山东潍坊市寿光市第一中学2025-2026学年高三上学期九月月考测试数学试题

**基本信息** 高三数学月考卷覆盖函数、数列、统计等核心模块，解答题融合统计案例与导数应用，通过分层设计考查数学思维与数据意识，适配高三复习诊断需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|集合、命题、函数图像、不等式|基础与综合结合，如第7题函数性质综合考查抽象能力| |填空题|3题15分|函数切线、单调性、零点|强调数学眼光，如第14题零点问题需数形结合| |解答题|5题77分|统计检验、导数应用、数列求和|贴合高考趋势，如15题独立性检验体现数据意识，16题导数恒成立考查推理能力|

高三数学学科月考测试试题2025.09 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟。 2.书写规整，注意运算，做完选择先涂卡。 3.认真细心，规范准确答题，做题时不要看答案。 一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.） 1．已知集合，则集合A的真子集个数是（ ） A. 24 B. 32 C. 31 D. 30 2．“，”为假命题的一个充分不必要条件是（     ） A． B． C． D． 3．要得到的图象，只需将函数的图象上所有点的横坐标（    ） A．缩小到原来的倍（纵坐标不变） B．扩大到原来的10倍（纵坐标不变） C．向左移动1个单位（纵坐标不变） D．向右移动1个单位（纵坐标不变） 4．的展开式中的常数项是（ ） A. 12 B. 8 C. D. 5．若为奇函数，则（     ） A．2 B．-2 C． D． 6．若两个正实数x，y满足，且存在这样的x，y使不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 7．定义在上的函数满足，且为奇函数，已知当时，，则下列结论错误的是（     ） A． B．在区间上单调递减 C． D． 8．已知是定义在上的增函数，且存在函数使得，若，分别是方程和的根，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．若，，则下列不等式成立的是（     ） A． B． C． D． 10．下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 经验回归方程为时，变量和负相关 C. 已知，若，则 D. 在相关关系中，若用拟合时的决定系数为，用拟合时的决定系数为，且，则的拟合效果好 11．已知函数， 则（     ） A． B．有一个零点 C．y轴是曲线的切线 D．在(1，+∞)上单调递增 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知函数，若，函数过点的切线方程为 ． 13． 若函数在上不单调，则实数的取值范围为 . 14．已知，则函数y＝2[f（x）]2－3f（x）＋b有5个不同的零点，则b的取值范围是_________________ . 4、 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．为了普及安全教育，某学校随机抽取男生、女生各100名学生进行安全知识测试，根据200名同学的测试成绩得知，该校有的同学成绩超过90分，具体情况如下表格： 性别 了解安全知识的程度 得分不超过90分的人数 得分超过90分的人数 男生 10 女生 t （1）求； （2）根据小概率值的独立性检验，能否推断该校男生和女生了解安全知识的程度与性别有关？ 附： 0.050 0.010 0.005 3.841 6.635 7.879 16. 已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若恒成立，求的取值范围． 17．已知等比数列的前项和为，若成等差数列. (1)求等比数列的公比； (2)若，求数列的前项和. 18．已知函数． (1)试讨论函数的单调性； (2)当时，试求函数的极值； 19.已知函数. (1)当时，求的单调区间； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围； 问题征集栏（将自行修改后，确实不会做的题目题号写在下方对应的栏目中） 单选题 多选题 填空题 解答题 试卷第4页，共5页 试卷第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 高三数学学科月考测试试题2025.09 参考答案 1．C 2．B 【分析】存在量词命题的否定是全称命题，由存在量词命题是假命题，则其否定是真命题，转化为恒成立问题求解，分离参数求解最值即可得充要条件. 【详解】“，”为假命题“，”为真命题， 所以恒成立， 设，由，则， 故“，”为真命题. 选项A，， 即是“，”为假命题的一个既不充分又不必要条件， 故A不正确； 选项B，因为，但， 所以是“，”为真命题的一个充分不必要条件， 故B正确， 选项C，是“，”为真命题的一个充要条件， 故C不正确； 选项D，， 是“，”为真命题的一个必要条件不充分条件， 故D不正确. 故选：B． 3．B 【分析】由对数的运算及函数图象的变换可得解. 【详解】因为， 所以由函数图象的变换知，只需将函数的图象上所有点的横坐标扩大到原来的倍（纵坐标不变）， 故选：B 4. B 【分析】求出的通项公式，得到，，从而得到的展开式中常数项的值． 【详解】的通项公式为， 当时，．当时，， 故的展开式中常数项的值为． 故选：B． 5．C 【分析】利用奇函数的定义分类讨论求解即可 【详解】因为函数为奇函数， 所以的定义域关于原点对称. 若，则的定义域 不关于原点对称， 所以的定义域为且， 从而，解得. 所以，定义域为. 令， 得. 