋ =＋（＋） =＋＋（－） =b＋a＋（c－b） =b＋a＋c－b =a＋b＋c． =＋＋ =＋＋ =a＋b＋（－） =a＋b＋（c－b） =a＋b＋c． 母题探究 1.解：=＋=＋ =＋（－）=b＋（a－b） =a＋b． =＋=＋ =－ =－（－） =a－（c－b）=a＋b－c． 2.解：=＋＋ =－－ =（＋）－－ =［＋（－）］－－ =（a＋c－b）－c－a=a－b－c． 随堂检测 1.C　由图形结合分析a－c，b－c，a－b三个向量共面，不构成基底，故选C． 2.C　由题设知解得故选C． 3.AC　A、C选项：由向量共面定理知p=xa＋yb，则p与a，b共面；=x＋y，则M，P，A，B共面，正确；B选项：若a，b共线，p与a，b不共线，则p=xa＋yb就不成立；D选项：若M，A，B共线，点P不在此直线上，则=x＋y不成立． 4.－a＋b＋c　解析：如图，=－=（b＋c）－a． 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $