精品解析：山东济宁市嘉祥一中2026届高三上学期2月月考数学试题

嘉祥一中2025-2026学年2月月考 高三数学试题 2026.02 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ）． A. R B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的交集计算和二次不等式以及指数函数的不等式解法即可求解. 【详解】, , , 故选：B. 2. “”是“复数为纯虚数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用充分条件和必要条件的定义，结合复数的除法运算及纯虚数的概念求解. 【详解】复数， 当时，，复数，是纯虚数； 当复数为纯虚数时，有，解得. 则“”是“复数为纯虚数”的充要条件. 故选：C 3. 等比数列，，，则公比（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式及已知，列方程求得公比. 【详解】由题设，又，解得. 故选：B 4. 函数在区间上恰有两条对称轴，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的对称轴方程为，，原题等价于有2个整数k符合，解不等式即得解. 【详解】， 令，，则，， 函数在区间[0，]上有且仅有2条对称轴，即有2个整数k符合， ，得，则， 即，∴. 故选：D. 5. 高考入场安检时，某学校在校门口并排设立三个检测点，进入考场的学生只需要在任意一个检测点安检即可进入．现有三男三女六位学生需要安检，则每个检测点通过的男生和女生人数相等的可能情况有（ ） A. 66种 B. 93种 C. 195种 D. 273种 【答案】B 【解析】 【分析】分①每个检测点均为一男一女通过、②三个检测点中，一个检测点通过0人，一个检测点通过一男一女，一个检测点通过两男两女、③六人均在同一个检测点通过三种情况进行讨论求解即可. 【详解】①每个检测点均为一男一女通过，共有种不同的结果； ②三个检测点中，一个检测点通过0人，一个检测点通过一男一女，一个检测点通过两男两女，共有种不同的结果； ③六人均在同一个检测点通过，共有种不同的结果. 则每个检测点通过的男学生人数与女学生人数均相等的情况有种. 故选：B. 6. 已知平行四边形中，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用向量表示向量，再结合数量积的运算律计算即得. 【详解】平行四边形中，由，得， 由，得， 因此， 整理得，即，所以. 故选：B 7. 若双曲线不存在以点为中点的弦，则该双曲线离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断点在双曲线外部或在双曲线上，得，再结合过该中点的直线斜率可得另一不等式，最后求解出的范围，结合离心率等式即可求解． 【详解】 不存在以点为中点的弦，必须同时满足以下两个条件：   点在双曲线外部或其上（若点在双曲线内部，则过该点的弦必然存在）， 因此，解得； 设过点的弦的斜率为， 设弦与双曲线交于点，， 则，， 由点，在双曲线上，得， 两式作差得， 所以， 直线与双曲线有两个不同交点的充要条件是， 因为不存在该中点弦，所以直线AB与双曲线至多一个交点， 则，也即， 所以，则． 8. 已知定义在上的奇函数满足，且，当时，，则方程在区间上的根的个数为（ ） A. 9 B. 10 C. 17 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性、对称性，得出函数是周期函数，再根据当时，，结合其单调性、对称性、周期性作出函数在区间上的图象，利用函数与函数的图象，由交点的个数可得出方程根的个数. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以， 由可知，函数的图象关于直线对称， 则有，则，则， 所以，故是周期函数，周期. 又因为，所以，且有，则. 当时，是增函数， 且时，，时，，所以在上有且仅有一个零点. 函数与函数的图象如图， 由图可知，方程在区间上有10个根，去除后，还有9个根， 方程的根，即函数的图象与函数的图象的交点，有8个， 所以，方程在区间上的根的个数为. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 数据2，1，3，4，2，5，4，1的第45百分位数是4 B. 若数据，，，，的标准差为s，则数据，，，，的标准差为4s C. 随机变量X服从正态分布，若，则 D. 随机变量Y服从二项分布，若方差，则 【答案】CD 【解析】 【分析】根据百分位数的计算方法，可判定A错误；根据方差的性质，可判定B正确；根据正态分布曲线的对称性，可判定C正确；根据二项分布性质和概率的计算公式，可判定D正确. 【详解】对于A中，数据从小到大排列为，共有8个数据， 因为，所以数据的第45分位数为第4个数据，即为2，所以A错误； 对于B中，数据的标准差为， 由数据方差的性质，可得数据的标准差为，所以B错误； 对于C中，随机变量服从正态分布，且， 根据正态分布曲线的对称性，可得，所以C正确； 对于D中，随机变量服从二项分布，且， 可得，解得或， 当时，可得； 当时，可得， 综上可得，，所以D正确. 故选：CD. 10. 如图，棱长为2的正方体中，P，Q分别是棱，棱的中点，动点M满足，其中，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则三棱锥的体积为定值 C. 