25.3实际问题与一元二次方程分层分类训练 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程实际应用，按6大考点系统分类，通过生活情境与数学文化题构建从问题抽象到方程建模的完整逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |变化率问题|6题|增长率/下降率计算|基于“a(1±x)^n=b”模型，体现指数增长逻辑| |握手传播循环赛问题|4题|传染/比赛场次计算|运用排列组合思想，建立n(n-1)类方程| |几何图形问题|8题|矩形面积/路径设计|结合图形性质，通过面积公式转化为方程| |每每问题|10题|利润/销量关系|构建“(售价-成本)×销量=总利润”模型| |数学文化问题|4题|古算题改编|从传统数学问题中抽象方程，传承数学思维| |其他问题|3题|队伍排列/电路组网|综合应用方程思想解决非常规问题|

25.3 实际问题与一元二次方程 考点1 变化率问题 考点2 握手、传播、循环赛问题 考点3 几何图形问题 考点4 每每问题 考点5 数学文化问题 考点6 其他问题 基 础 达 标 练 考点1 变化率问题 1．（2026春•沙坪坝区校级同步）某智能无人机前年售价为每台5000元，随着科学技术的提高，今年售价为每台3200元，则该智能无人机每台的售价在这两年的年平均下降率为（　　） A．10% B．20% C．50% D．80% 2．（2026春•南川区校级期中）小明去年开了一家商店，去年12月份开始盈利，去年12月份盈利4800元，今年2月份的盈利达到6912元，那么每月盈利的月平均增长率为（　　） A．10% B．20% C．22% D．44% 3．（2026春•北仑区期末）为了迎接十一“黄金周”，某月季大观园准备分三个阶段扩大月季新品种种植面积，第一阶段已实现新品种1000m2的种植目标，第三阶段需实现1440m2的种植目标，设第二、第三阶段月季新品种种植面积的平均增长率为x，则下列方程正确的是（　　） A．1000（1+x）×2＝1440 B．1000（1+x）2＝1440 C．1000（1+x2）＝1440 D．1000（1+x）+1000（1+x）2＝1440 4.（2026春•池州期末）随着光伏产业的发展，光伏组件的制造技术逐渐成熟．某光伏组件厂的制造成本逐渐降低，今年第三季度的制造成本是第一季度制造成本的81%．若每个季度的制造成本下降百分率都相同，则每个季度的下降百分率为（　　） A．10% B．19% C．20% D．21% 5.（2026•铜梁区校级模拟）某新能源公司为提高电池包能量密度，对电极材料进行迭代升级．已知原电极材料的能量密度为a，经过两次迭代升级升级，每次升级后的能量密度都是升级前的x倍，最终能量密度达到16a，则x的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 6.（2026春•婺城区期末）为了增强体质，王大伯决定每天坚持快走锻炼．已知王大伯第一周行走的总路程为10000米，从第一周起的前四周，他每周行走的总路程按相同的平均增长率增长．经统计，第三周时，单周路程达到了12100米． （1）求每周路程的平均增长率． （2）按照这个增长速度，预测第五周王大伯行走的总路程是多少米？ 考点2 握手、传播、循环赛问题 7.（2026春•临泉县期末）秋冬季是流感的高发季节，应该特别注意预防流感，如勤洗手、戴口罩、保持室内通风等．若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，列方程为（　　） A．x（1+x）＝81 B．1+x+x（1+x）＝81 C．1+x+x2＝81 D．x+x（1+x）＝81 8.（2026春•西山区校级期末）在“五月风华，校园飞扬”的背景下，某校在初二年级组织了篮球比赛，在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知小组赛阶段共比赛56场，则该参加小组赛的球队有（　　） A．6支 B．7支 C．8支 D．9支 9.（2026•东莞市校级一模）2026年3月22日东莞市篮球联赛“镇BA”正式开赛，并与“粤BA”联动，覆盖全部33个镇街（园区），在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知小组赛阶段共比赛56场，则该小组参加比赛的球队有（　　） A．6支 B．7支 C．8支 D．9支 10.（2026•牡丹江模拟）毕业前夕，九年级某班的同学每人将一份礼物与其他每一位同学互赠，作为毕业纪念，全班共赠出1806件礼物，那么这个班级共有学生（　　） A．40人 B．41人 C．42人 D．43人 考点3 几何图形问题 11.（2026春•谯城区期末）将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为4cm小正方形，做成一个无盖的盒子，如果盒子的容积是400cm3，那么原正方形铁皮边长是（　　） A．18cm B．16cm C．14cm D．10cm 12.（2026春•永州期末）如图，在一块长为am，宽为102m的长方形草坪上，修筑了宽为2m的小路（阴影部分）．已知草坪面积为12000m2，则a＝（　　） A．122 B．102 C．123 D．104 13．（2026•海安市校级二模）如图，某养鸡户用一段14m长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长7.5m）的矩形鸡舍ABCD，其面积为28m2．在鸡舍的AB边中间位置留一个1m宽的门（由其他材料制成），则BC的长为（　　） A．3.5m或4m B．7m或8m C．4m D．7m 14．（2026春•庐阳区校级期中）如图，阳光中学有一块长42m，宽32m的矩形空地，计划在这块空地上铺设道路（图中阴影部分），其余部分铺设草坪，小明同学设计了一个宽度相同的道路，若要使铺设草坪的面积和为1200m2，则道路的宽度为（　　） A．2m B．3m C．4m D．5m 15.（2025秋•硚口区期末）如图，用一段长为am的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园（墙的长度不限）．若矩形菜园的面积为4m2，则a的最小值是（　　） A．4 B．5 C．6 D． 16.（2026春•丰满区校级期末）实施乡村振兴战略是新时代做好“三农”工作的总抓手．农业大学毕业的小宇积极响应号召回乡发展，他设计的矩形蔬菜仓库ABCD如图所示，仓库的一边靠墙，这堵墙的最大可利用长度为18米，且要在BC边上开一扇宽为2米的门，可用材料为30米长的木板材料（全部使用完，门和靠墙的一边均不用木板材料），请问可以围成一个面积为120平方米的矩形仓库吗？若可以，请计算出AB的长；若不可以，请说明理由． 17．（2026•钟楼区校级模拟）2026年江苏省足球联赛（“苏超”联赛）将于4月11日拉开战幕，首场比赛由常州队主场迎战南通队．为满足球迷们的需求，某镇准备开辟第二现场，在乡村的大广场挂上大屏，摆放凳子，供球迷观看．已知大广场的长为50米，宽为40米，并在广场内预留三条同样宽的过道（如图），以更好地维持秩序．如果要保证观众座位的面积达到1872平方米，则过道的宽应该设计为多少米？ 18．（2026春•东莞市校级月考）如图1，有一块面积为144cm2的长方形铁皮，已知长方形铁皮的长、宽之比为3：2． （1）分别求该长方形铁皮的长和宽（结果保留根号）． （2）若沿着虚线将铁皮的四个角剪掉，制作成一个有底无盖的长方体铁皮盒子（如图2所示），剪掉的四个角都是边长为的正方形，求长方体铁皮盒子的体积． 考点4 每每问题 19．（2026•肥东县校级模拟）安徽特产黄山毛峰是中国十大名茶之一，茶叶颜色鲜亮，茶香扑鼻，被誉为黄山一绝．某网店销售某种包装的黄山毛峰，每份成本为60元．经市场调研，售价为80元时，可销售750份；售价每提高5元，销售量将减少50份．已知该网店销售这批黄山毛峰获利22500元，这批黄山毛峰每份售价是多少元？ 20.（2026春•萨尔图区校级月考）吉水县公安局提醒市民，骑车必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售500个，6月份销售720个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔每个进价为40元，商家经过调查统计，当每个头盔售价为50元时，月销售量为500个，在此基础上售价每涨价1元，则月销售量将减少10个．为使月销售利润达到8000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元？ 21.（2026春•庐江县校级月考）某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售有如下关系，若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售一部，所有出售的汽车的进价均降低0.1万元/部．月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10部以内，含10部，每部返利0.5万元，销售量在10部以上，每部返利1万元． ①若该公司当月卖出3部汽车，则每部汽车的进价为　 　 万元； ②如果汽车的销售价位28万元/部，该公司计划当月盈利12万元，那么要卖出多少部汽车？（盈利＝销售利润+返利） 22.（2026春•临泉县期末）根据以下素材，探索完成任务． 素材1 某校统一安装了日光灯，日光灯中最易损坏的是灯管和镇流器． 素材2 该校后勤部准备补进灯管和镇流器共500件，批发市场灯管的单价为20元，镇流器的单价为70元．商家为了促销且保证有一定的利润，当镇流器购买数量超过80件时，每多购买1件，单价下降1元，但单价不低于40元．（即当降价到40元后，再多购买也不会降价了．） 问题解决 （1）任务1：设镇流器补进x件，若80≤x≤110，则补进镇流器的单价为　 　元，补进灯管的总价为　 　元（用含x的代数式表示）； （2）任务2：若学校后勤部补进镇流器和灯管共花13600元，求补进镇流器多少件？ 23．（2026春•青阳县期末）任务型学习： 【项目主题】 探究新款迷你无人机校园营销方案 【项目实施】 阶段一：销售增长趋势分析 任务1：从线上旗舰店调研数据可知，2025年11月该款迷你无人机的销量为1125架，2026年1月份该款迷你无人机的销量为1620架，若2025年12月与2026年1月这两个月该款迷你无人机销量的月平均增长率相同，求该款迷你无人机销量的月平均增长率． 阶段二：校园促销方案设计 任务2：调查发现该旗舰店迷你无人机的进价为每架60元且售价定为每架100元时，每天能销售20架，且售价每降低1元，每天可多销售2架．若需要尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，则每架迷你无人机的售价应降低多少元？ 【项目成果】 科技实践小组以线上旗舰店的数据为参考设计出最佳校园营销方案． （1）解决任务1． （2）解决任务2． 24.（2026春•兴隆台区期末）如图，某公司将手工绘画的风景画安装上一个四周宽度相等的画框（空白部分），制成一个矩形工艺品后，进行销售，该工艺品的长为32cm，宽为20cm． （1）若该工艺品中间的风景画的面积为220cm2，求画框（空白部分）的宽度； （2）已知该工艺品的成本是40元/件，若以100元/件销售，则每天可售出200件．