第2章 随机事件的概率综合提升卷 2026-2027学年浙教版数学九年级上册

**基本信息** 初中数学“随机事件的概率”单元综合提升卷，通过选择、填空、解答题梯度设计，融合生活情境与文化素材，考查概率计算、事件判断及综合应用，适配单元复习巩固，体现数学眼光、思维与语言核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题/30分|频率估计概率、随机事件概率、图形对称概率|结合摸球试验（第1题）、地铁乘坐调查（第2题），考查数据意识| |填空题|6题/18分|字母概率、密码位数、函数与概率|融入“theorem”字母（第11题）、赵爽弦图几何概率（第15题），体现文化传承| |解答题|8题/72分|统计与概率综合、游戏公平性、转盘概率|设计电视节目“幸运大转盘”（第23题）、体育活动调查（第22题），培养模型意识与推理能力|

第2章 随机事件的概率综合提升卷 选择题(每题3分，共30分) 1.在一个不透明的布袋中装有黄、白两种颜色的球共10个，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3左右，则布袋中黄球可能有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.7个 2.某校共有1000名学生，随机调查了其中的100名，有16名学生在地铁三号线开通首日乘坐了地铁三号线。在该校随机问一名学生，他在三号线开通首日乘坐该地铁的概率大约是( ) A.0.016 B.0.1 C.0.116 D.0.16 3.小文购买了以“剪纸图案”为主题的5张书签(如图)，他想送给好朋友小乐一张。小文将书签背面朝上(背面完全相同)，让小乐从中随机抽取一张，则小乐抽到的书签图案既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是( ) A. B. C. D. 4.事件A：打开电视，它正在播广告；事件B：抛掷一枚均匀的骰子，朝上的点数小于7；事件C：在标准大气压下，温度低于0 时冰融化。若三个事件的概率分别记为P(A)，P(B)，P(C),则P(A),P(B),P(C)之间的大小关系为( ) A. P(C)<P(A)=P(B) B. P(C)<P(A)<P(B) C. P(C)<P(B)<P(A) D. P(A)<P(B)<P(C) 5.书架上有a本经济类书，7本数学书，b本小说，5本电脑游戏类书。现某人随意从架子上抽取一本书，若得知取到经济类或者数学书的机会为 ，则a，b的关系为( ) A. a=b-2 B. a=b+12 C. a+b=10 D. a+b=12 6.如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的直径为 dm，若在⊙O中随意抛一粒豆子(大小可忽略为一个点)，则豆子落在正方形ABCD内的概率是( ) A.π/2 B.²/π D. 7.图中三张卡片上分别写有一个整式，把它们背面朝上洗匀，小明从中随机抽取一张卡片，再从剩下的卡片中随机抽取一张。第一次抽取的卡片上的整式作为分子，第二次抽取的卡片上的整式作为分母，则组成的代数式为分式的概率是( ) A. B. C. D. 8.如图所示的转盘被划分成六个相同大小的扇形，并分别标上1，2，3，4，5，6这六个数字，指针停在每个扇形中的可能性相等，四位同学各自发表了见解。 甲：如果指针前三次都停在了3号扇形，下一次就一定不会停在3号扇形； 乙：只要指针连续转六次，就一定会有一次停在6号扇形； 丙：指针停在奇数号扇形与停在偶数号扇形的概率相等； 丁：运气好的时候，只要在转动前默默想好让指针停在6号扇形，指针停在6号扇形的可能性就会加大。 其中正确的见解有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 9.已知一个口袋中装有六个完全相同的小球，小球上分别标有1，2，5，7，8，13六个数，搅匀后一次从中摸出一个小球，将小球上的数记为m，则使得直线y=(-m+1)x+11-m经过第一、二、四象限且关于x的分式方程 有正整数解的概率是 ( ) A. B. C. D. 10.一项“过关游戏”规定：在过第n关时要将一颗质地均匀的骰子(六个面上分别刻有1到6的点数)抛掷n次。若n次抛掷所出现的点数之和大于n²，则算过关；否则不算过关。能过第二关的概率是( ) C. D. 二填空题(每题3分，共18分) 11.将“定理”的英文单词“theorem”中的7个字母分别写在7张相同的卡片上，字面朝下随意放在桌子上，任取一张，则取到字母e的概率是 。 12.一个密码箱的密码，每个位数上的数都是从0到9的自然数，若要使不知道密码的人一次就拨对密码的概率小于 则密码的位数至少需要 位。 13.已知一个口袋中有5个只有颜色不同的球，其中红球2个，黄球3个，若在口袋中再放入x个红球、y个黄球，从口袋中随机摸出一个黄球的概率是\frac{1}{3}，则y关于x的函数表达式为 。 14.