27.3　实际问题与反比例函数 第3课时 建立反比例函数的模型 分层练习 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 分层清晰，从基础概念到综合应用，通过学科融合情境与误差分析培养模型意识与数据观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A层·基础夯实|反比例函数模型概念、比例系数计算|选择填空结合，聚焦比例系数确定方法等核心考点| |B层·理解运用|情境化模型建立、预测应用|学科融合（物理电功率、化学浓度），解答题强化解析式构建| |C层·拓展挑战|模型检验、误差分析、合理性评价|开放性问答与跨学科问题（杠杆平衡），深化模型科学性判断|

27.3 第3课时 建立反比例函数的模型 分层练习 考查范围：用反比例函数模型表示实际问题；根据图象特征和数据建立反比例函数模型；利用平均值确定比例系数并进行预测、检验与误差分析。 一、A层·基础夯实 1. [选择题]（用反比例函数模型表示实际问题）用反比例函数模型解决实际问题时，常需要根据多组数据确定比例系数。以下做法最合理的是（　　） A. 随机选取一组数据计算 k B. 分别计算每组数据对应的 k，然后取它们的平均数 C. 选取最大的 k 值作为模型系数 D. 选取第一组数据的 k 值作为模型系数 2. [选择题]（反比例函数模型的近似性）用反比例函数模型验证实验数据时，发现有些数据对应的点没有完全落在函数图象上，这说明（　　） A. 函数模型选择错误 B. 实验数据测量有误差 C. 函数解析式计算错误 D. 这是正常现象，模型是近似的 3. [填空题]（比例系数平均值）用反比例函数 近似描述数据时，已知三组数据求出的 值分别为 24.5，25.0，24.7，则 的平均值为 ________（结果精确到 0.01）。 4. [填空题]（近似建模特点）用反比例函数近似建模描述实际问题时，与以往精确建模（如正比例函数、一次函数精确拟合）的最大区别是 ________。 5. [选择题]（根据数据预测函数值）某实验测得变量 与 的 4 组数据：（2，18），（3，12），（4，9），（6，6）。在平面直角坐标系中画出这四个点的散点图后，发现可以用反比例函数 近似描述 与 的关系，分别求出 4 个 值并取平均数，得到 。当 时，预测值 为（　　） A. 7.2 B. 7.0 C. 7.5 D. 8.0 6. [填空题]（建立反比例函数解析式）某实验小组研究变量 与 的关系，散点图显示点的分布形似双曲线在第一象限的一支，遂选择反比例函数建模，计算 3 组数据的 值分别为 45.1，44.8，45.3，则 的平均值为 ________（结果精确到个位），函数解析式近似为 ________。 二、B层·理解运用 7. [选择题]（电功率情境中的反比例模型）新情境 学科融合 某科技小组模拟一种电池供电过程，发现输出功率 （W）恒定时，电压 （V）与电流 （A）的数据如下表： U（V） 2.0 2.5 4.0 5.0 8.0 I（A） 10.0 8.0 5.0 2.5 4.0 为描述 与 的关系，建立反比例函数模型 。小明计算了前三组 值并取平均数，得到 。若此模型成立，则当 时， 应为（　　） A. 3.0 B. 3.125 C. 3.2 D. 3.5 8. [解答题]（电流与电阻的反比例关系）某物理实验测得电流 （A）与电阻 （Ω）的 6 组数据，发现 与 的乘积近似为常数 12。 （1）写出 与 的函数解析式； （2）当 时，求 的值。 9. [填空题]（气体压强与体积的反比例模型）在温度不变的情况下，对一定质量的气体进行测量，得到压强 （kPa）与体积 （mL）的几组数据。小明计算了 的值，依次为：1002，998，1005，995，1000。他认为 与 近似满足反比例关系，比例系数 可取平均值为 ________。 10. [解答题]（化学实验中的反比例模型）新情境 学科融合 某化学实验中，反应物浓度 （mol·L⁻¹）与时间 （min）的几组对应值如下： t（min） 1 2 3 4 5 C（mol·L⁻¹） 60 30 20 15 12 （1）用反比例函数 试验数据，分别求出 5 个 值； （2）求 的平均值，并写出函数的解析式； （3）当 时，用模型预测 的值。 三、C层·拓展挑战 11. [解答题]（杠杆平衡中的反比例模型）新情境 学科融合 在探究杠杆平衡条件的实验中，固定阻力 （N）和阻力臂 （cm），改变动力 （N）和动力臂 （cm），得到如下数据： 动力 F₁（N） 2 3 4 5 6 动力臂 L₁（cm） 12 8 6 4.8 4 （1）根据杠杆原理：，计算表格中每一组 与 的乘积。 （2）观察这些乘积，你能发现什么规律？由此写出 与 满足的函数解析式。 （3）若 ，需要多大的动力才能保持杠杆平衡？ 12. [解答题]（模型检验与误差分析）教材变式题 教材中研究气体压强 （kPa）与体积 （mL）的关系时，通过 6 组数据建立了反比例函数模型 ，并取 的平均值为 1997。 （1）这种通过多组数据分别求 再取平均值的方法，有什么好处？ （2）已知模型 ，当 时，压强是多少？ （3）在实际测量中，当 时，测得的 。请用（2）中的模型计算此时的压强预测值，并与实测值比较，计算绝对误差（|预测值－实测值|）。这个误差说明了什么（结果精确到 0.1 kPa）？ 13. [填空题]（由乘积确定模型参数）某组数据近似满足反比例关系，已知三组对应值的乘积分别为 31.8，32.1，32.0，则比例系数 可取 ________（结果精确到 0.1），函数解析式可写为 ________。 14. [选择题]（反比例模型预测）某实验变量 与 近似满足 。当 时， 的预测值为（　　） A. 6 B. 8 C. 12 D. 48 15. [解答题]（参数平均与误差判断）某小组用反比例函数 建立模型，四组实验数据对应的 值分别为 18.2，17.9，18.1，17.8。 （1）求可取的比例系数 ； （2）写出近似函数解析式； （3）若 ，预测 的值。 16. [开放性问答]（实际模型的合理性评价）在一次实验建模中，某同学只用第一组数据确定反比例函数解析式，另一位同学用多组数据分别求比例系数并取平均值。你认为哪种方法更合理？请结合本课所学说明理由。 参考答案与解析 A层·基础夯实 1. B 解析：多组数据分别求比例系数并取平均值，可以减小单次测量误差对模型的影响，更适合近似建模。 2. D 解析：实际测量存在误差，点不完全在函数图象上是正常现象，反比例函数模型用于近似描述变量关系。 3. 24.73 解析：平均值为（24.5＋25.0＋24.7）÷3＝24.733…，精确到0.01为24.73。 4. 不是用一组数据精确确定解析式，而是根据多组实验数据近似确定模型参数，并允许存在测量误差。 解析：本课重点在于从散点图和多组数据出发建立近似反比例函数模型。 5. A 解析：由模型得 y＝36÷5＝7.2。 6. 45； 解析：45.1、44.8、45.3 的平均值约为45，因此可取 k＝45。 B层·理解运用 7. B 解析：由模型可得 I＝20÷6.4＝3.125。 8. （1）；（2）当 时， A。 解析：电流与电阻的乘积近似为常数12，因此可建立反比例函数模型。 9. 1000 解析：平均值为（1002＋998＋1005＋995＋1000）÷5＝1000。 10. （1）5 个 k 值均为60；（2），；（3） mol·L⁻¹。 解析：反比例函数模型中 k＝Ct，各组数据的乘积均为60。 C层·拓展挑战 11. （1）乘积分别为24，24，24，24，24；（2），所以 或 ；（3）当 时， N。 解析：杠杆平衡时动力×动力臂为常数，因此两个变量成反比例关系。 12. （1）可以减小实验误差，使模型更稳定；（2） kPa；（3）预测值为 kPa，绝对误差约为 kPa。说明模型能近似描述关系，但实际测量存在误差。 解析：反比例函数模型是近似模型，预测值与实测值可能不完全一致。 13. 32.0； 解析：31.8、32.1、32.0 的平均值为31.966…，精确到0.1为32.0。 14. B 解析：b＝48÷6＝8。 15. （1）；（2）；（3）当 时，。 解析：用多组数据取平均值，可以得到较合理的比例系数。 16. 用多组数据分别求比例系数并取平均值的方法更合理。因为实际测量中常有误差，只用第一组数据可能使模型受偶然误差影响较大；取平均值能减小误差影响，使反比例函数模型更稳定、更接近实际关系。 解析：本题考查对近似建模思想的理解，回答时要突出“多组数据”“平均值”“减小误差”。 学科网（北京）股份有限公司 $