为了让顾客得到优惠，该公司决定降价销售该工艺品，根据销售经验，销售单价每降低1元，每天可多售出20件，则当该公司把销售单价降低多少元时，每天所获利润为12000元？ 25.（2026春•柯桥区期末）某电影院为吸引团体观影，推出如下收费标准： 如果观影人数不超过20人，人均票价为50元； 如果人数超过20人，每增加1人，人均票价降低2元，但人均票价不得低于28元． （1）如果某公司组织25人观影，那么人均需支付电影票　　 元； （2）现某公司组织员工观影，共支付给电影院电影票费用1008元，请问该公司有多少名员工参加观影？ 26．（2026春•瑶海区校级期末）公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”.16周岁以下禁止骑电动车，16周岁以上的市民骑电动车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某经销商销售某品牌头盔，进价为每个50元，经统计该品牌头盔七月份销售150个，九月份销售216个，七月份到九月份销售量的月平均增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月平均增长率； （2）经测算在市场中，当售价为每个90元时，月销售量为200个，若在此基础上每个头盔的售价降低2元，则月销售量将增加20个．为使月销售利润达到8750元，而且需要尽快减少库存，则该品牌头盔的实际售价每个应定为多少元？ 27．（2025秋•成都期末）党的二十大报告提出：“加快建设高质量教育体系，发展素质教育”某校为响应二十大报告的育人精神，进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，有效开展“阳光体育”活动，该校计划从体育用品商场购买跳绳用于“阳光体育大课间”活动．已知一根跳绳的进价为20元，商场确定其售价为40元． （1）若现在需进行降价促销活动，预备从原来的每根40元进行两次调价，已知每根跳绳现价为32.4元，若该商品两次调价的降价率相同，求这个降价率； （2）经调查，每根跳绳每降价0.2元，即可多销售10根．已知售价40元时，每月可销售500根，若该商场希望该商品每月能盈利10800元，且尽可能扩大销售量，则每根跳绳应定价为多少元？ 考点5 数学文化问题 28．（2026春•温岭市期末）在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问阔长各几步？也就是说，一块长方形田地的面积为864平方步，长和宽共60步，问：这块长方形田地的长宽各多少步？针对这类问题，杨辉提供了巧妙的几何解法，如图：用四个完全相同的面积为864平方步的矩形拼成一个大正方形，若设矩形田地的宽为x，则可列方程为（　　） A．（60﹣2x）2＝602﹣4×864 B．x（60+x）＝864 C．（60+2x）2＝602﹣4×864 D．x（60﹣2x）＝864 29.（2026•漳州模拟）《算法统宗》是明代数学家程大位的著作，其中有许多有趣的数学问题．今有一商贩售卖绸缎、若每匹绸缎售价为五十文钱时，每日可卖出三十匹；若每匹绸缎的售价每降低一文钱，每日的销售量就会增加一匹．已知每匹绸缎的成本为三十文钱，设每匹绸缎售价为x文钱，商贩每日的利润为y文钱，则y与x之间的函数关系为（　　） A．y＝（50﹣x）（30+x） B．y＝（x﹣30）（30+x） C．y＝（x﹣30）（80﹣x） D．y＝（50﹣x）（80﹣x） 30.（2026春•定海区期中）《九章算术》是我国传统数学中重要的著作之一，奠定了我国传统数学的基本框架，其中方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”大意：有一扇形状是长方形的门，它的高比宽多6尺8寸，它的对角线长1丈，问它的高与宽各是多少（1丈＝10尺，1尺＝10寸）？设长方形门宽为x尺，则所列方程为（　　） A．x2+（x+6.8）2＝102 B．x2+（x﹣6.8）2＝102 C．（x+6.8）2﹣x2＝102 D．x2+6.82＝102 31.（2025秋•德化县期末）“今有矩形方田，长较宽多五步．若长、宽各增三步，新田积较旧田积多一百二十九平方步．问原田之宽为几何？”译文：现有一块长方形的田地，它的长比宽多5步．如果把长和宽各自增加3步，新田地的面积比原来田地的面积多129平方步．问原来田地的宽是（　　） A．一十五步 B．一十七步半 C．二十步 D．二十二步半 考点6 其他问题 32.（2026•安徽模拟）某地规划了充电桩单循环组网模式（即每两个充电桩之间都要铺设1条专用通信电路），实际铺设50条线路后发现，一个充电桩点位仅完成了5条电路连接，比原计划的电路总数少15条．则原规划建设的充电桩个数为（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 33.（2026春•沙坪坝区校级期中）某学校红旗队伍有8行12列，后又增加了69人，使得队伍增加的行、列数相同，则增加的行数为（　　）行． A．1 B．2 C．3 D．4 34．（2025秋•东明县期末）如表是小明与DeepSeek的对话，DeepSeek在深度思考后，给出的正确答案是（　　） 新对话 有没有这样一个数？先计算这个数的平方，再减去这个数，最后加上1，其运算结果和这个数相同． 深度思考中… 开启新对话 A．1 B． C．﹣1 D．1或﹣1 能 力 提 升 练 35.（2026•福建模拟）如图，某小区在一块长为16m，宽为9m的矩形空地上新修三条宽度相同的小路，其中一条和矩形的一边平行，另外两条和矩形的另一边平行，空地剩下的部分种植花草，使得小路占地面积为40m2，求小路的宽度．设小路的宽度为xm，甲、乙两位同学分别得到如下方程： 甲：（16﹣2x）（9﹣x）＝16×9﹣40； 乙：9×2x+16x﹣x2＝40． 其中正确的是（　　） A．甲对、乙不对 B．甲不对、乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对 36．（2026春•绍兴期中）我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程x2+2x﹣35＝0，即x（x+2）＝35为例，记载的方法如下：构造如图所示的正方形，大正方形的面积是（x+x+2）2，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×35+22，因此x＝5，在下面四个选项中，能正确说明方程x2﹣5x﹣6＝0解法的构图是（　　） A． B． C． D． 37．（2026春•迎江区校级期末）根据以下素材，完成探索任务． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 某农户承包了一块长方形果园ABCD，图1是果园的平面图，其中AB＝200米，BC＝300米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为2x米，左右两条纵向道路的宽度都为x米，中间部分种植水果．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度x不超过12米，且不小于5米． 素材2 该农户在种植园区种植草莓，经市场调查，草莓培育一年可产果，若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000m2的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售500m2草莓．果园每月的承包费为2万元． （1）解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响．若中间种植的面积是44800m2，求道路宽度x的值． （2）解决果园种植的预期利润问题（总利润＝销售利润﹣承包费）．若农户预期一个月该草莓的总利润为52万元，则从购买草莓客户的角度考虑，每平方米草莓平均利润应该降价多少元？ 38.（2026春•金寨县期末）根据以下素材，探究完成任务： 制作长方体收纳盒 背景 某校数学项目化学习小组准备了一些长为80cm，宽为60cm的长方形硬纸板，准备利用纸板做长方体收纳盒（接缝处忽略不计）． 方案甲 如图所示，甲活动小组在长方形纸板的四个直角处裁掉四个边长均为xcm的小正方形，再沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒，盒子的底面是矩形ABCD． 方案乙 如图所示，乙活动小组在长方形纸板的四个直角处裁掉四个长均为acm宽均为bcm的小长方形，再沿虚线折成一个有盖的长方体收纳盒，若EF和IJ两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面是矩形MNOP． （1）任务一：用含x的代数式表示：方案甲制作出的无盖收纳盒的底面长BC为　 　cm，底面宽AB为　 　cm． （2）任务二：若方案甲制作出的无盖收纳盒的底面积为2400cm2，求裁去小正方形的边长x的值． （3）任务三：若方案乙制作出的有盖收纳盒的底面积为1750cm2，请通过计算判断，图中长为32cm，宽为22cm，厚度为4cm的书本能否完全放入该收纳盒内． 39.（2026春•来安县期末）综合与实践 背景 2026年，随着AI服务器、消费电子市场持续回暖，合肥长鑫存储的国产内存芯片订单爆发式增长，产能持续爬坡，相关出货数据不断刷新纪录，带动了本地模组厂商的销售热潮． 素材1 已知长鑫存储某款DDR5﹣16G内存芯片，周一的出货收入为500万元，随着下游客户备货需求激增，周三的出货收入达到720万元． 素材2 为承接国产芯片的消费热潮，合肥本地模组厂商推出“国产芯•合肥造”DDR5﹣16G内存模组套装．已知该套装的物料及加工成本为200元/套；当定价为500元/套时，平均每天可售出40套．调研发现，售价每降低20元，平均每天就能多售出8套．现该厂商计划下调售价，使平均每天的销售利润达到12000元． 问题解决 任务1 求从周一到周三，长鑫存储该款DDR5﹣16G内存芯片出货收入的日平均增长率； 任务2 根据素材2，为尽可能多的售空“国产芯•合肥造”DDR5﹣16G内存模组库存，求下调后每套模组的售价； 任务3 根据素材2，该厂商平均每天能否获利16000元？若能，请求出每套模组应降价多少元；若不能，请说明理由． 40.（2026春•裕安区校级期末）杭州特产专卖店销售核桃，经销商统计了该专卖店核桃7月份到9月份的销售量，7月份销售量为4000千克，9月份销售量为5760千克，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同． （1）求该专卖店核桃销售量的月增长率； （2）该核桃进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，在此基础上单价每降低1元，则平均每天的销售量可增加10千克．请回答： ①若该专卖店销售这种核桃希望平均每天获利2240元，且尽可能让利于消费者，则每千克核桃应降价多少元？ ②经与供应商协商，推出批量进货优惠：当每天销售量超过200千克时，每多销售1千克，所有核桃的进货单价均可降低0.2元（最低进价不低于35元/千克）．问：该专卖店能否实现平均每天获利2640元？若能，求出此时的售价；若不能，请说明理由． 真 题 提 前 练 41.（2026•武汉）对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法．以方程x2+8x＝48为例，赵爽的《勾股圆方图注》中记载的方法是：如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为2x的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为48+4×22＝64，则该方程的正数解为8﹣2×2＝4．小美尝试用此方法解关于x的方程x2+12x+c＝0，构造如图2所示的图形．若图2中大正方形的面积为100，则方程x2+12x+c＝0的正数解是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 42.（2025•威海）如图，某校有一块长20m、宽14m的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为24m2的9个矩形地块，请你求出小路的宽度． 43.（2025•泸州）某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元． （1）求乙种商品每件进价的年平均下降率； （2）2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品． 44．（2026•烟台）为庆祝长征胜利90周年，文旅公司推出多款长征主题的文创产品．已知某款文创产品的成本价是每件20元，日销售量y（件）与每件售价x（元）的函数关系如图所示． （1）求y与x的函数表达式； （2）文旅公司在销售这款文创产品时，若每天盈利525元，且尽可能的让利于顾客，求该款文创产品每件的售价为多少元． 学科网（北京）股份有限公司 $25.3实际问题与一元二次方程 考点1变化率问题 考点2握手、传播、循环赛问题 考点3几何图形问题 考点4每每问题 考点5数学文化问题 考点6其他问题 基 础达标练 考点1变化率问题 1.(2026春·沙坪坝区校级同步)某智能无人机前年售价为每台5000元，随着科学技术的提高，今年售价 为每台3200元，则该智能无人机每台的售价在这两年的年平均下降率为() A.109% B.20% C.50% D.80% 2.(2026春·南川区校级期中)小明去年开了一家商店，去年12月份开始盈利，去年12月份盈利4800元， 今年2月份的盈利达到6912元，那么每月盈利的月平均增长率为（) A.10% B.20% C.22% D.44% 3.(2026春·北仑区期末)为了迎接十一“黄金周”，某月季大观园准备分三个阶段扩大月季新品种种植面 积，第一阶段已实现新品种10002的种植目标，第三阶段需实现1440m2的种植目标，设第二、第三阶 段月季新品种种植面积的平均增长率为x,则下列方程正确的是() A.1000(1+x)×2=1440 B.1000(1+x)2=1440 C.1000(1+x2)=1440 D.1000(1+x)+1000(1+x)2=1440 4.(2026春·池州期末)随着光伏产业的发展，光伏组件的制造技术逐渐成熟.某光伏组件厂的制造成本逐 渐降低，今年第三季度的制造成本是第一季度制造成本的81%.若每个季度的制造成本下降百分率都相 同，则每个季度的下降百分率为() A.10% B.19% C.20% D.21% 5.(2026·铜梁区校级模拟)某新能源公司为提高电池包能量密度，对电极材料进行迭代升级.已知原电极 材料的能量密度为α，经过两次迭代升级升级，每次升级后的能量密度都是升级前的x倍，最终能量密 度达到16a,则x的值为() A.2 B.3 C.4 D.5 6.(2026春·婺城区期末)为了增强体质，王大伯决定每天坚持快走锻炼.己知王大伯第一周行走的总路程 为10000米，从第一周起的前四周，他每周行走的总路程按相同的平均增长率增长.经统计，第三周时， 单周路程达到了12100米. (1)求每周路程的平均增长率， (2)按照这个增长速度，预测第五周王大伯行走的总路程是多少米？ 考点2握手、传播、循环赛问题 7.(2026春·临泉县期末)秋冬季是流感的高发季节，应该特别注意预防流感，如勤洗手、戴口罩、保持室 内通风等.若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了 几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，列方程为() A.x(1+x)=81 B.1+x+x(1+x)=81 C.1+x+x2=81 D.x+x(1+x)=81 8.(2026春·西山区校级期末)在“五月风华，校园飞扬”的背景下，某校在初二年级组织了篮球比赛，在 小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知小组赛阶段共比赛56场，则该 参加小组赛的球队有() A.6支 B.7支 C.8支 D.9支 9.(2026·东莞市校级一模)2026年3月22日东莞市篮球联赛“镇BA”正式开赛，并与“粤BA”联动， 覆盖全部33个镇街（园区），在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知 小组赛阶段共比赛56场，则该小组参加比赛的球队有() A.6支 B.7支 C.8支 D.9支 10.（2026牡丹江模拟)毕业前夕，九年级某班的同学每人将一份礼物与其他每一位同学互赠，作为毕业纪 念，全班共赠出1806件礼物，那么这个班级共有学生() A.40人 B.41人 C.42人 D.43人 考点3几何图形问题 11.(2026春·谯城区期末)将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为4cm小正方形，做成一个无盖的盒 子，如果盒子的容积是400cm3,那么原正方形铁皮边长是() A.18cm B.16cm C.14cm D.10cm 12.（2026春·永州期末)如图，在一块长为am1,宽为102m的长方形草坪上，修筑了宽为2的小路（阴影 部分).已知草坪面积为12000m2,则a=() 2m 102m -am A.122 B.102 C.123 D.104 13.(2026·海安市校级二模)如图，某养鸡户用一段14长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长7.5m)的矩 形鸡舍ABCD,其面积为28m?.在鸡舍的AB边中间位置留一个1m宽的门（由其他材料制成），则BC 的长为() A 0 A.3.5或4 B.7L或8 C.4 D.7n 14.(2026春·庐阳区校级期中)如图，阳光中学有一块长42，宽32m的矩形空地，计划在这块空地上铺 设道路（图中阴影部分），其余部分铺设草坪，小明同学设计了一个宽度相同的道路，若要使铺设草坪的 面积和为12002，则道路的宽度为() 42m 32m A.2m B.3m C.4m D.5m 15.(2025秋•硚口区期末)如图，用一段长为am的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园（墙的长度不限）.若 矩形菜园的面积为4m?,则a的最小值是() 墙 菜园 A.4 B.5 C.6 D.4V2 16.(2026春·丰满区校级期末)实施乡村振兴战略是新时代做好“三农”工作的总抓手.农业大学毕业的 小宇积极响应号召回乡发展，他设计的矩形蔬菜仓库ABCD如图所示，仓库的一边靠墙，这堵墙的最大 可利用长度为18米，且要在BC边上开一扇宽为2米的门，可用材料为30米长的木板材料（全部使用 完，门和靠墙的一边均不用木板材料)，请问可以围成一个面积为120平方米的矩形仓库吗？若可以，请 计算出AB的长；若不可以，请说明理由， 18m 17.(2026·钟楼区校级模拟)2026年江苏省足球联赛(“苏超”联赛)将于4月11日拉开战幕，首场比赛 由常州队主场迎战南通队.为满足球迷们的需求，某镇准备开辟第二现场，在乡村的大广场挂上大屏， 摆放凳子，供球迷观看.已知大广场的长为50米，宽为40米，并在广场内预留三条同样宽的过道（如 图)，以更好地维持秩序.如果要保证观众座位的面积达到1872平方米，则过道的宽应该设计为多少米？ 18.(2026春·东莞市校级月考)如图1，有一块面积为144Cm2的长方形铁皮，已知长方形铁皮的长、宽之 比为3：2. (1)分别求该长方形铁皮的长和宽（结果保留根号）. (2)若沿着虚线将铁皮的四个角剪掉，制作成一个有底无盖的长方体铁皮盒子（如图2所示），剪掉的 四个角都是边长为Vcm的正方形，求长方体铁皮盒子的体积. 图1 图2 考点4每每问题 19.(2026·肥东县校级模拟)安徽特产黄山毛峰是中国十大名茶之一，茶叶颜色鲜亮，茶香扑鼻，被誉为 黄山一绝.某网店销售某种包装的黄山毛峰，每份成本为60元.经市场调研，售价为80元时，可销售 750份：售价每提高5元，销售量将减少50份.己知该网店销售这批黄山毛峰获利22500元，这批黄山 毛峰每份售价是多少元？ 20.(2026春·萨尔图区校级月考)吉水县公安局提醒市民，骑车必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头 盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售500个，6月份销售720个， 且从4月份到6月份销售量的月增长率相同. (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔每个进价为40元，商家经过调查统计，当每个头盔售价为50元时，月销售量为500个， 在此基础上售价每涨价1元，则月销售量将减少10个.为使月销售利润达到8000元，而且尽可能让顾 客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元？ 21.(2026春·庐江县校级月考)某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进 价与销售有如下关系，若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售一部，所有出售的 汽车的进价均降低0.1万元/部.月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10部以内，含 10部，每部返利0.5万元，销售量在10部以上，每部返利1万元. ①若该公司当月卖出3部汽车，则每部汽车的进价为一万元： ②如果汽车的销售价位28万元/部，该公司计划当月盈利12万元，那么要卖出多少部汽车？（盈利=销 售利润+返利) 22.(2026春·临泉县期末)根据以下素材，探索完成任务. 素材1 某校统一安装了日光灯，日光灯中最易损坏的是灯管和镇流器， 素材2 该校后勤部准备补进灯管和镇流器共500件，批发市场灯管的单价为20元， 镇流器的单价为70元，商家为了促销且保证有一定的利润，当镇流器购买 数量超过80件时，每多购买1件，单价下降1元，但单价不低于40元.