第3章 圆的基本性质 培优练 2026-2027学年浙教版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦“圆的基本性质”单元复习，以球形烧瓶、纸杯测量等真实情境为载体，融合旋转、垂径定理等核心知识，突出数学眼光、思维与语言的综合考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题30分|弦长计算、旋转性质等|第1题结合球形烧瓶考垂径定理，体现数学眼光| |填空题|6题18分|圆与坐标、旋转应用|第13题球直径测量，考查模型意识| |解答题|8题72分|圆与三角形、旋转变换|23题探究半圆内最大图形面积，24题旋转转化线段证勾股定理，突出推理与创新|

第3章 圆的基本性质 一、选择题(每题3分，共30分) 1.如图，图1是一个球形烧瓶，图2是从正面看这个球形烧瓶下半部分的示意图，已知⊙O的半径OA=5cm,液体的最大深度CD=2cm,则⊙O的弦AB长为( ) A.4cm B.6cm C.8cm D.8.4cm 2.同圆中两条弦长为10和12，它们的弦心距为m和n，则 ( ) A. m>n B. m<n C. m=n D. m，n的大小无法确定 3.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠B=70°,将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AB'C'(B与B'是对应点,C与C'是对应点),连结CC',则∠CC'B'的度数是( ) A.45° B.30° C.25° D.15° 4.如图，⊙O的半径为5，弦AB=8，P是弦AB上的一个动点(不与点A，B重合)，则OP的最小值是( ) A.2.5 B.3 C.3.5 D.4 5.如图，在正方形网格中，四边形ABCD绕某一点旋转某一角度得到四边形A'B'C'D'(所有顶点都是网格线交点)，在网格线交点M，N，P，Q中，可能是旋转中心的是( ) A.点M B.点N C.点P D.点Q 6.边长为2的等边三角形的外接圆半径长为 ( ) A.1 C. 7.如图，AD为⊙O的直径。甲、乙两人想在圆上找出B，C两点，作一个正三角形ABC。 甲:(1)作OD中垂线,交圆于B,C两点;(2)连结AB,AC,△ABC即为所求。 乙:(1)以D为圆心,OD长为半径画弧,交圆于B,C两点;(2)连结AB,BC,CA，△ABC即为所求。对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是 ( ) A.甲、乙皆正确 B.甲、乙皆错误 C.甲正确、乙错误 D.甲错误、乙正确 8.只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径?小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯口，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B,C,D四点,然后利用刻度尺量得该纸条的宽为7cm,AB=8cm,CD=6cm。纸杯的直径为( ) A.5cm B.9.6cm C.10cm D.10.2cm 9.如图，C是以AB为直径的半⊙O上一点，连结AC，BC，分别以AC，BC为直径作半圆，其中M，N分别是以AC，BC为直径所作的半圆弧的中点，AC，BC的中点分别是P，Q。若MP+NQ=7,AC+BC=26,则AB的长是( ) A.17 B.18 C.19 D.20 10.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,△ABC,△ABD和△ACD的外接圆半径分别为R,R₁,R₂,则有( ) 填空题(每题3分，共18分) 11.已知⊙O的圆心是原点O(0,0),半径为5,点A(3,a)在⊙O上,如果点A在第一象限内,那么a= 。 12.如图，半圆O的直径AB=10，将半圆O绕点B顺时针旋转45°得到半圆O'，与AB交于点P,那么AP的长为 。 13.数学综合实践活动课上，小北小组设计了间接测量球直径的一个实验。如图1，将一个球放置在圆柱形玻璃杯上，测得杯高AB=20cm，底面直径BC=12cm，球的最高点到杯底面的距离为32cm，则通过转化成平面图形后，如图2，可计算出球的直径为 cm(玻璃杯的厚度忽略不计)。 14.如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，使得点B落在AB边上的点D处，此时点A的对应点E恰好落在BC边的延长线上，若∠B=50°，则∠A的度数为 。 15.如图，点O是半圆的圆心，D是以AB为直径的半圆上的一点，以OD为对角线作正方形OCDE,经过C,E的直线分别与半圆弧交于点F,G。已知CE=6,则FG的长为 。 16.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,D为平面内一动点,且满足AD=4,连结BD，取BD的中点E，连结CE，则CE的最大值为 。 解答题(共72分) 17.(6分)阅读材料并运用已学的知识解决问题： 材料：如图，图1是陶然亭公园“玉虹桥”。经测量，中间大拱在水面的跨度(即图2线段AB长度)约为14m，当时大拱的最高点距离水面的高度(即图2点C到AB的距离CD)约为3.5m。 解决问题：若玉虹桥的桥拱为圆弧形，求大拱所在圆的半径。(结果精确到0.1m) 18.(6分)如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,作DE⊥AC于点E,作AF⊥BD于点F。 (1)求AF,AE的长。 (2)若以点A为圆心作圆，B，C，D，E，F五点中至少有1个点在圆内，且至少有2个点在圆外，求⊙A的半径r的取值范围。 19.(8分)如图,△ABC为⊙O的内接三角形,AB=AC,连结AO并延长交BC于点M。 (1)求证:AM⊥BC。 (2)若BC=6, ，求⊙O的半径。 20.(8分)两个长为2cm,宽为1cm的长方形,摆放在直线l上(如图1),CE=2cm。将长方形ABCD绕着点C顺时针旋转α，将长方形EFGH绕着点E逆时针旋转相同的角度。 (1)如图2,当旋转到顶点D,H重合时,连结AE,CG,求证:△AED≌△GCD。 (2)当α=45°时,AD与GH交于点M,CD与EH交于点N,如图3。求证:四边形MHND为正方形。 21.(10分)如图,⊙O的直径AB和弦CD交于点E,已知AE=1cm,EB=5cm,∠DEB=60°。 (1)求CD的长。 (2)若直线CD绕点E顺时针旋转15°,交⊙O于C',D'两点,请直接写出弦C'D'的长。 22.(10分)如图,在△ABC中,BD平分∠ABC,交△ABC的外接圆于另一点D。点E在BA的延长线上,DE=DB。 (1)求证:EA=BC。 (2)若EB=8,BC=2,求 的值。 23.(12分) (1)在如图1的半径为R的半圆O内(含弧)，画出一边落在直径MN上的面积最大的正三角形，并求出这个正三角形的面积。 (2)在如图2的半径为R的半圆O内(含弧)，画出一边落在直径MN上的面积最大的正方形，并求出这个正方形的面积。 (3)如图3，现有一块半径R=6的半圆形钢板，是否可以裁出一边落在MN上的面积最大的矩形?若存在，请说明理由，并求出这个矩形的面积；若不存在，请说明理由。 24.(12分)阅读下面材料，并解决问题： (1)如图1，等边三角形ABC内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数。 为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP'处，连结PP'，此时△ACP'≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA，PB，PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB= 。 (2)基本运用：请你利用第(1)题的思想方法，解答下面问题：如图2，在△ABC中，∠CAB=90°,AB=AC,E,F为BC上的点且∠EAF=45°,求证: (3)能力提升:如图3,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=1,∠ABC=30°,O为Rt△ABC内一点,连结AO,BO,CO,且∠AOC=∠COB=∠BOA=120°,求OA+OB+OC的值。 1. C 【解析】由题意得OC⊥AB, ∠OCA=90°。∵OA=OD=5cm,CD=2cm,∴OC=OD-CD=5-2=3(cm)。在Rt△OAC中,由勾股定理得 (cm),∴AB=2AC=8(cm)。故选C。 2. A 3. C 4. B 5. A 6. B 7. A 8. C 【解析】如图,作CD的垂直平分线交CD于点M，交AB于点N,交圆周于点 P,Q,则PQ的中点O为圆心。连结OD,OB。 ∵CD∥AB,MN⊥CD,∴MN⊥AB,MN=7cm, ∴BN= AB= ×8=4(cm)。设 OM=x cm,∴ON=MN-OM=(7-x) cm。 OD=OB, 解得x=4。∴OM=4cm。 ∴纸杯的直径为5×2=10cm。故选C。 9. C 10. D 11.4 12.10-5 13.15 【解析】连结OA,设球的半径为 rcm,则OG=EG-r=EF-GF-r=EF-AB-r=32-20-r=(12-r) cm。∵EG过圆心,且垂直于AD,∴G为AD的中点。 在Rt△OAG中,由勾股定理得， 即 解得r=7.5,∴球的直径为15cm。 14.30° 15.6 【解析】如图，设OD与FG交于点H，连结OF。∵四边形OCDE是正方形,∴OD⊥CE,OD=CE=6, OD=2OH。∴ FG= A2FH,OH=3,OF=OD=6。在Rt△OFH中,FH= 16.7 【解析】∵D为平面内一动点,且满足AD=4,∴D是以点A为圆心，4为半径的圆上一点。如图,取AB的中点M,连结EM,CM。在 Rt △ ABC 中 , AB= ∵M是Rt△ABC斜边AB上的 B中点， ∵E是BD的中点,M是AB的中点， ∵5-2≤CE≤5+2,即3≤CE≤7,∴CE的最大值为7。 17.如图，找出大拱所在圆的圆心O,连结OD,OA,OB,设大拱所在圆的半径为 xm。B 由题意得OC⊥AB于点D。 ∵AB=14m, 在Rt△OAD中, 3.5)²,解得x≈8.8。∴大拱所在圆的半径为8.8m。 18.(1)∵在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,∴AC= ∴AF= 同理可得 在Rt△ADE中, (2)∵AF<AB<AE<AD<AC,∴若以点A为圆心作圆，B，C，D，E，F五点中至少有1个点在圆内，且至少有2个点在圆外，即点F在圆内，点D，C在圆外。 ∴⊙A的半径r的取值范围为 19.(1)∵AB=AC, ∵AM过圆心,∴AM⊥BC。 (2)连结OB。∵AM⊥BC,AB=AC, =3。 设OB=OA=r,则OM=9-r。 ,解得r=5。∴⊙O的半径为5。 20.(1)由题意知,AD=GD,ED=CD,∠ADC=∠GDE=90°,∴∠ADC+∠CDE=∠GDE+∠CDE,即∠ADE=∠GDC。在△AED和△GCD中, (2)∵α=45°,∴∠NCE=∠NEC=45°。∴CN=NE。∴∠CNE=90°。∴∠DNH=90°。∵∠D=∠H=90°,∴四边形MHND是矩形。∵CN=NE,∴DN=NH。∴矩形MHND是正方形。 21.(1)如图1,作OH⊥CD于点H,连结OD。 ∵AE=1,BE=5,点E在直径AB上,∴AB=1+5=6,半径OD═3。∵在Rt△OHE中,OE═3-1=2,∠OEH=60°, 在Rt△OHD中,由勾股定理得 CD，∴由垂径定理得( ∴CD的长为2 cm。 (2)如图2,作OH⊥C'D'于点H,连结OD'。∵AE=1,BE=5,点E在直径AB上,∴AB=1+5=6,半径OD'=3。∵直线CD绕点E顺时针旋转15°, ∴∠OEH=60°-15°=45°。在Rt△OHE中,OE=3-1=2,∠OEH=45°, 在Rt△OHD'中，由勾股定理，得 ,∵OH⊥C'D',∴由垂径定理得C'D'=2D'H=。∴弦C'D'的长为cm。 22.(1)如图,连结AD。∵DE=DB,∴∠E=∠DBA。∵BD平分∠ABC,∴∠DBC=∠DBA。∴∠DBC=∠E。∵ ∠EAD=∠BCD,∴△DBC≌△DEA(AAS)。∴EA=BC。 (2)如图,过点D作DH⊥AB于点H。∵DE=DB,DH⊥AB, ∵EA=BC=2,∴AH=EH-EA=2。∵∠DBC=∠DBA,∴CD=AD, 23.(1)如图1，△ACB为满足条件的面积最大的正三角形。连结OC，则(OC⊥AB。 (2)如图2，正方形ABCD为满足条件的面积最大的正方形。连结OA。令OB=a,则AB=2a。在Rt△ABO中， 即a²=R²。S正方形ABCD=(2a)²= (3)存在。如图3，先作一边落在直径MN上的矩形ABCD,使点A,D在 上，再作半圆O及矩形ABCD关于直径MN所在直线的对称图形，A，D的对称点分别是A',D'。连结A'D,OA,则A'D为⊙O的直径。 ∵在Rt△AA'D中,当OA⊥A'D时,S△AAD的面积最大， 24.(1)∵△ACP'≌△ABP,∴AP'=AP=3,CP'=BP=4,∠AP'C=∠APB。由旋转得∠PAP'=∠BAC=60°,∴△APP'为等边三角形。∴PP'=AP=3,∠AP'P=60°。 为直角三角形，且∠PP'C=90°。∴∠APB=∠AP'C=∠AP'P+∠PP'C=60°+90°=150°。 故答案为:150°。 (2)如图1,把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE',连结E'F。由旋转得,AE'=AE,CE'=BE,∠ACE'=∠B ,∠EAE'=90°。∵∠EAF=45°, ∴∠E'AF=∠EAE'-∠EAF=90°-45°=45°。 ∴∠EAF=∠E'AF。在△EAF和△E'AF中, ∴EF=E'F。∵∠CAB=90°,AB=AC,∴∠B=∠ACB=45°。∴∠E'CF=45°+45°=90°。在Rt△CE'F中，由勾股定理得 (3)如图2,将△AOB绕点B顺时针旋转60°得到△A'O'B,连结OO'。∵∠ACB=90°,AC=1,∠ABC=30°,∴AB=2。 由旋转得∠ABA'=∠OBO'=60°,∠A'O'B=∠AOB=120°,A'B=AB=2,BO=BO',A'O'=AO。 ∴△BOO'是等边三角形,∠A'BC=∠ABA'+∠ABC=90°。∴BO=OO',∠BOO'=∠BO'O=60°。 ∠BO'O=120°+60°=180°。∴C,O,A',O'四点共线。在Rt△A'BC中, ∴OA+OB+OC=A'O'+OO'+OC=A'C=\sqrt{7} 学科网（北京）股份有限公司 $