若，，则直线与直线所成角的最小值为45° D. 若动点M在三棱锥外接球的表面上，则点M的轨迹长度为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，利用向量数量积等于0判断A项；通过证明平面判断M到平面的距离为定值即得；利用向量夹角的坐标公式求出直线与直线所成的角的余弦值表达式，由函数的单调性即可判断C项；结合图形先作出三棱锥外接球的球心，求得其半径，由题意判断点M的轨迹是平面截三棱锥外接球的截面圆，计算其周长即得. 【详解】以D为坐标原点，，，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 对于A，因，，则， 即，所以，又， 所以， 所以，所以，故A正确； 对于B，因为，，所以点M在直线上， 又因为，，则四边形是平行四边形， 所以，又平面，平面，则平面， 故M到平面的距离为定值，又的面积为定值，即三棱锥的体积为定值，故B正确； 对于C，点P为的中点，坐标为，点M的坐标为， 向量，向量， 设直线与直线所成的角为，因为， 则， 故当时，，则， 又因余弦函数在第一象限单调递减，故直线与直线所成角的最小值为45°，即C正确； 对于D，因为三棱锥即为三棱锥，又底面是直角三角形， 过的中点N作平面，是三棱锥外接球的球心， 因为平面，所以，又， 所以三棱锥外接球的半径， 因为点M在平面内，又在三棱锥外接球的表面上， 所以M的轨迹是平面截三棱锥外接球的截面圆， 又易得到平面的距离为1，所以截面圆的半径为， 所以M的轨迹的周长为，故D错误. 11. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线、的方程分别为、，过点作、的垂线，垂足分别为、，四边形的面积为，点的轨迹为曲线.则（ ） A. 圆与没有公共点 B. 曲线与没有公共点 C. 上存在三点、、，使得为等边三角形 D. 在点处的切线与、分别交于、两点，则的面积为定值 【答案】BCD 【解析】 【分析】设点，根据四边形的面积为求出点的轨迹方程，将曲线的方程与圆的方程联立，判断公共解的个数，可判断A选项；将曲线的方程以曲线的方程联立，判断公共解的个数，可判断B选项；取点，取直线的方程为，取直线的方程为，将直线方程与曲线的方程联立，求出点、的坐标，可判断C选项；写出切线方程，将切线方程与方程联立，利用三角形面积公式并结合韦达定理可判断D选项. 【详解】易知，又因为，，则四边形为矩形， 设点，则，， 矩形的面积为，可得， 故曲线的方程为， 对于A选项，联立可得或， 所以，曲线与圆有个公共点，其坐标分别为、、、，A错； 对于B选项，联立可得，该方程无解， 所以，曲线与没有公共点，B对； 对于C选项，不妨取点，取直线的方程为， 取直线的方程为， 联立，解得，即点， 联立，解得，即点， 由平面内两点间的距离公式可得， 同理可得，此时，为等边三角形，C对； 对于D选项，设为双曲线上一点， 先证明出双曲线在点处的切线方程为， 联立可得，， 所以，双曲线在点处的切线方程为， 易知，直线、的方程可视为， 设点、，联立可得， 由韦达定理可得， 所以，， 因为点关于直线的对称点为，则， 所以，曲线关于直线对称， 由对称性可知，当点在曲线上时，的面积也为定值，D对. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中常数项为__________．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【详解】的展开式的通项公式为，令，，故该展开式中的常数项为，故答案为． 【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用. 13. 在中，内角所对的边分别为，且角为锐角，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据二倍角公式求出的值，进而求出的值，再利用正弦定理求出的值，判断的范围并求出的值，最后根据三角函数的两角和公式求出的值. 【详解】已知，根据二倍角公式，则有. 因为为锐角，即，等式两边同时除以可得：. 已知，将其代入可得：，解得. 因为为锐角，根据，可得. 由正弦定理，已知，，，则. 因为，根据大边对大角可知，又因为为锐角，所以也为锐角. 根据，可得. 因为，所以， 则 . 故答案为： 14. 已知函数若存在实数满足，且，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出每一段函数的值域，然后由题意得到，根据，可将化简为，构造函数，利用导数求最值即可. 【详解】结合解析式可知当时，；当时，. 因为，所以. 令，得，则， 故. 令，则， 令得；令得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 当时，， 因为，所以. 所以的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 近期根据中国消费者信息研究报告显示，超过的消费者更加频繁地使用网上购物，某网购专营店统计了2025年1月5日到9日这5天到该专营店购物的人数和时间第天间的数据，列表如下： 1 2 3 4 5 75 84 93 98 100 （1）由表中给出的数据判断是否可以用线性回归模型拟合人数和时间第天之间的关系？