3.3 圆的对称性（第1课时）（教学设计）数学新教材苏科版九年级上册

该初中数学教学设计聚焦圆的中心对称性、同圆（等圆）中“圆心角－弧－弦”相等关系及圆心角与弧度数相等三大核心知识点。通过“车轮旋转”情境引入旋转不变性，结合透明纸旋转实验直观感知中心对称，搭建从具体操作到抽象概念的学习支架。 此资料以“操作—观察—猜想—验证—应用”为主线，透明纸叠合实验助学生建立几何直观与空间观念，“知一求二”证明及尺规作等角原理分析培养推理意识与应用意识。既让学生从直观到严谨理解知识，又为教师提供可操作的探究式教学方案，提升课堂效率与学生数学素养。

3.3 圆的对称性（1） 教学设计 1.教学内容 本课选自苏科版九年级上册第三章《圆》3.3　圆的对称性（1）。核心知识点： 1.圆的中心对称性——“圆是中心对称图形，圆心是对称中心”； 2.同圆（或等圆）中“圆心角－弧－弦”的相等关系及“知一求二”应用； 3.圆心角度数与其所对弧度数相等，及其在尺规作等角、二等分圆弧中的应用。 2.内容解析 本节通过“车轮旋转”与“透明纸旋转”两大情境，引入圆的旋转不变性，借助操作活动直观感知“中心对称”。随后由“能重合”抽象出“圆是中心对称图形，圆心为对称中心”这一结论。接着以两张等圆纸片的叠合实验，发展出同圆（等圆）中“圆心角、弧、弦三对应量若有一组相等，则其余各组均相等”的核心定理，并用图示法建立三者之间的一一对应关系。进一步，通过把圆等分 360 份揭示“圆心角度数=所对弧度数”，奠定利用圆作等角、等分弧的理论基础。例题与作图任务聚焦“知一求二”证明、等角作法、弧中点作图等典型情境，凸显定理的广泛应用价值。整节课在“操作—观察—猜想—验证—应用”的思维链条中完成概念形成，体现数学探究与实践意义。教学重点为中心对称性的理解及“圆心角—弧—弦”相等关系；难点在于从直观重合过渡到严谨证明及关系的迁移应用。 1.教学目标 •理解并能阐述圆的中心对称性，知道“圆心是对称中心”。 •掌握同圆（等圆）中圆心角、弧、弦的相等关系，能据此进行证明与计算。 •理解“圆心角度数＝所对弧度数”，能借此说明尺规作等角、等分圆弧的原理。 2.目标解析 • 能口述中心对称图形定义，举例说明圆的中心对称性；在图形中准确标出对称点。 • 面对“已知三对应量中一组相等”类题，能独立写出证明或列式计算，正确率≥80%。 • 在尺规作“作已知角的等角”“二等分圆弧”等活动中，能用“圆心角与弧度数相等”解释作图合理性。 3.重点难点 • 教学重点：① 圆的中心对称性；② “同圆（等圆）圆心角—弧—弦”相等关系及其“知一求二”应用。 • 教学难点：从实验“能重合”到中心对称概念的抽象与语言表达。 初三学生已掌握轴对称、中心对称及三角形全等、角的比较等基础知识，也初步了解弧、弦、圆心角的定义。优点：动手操作意愿强，对旋转、重合现象有直观感受，便于引发探究兴趣。困难与易错： 1.将“能够重合”与“大小相等”混淆，难以区分“等弧”与“度数相等的弧”； 2.证明题中常忽视“同圆或等圆”这一前提，导致推理失效； 从直观经验过渡到形式化证明（如“知一求二”链式推理）较为困难。教学应强化动手操作与图示表达，引导学生在具体情境中体验、在语言符号层面抽象，分层设计练习帮助学生巩固定理的应用与证明思维。 创设情景，引入新课 新课引入 把车轮轮廓看成圆，原地转动车轮，无论转到哪个位置，车轮轮廓都和原来重合，这说明圆有什么特殊性质？ 圆特有的性质→旋转不变性 【设计意图】借助熟悉的轮胎画面激活旧知，把“旋转不变”自然过渡到“中心对称”，激发兴趣并让学生明确本节课三大核心目标：①认识圆是中心对称图形；②掌握同圆（等圆）中圆心角—弧—弦的“知一求二”关系；③理解圆心角度数与弧度数相等，为后续尺规作等角作铺垫。 探究点1：圆的中心对称性 1.新知探究 如图，在两张透明纸上分别画一个半径相等的圆，并将它们分割成圆心角相等的扇形．将两张透明纸叠合，绕公共圆心转动其中一张透明纸．你有什么发现？ 解：两个圆始终保持重合．当旋转角为180°时，旋转前后的图形也保持重合. 2.新知归纳 根据中心对称图形的定义，我们得到如下结论： 圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心． 【设计意图】通过“旋转重合”实验，突破抽象定义的理解障碍，使学生直观体验中心对称的本质。 探究点2　同圆（等圆）中圆心角—弧—弦的对应相等关系 1.操作思考 ①在⊙O中，当圆心角∠AOB与∠A'OB'相等时，它们所对的和相等吗？ ②在两张透明纸片上，分别画半径相等的⊙O和⊙O'．在⊙O和⊙O'中，分别画相等的圆心角∠AOB和∠A'O'B'，连接AB、A'B'．将两张纸片叠在一起，使⊙O与⊙O′重合． 解：当OA与O′A′重合时， ∵∠AOB＝∠A′O′B′， ∴ OB与O′B′重合. 