（即 当降价到40元后，再多购买也不会降价了.) 问题解决 (1)任务1：设镇流器补进x件，若80≤x≤110，则补进镇流器的单价为 元，补进灯管的 总价为 元（用含x的代数式表示）： (2)任务2：若学校后勤部补进镇流器和灯管共花13600元，求补进镇流器多少件？ 23.(2026春·青阳县期末)任务型学习： 【项目主题】 探究新款迷你无人机校园营销方案 【项目实施】 阶段一：销售增长趋势分析 任务1：从线上旗舰店调研数据可知，2025年11月该款迷你无人机的销量为1125架，2026年1月份该 款迷你无人机的销量为1620架，若2025年12月与2026年1月这两个月该款迷你无人机销量的月平均 增长率相同，求该款迷你无人机销量的月平均增长率， 阶段二：校园促销方案设计 任务2：调查发现该旗舰店迷你无人机的进价为每架60元且售价定为每架100元时，每天能销售20架， 且售价每降低1元，每天可多销售2架.若需要尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，则每架迷你 无人机的售价应降低多少元？ 【项目成果】 科技实践小组以线上旗舰店的数据为参考设计出最佳校园营销方案 (1)解决任务1. (2)解决任务2. 24.(2026春·兴隆台区期末)如图，某公司将手工绘画的风景画安装上一个四周宽度相等的画框（空白部 分)，制成一个矩形工艺品后，进行销售，该工艺品的长为32cl,宽为20cm: (1)若该工艺品中间的风景画的面积为220cm2,求画框（空白部分）的宽度： (2)已知该工艺品的成本是40元/件，若以100元/件销售，则每天可售出200件.为了让顾客得到优惠， 该公司决定降价销售该工艺品，根据销售经验，销售单价每降低1元，每天可多售出20件，则当该公司 把销售单价降低多少元时，每天所获利润为12000元？ 20cm 32cm- 25.(2026春·柯桥区期末)某电影院为吸引团体观影，推出如下收费标准： 如果观影人数不超过20人，人均票价为50元： 如果人数超过20人，每增加1人，人均票价降低2元，但人均票价不得低于28元. (1)如果某公司组织25人观影，那么人均需支付电影票元： (2)现某公司组织员工观影，共支付给电影院电影票费用1008元，请问该公司有多少名员工参加观影？ 26.(2026春·瑶海区校级期末)公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”16周岁以下禁止骑 电动车，16周岁以上的市民骑电动车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某经销商销售某品牌头盔， 进价为每个50元，经统计该品牌头盔七月份销售150个，九月份销售216个，七月份到九月份销售量的 月平均增长率相同. (1)求该品牌头盔销售量的月平均增长率： (2)经测算在市场中，当售价为每个90元时，月销售量为200个，若在此基础上每个头盔的售价降低 2元，则月销售量将增加20个.为使月销售利润达到8750元，而且需要尽快减少库存，则该品牌头盔 的实际售价每个应定为多少元？ 27.(2025秋•成都期末)党的二十大报告提出：“加快建设高质量教育体系，发展素质教育”某校为响应二 十大报告的育人精神，进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，有效开展“阳光体育”活动， 该校计划从体育用品商场购买跳绳用于“阳光体育大课间”活动.已知一根跳绳的进价为20元，商场确 定其售价为40元. (1)若现在需进行降价促销活动，预备从原来的每根40元进行两次调价，已知每根跳绳现价为32.4元， 若该商品两次调价的降价率相同，求这个降价率： (2)经调查，每根跳绳每降价0.2元，即可多销售10根.已知售价40元时，每月可销售500根，若该 商场希望该商品每月能盈利10800元，且尽可能扩大销售量，则每根跳绳应定价为多少元？ 考点5数学文化问题 28.(2026春·温岭市期末)在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：直田 积八百六十四步，只云长阔共六十步，问阔长各几步？也就是说，一块长方形田地的面积为864平方步， 长和宽共60步，问：这块长方形田地的长宽各多少步？针对这类问题，杨辉提供了巧妙的几何解法，如 图：用四个完全相同的面积为864平方步的矩形拼成一个大正方形，若设矩形田地的宽为x,则可列方 程为() A.(60-2x)2=602-4×864 B.x(60叶x)=864 C.(60+2x)2=602-4×864 D.x(60-2x)=864 29.(2026漳州模拟)《算法统宗》是明代数学家程大位的著作，其中有许多有趣的数学问题.今有一商贩 售卖绸缎、若每匹绸缎售价为五十文钱时，每日可卖出三十匹；若每匹绸缎的售价每降低一文钱，每日 的销售量就会增加一匹.已知每匹绸缎的成本为三十文钱，设每匹绸缎售价为x文钱，商贩每日的利润 为y文钱，则y与x之间的函数关系为() A.y=(50-x)(30叶x) B.y=(x-30)(30+x) C.y=(x-30)(80-x) D.y=(50-x)(80-x) 30.(2026春·定海区期中)《九章算术》是我国传统数学中重要的著作之一，奠定了我国传统数学的基本框 架，其中方程术是《九章算术》最高的数学成就.《九章算术》记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅 相去适一丈.问户高、广各几何？”大意：有一扇形状是长方形的门，它的高比宽多6尺8寸，它的对 角线长1丈，问它的高与宽各是多少(1丈=10尺，1尺=10寸)？设长方形门宽为x尺，则所列方程 为() A.x2+（x+6.8)2=102 B.x2+(x-6.8)3=102 C.(x+6.8)2-x2=102 D.x2+6.82=102 31.(2025秋·德化县期末)“今有矩形方田，长较宽多五步.若长、宽各增三步，新田积较旧田积多一百二 十九平方步.问原田之宽为几何？”译文：现有一块长方形的田地，它的长比宽多5步，如果把长和宽 各自增加3步，新田地的面积比原来田地的面积多129平方步.问原来田地的宽是() A.一十五步 B.一十七步半 C.二十步 D.二十二步半 考点6其他问题 32.(2026•安徽模拟)某地规划了充电桩单循环组网模式（即每两个充电桩之间都要铺设1条专用通信电路）， 实际铺设50条线路后发现，一个充电桩点位仅完成了5条电路连接，比原计划的电路总数少15条.则 原规划建设的充电桩个数为() A.10 B.11 C.12 D.13 33.(2026春·沙坪坝区校级期中)某学校红旗队伍有8行12列，后又增加了69人，使得队伍增加的行、 列数相同，则增加的行数为()行. A.1 B.2 C.3 D.4 34.(2025秋·东明县期末)如表是小明与DeepSeek的对话，DeepSeek在深度思考后，给出的正确答案是() 新对话 有没有这样一个数？先计算这个数的平方，再减去 这个数，最后加上1，其运算结果和这个数相同. 深度思考中… 开启新对话 A.1 B. C.-1 D.1或-1 能力提升练 35.(2026·福建模拟)如图，某小区在一块长为16，宽为9m的矩形空地上新修三条宽度相同的小路，其 中一条和矩形的一边平行，另外两条和矩形的另一边平行，空地剩下的部分种植花草，使得小路占地面 积为40m,求小路的宽度.设小路的宽度为x,甲、乙两位同学分别得到如下方程： 甲：(16-2x)(9-x)=16×9-40: 乙：9×2x+16x-x2=40 其中正确的是() 16m 9m A.甲对、乙不对 B.甲不对、乙对 C.甲、乙均对 D.甲、乙均不对 36.(2026春·绍兴期中)我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根） 的几何解法.以方程x+2x-35=0,即x(x+2)=35为例，记载的方法如下：构造如图所示的正方形， 大正方形的面积是(x+x+2)?,同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×35+22， 因此x=5,在下面四个选项中，能正确说明方程x2-5x-6=0解法的构图是() x+2 x+2 x+2 x+2 A B C. D.i.. 37.(2026春·迎江区校级期末)根据以下素材，完成探索任务 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 某农户承包了一块长方形果园ABCD,图1是果 2x 园的平面图，其中AB=200米，BC=300米.准 备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽 种植园区 度都为2x米，左右两条纵向道路的宽度都为x 米，中间部分种植水果.出于货车通行等因素的 2x 考虑，道路宽度x不超过12米，且不小于5米. B 图1 素材2 该农户在种植园区种植草莓，经市场调查，草莓 培育一年可产果，若每平方米的草莓销售平均利 润为100元，每月可销售5000m的草莓；受天气 原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若 每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售 5002草莓.果园每月的承包费为2万元。 图2 (1)解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响.若中间种植的面积是44800'，求道路宽度x的值. (2)解决果园种植的预期利润问题（总利润=销售利润-承包费）.若农户预期一个月该草莓的总利润 为52万元，则从购买草莓客户的角度考虑，每平方米草莓平均利润应该降价多少元？ 38.(2026春·金寨县期末)根据以下素材，探究完成任务： 制作长方体收纳盒 背景 某校数学项目化学习小组准备了一些长为80c,宽为 60cm的长方形硬纸板，准备利用纸板做长方体收纳盒 (接缝处忽略不计). 方案甲 如图所示，甲活动小组在长方形纸板的四个直角处裁 掉四个边长均为xCm的小正方形，再沿虚线折成一个 A D 无盖的长方体收纳盒，盒子的底面是矩形ABCD. B 方案乙 如图所示，乙活动小组在长方形纸板的四个直角处裁 a b E 掉四个长均为acm宽均为bcm的小长方形，再沿虚线 折成一个有盖的长方体收纳盒，若EF和J两边恰好 重合且无重叠部分，盒子的底面是矩形MNOP. F G E(D (1)任务一：用含x的代数式表示：方案甲制作出的无盖收纳盒的底面长BC为 cL,底面宽AB 为 (2)任务二：若方案甲制作出的无盖收纳盒的底面积为2400cm',求裁去小正方形的边长x的值. (3)任务三：若方案乙制作出的有盖收纳盒的底面积为1750cm,请通过计算判断，图中长为32cm, 宽为22cm,厚度为4c的书本能否完全放入该收纳盒内. 宽22cm 长32cm 厚4cm① 39.(2026春·来安县期末)综合与实践 背景 2026年，随着AⅡ服务器、消费电子市场持续回暖，合肥长鑫存储的国产内存芯片订单 爆发式增长，产能持续爬坡，相关出货数据不断刷新纪录，带动了本地模组厂商的销 售热潮、 素材1 已知长鑫存储某款DDR5-16G内存芯片，周一的出货收入为500万元，随着下游客户 备货需求激增，周三的出货收入达到720万元. 