如图，在体育课上，A，B，C，D，E，F六位同学分别站在正六边形的6个顶点处(面向六边形内)做传球游戏，规定：球不得传给自己，也不得传给左手或右手边的第一个人。若游戏中传球和接球都没有失误，现在球在A手上，则经过两次传球后球又传到A手上的概率为 。 15.如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，现分别连结大、小正方形的四组顶点得到图2的“风车”图案(阴影部分)。若图1中的四个直角三角形的较长直角边为9，较短直角边为5，现随机向图2大正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为 。 16.在平面直角坐标系中作△OAB,其中三个顶点分别是O(0,0),B(1,1),A(x,y)(-2≤x≤2,-2≤y≤2,x,y均为整数),则所作△OAB为直角三角形的概率是 。 三解答题(共72分) 17.(6分)有一个质地均匀的正十二面体，十二个面上分别写有1~12这十二个整数(每个面上只有一个整数且每个面上的整数互不相同)。投掷这个正十二面体一次，记事件A为“向上一面的数字是2或3的整数倍”，记事件B为“向上一面的数字是3的整数倍”，请你判断等式‘ 是否成立，并说明理由。 18.(6分)在一个不透明的袋子里装着只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共4个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复上述过程，下表是试验进行中的统计数据。 摸球的次数n 10 100 200 500 1000 摸到黑球的次数m 3 26 51 126 251 摸到黑球的频率 0.3 0.26 0.255 0.252 0.251 (1)当n很大时，摸到黑球的频率将会趋近 (结果精确到0.01)，该袋子中的黑球有 个。 (2)该学习小组成员从该袋中随机摸出2个球，请你用列表或画树状图的方法求出随机摸出的2个球的颜色不同的概率。 19.(8分)如图，A，B两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形，转盘A上的数字分别是-6，-1，5，转盘B上的数字分别是6，-7，4(两个转盘除表面数字不同外，其他完全相同)。小聪和小明同时转动A，B两个转盘，使之旋转(规定：若指针恰好停留在分界线上，则重新转一次)。 (1)转动转盘，转盘A指针指向正数的概率是 。 (2)若同时转动两个转盘，转盘A指针所指的数字记为a，转盘B指针所指的数字记为b，若a+b>0，则小聪获胜；若a+b<0，则小明获胜。请用列表法或画树状图法说明这个游戏是否公平。 20.(8分)如图,在3×3的正方形网格中,点A,B,C,D,E,F都是格点。 (1)从A，D，E，F四点中任意取一点，以这点及点B，C为顶点画三角形，求所画三角形是等腰三角形的概率。 (2)从A，D，E，F四点中任意取两点，以这两点及点B，C为顶点画四边形，求所画四边形是平行四边形的概率。 21.(10分)某电视台一档综艺节目中，要求嘉宾参加知识竞答，竞答题共10道。每一题有三个选项，有且只有一个选项正确，规定每题答对得2分，答错扣1分，不答得0分，若10道题全部答对则另外再奖励2分。某位嘉宾已经答对了8道题，剩下2道题他都不确定选哪个选项。 (1)若这位嘉宾随机选择一个选项，求他剩下的2道题一对一错的概率。 (2)这位嘉宾对剩下2道题可以都不答或只随机答1题或随机答2题，请你从统计与概率的角度分析，采用哪种做法解答剩下2道题才能总得分最高? 22.(10分)为了解全校1500名学生对学校设置的篮球、羽毛球、乒乓球、踢毽子、跳绳共5项体育活动的喜爱情况，学校在全校范围内随机抽查部分学生，对他们喜爱的体育项目(每人只选一项)进行了问卷调查，将统计数据绘制成如下所示两幅不完整统计图，请根据图中提供的信息解答下列各题。 (1)m= %，这次共抽取了 名学生进行调查，请补全条形统计图。 (2)请你估计该校约有 名学生喜爱打篮球。 (3)现学校准备从喜欢跳绳活动的四名学生(三男一女)中随机选取两名进行体能测试，请利用列表法或画树状图的方法，求出抽到一名男学生和一名女学生的概率。 23.(12分)某电视栏目中有一个游戏——幸运大转盘，其规则如下：①游戏工具是一个可绕轴心自由转动的圆形转盘，转盘按圆心角均匀划分为20等份，并在其边缘标记5，10，15，…，100共20个5的整数倍数，游戏时，选手可旋转转盘，待转盘停止时，指针所指的数即为本次游戏的得分；②每个选手在旋转一次转盘后可视得分情况选择是否再旋转转盘一次，若只旋转一次，则以该次得分为本轮游戏的得分，若旋转两次，则以两次得分之和为本轮游戏的得分；③若某选手游戏得分超过100分，则称为“爆掉”，该选手本轮游戏裁定为“输”，在得分不超过100分的情况下，分数高者裁定为“赢”；④遇到相同得分的情况，相同得分的选手重新游戏，直到分出输赢。 现有甲、乙两位选手进行游戏，请解答以下问题： (1)甲已旋转转盘一次，得分65分，他选择再旋转一次，求他本轮游戏不被“爆掉”的概率。 (2)若甲一轮游戏最终得分为90分，乙第一次旋转转盘得分为85分，则乙还有可能赢吗?赢的概率是多少? (3)若甲、乙两人交替进行游戏，现各旋转一次后甲得85分，乙得65分，你认为甲是否应选择旋转第二次，说明你的理由。 24.(12分)在一个不透明的盒子里，装有四个分别标有数字-2，-4，0，6的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同。小明先从盒子里随机取出一个小球，记下数字为x；放回盒子摇匀后，再由小华随机取出一个小球，记下数字为y。 (1)用列表法表示出(x，y)所有可能出现的结果。 (2)求小明、小华各取一次小球所确定的点(x，y)落在二次函数 的图象上的概率。 (3)求小明、小华各取一次小球所确定的数x，y满足 的概率。 1. B 2. D 3. C 4. B 5. A 6. B 7. C 8. A 9. B 10. A 11. 12.3 14.【解析】画树状图如下： 共有9种等可能的情况，其中经过两次传球后球又传到A手上的情况有3种，∴经过两次传球后球又传到A手上的概率为 【解析】如图，由题意得，AB=CD=5,BC=9,∴BD=BC-CD=9-5=4。 106,中间小正方形的面积为4×4=16,小正方形外的阴影部分面积为 =40。∴阴影部分的面积为16+40=56。∴针尖落在阴影区域的概率为 16. 17.不成立,∵ ,又∵P(B)==而 ∴等式不成立。 18.(1)当n很大时，摸到黑球的频率将会趋近0.25，该袋子中的黑球有4×0.25=1。故答案为:0.25;1。(2)画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中摸出的2个球的颜色不同的结果有6种，∴随机摸出的2个球的颜色不同的概率为 19.(1)∵A转盘被分成三个面积相等的扇形，转盘上的数字分别是-6，-1，5，其中正数有1个，∴P(转动转盘，转盘A指针指向正数) 故答案为： (2)列表如下： -6 -1 5 6 0 5 11 -7 —13 -8 -2 4 -2 3 9 一共有9种等可能的结果，其中a+b>0的结果有4种,a+b<0的结果有4种,∴P(小聪获胜):)= ,P(小明获胜)= 。∴P(小聪获胜)=P(小明获胜)。∴这个游戏公平。 20.(1)从A,D,E,F四点中任意取一点,一共有4种可能，只有选取点D时，所画三角形是等腰三角形，∴P(所画三角形是等腰三角形))= (2)画树状图如下： 一共有12种等可能的结果，其中以点A，E，B，C为顶点及以D，F，B，C为顶点所画的四边形是平行四边形，∴所画四边形是平行四边形的概率为 21.(1)∵每一题有三个选项，有且只有一个选项正确，∴有二个选项错误。用“对，错，错”来表示，列表如下： 对 错 错 对 (对,对) (对,错) (对,错) 错 (错,对) (错,错) (错,错) 错 (错,对) (错,错) (错,错) 共有9种等可能的结果，其中2道题一对一错的有4种结果，∴2道题一对一错的概率为 (2)①当两题都不答时，预期得分为：2×8=16(分)。 ②当一题不答，一题随机选择时，∵P(对)= ,P(错) ∴预期得分为 (分)。 ③当两题都随机选择时，有两题都对，一对一错，两题都错三种可能，所得的分数分别为6分、1分、-2分，相应的概率分别为P(两题都对) P(一对一错)= ,P(两题都错)= ,∴子预期得分为 2× +2×8=16 (分)。∵16 >16,∴采用两题都随机选择的解答方式得分最高。 22.(1)m=100%-14%-8%-24%-34%=20%。∵跳绳的人数有4人，占的百分比为8%， ∴4÷8%=50。故答案为:20,50。如图,乒乓球人数为50×20%=10(人)。 (2)1500×24%=360(人)。故答案为:360。 (3)列表如下： 男1 男2 男3 女 男1 男2,男1 男3,男1 女，男1 男2 男1,男2 男3,男2 女，男2 男3 男1,男3 男2,男3 女，男3 女 男1，女 男2，女 男3，女 ∵所有可能出现的结果共有12种情况，并且每种情况出现的可能性相等。其中一男一女的情况有6种。 ∴P(抽到一男一女)= 23.(1)甲可取5,10,15,20,25,30,35,∴P(不爆掉)= (2)乙有可能赢,乙可取10,15,P(乙赢) (3)甲选择不转第二次。理由如下：甲选择不转第二次，乙必须选择旋转第二次，此时P(乙赢) ∴乙获胜的可能性较小。或甲若选择转第二次，P(甲爆掉) ∴甲输而乙获胜的可能性较大。(叙述的理由合理即可) 24.(1) 6 -2 0 -4 6 (6,6) (-2,6) (0,6) (-4,6) -2 (6,-2) (-2,-2) (0,-2) (-4,-2) 0 (6,0) (-2,0) (0,0) (-4,0) -4 (6,-4) (-2,-4) (0,-4) (-4,-4) (2)可能出现的结果共16个，它们出现的可能性相等。满足点(x，y)落在二次函数 的图象上(记为事件A)的结果有2个,即(-2,0),(0,-2), (3)能使x,y满足 记为事件B)的结果有3个,即(0,0),(0,6),(-2,6), 学科网（北京）股份有限公司 $