经检验，为奇函数， 故选：C. 6．C 【分析】利用基本不等式“1”的代换求左侧最小值，根据不等式有解得到，解一元二次不等式求范围即可. 【详解】由题设，则， 当且仅当，即时等号成立， 要使不等式有解，则， 所以或. 故选：C 7．C 【分析】由题意有，又，即可推出，进而判断A，作出在的图像，结合周期即可判断B，利用单调性即可判断C，先求一个周期的和，最后利用周期即可求，进而判断D. 【详解】由为奇函数有：，即，又，所以，所以， 即，所以，所以，故A正确； 由有的图像关于对称，又，所以的图像关于对称， 当时，，作出函数的图像：    由图可知在单调递减，又，所以是以4为周期的周期函数，所以， 所以当，，即在的图像与的图像一致，所以在单调递减，故B正确； 由，又，在单调递减，所以，故C错误； 由于，，，， 所以，且是以4为周期的周期函数，所以，故D正确， 故选：C. 8.【分析】利用已知条件可分别得到关于和的关系式，再利用将关系式变形得到和，最后借助函数的单调性即可求解. 【详解】是的根，，即，① 是的根，，即， 存在函数使得，，② 是定义在上的增函数，在上单调递增， 由①②可得， ， 又，即， ，即. 故选：B. 9．BC 【分析】对于A：根据幂函数单调性分析判断；对于B：根据指数函数单调性分析判断；对于C：根据对数函数单调性分析判断；对于D：根据选项C的结论结合换底公式分析判断. 【详解】对于选项A：因为，则在内单调递增， 且，所以，故A错误； 对于选项B：因为，则在定义域内单调递减， 且，所以，故B正确； 对于选项C：因为，则在定义域内单调递减， 且，所以，故C正确； 对于选项D：由选项C可知：，则， 所以，故D错误； 故选：BC. 10． BC 【分析】根据二项分布的方差公式，结合正态分布的性质、回归直线方程系数的意义、决定系数的意义逐一判断即可. 【详解】A：由，所以本命题不正确； B：因为，所以变量和负相关，因此本命题正确； C：因为， 所以， 所以，因此本命题正确； D：因为，所以的拟合效果好，因此本命题不正确， 故选：BC 11．ABD 【分析】计算出即可判断A；根据函数零点的定义求解判断B；根据函数的定义域可判断C；根据一次函数和对数函数的单调性判断D. 【详解】由，， 则，，由于，则，故A正确； 令，解得，所以有一个零点，故B正确； 因为的定义域为，由函数定义知与函数图象无公共点，所以不可能是函数的切线，故C错误； 因为函数和在上单调递增，且时，， 所以函数在上单调递增，故D正确. 故选：ABD. 12. 若，则，所以， 设过点的切线方程的切点为， 则，切线方程为， 代入点得， 解得， 故切线方程为 13． 【分析】将问题转化为方程在上有根，结合的定义域得到关于的不等式组，解之即可得解. 【详解】因为函数在上不单调， 所以在上有零点， 即方程在上有根，即方程在上有根， 又函数定义域为， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 14． 15．【分析】（1）根据总量结合分量的占比进行计算求解即可； （2）根据题中公式，结合附中表格的数据进行计算判断即可. 【小问1详解】 因为200名同学的测试成绩得知，该校有的同学成绩超过90分， 所以该校成绩超过90分的人数为， 成绩没有超过90分的人数为， 因此； 【小问2详解】 零假设：该校男生和女生了解安全知识的程度与性别无关， 因为 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断零假设不成立， 所以不能推断该校男生和女生了解安全知识的程度与性别有关. 16. (1) (2) 【分析】（1）依据题意求出切点，利用导数的几何意义求出斜率，进而得到切线方程即可. （2）利用导数求出的最小值，再建立不等式并结合给定条件求出参数范围即可. 【详解】（1）当时，， 而，则切点坐标为， 易得，得到切线斜率为， 故曲线在点处的切线方程为， 即. （2）由题意得的定义域为， 且， 而，令，，令，， 即的单调递减区间为，单调递增区间为， 则当时，有最小值， 得到，解得， ，，即的取值范围为. 17．5．(1) (2) 【分析】（1）由和并结合题意即可求解； （2）由（1）可求得，从而可得，再利用错位相减法即可求解. 【详解】（1）由题意若成等差数列， 则得，即， 则得，所以， 故. （2）由（1）可知，又，所以， 则， 所以， ， ， 由可得 ， 解得. 所以数列的前项和. 18． 【分析】（1）求出函数的导数，根据的范围分类讨论，确定导数的符号，从而求出函数的单调区间； （2）结合（1）中结论，分类讨论函数的单调性，根据极值的定义求解； 【详解】（1）函数的定义域为，， 当时，在上恒成立，所以在上单调递增； 当时，令，解得，则在上单调递增， 令，解得，则在上单调递减. 综上得，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）由条件得，， 令，则， 由（1）知，当时，在上单调递增， 此时函数无极值； 当时，由（1）知，在上单调递减，在上单调递增. 又， 当时，在上单调递减，在上单调递增. 此时函数有极小值，极小值为，函数无极大值； 当时，在上单调递减， 此时函数无极值. 综上得，当时，函数无极值； 当时，函数有极小值；无极大值； 当时，函数无极值. 19．(1)递减区间为，无递增区间； (2)； 【分析】（1）求出函数导数，再判断其正负求得单调区间. （2）等价变形给定不等式并分离参数，构造函数并求出其值域即得. 【详解】（1）当时，函数的定义域为， 求导得， 所以函数的递减区间为，无递增区间. （2）任意，不等式恒成立， 令函数，求导得， 令函数，求导得，函数在上单调递增， 当时，，，则函数在上单调递增， 因此，，所以实数的取值范围是. 答案第4页，共10页 答案第5页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $