1.1.1 第2课时 空间向量的数量积(Word学生用书)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教B版)

该高中数学导学案聚焦空间向量的数量积，涵盖定义、性质、运算律及投影概念。课堂以物理“力做功”情境导入，衔接平面向量数量积知识，通过问题链与“想一想”环节搭建学习支架，引导学生构建空间向量数量积的认知框架。 资料特色鲜明，情境导入培养直观想象，典例研析包含数量积运算、投影、夹角、距离等题型，结合自我诊断与跟踪训练，提升数学运算能力，促进逻辑推理，助力学生自主学习，符合新课标核心素养要求。

第二课时　空间向量的数量积 课标 要求 1.掌握空间向量的数量积及其性质（直观想象）． 2.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义（数学运算）． 如果一个物体在力F的作用下产生位移S，那么力F所作的功W=F×S=|F|•|S|cos θ，为了在数学中体现“功”这样一个标量，我们引入了“数量积”的概念． 【问题】　（1）空间向量的数量积的定义是什么？ （2）空间向量数量积有哪些运算律？与平面向量数量积的运算律一样吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　空间向量的数量积 1.空间向量的夹角 如果〈a，b〉=，那么向量a，b　　　　　，记作a⊥b． 【想一想】 1.当〈a，b〉=0和〈a，b〉=π时，向量a与b有什么关系？ 2.〈a，b〉，〈－a，b〉，〈a，－b〉，〈－a，－b〉，它们有什么关系？ 2.空间向量数量积的定义 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫作a与b的数量积（也称为内积），记作a•b．即a•b=|a|•|b|cos〈a，b〉． 3.数量积的几何意义 （1）向量的投影：如图所示， 过a的始点和终点分别向b所在的直线作垂线，即可得到向量a在向量b上的投影a′； （2）数量积的几何意义：a与b的数量积等于a在b上的投影a′的数量与b的长度的乘积，特别地，a与单位向量e的数量积等于a在e上的投影a′的数量．规定零向量与任意向量的数量积为0. 4.空间向量数量积的性质 （1）a⊥b⇔a•b=0； （2）a•a=|a|2=a2； （3）|a•b|≤|a||b|； （4）（λa）•b=λ（a•b）； （5）a•b=b•a（交换律）； （6）（a＋b）•c=a•c＋b•c（分配律）． 提醒：（1）向量a，b的数量积记为a•b，而不能表示为a×b或ab；（2）向量数量积的运算不满足消去律和乘法结合律，即a•b=a•c⇒/ b=c，（a•b）•c≠a•（b•c）． 【想一想】 空间向量a在向量b上的投影是向量吗？ 1.判断正误．（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）零向量与任意向量的数量积为0.（　　） （2）向量a在向量b上的投影向量c=|a|cos〈a，b〉．（　　） （3）向量a在平面β上的投影是一个向量．（　　） （4）若非零向量a，b共线，则a•b=|a||b|．（　　） 2.已知向量e1，e2，e3是两两垂直的单位向量，且a=3e1＋2e2－e3，b=e1＋2e3则（6a）•（b）=（　　） A．15　　 B．3 C．－3　　 D．5 3.如图，空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则•=（　　） A．　　 B．C．　　 D． 题型一　数量积的运算 角度1　空间向量数量积的运算 （链接教科书第11页例5）已知正四面体OABC的棱长为1，如图所示．求： （1）•； （2）（＋）•（＋）． 尝试解答 【母题探究】 　（变条件，变设问）在本例条件下，若E，F分别是OA，OC的中点，求： （1）•； （2）•； （3）•． 角度2　空间向量的投影 已知|a|=4，空间向量e为单位向量，〈a，e〉=，则空间向量a在向量e方向上的投影的数量为（　　） A．2 B．－2 C．－　　 D． 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 规律方法 求空间向量数量积的步骤 （1）首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式； （2）利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积； （3）根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模； （4）代入公式a•b=|a|•|b|•cos〈a，b〉求解． 提醒：在求两个向量夹角时，要注意向量的方向． 1.在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，设=a，=b，=c，则a•（b＋c）的值为（　　） A.1　　 B.0 C．－1　　 D．－2 2.已知空间向量a与b的夹角为60°，|a|=2，|b|=6，则2a－b在a方向上的投影的数量为　　　　． 题型二　空间向量的夹角 已知空间四边形OABC各边及对角线长都相等，E，F分别为AB，OC的中点，求向量与夹角的余弦值． 尝试解答 规律方法 利用数量积求异面直线的夹角或其夹角余弦值的步骤 提醒：向量与向量的夹角为∠BAC而与的夹角为π－∠BAC． 　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，则向量与的夹角等于（　　） A．45°　　 B．60° C．90°　　 D．120° 题型三　利用空间向量的数量积求距离 如图所示，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，∠BAD=，∠BAA1=∠DAA1=． （1）求•； （2）求AC1的长度． 尝试解答 规律方法 求两点间的距离或线段长度的方法 （1）将此线段用向量表示； （2）用其他已知夹角和模的向量表示该向量； （3）利用|a|=，通过计算求出|a|，即得所求距离． 　（2026•沈阳高二期末）如图，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB=5，AD=5，AA1=6，∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=，则AC1的长为　　　　． 1.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各对向量夹角为45°的是（　　） A．与　　 B．与 C．与　　 D．与 2.在空间四边形ABCD中，•＋•＋•=（　　） A．－1　　 B．0 C．1　　 D．不确定 3.已知空间向量a，b，c满足a＋b＋c=0，|a|=2，|b|=3，|c|=4，则a与b的夹角为（　　） A.30°　　 B.45° C.60°　　 D．以上都不对 4.已知空间向量a，b，c两两夹角均为60°，其模均为1，则|a＋b－2c|=　　　　． 完成课后作业　第一章　1.1　1.1.1　第二课时 答案 第二课时　空间向量的数量积 【基础落实】 新知初探 知识点 1.非零　∠AOB　〈a，b〉　［0，π］　互相垂直 想一想 1.提示：当〈a，b〉=0时，a与b同向；当〈a，b〉=π时，a与b反向． 2.提示：〈－a，b〉=〈a，－b〉=π－〈a，b〉，〈－a，－b〉=〈a，b〉． 想一想 提示：是向量． 自我诊断 1.（1）√　（2）×　（3）√　（4）× 2.B　∵向量e1，e2，e3是两两垂直的单位向量，且a=3e1＋2e2－e3，b=e1＋2e3，∴（6a）•（b）=3a•b=3×（3e1＋2e2－e3）（e1＋2e3）=9|e1|2－6|e3|2=3.故选B． 3.B　依题意，E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，所以FG∥AC，FG=AC，△ABC是等边三角形，且边长为1.所以•=•=||•||•cos 60°=．故选B． 【典例研析】 【例 1】　解：在正四面体OABC中，||=||=||=1. 〈，〉=〈，〉=〈，〉=60°． （1）•=||||cos∠AOB=1×1×cos 60°=． （2）（＋）•（＋）=（＋）•（－＋－）=（＋）•（＋－2）=＋2•－2•＋－2•=12＋2×1×1×cos 60°－2×1×1×cos 60°＋12－2×1×1×cos 60°=1＋1－1＋1－1=1. 母题探究 解：（1）•=•=||||•cos〈，〉=cos 60°=． （2）•=•=||2=． （3）•=• =||||•cos〈，〉 =cos 120°=－． 【例 2】　B　由题意，|a|=4，|e|=1，〈a，e〉=，则空间向量a在向量e方向上的投影数量为==4×（－）=－2.故选B． 跟踪训练 1.B　由题意可得AB⊥AD，AB⊥AA1，所以a⊥b，a⊥c，所以a•b=0，a•c=0，所以a•（b＋c）=a•b＋a•c=0，故选B． 2.1　解析：因为a与b的夹角为60°，|a|=2，|b|=6，则a•b=|a||b|cos 60°=2×6×=6，则（2a－b）•a=2|a|2－a•b=2×22－6=2，所以2a－b在a方向上的投影的数量为==1. 【例 3】　解：如图，设=a，=b，=c，且|a|=|b|=|c|=1. 易知∠AOB=∠BOC=∠AOC=， 则a•b=b•c=c•a=． ∵=（＋）=（a＋b）， =－=－=c－b， ∴•=（a＋b）•（c－b）=a•c＋b•c－a•b－b2=－． 又||=||=， ∴cos〈，〉==－． ∴向量与夹角的余弦值为－． 跟踪训练 B　因为E，F，G，H分别是所在棱的中点．所以由三角形中位线定理可得，与同向共线，与同向共线，所以〈，〉=〈，〉，在正方体中△A1BC1为等边三角形，所以〈，〉=〈，〉=60°，故选B． 【例 4】　解：（1）在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，=－=＋－． 因为=＋，AB=AD=1，AA1=2，∠BAD=，∠BAA1=∠DAA1=， 所以•=0，•=||•||•cos〈，〉=2×1×cos=1， •=||•||cos〈，〉=2×1×cos=1， 则•=（＋－）•（＋） =•＋•＋•＋2－2－•=1＋1＋0＋1－1－0=2. （2）因为=＋＋=＋＋， 所以2=（＋＋）2=2＋2＋2＋2•＋2•＋2• =1＋1＋4＋2×0＋2×1＋2×1=10， 则||=，即AC1=． 跟踪训练 3 　解析：平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB=5，AD=5，AA1=6，∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=，如图，∵=＋＋，则||2=2=（＋＋）2=||2＋||2＋||2＋2||•||•cos＋2||•||•cos＋2||•||cos=25＋25＋36＋2×5×5×＋2×5×6×＋2×5×6×=171.∴AC1=||==3． 随堂检测 1.A　A、B、C、D四个选项中两个向量的夹角依次是45°，135°，90°，180°，故选A． 2.B　如图，令=a，=b，=c，则•＋•＋•=a•（c－b）＋b•（a－c）＋c•（b－a）=a•c－a•b＋b•a－b•c＋c•b－c•a=0.故选B． 3.D　设a与b的夹角为θ，由a＋b＋c=0，得a＋b=－c，两边平方，得a2＋2a•b＋b2=c2，因为|a|=2，|b|=3，|c|=4，所以4＋2×2×3cos θ＋9=16，解得cos θ=，故选D． 4.　解析：|a＋b－2c|=== ==． 4 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $