微专题 对“定理：平均值不等式链”的理与应用讲义-2026-2027学年高一上学期数学沪教版必修第一册

本讲义聚焦高中数学“平均值不等式链”核心知识点，系统梳理调和、几何、算术、平方平均数的关系及成立条件，构建从定理理解到应用（求最值、证明、应用题等）的完整知识支架。 资料通过代数与几何证明培养数学推理能力，结合赵爽弦图、《九章算术》等数学史内容引导用数学眼光观察现实，多样题型助力学生用数学语言表达问题。课中辅助教师分层教学，课后练习题帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

【原卷版】 微专题 对“定理：平均值不等式链”的理与应用 沪教版高中数学的平均值不等式链，包含正数的调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方平均数， 即：对于任意的实数、， ，且当且仅当时全部取等号； 理解上，四个平均数从不同角度刻画两个正数的大小：平方平均数算术平均数几何平均数调和平均数； 核心前提是变量为正数，忽略正数条件直接套用会产生错误；等号成立条件是解题关键，求最值必须检验能否取到； 应用主要用于求解最值与证明不等式。求最值遵循 “一正、二定、三相等”：变量为正，和或积为定值，验证等号可取；求和的最小值，构造积为定值；求积的最大值，构造和为定值；常结合代数式变形、配凑、换元，处理函数值域、实际应用题。要警惕直接套用出现等号取不到的陷阱，此时要改用函数单调性求解。该不等式链是处理二元最值问题的重要工具，体现代数不等关系的转化思想。 定理：平均值不等式链：对于任意的实数、， ，且等号当且仅当时成立； 平方平均数算术平均数几何平均数调和平均数； 题型1、“定理：平均值不等式链”的多种证明 【证法1】（代数方法） 【证法2】（几何方法） 题型2、利用“定理：平均值不等式链”直接判断 例1、已知x，y为非零实数，则下列不等式不恒成立的是（ ） A． B． C． D． 【提示】 【答案】 【解析】 【说明】 例2、若，，，则下列不等式中对一切满足条件的a，b恒成立的是____________． ①    ②      ③           ④ 题型3、利用“定理：平均值不等式链”求最值 例3、已知、为互不相等的正实数，下列四个数中最大的是（    ） A． B． C． D． 例4、若，且，则的最小值为_____________． 题型4、利用“定理：平均值不等式链”证明 例5、设、为非零实数，给出下列不等式：①；②；③，其中恒成立的是 ．（填序号） 例6、设，，给出下列不等式： ①； ② ③； ④． 其中所有恒成立的不等式序号是 ． 题型5、与“定理：平均值不等式链”相关的应用题 例7、如图在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客．我们教材中利用该图作为一个说法的一个几何解释，这个说法正确的是（   ） A．如果,那么 B．如果,那么 C．对任意正实数和，有， 当且仅当时等号成立 D．对任意正实数和，有,当且仅当时等号成立 例8、某厂家2025年拟举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足(为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件；已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）； （1）求的值； （2）将2025年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数； （3）该厂家2025年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 题型6、“定理：平均值不等式链”与数学史的交汇 例9、十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若小融从家到学校往返的速度分别为和 ，其全程的平均速度为，则下列结论正确的序号是 ① ② ③ ④ 例10、《九章算术》中“勾股容方”问题“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法.如图1，用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青），将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为，宽为内接正方形的边长d，由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3，设D为斜边BC的中点，作直角三角形ABC的内接正方形对角线AE，过点A作于点F，则下列四个推理中正确的序号是    ①由图1和图2面积相等得；    ②由可得； ③由可得；    ④由可得. 题型7、与“定理：平均值不等式链”相关的创新题 例11、六世纪中叶，英国数学家哈利奥特用“<”“>”表示不等号，并逐渐被数学界所接受，不等号的引入对不等式发展影响深远．若某同学从一楼到五楼原路往返的速度分别为和，记两速度的算术平均值为，全程的平均速度为，则按从小到大排序为是 例12、基本不等式是均值不等式“链”中的一环（时），而利用该不等式链我们可以解决某些函数的最值问题，例如：求的最小值我们可以这样处理：，即，当且仅当时等号成立.那么函数（）的最小值为（     ） A． B． C． D． 例13、基本（均值）不等式可以推广成基本（均值）不等式链，在不等式的证明和求最值中有着广泛的应用，具体为：； （1）上面给出的均值不等式链是二元形式，其中指的是两个正数的平方平均数不小于它们的算数平均数，类比这个不等式给出对应的三元形式，即三个正数的平方平均数不小于它们的算数平均数； （2）若一个直角三角形的直角边分别为a，b，斜边，求直角三角形周长的取值范围． 例14、对于基本不等式，即当，时有（当且仅当时不等式取“=”），我们称为正数，的算术平均数，为它们的几何平均数，两个正数的算术平均数不小于他们的几何平均数．这只是均值不等式的一个简化版本．均值不等式的历史可以追溯到19世纪，由在1882年发表的论文中首次提出．均值不等式，也称为平均值不等式或平均不等式，是数学中的一个重要公式．它的基本形式包括调和平均数、几何平均数、算术平均数和平方平均数之间的关系．它表明：个正数的平方平均数大于等于它们的算术平均数大于等于几何平均数大于等于调和平均数，且当这些数全部相等时，等号成立． （1）请直接运用上述不等式链中某个的情形求的最小值； （2）写出时调和平均数与几何平均数之间的关系，并证明； （3）如图，把一块长为的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再将它的边沿虚线折转做成一个无盖的方底盒子．问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？ 定理：平均值不等式的种种变式 ①对于任意的实数、，有，且等号当且仅当时成立； ②对于任意的实数，有，且等号当且仅当时成立； 对于任意的实数，有，且等号当且仅当时成立； 对于任意的实数，有，且等号当且仅当时成立； ③对于任意的实数，有（，当且仅当时取等号）； 有（，当且仅当时取等号）； ④对于任意的实数、，有，且等号当且仅当时成立； 【说明】沟通了两数和与两数平方和的不等关系式； ⑤对于任意的实数、，有，且等号当且仅当时成立； 【说明】沟通两数积与两数和的不等关系式； 1．若，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是（     ） A． B． C． D． 2．若x，y满足，则正确的有（    ） ①，②，③，④ A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 3．设正实数、满足，则下列说法错误的是（     ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最小值 D．有最大值 4．已知正实数a，b满足a2－b＋4≤0，则（     ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最小值3 D．有最大值3 5．已知x>0，y>0，且x＋2y＝4，则(1＋x)(1＋2y)的最大值为 6．已知，且，则的最大值为 7．设，均为正数，且，则下列四个命题正确的有_____________． ①有最大值             ②有最大值 ③有最小值         ④有最小值 8．设均为正数，且，则下列结论正确的是________. ①有最小值；②有最大值； ③有最小值；④无最小值. 