若可用，估计1月10日到该专营店购物的人数；若不可用，请说明理由（人数用四舍五入法取整数，若相关系数，则线性相关程度很高，可以用线性回归模型拟合，精确到0.01）； （2）该专营店为了吸引顾客，推出两种促销方案．方案一：购物金额每满100元可减5元；方案二：一次性购物金额超过800元可抽奖三次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次打9折，中奖两次打8折，中奖三次打6折．某顾客计划在此专营店购买1000元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析选哪种方案更优惠． 参考数据：． 附：相关系数． 【答案】（1）可用，109 （2）选择方案二更划算 【解析】 【分析】（1）先计算相关系数，再结合线性回归方程的知识求解即可； （2）首先根据二项分布的概率公式求出为的概率值，则方案二的期望可求，与方案一的950进行比较即可判断. 【小问1详解】 由表中数据可得， ， 所以， 所以可用线性回归模型拟合人数与天数之间的关系． 而， 则所以 令，可得，所以1月10日到该专营店购物的人数约为109． 【小问2详解】 若选方案一､需付款元． 若选方案二､设需付款元，则的取值可能为， 则， ， 所以， 因此选择方案二更划算． 16. 已知函数. （1）写出函数的最小正周期和所有的严格单调递增区间； （2）在中角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若，，且，求的周长. 【答案】（1）；严格单调递增区间为， （2） 【解析】 【分析】（1）由三角恒等变换得，再根据三角函数性质求解即可； （2）由得，根据向量数量积运算得，再结合余弦定理求得即可得答案. 【小问1详解】 解：. 所以函数的最小正周期为； 由，得，. 因为， 所以函数的严格单调递增区间为，. 【小问2详解】 解：由，得. 所以或，. 因为B是三角形内角，所以. 因为，所以. 又，所以. 所以，则， 所以的周长为. 17. 正项数列的前项和满足. （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前n项和； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先应用因式分解得出，再结合计算求解通项公式； （2）先化简再应用裂项相消法计算求解. 【小问1详解】 由，得. 由于是正项数列，所以，. 当时，， 当时，. 显然，满足， 综上，数列的通项公式为. 【小问2详解】 由于，故 . 18. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）证明：时，； （3）若不等式对任意的都成立（其中是自然对数的底数），求整数的最大值． 【答案】（1）的增区间为，减区间为. （2）证明：要证时，，即证在上恒成立， 令，， ， 令，， 当时，，， 所以在上单调递减，所以， 则，所以在上单调递减， 所以，所以， 综上，时，； （3）整数的最大值为． 【解析】 【分析】（1）直接利用导数求解的单调区间； （2）要证，即证，令，对求导，得到，即可证明； （3）分离常数，得，为此求出函数在上的最小值，即可得解． 【小问1详解】 函数的定义域是，， 当时，；当时，． 所以，的增区间为，减区间为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 不等式等价于不等式， 由可得：， 设，， 则， 设，函数的定义域是， ， 设，则， 令，则， 时，，在上为增函数， 时，，在上为减函数， ∴在处取得极大值，而， ∴，函数在上为减函数． 于是当时，，当时，， ∴当时，，为增函数， 当时，，为减函数， 故函数的增区间为，减区间为， 所以，所以，即 ∴，，于是在上为减函数， 故函数在上的最小值为， 所以，所以整数的最大值为． 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 19. 已知在四面体中，分别为所在棱的中点，如图所示． （1）证明：平面； （2）若两两垂直，则称四面体为“斜垂四面体”． ①在斜垂四面体中，若，求直线与平面所成角的正弦值； ②在空间直角坐标系中，平面内有椭圆，直线与交于两点．为空间中一点，若为斜垂四面体，求其外接球表面积的最小值，并求出此时的直线方程． 【答案】（1） 如图，连接，由分别是棱的中点，得， 又平面平面，所以平面. （2）① ；②最小值为，直线方程为 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定推理得证. （2）①利用“斜垂四面体”的定义，将四面体补形成长方体，建立空间直角坐标系，利用线面角的向量法求解； ②由①可得，再联立直线与椭圆方程，结合韦达定理用的函数表示，进而求出最小值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①由（1）知，平行且等于平行且等于，得与平行且相等， 则四边形为平行四边形，又，则四边形为菱形， ，而，则，同理， 如图，将该三棱锥补全为一个长方体，并建立空间直角坐标系， 由，得， ， 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 所以直线与平面所成角的正弦值为. ②由①知将补成长方体，设长宽高分别设为， 则外接球半径为该长方体的体对角线长的一半即：， ， ，则， 在平面内设，由，得， 显然， 则，， ， 于是， ， 在中，，则为锐角， 因此，即，则，解得， 又， 则当最大时，最小， 不妨令，则， 由函数在上单调递增，则当时，有最大值，此时， 所以的最小值为，此时直线方程为. 