1.1.1 第2课时 空间向量的数量积(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教B版)

**基本信息** 聚焦空间向量数量积的概念生成与应用，通过分层题型构建“定义理解-性质应用-综合创新”的方法体系，培养数学思维与空间观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固|10题|向量分解法、数量积公式应用、投影向量计算|从数量积定义出发，通过正四面体、长方体等模型，结合垂直、夹角条件推导性质，形成“定义-性质-基本运算”逻辑链| |综合运用|4题|新定义迁移（外积）、折叠问题向量转化、多面体中数量积综合|以正方体、正四棱柱为载体，融合数学文化与创新情境，实现从单一运算到复杂问题解决的拓展，体现知识应用的系统性|

第二课时　空间向量的数量积 1.棱长为1的正四面体ABCD中，点E是AD的中点，则•=（　　） A．　 B．－ C．　 D．－ 2.对任意的空间向量a，b，c，下列说法正确的是（　　） A．若a⊥b，b⊥c，则a∥c B．（a•b）c=a（b•c） C．a•（b＋c）=a•b＋a•c D．若|a|=|b|，则a=b 3.已知空间向量a，b，c满足a＋2b＋c=0，|a|=|b|=|c|=1，则a与b的夹角为（　　） A．30°　 B．150° C．60°　 D．120° 4.已知|a|=1，且a－b与a垂直，且a与b的夹角为45°，则|b|=（　　） A.1　 B． C.2　　 D.2 5.已知A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足•=0，•=0，•=0，M为BC的中点，则△AMD是（　　） A．钝角三角形　 B．锐角三角形 C．直角三角形　 D．不确定 6.（2026•东营高二期末）如图，已知A，B，C是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点P为平面ABC外一点，且〈，〉=〈，〉=120°，||=3，若=＋，则||=（　　 ） A．2　 B． C．6　 D． 7.〔多选〕（数学文化）《九章算术》中，将上、下底面为直角三角形的直三棱柱叫做堑堵，在如图所示的堑堵中，=2，则（　　） A．=＋＋ B．=＋＋ C．向量在向量上的投影向量为 D．向量在向量上的投影向量为 8.〔一题多解〕如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，设AD=AA1=1，AB=2，P是C1D1的中点，则与所成角的大小为　　　　，•=　　　　． 9.如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E为棱B1C1上的动点，则向量在向量上的投影向量的模的取值范围为　　　　． 10.如图，在空间四边形OABC中，D，E分别为BC，OA的中点，点G为△ABC的重心，设=a，=b，=c． （1）试用向量a，b，c表示向量； （2）若OA=OC=2，OB=1，∠AOC=∠BOC=∠AOB=60°，求•的值． 11.如图所示，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，Pi（i=1，2，…，8）是上底面上其余的八个点，则•（i=1，2，…，8）的不同值的个数为（　　） A．8　 B．4 C．2　 D．1 12.〔多选〕（新定义）在三维空间中，定义向量的外积：a×b叫做向量a与b的外积，它是一个向量，满足下列两个条件： ①a⊥（a×b），b⊥（a×b），且a，b和a×b构成右手系，即三个向量的方向依次与右手的拇指、食指、中指的指向一致，如图所示；②a×b的模|a×b|=|a||b|sin〈a，b〉．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，有以下四个结论，其中正确的有（　　） A．|×|=|×| B．×与共线 C．×=× D.6|×|与正方体表面积的数值相等 13.已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1=2AD=4，O为对角线AC1的中点，过点O的直线与长方体表面交于E，F两点，M为长方体表面上的动点，则•的取值范围是　　　　． 14.如图所示，在平行四边形ABCD中，AB=AC=1，∠ACD=90°，沿着它的对角线AC将△ACD折起，使AB与CD成60°角，求此时B，D两点间的距离． 第二课时　空间向量的数量积 1.A　因为=＋，所以•=•（＋）=•＋•，又||=||=1，||=，〈，〉=，〈，〉=，所以•=1×1×cos＋1××cos=． 