素材2 为承接国产芯片的消费热潮，合肥本地模组厂商推出“国产芯·合肥造”DD5-I6G 内存模组套装.已知该套装的物料及加工成本为200元/套；当定价为500元/套时，平 均每天可售出40套.调研发现，售价每降低20元，平均每天就能多售出8套.现该 厂商计划下调售价，使平均每天的销售利润达到12000元. 问题解决 任务1 求从周一到周三，长鑫存储该款DDR5-16G内存芯片出货收入的日平均增长率； 任务2 根据素材2，为尽可能多的售空“国产芯·合肥造”DDR5-16G内存模组库存，求下调 后每套模组的售价： 任务3根据素材2，该厂商平均每天能否获利16000元？若能，请求出每套模组应降价多少元： 若不能，请说明理由. 40.(2026春·裕安区校级期末)杭州特产专卖店销售核桃，经销商统计了该专卖店核桃7月份到9月份的 销售量，7月份销售量为4000千克，9月份销售量为5760千克，且从7月份到9月份销售量的月增长率 相同。 (1)求该专卖店核桃销售量的月增长率； (2)该核桃进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发 现，在此基础上单价每降低1元，则平均每天的销售量可增加10千克.请回答： ①若该专卖店销售这种核桃希望平均每天获利2240元，且尽可能让利于消费者，则每千克核桃应降价 多少元？ ②经与供应商协商，推出批量进货优惠：当每天销售量超过200千克时，每多销售1千克，所有核桃的 进货单价均可降低0.2元（最低进价不低于35元/千克）.问：该专卖店能否实现平均每天获利2640元？ 若能，求出此时的售价；若不能，请说明理由. 真题提前练 41.(2026·武汉)对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法.以方程x2+8x=48为例，赵爽的 《勾股圆方图注》中记载的方法是：如图1，先构造一个面积为x的正方形，再以正方形的边为一边向 外构造四个面积为2x的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为48+4×22=64，则该方程的正数解为8 -2×2=4.小美尝试用此方法解关于x的方程x+12x+c=0,构造如图2所示的图形.若图2中大正方 形的面积为100，则方程x2+12x+c=0的正数解是( 2x 2x 2x 2x 图1 图2 A.4 B.5 C.6 D.7 42.(2025·威海)如图，某校有一块长20、宽14m的矩形种植园.为了方便耕作管理，在种植园的四周 和内部修建宽度相同的小路（图中阴影部分）.小路把种植园分成面积均为24的9个矩形地块，请你 求出小路的宽度， 20m 777 43.（2025·泸州)某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产 成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元. (1)求乙种商品每件进价的年平均下降率； (2)2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种 商品. 44.(2026·烟台)为庆祝长征胜利90周年，文旅公司推出多款长征主题的文创产品.已知某款文创产品的 成本价是每件20元，日销售量y(件)与每件售价x(元)的函数关系如图所示. (1)求y与x的函数表达式： (2)文旅公司在销售这款文创产品时，若每天盈利525元，且尽可能的让利于顾客，求该款文创产品每 件的售价为多少元 个y(件) 40 30 3040 x(元) 25.3 实际问题与一元二次方程 考点1 变化率问题 考点2 握手、传播、循环赛问题 考点3 几何图形问题 考点4 每每问题 考点5 数学文化问题 考点6 其他问题 基 础 达 标 练 考点1 变化率问题 1．（2026春•沙坪坝区校级同步）某智能无人机前年售价为每台5000元，随着科学技术的提高，今年售价为每台3200元，则该智能无人机每台的售价在这两年的年平均下降率为（　　） A．10% B．20% C．50% D．80% 1.B【解析】设该智能无人机每台售价的年平均下降率为x，∵初始售价为5000元，经过两年下降后最终售价为3200元，∴可列方程：5000（1﹣x）2＝3200，整理得（1﹣x）2＝0.64， 开方得1﹣x＝±0.8，解得x1＝0.2＝20%，x2＝1.8，∵下降率不可能大于1，∴舍去不符合题意的x2＝1.8，因此年平均下降率为20%. 2．（2026春•南川区校级期中）小明去年开了一家商店，去年12月份开始盈利，去年12月份盈利4800元，今年2月份的盈利达到6912元，那么每月盈利的月平均增长率为（　　） A．10% B．20% C．22% D．44% 2.B【解析】设每月盈利的月平均增长率为x，根据题意得：4800（1+x）2＝6912，解得x1＝0.2，x2＝﹣2.2（舍去），所以每月盈利的月平均增长率为20%. 3．（2026春•北仑区期末）为了迎接十一“黄金周”，某月季大观园准备分三个阶段扩大月季新品种种植面积，第一阶段已实现新品种1000m2的种植目标，第三阶段需实现1440m2的种植目标，设第二、第三阶段月季新品种种植面积的平均增长率为x，则下列方程正确的是（　　） A．1000（1+x）×2＝1440 B．1000（1+x）2＝1440 C．1000（1+x2）＝1440 D．1000（1+x）+1000（1+x）2＝1440 3.B【解析】由题意得：1000（1+x）2＝1440. 4.（2026春•池州期末）随着光伏产业的发展，光伏组件的制造技术逐渐成熟．某光伏组件厂的制造成本逐渐降低，今年第三季度的制造成本是第一季度制造成本的81%．若每个季度的制造成本下降百分率都相同，则每个季度的下降百分率为（　　） A．10% B．19% C．20% D．21% 4.A【解析】设每个季度的下降百分率为x，设第一季度制造成本为单位1，∵从第一季度到第三季度共经过2个季度，且第三季度制造成本为第一季度的81%，∴（1﹣x）2＝81%，开方得1﹣x＝±0.9，∵下降率满足0＜x＜1，∴取正根得1﹣x＝0.9，解得x＝0.1＝10%. 5.（2026•铜梁区校级模拟）某新能源公司为提高电池包能量密度，对电极材料进行迭代升级．已知原电极材料的能量密度为a，经过两次迭代升级升级，每次升级后的能量密度都是升级前的x倍，最终能量密度达到16a，则x的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 5.C【解析】根据题意得：ax2＝16a，即x2＝16，解得x1＝4，x2＝﹣4（不符合题意，舍去）， ∴x的值为4． 6.（2026春•婺城区期末）为了增强体质，王大伯决定每天坚持快走锻炼．已知王大伯第一周行走的总路程为10000米，从第一周起的前四周，他每周行走的总路程按相同的平均增长率增长．经统计，第三周时，单周路程达到了12100米． （1）求每周路程的平均增长率． （2）按照这个增长速度，预测第五周王大伯行走的总路程是多少米？ 6.解：（1）设每周路程的平均增长率为x， 根据题意得：10000（1+x）2＝12100， 解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不符合题意，舍去）． 答：每周路程的平均增长率为10%； （2）根据题意得：12100×（1+10%）2 ＝12100×1.21 ＝14641（米）． 答：按照这个增长速度，第五周王大伯行走的总路程是14641米． 考点2 握手、传播、循环赛问题 7.（2026春•临泉县期末）秋冬季是流感的高发季节，应该特别注意预防流感，如勤洗手、戴口罩、保持室内通风等．若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，列方程为（　　） A．x（1+x）＝81 B．1+x+x（1+x）＝81 C．1+x+x2＝81 D．x+x（1+x）＝81 7.B【解析】设每轮传染中平均一人传染x人．∵初始患病人数为1，第一轮后患病人数为：1+x， 第二轮新增患病人数为：x（1+x），∴1+x+x（1+x）＝81．即列方程为1+x+x（1+x）＝81， 综上所述，只有选项B正确，符合题意. 8.（2026春•西山区校级期末）在“五月风华，校园飞扬”的背景下，某校在初二年级组织了篮球比赛，在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知小组赛阶段共比赛56场，则该参加小组赛的球队有（　　） A．6支 B．7支 C．8支 D．9支 8.C【解析】设参加小组赛的球队有x支．∵赛制为双循环，每两支球队之间进行两场比赛， ∴总比赛场数为x（x﹣1）．根据题意得x（x﹣1）＝56．整理得x2﹣x﹣56＝0．解得x1＝8，x2＝﹣7．∵球队数量为正整数，舍去x2＝﹣7．∴x＝8，即参加小组赛的球队有8支. 9.（2026•东莞市校级一模）2026年3月22日东莞市篮球联赛“镇BA”正式开赛，并与“粤BA”联动，覆盖全部33个镇街（园区），在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知小组赛阶段共比赛56场，则该小组参加比赛的球队有（　　） A．6支 B．7支 C．8支 D．9支 9.C【解析】设该小组参加比赛的球队有x支，根据题意得：x（x﹣1）＝56，整理得：x2﹣x﹣56＝0，解得：x1＝8，x2＝﹣7（不符合题意，舍去），∴该小组参加比赛的球队有8支． 10.（2026•牡丹江模拟）毕业前夕，九年级某班的同学每人将一份礼物与其他每一位同学互赠，作为毕业纪念，全班共赠出1806件礼物，那么这个班级共有学生（　　） A．40人 B．41人 C．42人 D．43人 10.D【解析】设这个班级共有x名学生，根据题意列一元二次方程得，x（x﹣1）＝1806， 解得x1＝43，x2＝﹣42（不符合题意，舍去），所以这个班级共有学生43人. 考点3 几何图形问题 11.（2026春•谯城区期末）将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为4cm小正方形，做成一个无盖的盒子，如果盒子的容积是400cm3，那么原正方形铁皮边长是（　　） A．18cm B．16cm C．14cm D．10cm 11.A【解析】正方形铁皮的边长应是x厘米，则没有盖的长方体盒子的长、宽为（x﹣4×2）厘米，高为4厘米，根据题意列方程得，（x﹣4×2）（x﹣4×2）×4＝400，解得x1＝18，x2＝﹣2（不合题意，舍去）；答：正方形铁皮的边长应是18厘米． 12.（2026春•永州期末）如图，在一块长为am，宽为102m的长方形草坪上，修筑了宽为2m的小路（阴影部分）．已知草坪面积为12000m2，则a＝（　　） A．122 B．102 C．123 D．104 12.A【解析】解：根据平移把小路移到右边和上面，∴草坪可以看成长是（a﹣2）m，宽是102﹣2＝100m，∴100（a﹣2）＝12000，解得a＝122． 13．（2026•海安市校级二模）如图，某养鸡户用一段14m长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长7.5m）的矩形鸡舍ABCD，其面积为28m2．在鸡舍的AB边中间位置留一个1m宽的门（由其他材料制成），则BC的长为（　　） A．3.5m或4m B．7m或8m C．4m D．7m 13.D【解析】设BC＝xm，则ABm，根据题意得：x•28，整理得：x2﹣15x+56＝0，解得x1＝7，x2＝8，又∵墙长7.5m，∴x＝7，即BC的长为7m. 14．（2026春•庐阳区校级期中）如图，阳光中学有一块长42m，宽32m的矩形空地，计划在这块空地上铺设道路（图中阴影部分），其余部分铺设草坪，小明同学设计了一个宽度相同的道路，若要使铺设草坪的面积和为1200m2，则道路的宽度为（　　） A．2m B．3m C．4m D．5m 14.A【解析】设道路的宽为x米，由题意列一元二次方程得，（32﹣x）（42﹣x）＝1200，解得x＝2或x＝72（不符合题意，舍去）；故道路的宽为2m. 15.（2025秋•硚口区期末）如图，用一段长为am的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园（墙的长度不限）．若矩形菜园的面积为4m2，则a的最小值是（　　） A．4 B．5 C．6 D． 15.D【解析】设垂直于墙的一边长为xm，则平行于墙的一边长为（a﹣2x） m，根据题意得：x（a﹣2x）＝4，整理得：2x2﹣ax+4＝0，∵原方程有解，∴Δ＝（﹣a）2﹣4×2×4≥0，解得a≥4或a≤﹣4（不符合题意，舍去），∴a的最小值为4． 16.（2026春•丰满区校级期末）实施乡村振兴战略是新时代做好“三农”工作的总抓手．农业大学毕业的小宇积极响应号召回乡发展，他设计的矩形蔬菜仓库ABCD如图所示，仓库的一边靠墙，这堵墙的最大可利用长度为18米，且要在BC边上开一扇宽为2米的门，可用材料为30米长的木板材料（全部使用完，门和靠墙的一边均不用木板材料），请问可以围成一个面积为120平方米的矩形仓库吗？若可以，请计算出AB的长；若不可以，请说明理由． 16.解：可以，理由如下： 设AB＝x米， ∴x（32﹣2x）＝120， ∴x1＝6，x2＝10， 当x＝6时，32﹣2x＝32﹣12＝20＞18，不符合题意，舍去， ∴x＝10，即AB＝10米． 17．（2026•钟楼区校级模拟）2026年江苏省足球联赛（“苏超”联赛）将于4月11日拉开战幕，首场比赛由常州队主场迎战南通队．为满足球迷们的需求，某镇准备开辟第二现场，在乡村的大广场挂上大屏，摆放凳子，供球迷观看．已知大广场的长为50米，宽为40米，并在广场内预留三条同样宽的过道（如图），以更好地维持秩序．如果要保证观众座位的面积达到1872平方米，则过道的宽应该设计为多少米？ 17.解：设过道的宽为x米， 根据题意得（50﹣2x）（40﹣x）＝1872， 解得x1＝1，x2＝64（不符合题意，舍去）， 答：过道的宽应该设计1米． 18．（2026春•东莞市校级月考）如图1，有一块面积为144cm2的长方形铁皮，已知长方形铁皮的长、宽之比为3：2． （1）分别求该长方形铁皮的长和宽（结果保留根号）． （2）若沿着虚线将铁皮的四个角剪掉，制作成一个有底无盖的长方体铁皮盒子（如图2所示），剪掉的四个角都是边长为的正方形，求长方体铁皮盒子的体积． 18.解：（1）∵长方形铁皮的长、宽之比为3：2， ∴设该长方形铁皮的长为3xcm，宽为2xcm． 由题意列一元二次方程得，3x•2x＝144， 整理得，6x2＝144， 解得或（不合题意，舍去）， ∴，， ∴该长方形铁皮的长为，宽为． （2） ， ∴长方体铁皮盒子的体积为． 考点4 每每问题 19．（2026•肥东县校级模拟）安徽特产黄山毛峰是中国十大名茶之一，茶叶颜色鲜亮，茶香扑鼻，被誉为黄山一绝．某网店销售某种包装的黄山毛峰，每份成本为60元．经市场调研，售价为80元时，可销售750份；售价每提高5元，销售量将减少50份．已知该网店销售这批黄山毛峰获利22500元，这批黄山毛峰每份售价是多少元？ 19.解：设这批黄山毛峰每份售价是x元，售价为80元时，可销售750份；售价每提高5元，销售量将减少50份． 由题意得，， 整理得x2﹣215x+11550＝0， 解得x＝105或x＝110， 答：这批黄山毛峰每份售价是105元或110元． 20.（2026春•萨尔图区校级月考）吉水县公安局提醒市民，骑车必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售500个，6月份销售720个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔每个进价为40元，商家经过调查统计，当每个头盔售价为50元时，月销售量为500个，在此基础上售价每涨价1元，则月销售量将减少10个．为使月销售利润达到8000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元？ 20.解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意可得： 500（1+x）2＝720， 解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）， 答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%； （2）设该品牌头盔的实际售价为y元，根据题意可得： （y﹣40）[500﹣10（y﹣50）]＝8000， 整理得y2﹣140y+4800＝0， 解得y1＝60，y2＝80， 根据题意舍去y＝80， 所以y＝60， 答：该品牌头盔的实际售价应定为60元． 21.（2026春•庐江县校级月考）某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售有如下关系，若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售一部，所有出售的汽车的进价均降低0.1万元/部．月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10部以内，含10部，每部返利0.5万元，销售量在10部以上，每部返利1万元． ①若该公司当月卖出3部汽车，则每部汽车的进价为　 　 万元； ②如果汽车的销售价位28万元/部，该公司计划当月盈利12万元，那么要卖出多少部汽车？（盈利＝销售利润+返利） 21.解：（1）该公司当月售出3部汽车时，则每部汽车的进价为：27﹣0.1×2＝26.8， 故答案为：26.8； （2）设需要售出x部汽车， 由题意可知，每部汽车的销售利润为：28﹣[27﹣0.1（x﹣1）]＝（0.1x+0.9）（万元）， 当0≤x≤10，根据题意，得x•（0.1x+0.9）+0.5x＝12，整理，得x2+14x﹣120＝0， 解这个方程，得x1＝﹣20（不合题意，舍去），x2＝6． 当x＞10时，根据题意，得x•（0.1x+0.9）+x＝12，整理，得x2+19x﹣120＝0， 解这个方程，得x1＝﹣24（不合题意，舍去），x2＝5． ∵5＜10，∴x2＝5舍去． 答：要卖出6部汽车． 22.（2026春•临泉县期末）根据以下素材，探索完成任务． 素材1 某校统一安装了日光灯，日光灯中最易损坏的是灯管和镇流器． 素材2 该校后勤部准备补进灯管和镇流器共500件，批发市场灯管的单价为20元，镇流器的单价为70元．商家为了促销且保证有一定的利润，当镇流器购买数量超过80件时，每多购买1件，单价下降1元，但单价不低于40元．（即当降价到40元后，再多购买也不会降价了．） 问题解决 （1）任务1：设镇流器补进x件，若80≤x≤110，则补进镇流器的单价为　 　元，补进灯管的总价为　 　元（用含x的代数式表示）； （2）任务2：若学校后勤部补进镇流器和灯管共花13600元，求补进镇流器多少件？ 解：（1）设镇流器补进x件，若80≤x≤110，则补进镇流器的单价为70﹣（x﹣80）＝70﹣x+80＝（150﹣x）元， 补进灯管的总价为20（500﹣x）＝（10000﹣20x）元． 故答案为：（150﹣x）；（10000﹣20x）； （2）①设镇流器补进x件， 当80≤x≤110时，根据题意可得： （150﹣x）x+（10000﹣20x）＝13600， 解得：x1＝40，x2＝90， ∵80≤x≤110． ∴x＝90． ②当x＜80时，根据题意可得： 13600＝70x+（500﹣x）×20， 解得：x＝72， 当110＜x＜500时，镇流器的单价固定为40元，13600＝40x+（500﹣x）×20， x＝180． 答：补进镇流器90件或72件或180件． 23．（2026春•青阳县期末）任务型学习： 【项目主题】 探究新款迷你无人机校园营销方案 【项目实施】 阶段一：销售增长趋势分析 任务1：从线上旗舰店调研数据可知，2025年11月该款迷你无人机的销量为1125架，2026年1月份该款迷你无人机的销量为1620架，若2025年12月与2026年1月这两个月该款迷你无人机销量的月平均增长率相同，求该款迷你无人机销量的月平均增长率． 阶段二：校园促销方案设计 任务2：调查发现该旗舰店迷你无人机的进价为每架60元且售价定为每架100元时，每天能销售20架，且售价每降低1元，每天可多销售2架．若需要尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，则每架迷你无人机的售价应降低多少元？ 【项目成果】 科技实践小组以线上旗舰店的数据为参考设计出最佳校园营销方案． （1）解决任务1． （2）解决任务2． 23.解：（1）设该款迷你无人机的月平均增长率为x，根据题意可得： 1125（1+x）2＝1620， 解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）． 答：该款迷你无人机的月平均增长率为20%； （2）设每架迷你无人机降价y元，根据题意可得： （100﹣y﹣60）（20+2y）＝1200， 解得y1＝10，y2＝20． ∵需要尽量减少库存， ∴y＝20． 答：每架迷你无人机的售价应降低20元． 24.（2026春•兴隆台区期末）如图，某公司将手工绘画的风景画安装上一个四周宽度相等的画框（空白部分），制成一个矩形工艺品后，进行销售，该工艺品的长为32cm，宽为20cm． （1）若该工艺品中间的风景画的面积为220cm2，求画框（空白部分）的宽度； （2）已知该工艺品的成本是40元/件，若以100元/件销售，则每天可售出200件．为了让顾客得到优惠，该公司决定降价销售该工艺品，根据销售经验，销售单价每降低1元，每天可多售出20件，则当该公司把销售单价降低多少元时，每天所获利润为12000元？ 24.解：（1）设画框（空白部分）的宽度为xcm， 由题意可得一元二次方程：（32﹣2x）（20﹣2x）＝220， 整理得，4x2﹣104x+420＝0， 解得：x1＝5，x2＝21， 当x＝21时，20﹣2x＝20﹣2×21＝﹣22＜0，不符合实际，舍去， ∴x＝5， ∴画框（空白部分）的宽度为5cm； （2）设该公司把销售单价降低y元时，每天所获利润为12000元， 由题意可列一元二次方程得：（100﹣40﹣y）（200+20y）＝12000， 整理可得：y2﹣50y＝0， 解得y1＝0（不符合题意，舍去），y2＝50， 故该公司把销售单价降低50元时，每天所获利润为12000元． 25.（2026春•柯桥区期末）某电影院为吸引团体观影，推出如下收费标准： 如果观影人数不超过20人，人均票价为50元； 如果人数超过20人，每增加1人，人均票价降低2元，但人均票价不得低于28元． （1）如果某公司组织25人观影，那么人均需支付电影票　　 元； （2）现某公司组织员工观影，共支付给电影院电影票费用1008元，请问该公司有多少名员工参加观影？ 25.解：（1）根据题意得：50﹣2×（25﹣20） ＝50﹣2×5 ＝50﹣10 ＝40（元）， ∴人均需支付电影票40元． 故答案为：40； （2）设该公司有x名员工参加观影， ∵50×20＝1000（元）， ∴x＞20． 当20＜x≤31时，[50﹣2（x﹣20）]x＝1008， 整理得：x2﹣45x+504＝0， 解得：x1＝21，x2＝24； 当x≥32时，28x＝1008， 解得：x＝36． 答：该公司有21名或24名或36名员工参加观影． 26．（2026春•瑶海区校级期末）公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”.16周岁以下禁止骑电动车，16周岁以上的市民骑电动车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某经销商销售某品牌头盔，进价为每个50元，经统计该品牌头盔七月份销售150个，九月份销售216个，七月份到九月份销售量的月平均增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月平均增长率； （2）经测算在市场中，当售价为每个90元时，月销售量为200个，若在此基础上每个头盔的售价降低2元，则月销售量将增加20个．为使月销售利润达到8750元，而且需要尽快减少库存，则该品牌头盔的实际售价每个应定为多少元？ 26.解：（1）设该品牌头盔销售量的月平均增长率为x， 根据题意得：150（1+x）2＝216， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）， 答：该品牌头盔销售量的月平均增长率为20%； （2）设该品牌头盔的实际售价每个应降低a元，则此时售价为（90﹣a）元， 根据题意得：（90﹣a﹣50）（200+10a）＝8750， 解得：a1＝15，a2＝5（不符合题意，舍去）， ∴90﹣a＝90﹣15＝75， 答：该品牌头盔的实际售价每个应定为75元． 27．（2025秋•成都期末）党的二十大报告提出：“加快建设高质量教育体系，发展素质教育”某校为响应二十大报告的育人精神，进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，有效开展“阳光体育”活动，该校计划从体育用品商场购买跳绳用于“阳光体育大课间”活动．已知一根跳绳的进价为20元，商场确定其售价为40元． （1）若现在需进行降价促销活动，预备从原来的每根40元进行两次调价，已知每根跳绳现价为32.4元，若该商品两次调价的降价率相同，求这个降价率； （2）经调查，每根跳绳每降价0.2元，即可多销售10根．已知售价40元时，每月可销售500根，若该商场希望该商品每月能盈利10800元，且尽可能扩大销售量，则每根跳绳应定价为多少元？ 27.解：（1）设这个降价率为x， 根据题意得：40（1﹣x）2＝32.4， 解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不符合题意，舍去）． 答：这个降价率为10%； （2）设每根跳绳应定价为y元，则每根跳绳的销售利润为（y﹣20），每月可销售50010＝（2500﹣50y）根， 根据题意得：（y﹣20）（2500﹣50y）＝10800， 整理得：y2﹣70y+1216＝0， 解得：y1＝32，y2＝38， 又∵要尽可能扩大销售量， ∴y＝32． 答：每根跳绳应定价为32元． 考点5 数学文化问题 28．（2026春•温岭市期末）在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问阔长各几步？也就是说，一块长方形田地的面积为864平方步，长和宽共60步，问：这块长方形田地的长宽各多少步？针对这类问题，杨辉提供了巧妙的几何解法，如图：用四个完全相同的面积为864平方步的矩形拼成一个大正方形，若设矩形田地的宽为x，则可列方程为（　　） A．（60﹣2x）2＝602﹣4×864 B．x（60+x）＝864 C．（60+2x）2＝602﹣4×864 D．x（60﹣2x）＝864 28.A【解析】设矩形田地的宽为x步，则矩形田地的长为（60﹣x）步，大正方形的边长为x+（60﹣x）＝60步，小正方形的边长为（60﹣x）﹣x＝（60﹣2x）步，根据题意得：（60﹣2x）2＝602﹣4×864． 29.（2026•漳州模拟）《算法统宗》是明代数学家程大位的著作，其中有许多有趣的数学问题．今有一商贩售卖绸缎、若每匹绸缎售价为五十文钱时，每日可卖出三十匹；若每匹绸缎的售价每降低一文钱，每日的销售量就会增加一匹．已知每匹绸缎的成本为三十文钱，设每匹绸缎售价为x文钱，商贩每日的利润为y文钱，则y与x之间的函数关系为（　　） A．y＝（50﹣x）（30+x） B．y＝（x﹣30）（30+x） C．y＝（x﹣30）（80﹣x） D．y＝（50﹣x）（80﹣x） 29.C【解析】设每匹绸缎售价为x文钱，商贩每日的利润为y文钱，根据题意可知，y＝（x﹣30）（30+50﹣x）＝（x﹣30）（80﹣x），即y＝（x﹣30）（80﹣x）. 30.（2026春•定海区期中）《九章算术》是我国传统数学中重要的著作之一，奠定了我国传统数学的基本框架，其中方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”大意：有一扇形状是长方形的门，它的高比宽多6尺8寸，它的对角线长1丈，问它的高与宽各是多少（1丈＝10尺，1尺＝10寸）？设长方形门宽为x尺，则所列方程为（　　） A．x2+（x+6.8）2＝102 B．x2+（x﹣6.8）2＝102 C．（x+6.8）2﹣x2＝102 D．x2+6.82＝102 30.A【解析】设矩形门宽为x尺，所列方程为x2+（x+6.8）2＝102. 31.（2025秋•德化县期末）“今有矩形方田，长较宽多五步．若长、宽各增三步，新田积较旧田积多一百二十九平方步．问原田之宽为几何？”译文：现有一块长方形的田地，它的长比宽多5步．如果把长和宽各自增加3步，新田地的面积比原来田地的面积多129平方步．问原来田地的宽是（　　） A．一十五步 B．一十七步半 C．二十步 D．二十二步半 31.B【解析】∵原宽x步，原长x+5步，原面积x（x+5），新宽x+3步，新长x+8步，新面积（x+3）（x+8），∴根据题意列一元二次方程得，（x+3）（x+8）﹣x（x+5）＝129，解得x＝17.5，故原田宽为17.5步. 考点6 其他问题 32.（2026•安徽模拟）某地规划了充电桩单循环组网模式（即每两个充电桩之间都要铺设1条专用通信电路），实际铺设50条线路后发现，一个充电桩点位仅完成了5条电路连接，比原计划的电路总数少15条．则原规划建设的充电桩个数为（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 32.C【解析】设原规划建设的充电桩个数为n，∵原计划为单循环连接，原总线路数为，又∵其余n﹣1个充电桩已完成全部连接，仅一个充电桩只完成5条连接，实际铺设50条线路，∴实际总线路满足方程：，解得 n＝11（负值舍去），所以原规划建设的充电桩个数为11. 33.（2026春•沙坪坝区校级期中）某学校红旗队伍有8行12列，后又增加了69人，使得队伍增加的行、列数相同，则增加的行数为（　　）行． A．1 B．2 C．3 D．4 33.C【解析】设队伍增加的行数为x，则增加的列数也为x，根据题意得：（8+x）（12+x）＝8×12+69．解得x1＝﹣23（舍去），x2＝3．∴增加了3行． 34．（2025秋•东明县期末）如表是小明与DeepSeek的对话，DeepSeek在深度思考后，给出的正确答案是（　　） 新对话 有没有这样一个数？先计算这个数的平方，再减去这个数，最后加上1，其运算结果和这个数相同． 深度思考中… 开启新对话 A．1 B． C．﹣1 D．1或﹣1 34.A【解析】设这个数是x，根据题意得：x2﹣x+1＝x，整理得：x2﹣2x+1＝0，解得x1＝x2＝1，∴这个数是1． 能 力 提 升 练 35.（2026•福建模拟）如图，某小区在一块长为16m，宽为9m的矩形空地上新修三条宽度相同的小路，其中一条和矩形的一边平行，另外两条和矩形的另一边平行，空地剩下的部分种植花草，使得小路占地面积为40m2，求小路的宽度．设小路的宽度为xm，甲、乙两位同学分别得到如下方程： 甲：（16﹣2x）（9﹣x）＝16×9﹣40； 乙：9×2x+16x﹣x2＝40． 其中正确的是（　　） A．甲对、乙不对 B．甲不对、乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对 35.A【解析】由已知条件可知：种植花草的面积为（16×9﹣40）m2，从平移的角度考虑，把种植花草的区域拼成一个矩形，矩形的长为（16﹣2x）m，宽为（9﹣x）m，∴矩形的面积为（16﹣2x）（9﹣x）m2，∴可列方程（16﹣2x）（9﹣x）＝16×9﹣40，∴甲列的方程正确；∵两条竖着的小路的长为9m，宽为xm，∴两条竖着的小路的面积为9×2xm2，∵横着的小路的长度为16m，宽为xm，∴横着的小路的面积为16xm2，三条小路有两个重叠的区域，重叠区域是边长为xm的正方形，∴重叠部分的面积为2x2m2，∴小路的面积可表示为（9×2x+16x﹣2x2）m2，∴可列方程为9×2x+16x﹣2x2＝40，∴乙列的方程错误；综上所述，甲对、乙不对． 36．（2026春•绍兴期中）我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程x2+2x﹣35＝0，即x（x+2）＝35为例，记载的方法如下：构造如图所示的正方形，大正方形的面积是（x+x+2）2，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×35+22，因此x＝5，在下面四个选项中，能正确说明方程x2﹣5x﹣6＝0解法的构图是（　　） A． B． C． D． 36.A【解析】方程x2﹣5x﹣6＝0，即x（x﹣5）＝6的拼图如下： 中间小正方形的边长为x﹣（x﹣5）＝5，其面积为25，大正方形的面积：（x+x﹣5）2＝4x（x﹣5）+25＝4×6+25＝49，其边长为7，因此，能正确说明方程x2﹣5x﹣6＝0解法的构图是A. 37．（2026春•迎江区校级期末）根据以下素材，完成探索任务． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 某农户承包了一块长方形果园ABCD，图1是果园的平面图，其中AB＝200米，BC＝300米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为2x米，左右两条纵向道路的宽度都为x米，中间部分种植水果．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度x不超过12米，且不小于5米． 素材2 该农户在种植园区种植草莓，经市场调查，草莓培育一年可产果，若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000m2的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售500m2草莓．果园每月的承包费为2万元． （1）解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响．若中间种植的面积是44800m2，求道路宽度x的值． （2）解决果园种植的预期利润问题（总利润＝销售利润﹣承包费）．若农户预期一个月该草莓的总利润为52万元，则从购买草莓客户的角度考虑，每平方米草莓平均利润应该降价多少元？ 37.解：（1）根据题意得：（300﹣2x）（200﹣2×2x）＝44800， 整理得：x2﹣200x+1900＝0， 解得：x1＝10，x2＝190（意，舍去）， ∴道路宽度为10米； （2）设每平方米草莓平均利润下调y元， ， 解得：y1＝10，y2＝40， 又∵从客户的角度考虑，要让利于顾客， ∴y＝40． 答：每平方米草莓平均利润下调40元． 38.（2026春•金寨县期末）根据以下素材，探究完成任务： 制作长方体收纳盒 背景 某校数学项目化学习小组准备了一些长为80cm，宽为60cm的长方形硬纸板，准备利用纸板做长方体收纳盒（接缝处忽略不计）． 方案甲 如图所示，甲活动小组在长方形纸板的四个直角处裁掉四个边长均为xcm的小正方形，再沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒，盒子的底面是矩形ABCD． 方案乙 如图所示，乙活动小组在长方形纸板的四个直角处裁掉四个长均为acm宽均为bcm的小长方形，再沿虚线折成一个有盖的长方体收纳盒，若EF和IJ两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面是矩形MNOP． （1）任务一：用含x的代数式表示：方案甲制作出的无盖收纳盒的底面长BC为　 　cm，底面宽AB为　 　cm． （2）任务二：若方案甲制作出的无盖收纳盒的底面积为2400cm2，求裁去小正方形的边长x的值． （3）任务三：若方案乙制作出的有盖收纳盒的底面积为1750cm2，请通过计算判断，图中长为32cm，宽为22cm，厚度为4cm的书本能否完全放入该收纳盒内． 38.解：（1）方案甲制作出的无盖收纳盒的底面长BC为（80﹣2x）cm，底面宽AB为（60﹣2x）cm． 故答案为：（80﹣2x）；（60﹣2x）； （2）∵无盖收纳盒的底面长BC＝（80﹣2x）cm，底面宽AB＝（60﹣2x）cm，底面积为2400cm2， ∴（80﹣2x）（60﹣2x）＝2400， 解得x＝10或x＝60， ∵底面宽60﹣2x＞0，即x＜30， ∴x＝60舍去， ∴x＝10， 答：裁去小正方形的边长x的值为10； （3）根据题意可知，收纳盒的高为bcm， 则盒子的底面的矩形MNOP中MN＝（60﹣2b）cm，，根据题意可知： （60﹣2b）（40﹣b）＝1750， 解得b＝5或b＝65（不合题意，舍去）， ∴收纳盒的高为5cm，MN＝60﹣2×5＝50（cm），NO＝40﹣5＝35（cm）， ∵32＜50，22＜35，4＜5， ∴书本能完全放入该收纳盒内． 39.（2026春•来安县期末）综合与实践 背景 2026年，随着AI服务器、消费电子市场持续回暖，合肥长鑫存储的国产内存芯片订单爆发式增长，产能持续爬坡，相关出货数据不断刷新纪录，带动了本地模组厂商的销售热潮． 素材1 已知长鑫存储某款DDR5﹣16G内存芯片，周一的出货收入为500万元，随着下游客户备货需求激增，周三的出货收入达到720万元． 素材2 为承接国产芯片的消费热潮，合肥本地模组厂商推出“国产芯•合肥造”DDR5﹣16G内存模组套装．已知该套装的物料及加工成本为200元/套；当定价为500元/套时，平均每天可售出40套．调研发现，售价每降低20元，平均每天就能多售出8套．现该厂商计划下调售价，使平均每天的销售利润达到12000元． 问题解决 任务1 求从周一到周三，长鑫存储该款DDR5﹣16G内存芯片出货收入的日平均增长率； 任务2 根据素材2，为尽可能多的售空“国产芯•合肥造”DDR5﹣16G内存模组库存，求下调后每套模组的售价； 任务3 根据素材2，该厂商平均每天能否获利16000元？若能，请求出每套模组应降价多少元；若不能，请说明理由． 39.解：（1）设日平均增长率为x，根据题意可得： 500（1+x）2＝720， 解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）， ∴长鑫存储该款DDR5﹣16G内存芯片出货收入的日平均增长率为20%； （2）设每套模组降价20x元，根据题意可得： （300﹣20x）（40+8x）＝12000， 解得x1＝0（舍去），x2＝10（降价20x＝200元，销量最大）， 下调后售价：500﹣20×10＝300（元）， 则为售空库存，下调后每套售价为300元； （3）不妨假设能获利16000元， 则列方程：（300﹣20x）（40+8x）＝16000， 解得x1＝x2＝5，即降价20×5＝100（元）， 答：能获利16000元，每套应降价100元． 40.（2026春•裕安区校级期末）杭州特产专卖店销售核桃，经销商统计了该专卖店核桃7月份到9月份的销售量，7月份销售量为4000千克，9月份销售量为5760千克，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同． （1）求该专卖店核桃销售量的月增长率； （2）该核桃进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，在此基础上单价每降低1元，则平均每天的销售量可增加10千克．请回答： ①若该专卖店销售这种核桃希望平均每天获利2240元，且尽可能让利于消费者，则每千克核桃应降价多少元？ ②经与供应商协商，推出批量进货优惠：当每天销售量超过200千克时，每多销售1千克，所有核桃的进货单价均可降低0.2元（最低进价不低于35元/千克）．问：该专卖店能否实现平均每天获利2640元？若能，求出此时的售价；若不能，请说明理由． 40.解：（1）设该专卖店核桃销售量的月增长率为x， 根据题意得：4000（1+x）2＝5760， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）． 答：该专卖店核桃销售量的月增长率为20%； （2）①设每千克核桃降价y元，则每千克的销售利润为60﹣40﹣y＝（20﹣y）元，平均每天可售出（100+10y）千克， 根据题意得：（20﹣y）（100+10y）＝2240， 整理得：y2﹣10y+24＝0， 解得：y1＝4，y2＝6， 又∵要尽可能让利于消费者， ∴y＝6． 答：每千克核桃应降价6元； ②该专卖店能实现平均每天获利2640元，设每千克核桃降价m元， 当0＜m≤10时，每千克的销售利润为60﹣40﹣m＝（20﹣m）元，平均每天可售出（100+10m）千克， 根据题意得：（20﹣m）（100+10m）＝2640， 整理得：m2﹣10m+64＝0， ∵Δ＝（﹣10）2﹣4×1×64＝﹣156＜0， ∴原方程没有实数根， ∴当0＜m≤10时，该专卖店不能实现平均每天获利2640元； 当10＜m≤12.5时，每千克的销售利润为60﹣[40﹣0.2（100+10m﹣200）]﹣m＝m元，平均每天可售出（100+10m）千克， 根据题意得：m（100+10m）＝2640， 整理得：m2+10m﹣264＝0， 解得：m1＝12，m2＝﹣22（不符合题意，舍去）， ∴60﹣m＝60﹣12＝48（元/千克）； 当m＞12.5时，每千克的销售利润为60﹣35﹣m＝（25﹣m）元，平均每天可售出（100+10m）千克， 根据题意得：（25﹣m）（100+10m）＝2640， 整理得：m2﹣15m+14＝0， 解得：m1＝1（不符合题意，舍去），m2＝14， ∴60﹣m＝60﹣14＝46（元/千克）． 答：该专卖店能实现平均每天获利2640元，此时的售价为46元/千克或48元/千克． 真 题 提 前 练 41.（2026•武汉）对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法．以方程x2+8x＝48为例，赵爽的《勾股圆方图注》中记载的方法是：如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为2x的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为48+4×22＝64，则该方程的正数解为8﹣2×2＝4．小美尝试用此方法解关于x的方程x2+12x+c＝0，构造如图2所示的图形．若图2中大正方形的面积为100，则方程x2+12x+c＝0的正数解是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 41.A【解析】如图2，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为3x的矩形，∴四个小正方形的边长为3，由条件可知大正方形的边长为，∴方程的正数解是10﹣2×3＝4． 42.（2025•威海）如图，某校有一块长20m、宽14m的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为24m2的9个矩形地块，请你求出小路的宽度． 42.解：设小路的宽度为xm，则9块矩形地块可合成长为（20﹣4x）m，宽为（14﹣4x）m的矩形， 根据题意得：（20﹣4x）（14﹣4x）＝24×9， 整理得：2x2﹣17x+8＝0， 解得：x1，x2＝8（不符合题意，舍去）． 答：小路的宽度为m． 43.（2025•泸州）某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元． （1）求乙种商品每件进价的年平均下降率； （2）2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品． 43.解：（1）设乙种商品每件进价的年平均下降率为x， 根据题意得：125（1﹣x）2＝80， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（不符合题意，舍去）． 答：乙种商品每件进价的年平均下降率为20%； （2）设购进y件甲种商品，则购进（100﹣y）件乙种商品， 根据题意得：（125﹣25×2）y+80（100﹣y）≤7800， 解得：y≥40， ∴y的最小值为40． 答：最少购进40件甲种商品． 44．（2026•烟台）为庆祝长征胜利90周年，文旅公司推出多款长征主题的文创产品．已知某款文创产品的成本价是每件20元，日销售量y（件）与每件售价x（元）的函数关系如图所示． （1）求y与x的函数表达式； （2）文旅公司在销售这款文创产品时，若每天盈利525元，且尽可能的让利于顾客，求该款文创产品每件的售价为多少元． 44.解：（1）设y与x的函数表达式为y＝kx+b， 把（30，40），（40，30）代入得：， 解得：， ∴y与x的函数表达式为y＝﹣x+70； （2）由题意得：（x﹣20）（﹣x+70）＝525， 整理得：x2﹣90x+1925＝0， 解得：x1＝35，x2＝55， ∵尽可能的让利于顾客， ∴x2＝55不符合题意，舍去， 答：该款文创产品每件的售价为35元． 学科网（北京）股份有限公司 $