【点睛】关键点睛：由“斜垂四面体”的定义推理并将四面体补形成长方体是求解第2问的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 嘉祥一中2025-2026学年2月月考 高三数学试题 2026.02 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ）． A. R B. C. D. 2. “”是“复数为纯虚数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 等比数列，，，则公比（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 4. 函数在区间上恰有两条对称轴，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 高考入场安检时，某学校在校门口并排设立三个检测点，进入考场的学生只需要在任意一个检测点安检即可进入．现有三男三女六位学生需要安检，则每个检测点通过的男生和女生人数相等的可能情况有（ ） A. 66种 B. 93种 C. 195种 D. 273种 6. 已知平行四边形中，，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 若双曲线不存在以点为中点的弦，则该双曲线离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的奇函数满足，且，当时，，则方程在区间上的根的个数为（ ） A. 9 B. 10 C. 17 D. 12 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 数据2，1，3，4，2，5，4，1的第45百分位数是4 B. 若数据，，，，的标准差为s，则数据，，，，的标准差为4s C. 随机变量X服从正态分布，若，则 D. 随机变量Y服从二项分布，若方差，则 10. 如图，棱长为2的正方体中，P，Q分别是棱，棱的中点，动点M满足，其中，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则三棱锥的体积为定值 C. 若，，则直线与直线所成角的最小值为45° D. 若动点M在三棱锥外接球的表面上，则点M的轨迹长度为 11. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线、的方程分别为、，过点作、的垂线，垂足分别为、，四边形的面积为，点的轨迹为曲线.则（ ） A. 圆与没有公共点 B. 曲线与没有公共点 C. 上存在三点、、，使得为等边三角形 D. 在点处的切线与、分别交于、两点，则的面积为定值 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中常数项为__________．（用数字作答） 13. 在中，内角所对的边分别为，且角为锐角，，则的值为______． 14. 已知函数若存在实数满足，且，则的取值范围为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 近期根据中国消费者信息研究报告显示，超过的消费者更加频繁地使用网上购物，某网购专营店统计了2025年1月5日到9日这5天到该专营店购物的人数和时间第天间的数据，列表如下： 1 2 3 4 5 75 84 93 98 100 （1）由表中给出的数据判断是否可以用线性回归模型拟合人数和时间第天之间的关系？若可用，估计1月10日到该专营店购物的人数；若不可用，请说明理由（人数用四舍五入法取整数，若相关系数，则线性相关程度很高，可以用线性回归模型拟合，精确到0.01）； （2）该专营店为了吸引顾客，推出两种促销方案．方案一：购物金额每满100元可减5元；方案二：一次性购物金额超过800元可抽奖三次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次打9折，中奖两次打8折，中奖三次打6折．某顾客计划在此专营店购买1000元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析选哪种方案更优惠． 参考数据：． 附：相关系数． 16. 已知函数. （1）写出函数的最小正周期和所有的严格单调递增区间； （2）在中角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若，，且，求的周长. 17. 正项数列的前项和满足. （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前n项和； 18. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）证明：时，； （3）若不等式对任意的都成立（其中是自然对数的底数），求整数的最大值． 19. 已知在四面体中，分别为所在棱的中点，如图所示． （1）证明：平面； （2）若两两垂直，则称四面体为“斜垂四面体”． ①在斜垂四面体中，若，求直线与平面所成角的正弦值； ②在空间直角坐标系中，平面内有椭圆，直线与交于两点．为空间中一点，若为斜垂四面体，求其外接球表面积的最小值，并求出此时的直线方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $