1.1.1 第1课时 空间向量的概念、空间向量的加法及线性运算(Word学生用书)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教B版)

该高中数学导学案聚焦空间向量的概念及线性运算，通过滑翔伞运动受力情境导入，类比平面向量引导学生抽象出空间向量概念，构建从平面到空间的知识迁移支架。 以数学抽象为起点，结合长方体、正六棱柱等模型培养直观想象，典例研析总结运算规律提升数学运算能力，分层练习助力巩固，有效引导学生用数学眼光观察、思维推理、语言表达空间问题。

第一课时　空间向量的概念、空间向量的加法及线性运算 课标 要求 1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，理解空间向量的概念（数学抽象）． 2.掌握空间向量的线性运算（直观想象、数学运算）． 　　章前图展示的是一个滑翔伞运动的场景，可以想象，在滑翔过程中，飞行员会受到来自不同方向、大小各异的力，你能用图示法表示这些力吗？ 【问题】　 （1）对既有大小又有方向的量，如何形象、直观地表示出来？ （2）类比平面向量的概念，你能给出空间向量的概念吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　空间向量 1.空间向量的概念 （1）定义：空间中既有　　 　又有　 　　的量称为空间向量； （2）模（或长度）：向量的　　　　； （3）表示方法： ①几何表示法：可以用　　　　　　来直观地表示向量，如始点为A终点为B的向量，记为，模为||； ②字母表示法：可以用小写字母a，b，c来表示向量，模为|a|，|b|，|c|． 2.几类特殊的向量 （1）零向量：　　　　和　　　　相同的向量称为零向量，记作0； （2）单位向量：模等于　　　　的向量称为单位向量； （3）相等向量：大小　　　　、方向　　　　的向量称为相等向量； （4）相反向量：方向　　　　、大小　　　　的向量称为相反向量； （5）平行（共线）向量：方向相同或者相反的两个非零向量互相　　　　　，此时表示这两个非零向量的有向线段所在的直线　　　　　或重合．通常规定零向量与任意向量平行； （6）共面向量：一般地，空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移后，都能在　　　　　　内，则称这些向量共面． 提醒：零向量的方向是不确定的，零向量的模为0，即|0|=0. 知识点二　空间向量的线性运算 名称 代数形式 几何形式 运算律 加法 =　　　　=a＋b 交换律：a＋b=b＋a； 结合律：a＋（b＋c）=（a＋b）＋c 减法 =　　　　=a－b 数乘 当λ＞0时，λa=λ=； 当λ＜0时，λa=λ=； 当λ=0时，λa=0 结合律：λ（μa）=（λμ）a； 分配律：（λ＋μ）a=λa＋μa，λ（a＋b）=λa＋λb 提醒：与空间向量的线性运算相关的结论：（1）若O为空间中任意一点，则点P是线段AB中点的充要条件是=（＋）；（2）若G为△ABC的重心，则=（＋＋）． 1.判断正误．（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）零向量与任意向量平行．（　　） （2）向量的长度与向量的长度相等．（　　） （3）空间向量a用几何表示法表示时，表示该向量的有向线段的起点可任意选取．（　　） 2.已知空间四边形ABCD中，=a，=b，=c，则=（　　） A．a＋b－c B．c－a－b C．c＋a－b　　 D．c＋a＋b 3.化简：5（3a－2b）＋4（2b－3a）=　　　　． 题型一　空间向量的概念及简单应用 （1）下列说法中正确的是（　　） A．若|a|=|b|，则a，b的长度相同，方向相同或相反 B．若向量a是向量b的相反向量，则|a|=|b| C．空间向量的减法满足结合律 D．在四边形ABCD中，一定有＋= （2）如图所示，以长方体ABCD－A1B1C1D1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中： ①试写出与是相等向量的所有向量； ②试写出的相反向量； ③若AB=AD=2，AA1=1，求向量的模． 尝试解答 规律方法 空间向量有关概念问题的解题策略 （1）两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量（非零向量）的模相等是两个向量相等的必要不充分条件； （2）理解空间向量的有关概念、熟练掌握向量的加、减法的运算法则及向量加法的运算律是解决好这类问题的关键． 　〔多选〕下列命题中不正确的是（　　） A．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线 B．向量a，b，c共面，即它们所在的直线共面 C．若两个非零空间向量，，满足＋=0，则∥ D．若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a=λb 题型二　空间向量的加减运算 如图，在正六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1中，化简－＋＋＋，并在图中标出化简结果的向量． 