25.3 实际问题与一元二次方程 课后练习 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程实际应用，分层设计基础巩固-能力提升-实践拓展三阶路径，通过典型问题情境培养数学建模与运算推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|增长率/传播/面积等单一模型|选择填空聚焦概念辨析，如商品涨价百分率计算，强化符号意识| |提升层|多模型综合应用|解答题整合运动问题、利润计算，需完整经历列解验过程，发展推理能力| |拓展层|跨情境实践探究|综合与实践结合黄金分割、相框设计，构建数学模型解决复杂问题，培养应用意识|

新人教版九年级上册 第章 一元二次方程 实际问题与一元二次方程 课后练习（满分分，时间分钟） 【本课知识要点】 · 列方程解应用题的一般步骤：审题→设未知数→找等量关系列方程→解方程→检验（是否符合实际意义）→作答。 · 增长率（下降率）问题：，其中是起始量，是终止量，是增长（下降）次数，是平均变化率。 · 传播问题：人每轮传染人，两轮后患病人数为 。 · 面积问题常见模型：镶边框（四周等宽）、修路（平移法）、围栏靠墙、剪角折盒。 · 其他模型：单循环比赛 ；互赠礼物 。 · 检验分两个层次：数学检验（是否为方程的根）＋实际检验（长度、人数等为正，且符合题设限制）。 一、选择题（本大题共小题，每小题分，共分） ．某商品原价元，经过两次涨价后售价为元，若平均每次涨价的百分率为，则可列方程为（　　） ．　　．　　．　　． ．某流感患者每轮传染中平均一个人传染个人，经过两轮传染后，患者人数为（　　） ．　　．　　．　　． ．某校举行篮球单循环赛，共进行了场比赛，若有支球队参赛，则可列方程为（　　） ．　　．　　．　　． ．如图，一幅长、宽的画镶上等宽边框后面积为，设边框宽为 ，则可列方程为（　　） ．　　． ．　　． ．某商品原价元，经过两次相同的降价后售价为元，则平均每次降价的百分率为（　　） ．　　．　　．　　． ．某企业第一季度投入万元，以后每季度以相同的增长率投入，前三个季度累计投入万元，若增长率为，则可列方程为（　　） ．　　． ．　　． ．某种商品原价为元，经过连续两次降价后为元。设平均每次降价的百分率为，则可列方程为（　　） ．　　．　　．　　． ．两个连续正整数的积为，则这两个正整数为（　　） ．和　　．和　　．和　　．和 二、填空题（本大题共小题，每小题分，共分） ．某流感患者每轮传染中平均一个人传染个人，经过两轮传染后共有人患病，则。 ．某班同学互赠贺卡，每人赠出一张，全班共赠送张，则该班有人。 ．如图，一块长、宽的矩形空地，修建两条互相垂直且等宽的小路后，剩余草坪面积为，若设小路宽为 ，则可列方程为，小路宽为。 ．如图，一块长、宽的矩形铁皮，四角各剪去一个边长为 的正方形，折成无盖长方体盒子后底面积为，则。 ．某种商品原价元，经过两次涨价后售价为元，则平均每次涨价的百分率为。 三、解答题（本大题共小题，满分分） ．（本题分）某果园年猕猴桃单位面积产量为千克，年达到千克，求这两年该果园单位面积产量的年平均增长率。 ．（本题分）如图，用长为的篱笆靠墙围成一个矩形菜园（墙足够长），墙的对边长为，菜园面积为，求矩形菜园垂直于墙的边长。 ．（本题分）如图，在矩形中，。点从点出发沿边向点以的速度移动，同时点从点出发沿边向点以的速度移动。设运动时间为 （）。 用含的代数式表示 和 的长； 当的面积为时，求的值。 ．（本题分）某商店销售一种商品，进价为元件。当售价为元件时，每天可售出件。经调查发现：售价每上涨元，日销售量就减少件。设售价上涨元。 若该商品每天的利润为元，求的值； 在的条件下，若商店想让利于顾客，应选择哪个值？此时售价为多少？ 该商品每天的利润能否达到元？请通过配方说明理由。 ．（本题分）某景区前年接待游客万人次，去年接待游客达到万人次。 求该景区这两年接待游客人次的年平均增长率； 若今年继续保持相同的增长率，请预测该景区今年接待游客的人次。 四、综合与实践（本大题共小题，满分分） ．（本题分）【阅读与思考·优美的黄金分割】 阅读材料：把一条线段分成两部分，使其中较长的部分是原线段与较短部分的比例中项（即较长部分的平方等于原线段乘以较短部分），这样的分割叫做黄金分割，分点叫做黄金分割点。黄金分割在建筑、绘画、设计中广泛出现，给人以匀称、优美的感觉。 如图，线段，点是线段上一点，且。若点是线段的黄金分割点，设。 根据黄金分割的定义，列出关于的方程，并化为一般形式； 用求根公式解这个方程，并结合的实际意义确定的值（结果保留根号）； 取≈，求的近似值（结果保留三位小数）。 ．（本题分）【综合与实践·为照片设计相框】 综合实践小组要为一张长、宽的长方形照片设计一个等宽的木质相框（如图，相框四条边的宽度相同）。要求相框（边框部分）的面积恰好等于照片面积的一半，求相框的宽度。 设相框宽为 ，用含的代数式表示相框外围矩形的长与宽； 求相框的宽度； 此时整幅挂图（含相框）的面积是多少？它是照片面积的多少倍？ 新人教版九年级上册 第章 一元二次方程 （参考答案与解析） 一、选择题（每小题分，共分） ． ． ． ． ． ． ． ． 二、填空题（每小题分，共分） ． ． ．； ． ． 三、解答题 ． 【分析】设年平均增长率为，根据增长率公式列方程求解。 【详解】解：设年平均增长率为， 根据题意得 ， 即， 开平方得 。 。 答：这两年该果园单位面积产量的年平均增长率为。 【评分标准】设未知数正确得分，列方程正确得分，求解正确得分，作答完整得分（共分）。 ． 【分析】设垂直于墙的边长为 ，则平行于墙的边长为 ，根据面积列方程，注意墙的对边长不能超过墙长。 【详解】解：设垂直于墙的边长为 ， 则平行于墙的边长为 。 根据题意得 ， 整理得 ， 解得 。 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意。 答：矩形菜园垂直于墙的边长为。 【评分标准】设未知数正确得分，列方程正确得分，求解正确得分，检验并作答正确得分（共分）。其他合理解法参照评分标准酌情给分。 ． ； 或 【分析】根据路程速度时间表示各线段长；利用直角三角形面积公式列方程求解。 【详解】解：点的速度为，运动时间为 ， 。 同理， 。 解：， ， 整理得 ， 解得 。 经检验，和均满足 ，符合题意。 答：当的面积为时，的值为或。 【评分标准】表示正确得分，表示正确得分（共分）；列面积方程正确得分，求解正确得分，检验作答正确得分（共分）。其他合理解法参照评分标准酌情给分。 ． 或； 选，售价元； 不能，最大利润为元 【分析】利润售价进价销量，列方程求解；让利于顾客即选择较低售价；配方求二次函数最大值。 【详解】解：根据题意，每件利润为 元， 日销量为 件。 由题意得 ， 整理得 ， 解得 。 解：要让利于顾客，应选择较小的涨幅，即。 此时售价为 （元）。 答：应选择，此时售价为元。 解：设每天利润为元， 则。 。 答：该商品每天的利润不能达到元，最大利润为元。 【评分标准】列方程正确得分，求解正确得分（共分）；选择正确得分，售价正确得分（共分）；配方正确得分，结论正确得分（共分）。其他合理解法参照评分标准酌情给分。 ． ； 万人次 【分析】设年平均增长率为，由 求解；用去年人次乘以。 【详解】解：设年平均增长率为， 根据题意得 ， 即 ， 开平方得 。 ，解得。 解：（万人次）。 答：该景区这两年接待游客人次的年平均增长率为，预计今年接待游客万人次。 【评分标准】设未知数得分，列方程得分，求解得分（共分）；列式计算正确得分，作答完整得分（共分）。 四、综合与实践 ． ，即 ； ； ≈ 【分析】由“较长部分的平方原线段较短部分”列方程；用求根公式求解，舍去负根；代入近似值计算。 【详解】解：。 由黄金分割的定义得 ·， 即 ，化为一般形式为 。 解：这里 ， ， 。 是线段的长，舍去， 。 解：≈。 【评分标准】列方程得分，化为一般形式得分（共分）；用求根公式得分，舍去负根得分，结果正确得分（共分）；代入计算正确得分，结果正确得分（共分）。其他合理解法参照评分标准酌情给分。 ． 长为，宽为； ； ，是照片面积的倍 【分析】外围矩形的长、宽分别比照片多；由“相框面积照片面积的一半”列方程求解；外围面积照片面积相框面积。 【详解】解：相框外围矩形的长为 ，宽为 。 解：照片面积为 （）， 相框面积为 （）。 根据题意得 ， 整理得 ， 即 。 ， ， 。 相框宽度为正数，舍去，， 即相框的宽度为。 解：整幅挂图的面积为 （）， ÷， 整幅挂图的面积是照片面积的倍。 【评分标准】表示长、宽各得分（共分）；列方程得分，整理得分，求解得分，检验作答得分（共分）；计算面积得分，求倍数得分（共分）。其他合理解法参照评分标准酌情给分。 学科网（北京）股份有限公司 $