2.C　若a⊥b，b⊥c，则a与c不一定平行，如在正方体ABCD－A1B1C1D1中，满足⊥，⊥，此时⊥，故A说法错误；（a•b）c表示与c共线的向量，a（b•c）表示与a共线的向量，所以（a•b）c与a（b•c）不一定相等，B说法错误；向量的数量积满足乘法分配律，所以a•（b＋c）=a•b＋a•c，C说法正确；若|a|=|b|，则a与b模长相等，方向不一定，所以a与b不一定相等，D说法错误． 3.C　设a与b的夹角为θ．由a＋2b＋c=0，得a＋2b=－c，两边平方得a2＋4a•b＋4b2=7c2，所以1＋4×1×1×cos θ＋4=7，解得cos θ=．又θ∈［0°，180°］，所以θ=60°． 4.B　∵a－b与a垂直，∴（a－b）•a=0，∴a•a－a•b=|a|2－|a||b|cos〈a，b〉=0.∴1－|b|×=0，解得|b|=． 5.C　因为M为BC的中点，所以=（＋），可得•=（＋）•=•＋•=0，所以⊥，即AM⊥AD，可得△AMD是直角三角形． 6.B　因为=＋，所以=＋=－－＋，则||2=（－－＋）2=＋2＋2＋2•－2•－2•=22＋32＋32＋0－2×2×3×（－）－2×3×3×（－）=37，所以||=．故选B． 7.BD　∵=＋＋=＋＋=＋＋（－）=＋＋，故A错误，B正确．如图所示，过点D作DE垂直于BC，过点E作EF垂直于AB，∴AB⊥面DEF，EG垂直于AC，∴AC⊥面DEG，故向量在向量上的投影向量为，向量在向量上的投影向量为，由题意易得=，=，故=，=，C不正确，D正确．故选B、D． 8.60°　1　解析：法一　连接A1D（图略），则∠PA1D就是与所成的角，连接PD，在△PA1D中，易得PA1=DA1=PD=，即△PA1D为等边三角形，从而∠PA1D=60°，即与所成角的大小为60°，因此•=××cos 60°=1. 法二　根据向量的线性运算可得•=（＋）•（＋）=2=1.由题意可得PA1=B1C=，则××cos〈，〉=1，从而〈，〉=60°． 9.［，］　解析：由E为棱B1C1上的动点，设=λ（0≤λ≤1），因为=＋=＋λ=＋＋λ，所以•=（＋＋λ）•=•＋•＋λ•=1××cos 45°＋λ×1××cos 45°=1＋λ，所以向量在向量上的投影向量的模为，又0≤λ≤1，所以1≤1＋λ≤2，所以≤≤，所以向量在向量上的投影向量的模的取值范围为． 10.解：（1）=＋=＋ =＋×（＋）=＋（＋）=a＋（b－a＋c－a）=（a＋b＋c）． （2）=（＋）=（b－a＋c－a）=（b＋c－2a）， =＋=－b＋a， •=（a－b）•（b＋c－2a） =（a•b＋a•c－a2－b2－b•c＋2a•b） =（×2×1×＋×2×2×－4－1－1×2×）=－． 11.D　•=•（＋）=2＋•，∵AB⊥平面BP2P8P6，∴⊥，∴•=0，∴•=||2=1，则•（i=1，2，…，8）的不同值的个数为1. 12.ABD　对于A，设正方体的棱长为1，在正方体中，〈，〉=60°，则|×|=||||sin〈，〉=××=．因为BD∥B1D1，且∠AD1B1=60°，所以〈，〉=120°，所以|×|=||||•sin〈，〉=××=，所以|×|=|×|，所以A正确； 对于B，如图，连接B1D1，A1C1⊥B1D1，A1C1⊥BB1，B1B⋂B1D1=B1，B1B，B1D1⊂平面BB1D1D，所以A1C1⊥平面BB1D1D，因为BD1⊂平面BB1D1D，所以BD1⊥A1C1，同理可证BD1⊥A1D，再由右手系知，×与同向，所以B正确；对于C，由a，b和a×b构成右手系知，a×b与b×a方向相反，又由a×b模的定义知，|a×b|=|a||b|sin〈a，b〉=|b||a|sin〈b，a〉=|b×a|，所以a×b=－b×a，则×=－×，所以C错误；对于D，设正方体的棱长为a，6|×|=6||||•sin 45°=6a×a×=6a2，正方体表面积为6a2，所以D正确．故选A、B、D． 13.［－5，5］　解析：O为AC1的中点，即为正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的中心，由对称性，O为EF的中点，则•=（＋）•（＋）=（＋）•（－）=2－2，AA1=2AD=4，AB=AD=2，AC1==2，所以||，||∈［1，］，所以2－2∈［－5，5］． 14.解：在平行四边形ABCD中，∵∠ACD=90°，∴•=0，同理可得•=0. 在空间四边形ABCD中，∵AB与CD成60°角，∴〈，〉=60°或〈，〉=120°． 又=＋＋，∴||2=||2＋||2＋||2＋2•＋2•＋2•=3＋2×1×1×cos〈，〉， ∴当〈，〉=60°时，||2=4，此时B，D两点间的距离为2， 当〈，〉=120°时，||2=2，此时B，D两点间的距离为． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $