1.1 集合的概念课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件围绕集合的概念展开，涵盖元素特征、常用数集、表示方法等核心知识。新课导入通过回忆初中数集、点集实例，搭建新旧知识联系的学习支架，引导学生从具体对象抽象出集合定义。 其亮点在于以探究问题驱动，如“较高的人能否构成集合”培养数学眼光的抽象能力，通过例题和参数求解题发展数学思维的推理能力，规范的列举法与描述法强化数学语言的应用意识。学生能深化理解，教师可提升教学效率。

1.1 集合的概念 新课导入 探究一：初中阶段我们接触过哪些集合？ 请同学们回忆，并给出一些具体例子。 数集的例子： ① 自然数的集合（全体非负整数）； ② 不等式 的解集（即满足 的全体实数）； ③ 一元二次方程 的所有实数根组成的集合。 点集的例子： ① 圆：同一平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合； ② 线段的垂直平分线：到线段两个端点距离相等的点的集合。 归纳：数、点、图形、人、物……都可以作为集合的研究对象。为了更有效地使用集合语言，我们需要进一步了解集合的有关知识。 新知探究 看下面的例子 （1）1～10 之间的所有偶数；　　（2）立德中学今年入学的全体高一学生； （3）所有的正方形；　　　　　　（4）到直线 l 的距离等于定长 d 的所有点； （5）方程 的所有实数根； （6）地球上的四大洋。 上述每个问题都由若干个对象组成，每组对象的全体分别形成一个集合，集合中的每个对象都称为元素. 探究二：组成集合的元素所属对象是否有限制？集合中元素个数的多少是否有限制？ 回答：① 元素所属的对象不受限制：可以是数、点、图形、人、事物等； ② 元素的个数也不受限制：可以有限个（如例 3、5、6），可以无限个（如例 4），特别地，还可以不含任何元素。 新知探究 集合是把确定的、不同的 对象看成一个整体 一、集合与元素的定义 定义：一般地，我们把研究对象统称为元素（element），把一些元素组成的总体叫做集合（set），简称为集。 记法：集合通常用大写拉丁字母 A，B，C，… 表示；元素通常用小写拉丁字母 a，b，c，… 表示. 新知探究 二、集合中元素的特征 探究三：任意一组对象是否都能组成一个集合？集合中的元素有什么特征？ 问题 1：咱们班"较高"的人能否构成一个集合？由此说明什么？ 问题 2：班上清点人数的时候，某个同学需不需要被点到两次？这反映了集合的什么特征？ 集合中的元素必须是确定的.(确定性) 集合中的元素是不重复出现的.（互异性） 新知探究 二、集合中元素的特征 探究三：任意一组对象是否都能组成一个集合？集合中的元素有什么特征？ 问题 3：咱们班的全体同学组成一个集合，调整座位后这个集合有没有变化？由此说明什么？ 问题 4：两个集合的元素是一样的，那么这两个集合是相等的吗？ 集合中的元素是没有顺序的.（无序性） 只要构成两个集合的元素一样，我们就称这两个集合是相等的. 新知探究 集合的三个特性 1 确定性 给定的集合，其元素必须是确定的。 按照明确的标准判断元素在或不在集合中，二者必居其一。 举例 "世界上最高的山" → 能构成集合 "很小的数" → 不能构成集合 关键词："能否判定" 2 互异性 一个给定集合中的元素是互不相同的。 即集合中的元素不重复出现。 举例 HAPPY 的字母组成集合 → {H, A, P, Y} 而非 {H, A, P, P, Y} 关键词："不重复" 3 无序性 集合中的元素没有先后顺序。 只要元素一样，就是同一个集合。 举例 {1, 2, 3} 和 {3, 2, 1} 表示同一个集合 推论：元素相同→ 两集合相等 关键词："无顺序" 05 / 18 例题讲解 例 1 下列说法中，正确的有＿＿＿（填序号） ① 中国各地的美丽乡村能构成一个集合； ② 单词 book 的所有字母组成的集合的元素共有 4 个； ③ 集合 M 中有 3 个元素 a，b，c，其中 a，b，c 是△ABC 的三边长，则△ABC 不可能是等腰三角形； ④ 将小于 10 的自然数按从小到大和按从大到小的顺序排列，分别得到不同的两个集合. 解：① "美丽"的标准不确定，不能构成集合（×）； ② 字母集合为 ，共 3 个元素（×）； ③ 由互异性，a，b，c 互不相同，三边互不相等，不可能是等腰三角形（√）；④ 由无序性，两种排列的元素相同，是同一个集合（×）。 正确的序号是：③ 新知探究 常用数集及其记法 名称 符号 含义 举例 非负整数集 （自然数集） N 0, 1, 2, 3, ... 0, 5, 100 正整数集 N* 或 N+ 1, 2, 3, 4, ... 1, 7, 99 整数集 Z ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... -3, 0, 8 有理数集 Q 整数和分数 0.2, -3, 0.75 实数集 R 有理数和无理数 π, , 0 N*或N＋ N Z Q R 新知探究 集合与元素的关系 属于（∈） 如果 a 是集合 A 的元素，就说 a 属于集合 A， 记作 a ∈ A 不属于（∉） 如果 a 不是集合 A 中的元素，就说 a 不属于集合 A， 记作 a ∉ A 判断实例 2 ∈ N 2是自然数 ✓ -3 ∈ Z -3是整数 ✓ ∈ Q 是有理数 ✓ π ∉ Q π不是有理数 ✓ 0 ∉ N+ 0不是正整数 ✓ ∉ Q 不是有理数 ✓ 知识应用 1.给出下列说法： ①R中最小的元素是0； ②若a∈Z，则－a∉Z； ③若a∈Q，b∈N*，则a＋b∈Q. 其中正确的个数为 A.0 B.1 C.2 D.3 √ 新知探究 集合的表示方法 1. 列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号"{}"括起来表示集合的方法。 例："地球上的四大洋"组成的集合可表示为 {太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}；方程 的所有实数根组成的集合可表示为 。 例 2　用列举法表示下列集合： （1）小于 10 的所有自然数组成的集合： （2）方程的实数根： （3）20以内的质数： （4）正偶数： {0, 1, 2, 3, ..., 9} {0, 1} {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} {2, 4, 6, 8, 10, ...} 新知探究 集合的表示方法 2. 描述法： 定义：一般地，设 A 是一个集合，我们把集合 A 中所有具有共同特征的元素 x 所组成的集合表示为 ，这种表示集合的方法称为描述法。 { x ∈ A | P(x) } 实例演示：例3 不等式 x-3>2 的解集： 大于0且小于6的整数： 二次函数 y=x² 图象上的点： 知识应用 2.用列举法表示下列集合： (1) A = {x | x²-4=0, x∈R}； (2) B = {x | x为10以内的正偶数}； (3) C = {x | x²-x=0, x∈R}. 解：(1) 方程的根为，∴ A = {-2, 2} (2) 10以内的正偶数为2, 4, 6, 8, 10，∴ B = {2, 4, 6, 8, 10} (3) 方程的根为或 ∴ C = {0, 1} 知识应用 3.已知集合 ，若 2 ∈ A，求实数 a 的值。 解： 情况1：若，则，元素重复 → 违反互异性，舍去； 情况2：若，则 由情况1可知，不满足题意，舍去 ✓ 综上所述， 课堂小结 1 集合三特性 确定性 — 元素必须明确 互异性 — 元素互不相同 无序性 — 元素没有顺序 求参数值后须检验 互异性 2 元素与集合 常用数集： N，N+，Z，Q，R a ∈ A — a属于集合A a ∉ A — a不属于集合A 集合相等 A=B ⟺ 元素完全相同（与顺序无关） 3 两种表示法 列举法：{1, 2, 3} 描述法：{x | P(x)} 注意代表元素的选择 {x|y=x²} ≠ {(x,y)|y=x²} $