第二十五章复习与小结教学设计 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学单元复习资料系统梳理了一元二次方程的概念、解法、判别式、韦达定理及应用，通过师生互动逐点回顾核心知识，构建“概念-解法-判别式-定理-应用”的完整知识网络，体现各知识点间的内在逻辑联系。 其亮点在于采用“典型例题引路-分层练习巩固”模式，如通过传播问题训练模型意识，含参方程培养推理能力，基础题、提升题、拓展题满足不同学生需求。完善的练习设计与答案体系帮助学生巩固知识，教师可精准把握学情，提升复习效率。

第二十五章 一元二次方程 复习与小结 教学设计 一、课标要求 1. 理解一元二次方程的概念，能将一元二次方程化为一般形式 （），并识别各项系数。 1. 掌握直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法四种解法，能根据方程特征灵活选择最优解法。 1. 掌握判别式 与根的情况的关系，能运用判别式判断根的情况。 1. 理解根与系数的关系（韦达定理），能运用韦达定理进行推理和计算。 1. 能利用一元二次方程解决实际问题（增长率问题、面积问题、利润问题等），体会方程建模思想。 二、教学目标 1. 系统梳理一元二次方程的概念、解法、判别式、韦达定理等核心知识。 1. 熟练掌握四种解法，能根据方程特征灵活选择最优解法。 1. 能灵活运用判别式判断根的情况，能运用韦达定理进行推理计算。 1. 能利用一元二次方程解决实际问题，经历“实际问题 → 数学模型 → 求解验证”的过程。 1. 体会化归思想、分类讨论思想、方程建模思想、数形结合思想。 三、教学重点与难点 教学重点： · 灵活选择适当方法解一元二次方程。 · 判别式 的应用与韦达定理的应用。 · 列一元二次方程解决实际问题。 教学难点： · 根据方程特征选择最优解法。 · 韦达定理的变形应用。 · 实际问题中等量关系的准确找出与建模。 四、教学过程 （一）知识梳理 【师生活动】 教师引导学生回顾本章核心知识，逐一点拨，学生口答补充。 知识点 1：一元二次方程的概念 等号两边都是整式，只含一个未知数，且未知数最高次数为 的方程。 判断条件：①整式方程 ②一个未知数 ③最高次数为 知识点 2：一般形式 其中 为二次项， 为二次项系数； 为一次项， 为一次项系数； 为常数项。 知识点 3：四种解法 ① 直接开平方法 → 适用于 （） ② 配方法 → 化为 的形式再开方 ③ 公式法 → （） ④ 因式分解法 → 一边为 ，另一边分解为两个一次因式之积 知识点 4：判别式与根的情况 → 两个不相等的实数根 → 两个相等的实数根 → 没有实数根 反过来也成立（注意前提 ） 知识点 5：根与系数的关系（韦达定理） 使用前提： 知识点 6：实际问题 步骤：审 → 设 → 列 → 解 → 验 → 答 常见类型：增长率问题、面积问题、利润问题 【设计意图】 通过系统梳理，帮助学生建立完整的知识框架。教师逐一点拨，学生口答补充，查漏补缺。 （二）典型例题 例 1：用适当的方法解下列方程 （1） （2）（用配方法） （3） （4） 【师生活动】 教师引导学生观察每个方程的结构特征，先判断适用的解法，再独立求解。 解： （1）直接开平方法： （2）配方法：移项得 配方： （3）公式法： （4）因式分解法：移项得 解法选择策略（板书）： ① 含 → 直接开平方法 ② 一边为 ，另一边可分解 → 因式分解法 ③ 二次项系数为 ，一次项系数为偶数 → 配方法 ④ 一般形式 → 公式法 【设计意图】 通过四道方程对比，训练学生根据方程特征灵活选择解法的能力。总结“看特征选方法”策略，形成解题思路。 例 2：含参方程与判别式、韦达定理 已知关于 的方程 有两个不相等的实数根。 （1）求 的取值范围。 （2）若两根满足 ，求 的值。 【师生活动】 教师提问：已知有两个不相等的实数根，应利用什么条件？学生回答：。 解： （1） 恒成立 为任意实数 （2）由韦达定理： 代入 ： 【设计意图】 综合考查判别式和韦达定理。重点强调：代入后需检验 是否仍满足。 例 3：含参方程（需分类讨论） 已知关于 的方程 有实数根，求 的取值范围。 【师生活动】 教师提示：注意题目说的是“方程”，不是“一元二次方程”！引导学生思考：二次项系数 能否为 ？ 解： 情况一：（即 ） 方程变为 ，，有实数根。 情况二：（即 ） 此时为一元二次方程，需 ： 综合情况一和情况二：（ 已包含在 中） 的取值范围为 【设计意图】 强调审题的重要性。“方程”与“一元二次方程”的区别是常考易错点，培养学生分类讨论的严谨意识。 例 4：传播问题 有一个人收到短信后，再用手机转发短消息，每人只转发一次，经过两轮转发后共有 人收到短消息，则每轮转发中平均一个人转发给几个人？ 【师生活动】 教师引导学生理清传播过程：第一轮后有多少人收到？第二轮后呢？ 设每轮转发中平均一个人转发给 个人。 第一轮后收到人数： 第二轮后收到人数： 解： 答：每轮转发中平均一个人转发给 个人。 【设计意图】 传播问题是经典应用题型，训练学生理清“每轮增长规律”并建立方程模型的能力。 （三）课堂练习（10 分钟） A 基础题 1. 方程 的根是 ______。 2. 若方程 有两个相等实数根，则 ______。 3. 方程 的两根为 、，则 ______， ______。 4. 方程 的二次项系数为 ______，一次项系数为 ______，常数项为 ______， ______。 【师生活动】 学生独立完成基础题，教师巡视，指名口答。 答案： 1. （移项后因式分解：） 1. （，解得 ） 1. ，（直接由韦达定理得出） 1. ，，， 【设计意图】 基础题直接考查概念、公式的记忆与应用，确保全体学生达标。 B 提升题 5. 用配方法解方程： 6. 方程 有两个实数根 、。 （1）求 的取值范围。 （2）若 ，求 的值。 【师生活动】 第 5 题学生独立用配方法求解，教师强调配方步骤。 第 6 题引导学生思考：求参数范围用什么？求两根的对称式用什么定理？ 第 5 题解答： 第 6 题解答： （1） （2）由韦达定理： 由 ： 检验： 不满足 ，舍去。 【设计意图】 配方法步骤训练，韦达定理与判别式的综合应用。强调“先求范围、再列等式、最后检验”的完整解题流程。 C 拓展题 7. 一商店销售某种商品，平均每天可售出 件，每件盈利 元。为了增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于 元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低 元，平均每天可多售出 件。当每件商品降价多少元时，该商店每天的销售利润为 元？ 【师生活动】 教师引导学生找出等量关系：利润 每件利润 每天销量。注意约束条件“每件盈利不少于 元”。 解： 设降价 元，则每件盈利 元，每天售出 件。 检验约束条件：，即 。 不合题意，舍去。。 答：当每件商品降价 元时，每天销售利润为 元。 【设计意图】 利润问题是中考高频应用题型。训练学生找等量关系建模，并注意约束条件的检验。 （四）课堂小结（5 分钟） 【师生活动】 师生共同从三个维度进行小结。 知识维度： 方法维度： 看特征选方法：直接开平方 → 因式分解 → 配方法 → 公式法 思想维度： · 化归思想：将未知转化为已知 · 分类讨论：含参方程的讨论 · 方程建模：实际问题 → 数学方程 · 数形结合：判别式与抛物线交点 【设计意图】 从知识、方法、思想三个维度小结，帮助学生形成完整的认知结构。 （五）巩固练习（15 分钟） 1. 下列哪些是一元二次方程？ ① ② ③ ④ 2. 将 化为一般形式，指出各项系数。 3. 用适当方法解方程： （1） （2） （3） （4） 4. 方程 有两个实数根，求 的范围。 5. 、 是方程 的两根，不解方程求值： （1） （2） （3） 6. 某芯片公司引进了一条内存芯片生产线，开工第一季度生产芯片 万个，第三季度生产芯片 万个。求前三季度生产量的平均增长率。 7. 如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园 （围墙 最长可利用 ），现在已备足可以砌 长的墙的材料，当矩形花园的面积为 时，求 的长。 8. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出与这些支干同样数目的小分支。如果主干、支干和小分支的总数是 ，那么每个支干长出多少个小分支？ 9. 参赛的每两队之间都要比赛一场，赛程计划安排 天，每天安排 场比赛，则应邀请多少支足球队参赛？ 五、板书设计 第二十五章 一元二次方程 复习与小结 一、知识框架 二、解法选择策略 三、思想方法 概念 → 一般形式 ① (x+m)²=n → 直接开平方 化归思想 → 四种解法 ② 一边=0,可分解 → 因式分解 分类讨论 → 判别式 Δ ③ a=1,b为偶数 → 配方法 方程建模 → 韦达定理 ④ 一般形式 → 公式法 数形结合 → 应用 一般形式: ax²+bx+c=0 (a≠0) 解方程关键：看特征，选方法 判别式: Δ=b²-4ac 韦达定理: 六、巩固练习参考答案 1. ① ：整式方程，一个未知数 ，最高次数 → 是一元二次方程 ② ：含 ，不是整式方程 → 不是 ③ ：含两个未知数 、 → 不是 ④ ：整式方程，一个未知数 ，最高次数 → 是一元二次方程 2. → 二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 3. （1）（直接开平方法） （2）（因式分解法） （3）（公式法） （4）（因式分解法） 移项： 4. 有两个实数根，需 ： → 5. 由韦达定理：， （1） （2） （3） 6. 设平均增长率为 ，则 答：平均增长率为 7. 设 ，则 检验：围墙最长可利用 ，需 ，即 。 时，，不合题意，舍去。 ，即 。 8. 设每个支干长出 个小分支。 主干 个，支干 个，小分支 个。 答：每个支干长出 个小分支。 9. 设邀请 支队伍参赛。每两队之间比赛一场，共 场。 答：应邀请 支队伍参赛。 学科网（北京）股份有限公司 $