尝试解答 规律方法 空间向量加法、减法运算的两个技巧 （1）巧用相反向量：向量的三角形法则是解决空间向量加、减运算的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接； （2）巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果． 〔多选〕如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式运算结果为的是（　　） A．－－ B．＋－ C．－－ D．－＋DD1 题型三　空间向量的数乘运算 设A是△BCD所在平面外一点，G是△BCD的重心．求证：=（＋＋）． 尝试解答 规律方法 利用数乘运算进行向量表示的技巧 （1）数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量； （2）明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质和重心性质． 　在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AC与BD的交点为M．设=a，=b，=c，则下列向量中与相等的向量是（　　） A．a－b－c　　 B．－a－b－c C．－a＋b－c　　 D．a＋b－c 1.〔多选〕下列命题中为真命题的是（　　） A．向量与的长度相等 B．将空间中所有单位向量的起点移到同一点，则它们的终点构成一个圆 C．空间向量就是空间中的一条有向线段 D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量 2.〔一题多解〕已知空间中任意四个点A，B，C，D，则＋－=（　　） A．　　 B． C．　　 D． 3.（2026•潍坊高二期末）如图，空间四边形OABC中，=a，=b，=c，D是BC的中点，=，则=（　　） A．a＋b＋c　　 B．a＋b＋c C．a＋b＋c　　 D．a＋b＋c 4.化简：（a＋2b－3c）＋5（a－b＋c）－3（a－2b＋c）=　　　　． 完成课后作业　第一章　1.1　1.1.1　第一课时 答案 第一课时　空间向量的概念、空间向量的加法及线性运算 【基础落实】 新知初探 知识点一 1.（1）大小　方向　（2）大小　（3）①有向线段 2.（1）始点　终点　（2）1　（3）相等　相同 （4）相反　相等　（5）平行　平行 （6）同一平面 知识点二 ＋　－ 自我诊断 1.（1）√　（2）√　（3）√ 2.B　=＋＋=－－＋=－a－b＋c=c－a－b． 3.3a－2b 【典例研析】 【例 1】　（1）B　|a|=|b|，说明a与b模相等，但方向不确定．对于a的相反向量b=－a，故|a|=|b|，从而B正确．只定义加法具有结合律，减法不满足结合律；一般的四边形不满足＋=，只有平行四边形才能成立．故A、C、D均不正确． （2）解：①与向量是相等向量的（除它自身之外）有，及． ②向量的相反向量为，，，． ③||= = ==3. 跟踪训练 ABD　对于A，若b=0，则a与b共线，b与c共线，但a与c不一定共线，所以A错误；对于B，共面向量的定义是平行于同一平面的向量，表示这些向量的有向线段所在的直线不一定共面，所以B错误；对于C，因为＋=0，所以=－，所以与共线，所以∥，所以C正确；对于D，若b=0，a≠0，则不存在λ，使a=λb，所以D错误；故选A、B、D． 【例 2】　解：在正六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1中，四边形AA1F1F是平行四边形，所以=． 同理=，=，=， 所以－＋＋＋=＋＋＋＋=，如图． 跟踪训练 AB　A中，－－=－=；B中，＋－=＋=；C中，－－=－=－=≠；D中，－＋=＋＋=＋≠．故选A、B． 【例 3】　证明：如图，连接BG，延长后交CD于点E，由G为△BCD的重心， 知=． 由题意知E为CD的中点， ∴=＋． ∴=＋=＋ =＋（＋） =＋［（－）＋（－）］ =（＋＋）． 跟踪训练 A　因为=a，=b，=c，所以=＋=－（＋）＋=－（－a＋b）－c．即=a－b－c，故选A． 随堂检测 1.AD　对于选项A：向量与是相反向量，长度相等，故A为真命题．对于选项B：将空间中所有单位向量的起点移到同一点，则它们的终点构成一个球面，故B为假命题．对于选项C：空间向量可以用空间中的一条有向线段表示，但是空间向量不是有向线段，故C为假命题．对于选项D：方向相同且模相等的两个向量是相等向量，符合相等向量的定义，故D为真命题．故选A、D． 2.D　法一　＋－=（＋）－=－=． 法二　＋－=＋（－）=＋=． 3.A　=＋=＋=＋（－）=＋×（＋）－=＋＋=a＋b＋c，故选A． 4.a＋b－c　解析：根据空间向量的数乘运算法则可知，原式=a＋b－c＋a－b＋c－3a＋6b－3c=（＋－3）a＋（1－＋6）b＋（－＋－3）c=a＋b－c． 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $