课时测评4　空间向量的坐标与空间直角坐标系-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（人教B版）

多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 课时测评4空间向量的坐标与空间直角坐标系对应学生用书P129 (时间：40分钟满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) √基础排查(1一8每小题5分，共40分) 1,(多选)下列各命题正确的是() A.点(1，一2,3)关于平面Oxz的对称点为(1,2,3) B.点aws4 allcol(12),1,一3)关于y轴的对称点为avs4 allcol(-12),1,3) C.点(2，-1,3)到平面Oyz的距离为1 D.设{i,j,k}是空间向量的单位正交基底，若m=3-2j+4k,则m=(3,一2,4) 答案：ABD 解析：“关于谁对称谁不变”，所以A正确，B正确，C中(2，一1,3)到平面Oz的距离为 2,所以C错误.根据空间向量的坐标定义，D正确！ 2.已知，，k是标准正交基底，且=一i+j一k,则的坐标为() A.(-1,1,-1) B.(-i,j,-k) C.1,-1,-1) D.(1,-1,1) 答案：A 解析：根据空间向量坐标的定义，知=（一1,1，一1），故选A. 3.向量a=(-2,一3,1)，b=(2,0,4),c=(-4,一6,2)，下列结论正确的是() A.a∥b,a⊥b B.a∥b,a⊥c C.a∥c,a⊥b D.以上都不对 答案：C 解析：因为ab=(-2,-3,1)(2,0,4)=-2×2+(-3)×0+1×4=0,所以a⊥b.又因为 a=(-2,-3,1)=12(-4,-6,2)=12c,所以a∥c 4.在空间直角坐标系中，已知A(1,一2,1)，B(2,2,2),点P在z轴上，且满足PA=| PB,则P点坐标为() A.(3,0,0) B.(03,0) C.(0,0,3) D.(0,0,-3) 答案：C 独家授权侵权必究· 多学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 5.ZxXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 解析：设P(0,0,z), 则有(1-0)2+(-2-0)2+(1一2 =2-0)2+(2-0)2+(2-)2,解得z=3 5.(多选)若向量a=(1,2,0),b=(-2,0,1),则下列结论正确的是() A.cos(a,b〉=-25 B.a⊥b C.a∥b D.a=b 答案：AD 解析：因为向量a=(1,2,0),b=(-2,0,1),所以d=5,1bl=5,ab=1×(-2)十2×0 +0×1=-2,cos〈a,b〉=abab=一25=-25.由上知A正确，B不正确，D正确.C 显然也不正确 6.如图所示，以长方体ABCD-A1B1CD1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线 为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为(4,3,2)，则的坐标为 答案：(-4,3,2) D D 解折：由-→++，且=4,3,2，所以=4，=3,1=2，又= +++,所以=(4,3,2》 7.已知空间三点A(1,1,1),B(-1,0,4),C(2,一2,3)，则与的夹角的大小是 答案：120° 解析：因为=(-2，-1,3)，=(-1,3，-2)， 0s，)= =-714=-12, 所以〈，)=120° 8.(一题两空)已知A(1,2,0,B0,1,一1)，P是x轴上的动点，当1=时，点P的 ·独家授权侵权必究· 色学科网书城回 品牌书店·知名教辅·正版资源 5.ZxXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 坐标为 当广取最小值时，点P的坐标为 答案：aws4acol0f32),0,0)avs4 allcol(f12),0,0) 解析：因为P在x轴上，设Px,0,0),由=，则c一1)2十4十0=x2十1十1解得x= → 32.所以，点P的坐标为aws4 aleol0f32,0,0,又=c-1,-2,0,=,-1,1). →+=e-)+2=as4aco1收-122+74，所以当x=12时，.取最小值74，光 时点P的坐标为avs4 allcol(f12),0,0) 9.(I0分)如图，在正四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，O是AC与BD 的交点，PO=1,M是PC的中点，设=a,=b, =c D B (1)用向量a,b,c表示； (②)在如图的空间直角坐标系中，求的坐标. 解：0因为→-+，=， 2→→=→→，→=→ =12, 所以-+12)=+12-12+ =-12+12+12=-12a+126+12c (2)因为A(0,0,0),Olalvs44 alcolf112),0,P八avs4 al\colf(112),1, B(1,0,0),D0,1,0), ◆ 所以a==(1,0,0),b==(0,1,0). 所以e=+_=+_→=alvs4 aco0i012,1, 所以→=-12a+126+12c=-121,0,0+120,1,0+12aws4aco10t12,1=y avs4al小col(-f1312). 独家授权侵权必究· 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 5.ZxXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 10.(10分)在长方体OABC-O41B1C1中，OA=2,AB=3,A41=2,E是BC的中点，以O 为原点，建立空间直角坐标系，用向量方法解决下列问题. 0 B (1)求异面直线AO1与BE所成角的余弦值： (2)过点O1作OD⊥AC于点D,求点O1到点D的距离. 