9．设,则的最大值为 ________． 10．设、为非零实数，给出下列不等式：①；②；③，其中恒成立的是________．（填序号） 11．均值不等式可以推广成均值不等式链，在不等式的证明和求最值中有着广泛的应用，具体为：． （1）上面给出的均值不等式链是二元形式，其中指的是两个正数的平方平均数不小于它们的算术平均数，类比这个不等式给出对应的三元形式，即三个正数的平方平均数不小于它们的算术平均数（无需证明）； （2）若一个直角三角形的直角边分别为a，b，斜边，求直角三角形周长的取值范围． 12．们知道，当时，如果把按照从大到小的顺序排成一列的话，一个美丽、大方、优雅的均值不等式链便款款的、含情脉脉的降临在我们面前.这个均值不等式链神通巨大，可以解决很多很多的由定值求最值问题. （1）填空写出补充完整的该均值不等式链； （2）如果定义：当时，为间的“缝隙”.记与间的“缝隙”为，与间的缝隙为，请问、谁大？给出你的结论并证明； 【解析版】 微专题 对“定理：平均值不等式链”的理与应用 沪教版高中数学的平均值不等式链，包含正数的调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方平均数， 即：对于任意的实数、， ，且当且仅当时全部取等号； 理解上，四个平均数从不同角度刻画两个正数的大小：平方平均数算术平均数几何平均数调和平均数； 核心前提是变量为正数，忽略正数条件直接套用会产生错误；等号成立条件是解题关键，求最值必须检验能否取到； 应用主要用于求解最值与证明不等式。求最值遵循 “一正、二定、三相等”：变量为正，和或积为定值，验证等号可取；求和的最小值，构造积为定值；求积的最大值，构造和为定值；常结合代数式变形、配凑、换元，处理函数值域、实际应用题。要警惕直接套用出现等号取不到的陷阱，此时要改用函数单调性求解。该不等式链是处理二元最值问题的重要工具，体现代数不等关系的转化思想。 定理：平均值不等式链：对于任意的实数、， ，且等号当且仅当时成立； 平方平均数算术平均数几何平均数调和平均数； 题型1、“定理：平均值不等式链”的多种证明 【证法1】（代数方法） （1）（方法1）要证即证， 因为，， 所以，，即，当且仅当时等号成立； （方法2）要证即证，即证， 即证，即证，即证，显然上式成立； 所以，不等式成立，当且仅当时等号成立； （2）由基本不等式得，成立，当且仅当时等号成立； （3）（方法1）由基本不等式得出，从而证明； 等号当且仅当且时成立，即当且仅当时等号成立； （方法2）由，所以，就是要证明，即证明，即证， 即证，就是基本不等式，显然成立， 所以，不等式成立，当且仅当时等号成立； 【说明】不等式证明的实质是比较两个实数（或代数式）的大小．证明不等式可以利用不等式性质证明，也可以利用比较法（作差法或作商法）证明．要善于运用分析法、综合法解决相关问题，如：也可以转化为，培养观察、类比、辨析的综合思维能力，体会转化与化归、类比的思想； 【证法2】（几何方法） 如图，以为直径作半圆，圆心为； 过直径上一点作垂直于， 交半圆于点，连接，；    【提示】设，，，作交圆O于点E，过点C作于点H，由直角三角形的性质求得后根据线段的长短得出均值不等式； 【解析】不妨设，，，如图，以点O为圆心的圆半径， 作交圆O于点E，则，由知． 显然，； 因为，过点C作于点H，则，知， 因为，所以当、时，； 综上，， 其中，都是正数，当且仅当时等号成立（即点C与点O重合时）； 注：称为正数，的调和平均数，称为正数，的平方平均数。 题型2、利用“定理：平均值不等式链”直接判断 例1、已知x，y为非零实数，则下列不等式不恒成立的是（ ） A． B． C． D． 【提示】利用定理：平均值不等式判断A、C、D，利用题设或特殊值判断B； 【答案】B； 【解析】对于A：因为，为非零实数，所以，则， 即，当且仅当时取等号，故A正确； 对于B：当、异号时，故B错误； 对于C：，当且仅当，即时取等号，故C正确； 对于D：，当且仅当时取等号，故D正确； 故选：B； 【说明】本题考查了由定理：平均值不等式链直接判断与证明不等关系；熟记平方、算术、几何、调和均值不等式链顺序，对照式子结构匹配对应均值。统一式子形式，合理变形化简，依据均值大小顺序直接比对；严格满足各项为正，核对适用条件，结合放缩技巧推导大小关系，验证逻辑无误即可判定不等式成立与否； 例2、若，，，则下列不等式中对一切满足条件的a，b恒成立的是____________． ①    ②      ③           ④ 【提示】根据定理：平均值不等式进行判断； 【答案】①②③④； 【解析】由已知,当且仅当时等号成立，①成立； ，∴，当且仅当时等号成立，②成立； ，当且仅当时等号成立，③成立； ，当且仅当时等号成立，④成立． 故答案为：①②③④． 【说明】本题考查了利用定理：平均值不等式求积的最大值、定理：平均值不等式求和的最小值、定理：平均值不等式“1”的妙用求最值； 题型3、利用“定理：平均值不等式链”求最值 例3、已知、为互不相等的正实数，下列四个数中最大的是（    ） A． B． C． D． 【提示】利用重要不等式可得出四个选项中各数的大小； 【答案】C； 【解析】因为、为互不相等的正实数， 所以由重要不等式可得，则， 所以，，则， 由基本不等式可得，所以， 因此，最大的数为. 故选：C.； 【说明】本题考查了由定理：平均值不等式比较大小与求最值； 例4、若，且，则的最小值为_____________． 【提示】由题设有且，再由“1”的代换及定理：平均值不等式求目标式的最小值，注意取值条件； 【答案】5； 【解析】因为，所以． 因为，则，所以，则． 故 ， 当且仅当，即，时等号成立． 故答案为：5； 【说明】本题考查了条件等式求最值、定理：平均值不等式“1”的妙用求最值；依据均值不等式链，通过配凑、换元构造和定或积定，遵循和定积最大、积定和最小规律，灵活选用不同均值快速求最值； 注意事项：满足一正二定三相等；核验等号可取性；多次连用不等式需取等条件统一；负数先转化为正数，取不到最值改用函数单调性求解； 题型4、利用“定理：平均值不等式链”证明 例5、设、为非零实数，给出下列不等式：①；②；③，其中恒成立的是 ．（填序号） 【提示】本题利用基本（均值 ）不等式及其推论可判断①②，利用特殊值法可判断③. 【答案】①② 【解析】因为，所有，所以①正确； 因为，所以②正确； 当时，不等式的左边为，右边为， 原不等式显然不成立，所以③错误． 故答案为：①②. 【说明】本题考查了是由定理：平均值不等式链的应用； 例6、设，，给出下列不等式： ①； ② ③； ④． 其中所有恒成立的不等式序号是 ． 【答案】①②③ 【解析】对于①，，故①正确； 对于②，，当且仅当时等号成立，且，当且仅当时等号成立，则，故②正确； 对于③，，当且仅当，即时等号成立，故③正确； 对于④，，当且仅当成立，则，故④不正确. 故答案为：①②③. 【说明】本题考查了是由定理：平均值不等式链的推导思路与应用进行判别； 题型5、与“定理：平均值不等式链”相关的应用题 例7、如图在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客．我们教材中利用该图作为一个说法的一个几何解释，这个说法正确的是（   ） A．如果,那么 B．如果,那么 C．对任意正实数和，有， 当且仅当时等号成立 D．对任意正实数和，有,当且仅当时等号成立 【答案】C； 【解析】通过观察,可以发现这个图中的四个直角三角形是全等的，设直角三角形的长直角边为，短直角边为，如图，整个大正方形的面积大于等于4个小三角形的面积和,即，即，当时,中间空白的正方形消失,即整个大正形与4个小三角形重合；其他选项通过该图无法证明， 故选C； 【说明】本题考查了是由定理：平均值不等式链的的收集应用； 例8、某厂家2025年拟举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足(为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件；已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）； （1）求的值； （2）将2025年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数； （3）该厂家2025年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 【答案】（1）；（2）；（3）3万元； 【解析】（1）由题意知，当时，（万件），则，解得； （2）由（1）可得. 所以每件产品的销售价格为（元）， 所以， 2025年的利润. （3）因为，当时，， 所以，，当且仅当时等号成立，所以，， 当且仅当，即万元时，（万元）. 故该厂家2025年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元； 【说明】利用基本不等式解决实际问题的步骤；解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识（函数及不等式性质等）解决问题.用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行： （1）先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数； （2）建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题； （3）在定义域内，求出函数的最大值或最小值； （4）正确写出答案； 题型6、“定理：平均值不等式链”与数学史的交汇 例9、十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若小融从家到学校往返的速度分别为和 ，其全程的平均速度为，则下列结论正确的序号是 ① ② ③ ④ 【提示】设两地的距离为，计算出全程的平均速度，然后利用定理：平均值不等式得出与和的大小关系，再利用作差法比较与的大小关系，从而得出正确的序号； 【答案】①④； 【解析】设甲、乙两地之间的距离为，则全程所需的时间为，， 所以，，则结论④正确； 因为，，由基本不等式可得，所以，，则结论②③错误； 又， 所以，， 所以，， 所以，则结论①正确； 故填：①④； 例10、《九章算术》中“勾股容方”问题“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法.如图1，用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青），将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为，宽为内接正方形的边长d，由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3，设D为斜边BC的中点，作直角三角形ABC的内接正方形对角线AE，过点A作于点F，则下列四个推理中正确的序号是    ①由图1和图2面积相等得；    ②由可得； ③由可得；    ④由可得. 【提示】利用图1和图2面积相等直接列式可判断①；根据三角形相似比求3中正方形边长，然后可得，利用等面积可得，由直角三角形斜边上的中线性质可得，然后根据题意推导可判断②③④； 【答案】①②③④； 【提示】①：由图1和图2面积相等可得，所以，①正确； ②：因为，所以，得， 设图3中正方形边长为t，因为小三角形（青）与相识， 所以，解得，所以， 因为，所以，整理得，②正确； ③：因为D为斜边BC的中点，所以， 因为，所以，整理得，③正确； ④：因为，所以，整理得，④正确. 故答案为：①②③④ 【说明】本题是定理：平均值不等式链的应用、由定理：平均值不等式链证明不等关系 题型7、与“定理：平均值不等式链”相关的创新题 例11、六世纪中叶，英国数学家哈利奥特用“<”“>”表示不等号，并逐渐被数学界所接受，不等号的引入对不等式发展影响深远．若某同学从一楼到五楼原路往返的速度分别为和，记两速度的算术平均值为，全程的平均速度为，则按从小到大排序为是 【提示】分别求出，再利用定理：平均值不等式以及不等式的性质求解； 【答案】； 【解析】设一楼到五楼距离为，由题意知， 根据不等式性质可知， 所以，则， ，所以. 综上，； 故答案为：； 【说明】本题是由不等式的性质比较数（式）大小、作差法比较代数式的大小、定理：平均值不等式链的应用； 例12、基本不等式是均值不等式“链”中的一环（时），而利用该不等式链我们可以解决某些函数的最值问题，例如：求的最小值我们可以这样处理：，即，当且仅当时等号成立.那么函数（）的最小值为（     ） A． B． C． D． 【提示】利用题干中的知识，参照基本不等式的解法求解即可； 【答案】B； 【解析】因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以（）的最小值为. 故选：B.； 【说明】本题考查了定理：平均值不等式求和的最小值； 例13、基本（均值）不等式可以推广成基本（均值）不等式链，在不等式的证明和求最值中有着广泛的应用，具体为：； （1）上面给出的均值不等式链是二元形式，其中指的是两个正数的平方平均数不小于它们的算数平均数，类比这个不等式给出对应的三元形式，即三个正数的平方平均数不小于它们的算数平均数； （2）若一个直角三角形的直角边分别为a，b，斜边，求直角三角形周长的取值范围． 【提示】（1）通过类比写出三元形式； （2）根据定理：平均值不等式求得的范围，进而求得三角形周长的取值范围； 【答案】（1）；（2）； 【解析】（1）由类比可得出: 三元形式：； 证明：要证即证， 因为，， 所以，，即当且仅当时等号成立； （2）因为，， 由（1）， 当且仅当取“”， 又，， 所以三角形周长的取值范围； 【说明】本题考查了利用定理：平均值不等式的应用、定理：平均值不等式求和的最小值、定理：平均值不等式的内容及辨析； 例14、对于基本不等式，即当，时有（当且仅当时不等式取“=”），我们称为正数，的算术平均数，为它们的几何平均数，两个正数的算术平均数不小于他们的几何平均数．这只是均值不等式的一个简化版本．均值不等式的历史可以追溯到19世纪，由在1882年发表的论文中首次提出．均值不等式，也称为平均值不等式或平均不等式，是数学中的一个重要公式．它的基本形式包括调和平均数、几何平均数、算术平均数和平方平均数之间的关系．它表明：个正数的平方平均数大于等于它们的算术平均数大于等于几何平均数大于等于调和平均数，且当这些数全部相等时，等号成立． （1）请直接运用上述不等式链中某个的情形求的最小值； （2）写出时调和平均数与几何平均数之间的关系，并证明； （3）如图，把一块长为的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再将它的边沿虚线折转做成一个无盖的方底盒子．问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？ 【提示】（1）根据已知条件给出的不等式求解即可； （2）根据已知条件给出的几何平均数大于等于调和平均数写出不等式即可，证明见详解； （3）设出小正方形的边长，表示出盒子的容积，利用不等式求解最值即可； 【答案】（1）；（2），其中，， （3）切去的正方形边长为时，才能使盒子的容积最大； 【解析】（1）由题意得 所以时，， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. （2）由题意可知，当时， 调和平均数与几何平均数之间的关系为，其中，，， 当且仅当时，等号成立. 证明： 所以，，当且仅当时，等号成立. 根据题意，可设，，， 用，，替换，，可得， 当且仅当时，等号成立. 所以， 所以， 当且仅当时，等号成立. （3）设小正方形的边长为，则盒子的高，底边边长为， 可得盒子的容积为，其中， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以切去的正方形边长为时，才能使盒子的容积最大，最大容积为； 【说明】本题考查了定理：平均值不等式的应用、由定理：平均值不等式证明不等关系、定理：平均值不等式求和的最小值； 定理：平均值不等式的种种变式 ①对于任意的实数、，有，且等号当且仅当时成立； ②对于任意的实数，有，且等号当且仅当时成立； 对于任意的实数，有，且等号当且仅当时成立； 对于任意的实数，有，且等号当且仅当时成立； ③对于任意的实数，有（，当且仅当时取等号）； 有（，当且仅当时取等号）； ④对于任意的实数、，有，且等号当且仅当时成立； 【说明】沟通了两数和与两数平方和的不等关系式； ⑤对于任意的实数、，有，且等号当且仅当时成立； 【说明】沟通两数积与两数和的不等关系式； 1．若，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C； 【解析】A. 因为，，当且仅当 时，等号成立，故错误； B. 因为，所以，当且仅当 时，等号成立，故错误； C.由A知，所以，故正确； D. ，当且仅当，即时，等号成立，故错误； 故选：C 2．若x，y满足，则正确的有（    ） ①，②，③，④ A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】C； 【解析】因为， 则可变形为， 即有，解得， 当且仅当时，， 当且仅当时，，故①错误，②正确； 可变形为， 整理得，当且仅当时，等号成立，故③正确； 当，时，，符合题意， 此时有，故④错误. 故正确的有②③. 3．设正实数、满足，则下列说法错误的是（     ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最小值 D．有最大值 【答案】B； 【解析】因为正实数、满足. 对于A选项，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，A选项正确； 对于B选项，由基本不等式可得 ， 当且仅当时，等号成立，B选项错误； 对于C选项，，所以，， 当且仅当时，等号成立，C选项正确； 对于D选项，，则， 当且仅当时，等号成立，D选项正确. 故选：B. 4．已知正实数a，b满足a2－b＋4≤0，则（     ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最小值3 D．有最大值3 【答案】B； 【解析】因为，a2－b＋4≤0，∴b≥a2＋4，所以，a＋b≥a2＋a＋4. 又因为，a，b＞0，∴，所以，， 所以，， 当且仅当a＝2，b＝8时取等号，所以有最小值， 故选：B； 5．已知x>0，y>0，且x＋2y＝4，则(1＋x)(1＋2y)的最大值为 【答案】9； 【解析】由题意，，，所以，当且仅当时取“=”. 6．已知，且，则的最大值为 【答案】25； 【解析】解：由，得， 则， 当且仅当，即时，取等号， 所以的最大值为. 7．设，均为正数，且，则下列四个命题正确的有_____________． ①有最大值             ②有最大值 ③有最小值         ④有最小值 【答案】①②③ 【解析】因为，均为正数，且，所以， 当且仅当时取等；故①正确； 因为，则， 当且仅当时取等，故②正确； 因为， 当时，有最小值，故③正确； 因为， 所以当时，有最小值， 故④错误． 8．设均为正数，且，则下列结论正确的是________. ①有最小值；②有最大值； ③有最小值；④无最小值. 【答案】①②③④； 【解析】对于①，由可得，即， 因此，当且仅当时，等号成立，即①不正确； 对于②，易知，即， 当且仅当时，等号成立，即②正确； 对于③，由可得，即； 所以， 当，时，取最小值，即③正确； 对于④，由③可得， 又，由二次函数性质可得，所以无最小值，即④正确. 故答案为：②③④ 9．设,则的最大值为 ________． 【答案】； 【解析】由两边同时加上 得两边同时开方即得：（且当且仅当时取“=”）， 从而有（当且仅当,即时，“=”成立） 故填：. 10．设、为非零实数，给出下列不等式：①；②；③，其中恒成立的是________．（填序号） 【答案】①②； 【解析】因为，所有，所以①正确； 因为，所以②正确； 当时，不等式的左边为，右边为， 原不等式显然不成立，所以③错误． 故答案为：①②. 11．均值不等式可以推广成均值不等式链，在不等式的证明和求最值中有着广泛的应用，具体为：． （1）上面给出的均值不等式链是二元形式，其中指的是两个正数的平方平均数不小于它们的算术平均数，类比这个不等式给出对应的三元形式，即三个正数的平方平均数不小于它们的算术平均数（无需证明）； （2）若一个直角三角形的直角边分别为a，b，斜边，求直角三角形周长的取值范围． 【提示】（1）通过类比写出三元形式； （2）根据基本不等式求得的范围，进而求得三角形周长的取值范围； 【答案】（1）；（2）； 【解析】（1）由类比可得出: 三元形式：. 证明：要证即证， 因为。， 所以，，即当且仅当时等号成立. （2）， 由（1）， 所以， 当且仅当取“”， 又，， 所以三角形周长的取值范围. 12．们知道，当时，如果把按照从大到小的顺序排成一列的话，一个美丽、大方、优雅的均值不等式链便款款的、含情脉脉的降临在我们面前.这个均值不等式链神通巨大，可以解决很多很多的由定值求最值问题. （1）填空写出补充完整的该均值不等式链； （2）如果定义：当时，为间的“缝隙”.记与间的“缝隙”为，与间的缝隙为，请问、谁大？给出你的结论并证明； 【提示】（1）由题得；（2）（当且仅当时取等号），再利用作差比较法证明即可； 【答案】（1） （2）（当且仅当时取等号） 【解析】（1） （2）【证明】因为， 又因为， （当且仅当时取=号）. 所以，，∴ 所以，（当且仅当时取=号）； 第30页，共30页 学科网（北京）股份有限公司 $