又∵OA＝O′A′，OB＝O′B′， ∴点A与点A′重合，点B与点B′重合． ∴ 和重合，AB与A′B′重合． 2.新知归纳 在同圆或等圆中，圆心角相等的扇形都可以重合，这两个扇形对应的弧和弦也都重合，我们把可以重合的弧叫作等弧(equal arc)． 如图，如果∠AOB＝∠A'OB'，那么AB＝A'B′，＝． 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等. 3.讨论交流 在同圆或等圆中，如果两个圆心角所对的弧相等，那么它们所对的弦相等吗？这两个圆心角相等吗？为什么？ 4.新知概括 圆心角、弧、弦的相等关系 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 我们可以用图表示同圆或等圆中圆心角与所对弧、弦的关系： 【设计意图】利用动手操作＋类比推理，帮助学生由具体实例抽象出“三等”对应规律，再用课本例题立即验证，巩固并体验“知一求二”的思想。 探究点3　圆心角度数＝弧度数及尺规作等角原理 1.概念学习 我们知道，将顶点在圆心的周角等分成360份，每一份圆心角是1°的角． 因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360份．我们把1°的圆心角所对的弧叫作1°的弧． n°的圆心角对着n°的弧，n°的弧对着n°的圆心角． 2.新知归纳 圆心角的度数与它所对的弧的度数相等． 1．圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，并不是角和弧相等，它们是两类不同的图形； 2．度数相等的角是等角，但度数相等的弧不一定是等弧，等弧的特征是能够互相重合（在同圆或等圆中）． 3.典例分析 例1 如图，AB，AC，BC 是 ⊙O 的弦，∠AOC＝∠BOC．∠ABC与∠BAC相等吗？为什么？ 解：∠ABC＝∠BAC．理由如下: ∵ ∠AOC＝∠BOC， ∴ AC＝BC (在同圆中,相等的圆心角所对的弦相等)． ∴ ∠ABC＝∠BAC． 4.讨论交流 回顾用直尺和圆规作一个角等于已知角的过程．你能利用圆的性质说明这样作图的道理吗？ 解：由作图过程，得 OC＝OD＝O′C′＝O′D′, ∴ ⊙O与⊙O′是等圆， 又∵ CD＝C′D′， ∴ ∠COD＝∠C′O′D′， 即∠AOB＝∠A′O′B′，作图成立． 【设计意图】通过“度数”话题与经典尺规作图的联结，把抽象的“角度—弧度”对应落到具体应用，强化数学思想与实践结合，培养迁移能力。 1．如图，在⊙O中，＝，∠AOB＝50°，求∠COD的度数． 解：在⊙O中， ∵ ＝ ， ∴ －＝－， 即 ＝ ． ∴ ∠COD＝∠AOB． ∵∠AOB＝50°， ∴ ∠COD＝50°． 2．如图，在⊙O中，＝，∠A＝40°，求∠B的度数． 解：在⊙O中 ∵＝ ， ∴ AB＝AC， ∴ ∠ACB＝∠ABC． ∵ ∠A＝40°， ∴ ∠ACB＝∠ABC＝(180°－40°)＝70°． 3．如图，点A、B、C、D在⊙O上，且＝ ．求证：AC＝BD． 解：∵＝， ∴ ＋＝＋， 即 ＝． ∴ AC＝BD． 4．用直尺和圆规将一段圆弧二等分． 解：作法： ① 连接弧的两个端点A、B． ② 作线段AB的垂直平分线l． ③ 直线l与 交于点C，点C 即为弧AB的二等分点 能力提升 1．如图，OA、OB、OC是⊙O的半径，且＝，D、E分别是OA、OB的中点. CD与CE相等吗？为什么？ 解：CD＝CE，理由如下： 证明：∵ ＝， ∴ ∠AOC＝∠BOC， ∵ 点D、E分别是OA、OB的中点，OA＝OB， ∴ OD＝OE， 在△OCD和△OCE中，OD＝OE,∠AOC＝∠BOC,OC＝OC， ∴ △OCD≌△OCE(SAS)， ∴ CD＝CE． 2．如图,AB、CD是⊙O的直径,弦CE∥AB,为40°,求∠AOC的度数． 证明：连接OE， ∵为40°， ∴ ∠COE＝40°， ∵ OC＝OE， ∴ ∠C＝∠E＝70°， ∵ CE∥AB， ∴ ∠AOC＝∠C＝70°. 变式：如图，在⊙O中，AB、CD是直径，弦CE∥AB且交圆于E， 求证：＝． 证明：连接OE， ∵ CE∥AB， ∴ ∠DOB＝∠C，∠BOE＝∠E， ∵ OC＝OE， ∴ ∠C＝∠E， ∴ ∠DOB＝∠BOE， ∴ ＝． 【设计意图】通过“能力提升”与“变式训练”，引导学生将“圆心角—弧—弦”对应关系与常用全等三角形证明方法（SAS、ASA）相结合，提升综合推理能力；同时让学生在平行线性质、等腰三角形性质的迁移中体验到知识网络的交叉与融合。 主板书 3.3 圆的对称性（1） 探究点1：圆的中心对称性 探究点2　同圆（等圆）中圆心角—弧—弦的对应相等关系 探究点3　圆心角度数＝弧度数及尺规作等角原理 课堂小结 副板书 例题 学生练习板演 课后习题练习。 学科网（北京）股份有限公司 $