解：由题意得，以0为原点，分别以，→，→的方向为轴，y,2轴的正方向建立空 间直角坐标系，如图所示， (1)由题意得A(2,0,0),O1(0,0,2),B1(2,3,2),E(1,3,0), 所以=(-2,0,2，=(1,0，-2 所以cos〈，)=-2210=-1010， 因为异面直线所成的角为锐角或直角， 故异面直线AO1与B1E所成的角的余弦值为10)10 ②由题意得1，→/，C0,3,0.设D,,0, 则=，，-2，→=-2,0. +=（-2,3,0,所以-2x+3y=0,x-2y3), 解得x=/f18131213),所以Dlalvs4al小colf181213),0, 所以O1D=|=rc2+bIc0rc2 =1144132)=286)13. √综合运用 11.(5分)（多选）从点P(1,2,3)出发，沿着向量v=(-4,一1,8)方向取点Q,使PQ=18 ,则Q点的坐标为() A.(-1,-2,3) B.(9,4,-13) C.(-7,0,19) D.(1,-2,-3) 答案：BC 独家授权侵权必究· 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 5.ZxXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 解析：设Qx0,0,z0),则=w,即(x0-1,yo-2,z0-3)=1(-4,-1,8).由PQ=18 ，得(-4)2十(-)2+(8)2=18，所以1=±2，所以(x0-1,y0-2,z0-3)=±2(-4，-1， 8),所以x0=-7,y0=0,z0=19,或x0=9,y0=4,z0=-13.故选BC 12.(5分)如图所示，正四面体ABCD的棱长为1，G是△BCD的中心，建立如图所示的空 间直角坐标系，则的坐标为 的坐标为 B45-- D 答案：avs4 alcol(0,0,-f0r(63)avs4 alcol(0,-f0r(3r(63) Arcl 解析：由题意可知，BG=23BE=23×32=33,所以4G=AB2-BG2=3川slup12(2)= 63,所以=-63k=-0,0,1）=ars4ac010,0.-6.→_+_+= 33j-63k=-3)30,1,0)-6)30,0,1)=alvs4alco1(0,-f0r(3r(63). 13.(10分)棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F,G分别是DD1,BD,BB1的中点. (I)求证：EF⊥CF; (2)求与所成角的余弦值： (3)求CE的长 解：建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则D0,0,0),Elaws-4 alcol(0,O,f12, C(0,1,0),Falvs4\alcol(f(112),0,Glaws4lallcol(1,1,12)). 所以=aivs4alco10fI12,→=avs4 alco110tI12,0,→=ais4 halcol(1,0,ym2, =lalvs4alcol(0,-1,(12)). D (1)证明：因为·=12×12+12×avs4alco1(-12》+aws4alco1(-12)X0=0,所 独家授权侵权必究· 色学科网书城回 品牌书店·知名教辅·正版资源 5.ZxXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 以+L,即F1CF ②因为.→=12X1+12x0+as4 alco1(-712》X12=14, rc)+-wIc(e+(=3)2, =2》sp12x2=52, rc 所以cos〈，)=EF-→）→)Er-）-)=14652=1515 6=2)八sp122=52 √创新拓展 14.(5分)（新角度）如图所示的正方体是一个三阶魔方（由27个全等的棱长为1的小正方体构 成)，正方形ABCD是上底面正中间的一个正方形，正方形A1BCD1是下底面最大的正方形， 已知点P是线段AC上的动点，点Q是线段BD上的动点，则线段PQ长度的最小值为 D C B 答案：3434 解析：以B1为坐标原点，B1C1,B41所在直线分别为x,y轴过B1垂直于底面的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B1(0,0,0),A(1,2,3),C(2,1,3),D(2,2, 3,设BQ=8,D,→=4，，Me0,1小，则BQ=2,2,3)=22.2,3动，BP=B4 +=B4+u=1,2,3)+1,-1,0=1+,2-4,3》,所以=B,P-BQ=1+-21 ，2-H-21,3-3).所以P=(1+u-202+(2-4-22+(3-302=172-301+242-24 +14=17avs4alco1(a-f1517)2+2avs4aco1(u-f12)2+934.当=1517且u=12时，1 2取得最小值934，所以线段PQ长度的最小值为3434 ·独家授权侵权必究· 色学科网书城回 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 D/C *B Q y A B 15.(15分)己知A(1,0,0),B0,1,0),C(0,0,2). 若，一，求点D的坐标： (②)问是否存在实数a,B,使得=a+B成立？若存在，求出a,的值；若不存在， 说明理由。 解：(1)设D,2,则=(-x,1-y,-,→=(-1,0,2.→=(-，一y2- → ,=(-1,1,0). →→→ 因为∥， ∥，所以存在实数m,n, =m, →→→ =n, 即(-x,1-y,-z=m(-1,0,2),（-x,-y,2-)=n(-1,1,0),） 解得x=-1,y=1,z=2.即D(-1,1,2) ②依题意=(-1,1,0，→=(-1,0,2，→=0，-12). ◆ 假设存在实教，B,使得=a十B成立. 则有(-1,0,2)=(-1,1,0)+0，-1,2)=(-a,a-B,20, 所以a=1,a一B=0,2B=2,故存在a=B=1, 使得→=→+B→成立. ◆ ·独家授权侵权必究·