微专题 2.3 基本不等式及其应用教材解读与拓展 讲义-2026-2027学年高一上学期数学沪教版必修第一册

本讲义聚焦沪教版高中数学必修一“2.3基本不等式及其应用”，系统梳理平均值不等式（两个正数算术与几何平均值关系）、三角不等式等核心定理，明确解题三要素“一正、二定、三相等”，承接不等式基础，为后续函数、数列最值问题提供解题工具。 资料通过16类题型（如比较大小、求最值、恒成立问题等）分层设计，结合“1的妙用”“配凑换元”等技巧培养逻辑推理（数学思维），实际应用题型（矩形花园面积、涨工资方案）提升数学建模（数学眼光），课中辅助教师授课，课后助力学生查漏补缺。

【原卷版】微专题 对【沪教版】2.3 基本不等式及其应用的最新解读 在【沪教版】必修一《第2章 等式与不等式》2.3基本不等式及其应用中，有一段说明“在不等式的应用中，有一些很基本而十分重要的不等式，如平均值不等式和三角不等式等，我们将其统称为基本不等式；” 本节学习过程中，首要牢记解题三要素：一正、二定、三相等，正数为基础，和或乘积为定值是求最值前提，还要检验等号可取；衍生出和定积最大、积定和最小两条最值规律，可通过配凑、换元构造定值求解代数式最值； 学习重在逻辑推导、代数式变形，易错点是忽略负数情况、多次用不等式时等号条件冲突。该章节承接不等式基础，也是后续函数、数列最值题型的重要解题工具，锻炼逻辑推理和数学建模素养。 1、定理（平均值不等式） 两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，即对于任意的正数、有，且等号当且仅当时成立； 2、定理 对于任意的实数、，有，且等号当且仅当时成立； 【说明】（1）两个不等式与成立的条件是不同的；前者要求、，是实数即可，而后者要求、都是正实数（实际上后者只要、即可【P46上的注解】）； （2）两个不等式和都是带有等号的不等式，都是“当且仅当时，等号成立”； （3）几个重要的不等式的变形： ①(、)．；②(、同号)；③(、)； 3、定理（三角不等式） 如果、是实数，那么；当且仅当时，等号成立。 题型1、利用平均值不等式与定理比较大小 例1、设，则下列不等式中正确的是（ ） A． B． C． D． 【提示】 【答案】 【解析】 【说明】 例2、已知，，，且，，则与的大小关系是________________． 题型2、利用平均值不等式与定理求积最大值 例3、已知，则的最大值是 例4、已知正数，满足，则的最大值为（ ） A． B． C． D．1 题型3、利用平均值不等式与定理求和最小值 例5、已知，则的最小值为 例6、已知，且，则的最小值为 题型4、二次或二次商式的最值 例7、已知，则代数式的最小值是 例8、已知为正实数，则的最大值为 题型5、带有条件等式求最值问题 例9、若正数x、y满足，则的最小值为 例10、设x、y为正实数，且，则的最小值为 题型6、平均值不等式与“1”的妙用的交汇 例11、若，，，则的最小值为（ ） A．26 B．25 C．19 D．13 例12、若，，，则的最小值为 题型7、平均值不等式与定理恒成立问题 例13、已知，，若不等式恒成立，则m的最大值为（ ） A．10 B．12 C．16 D．9 例14、若正实数满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是________． 题型8、基本不等式的综合应用 例15、若，，都是正实数，则的最小值为____________． 例16、对于任意实数，，定义已知实数，均大于0，令，则的最大值为__________． 题型9、利用平均值不等式与定理证明不等式 例17、已知，， （1）比较与大小； （2）证明： 例18、对任意实数，，求证：。 题型10、平均值不等式与定理的实际应用 例19、某社区为扩大居民的活动区域，计划将社区内原有的半径为8m的圆形花坛扩建成一个矩形花园．若要求扩建前的圆与扩建后矩形的两邻边和一条对角线都相切（如图所示），则矩形花园占地面积的最小值为______．（结果精确到） 例20、某单位为了激励员工努力工作，决定提高员工待遇，给员工分两次涨工资，现拟定了三种涨工资方案，甲：第一次涨幅，第二次涨幅； 乙：第一次涨幅，第二次涨幅； 丙：第一次涨幅，第二次涨幅. 其中，小明帮员工李华比较上述三种方案得到如下结论，其中正确命题的序号是 ①方案甲和方案乙工资涨得一样多； ②采用方案乙工资涨得比方案丙多； ③采用方案乙工资涨得比方案甲多； ④采用方案丙工资涨得比方案甲多 题型11、定理：三角不等式定理的推导与拓展 例21、证明：定理（三角不等式）：对任意的实数、；有，且等号当且仅当时成立； 【说明】变式1：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件； 变式2：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件； 变式3：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件； 变式4：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件； 变式5：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件； 变式6：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件； 变式7：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件； 变式8：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件； 例22、已知、、为实数，求证：； 题型12、利用三角不等式定理的证明 例23、已知、、为实数，求证：； 例24、设a、b、，且，，．求证：． 题型13、应用三角不等式求最值 例25、函数的取得最小值时的值为 例26、对于实数，若，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 题型14、三角不等式恒成立问题 例27、对任意，使不等式恒成立的的取值范围是________________ 例28、已知不等式恒成立，正数m的最小值为M，则最小值M是： 题型15、利用三角不等式解方程（不等式） 例29、设，求方程的解集； 例30、若关于x的不等式的解集为R，则实数m的取值范围是 题型16、定理：三角不等式的应用 例31、已知直角坐标平面上的三点、、，记， ，.求证：. 例32、例两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工，这两个地点分别位于公路路碑的第10公里和第20公里处.现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区，每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次，要使两个施工队每天往返的路程之和最小，生活区应该建于何处? 1、平均值基本不等式 （1）基本不等式成立的条件：、； （2）等号成立的条件：当且仅当时取等号． （3）其中叫做正数、的算术平均数，叫做正数、的几何平均数． 2、几个重要的不等式 （1）（、）； （2）（、同号）； （3）（、）； （4）（、）； 以上不等式等号成立的条件均为：； 3、用平均值不等式求最值 用平均值不等式求最值应注意：一正二定三相等. （1）、是正数； （2）①如果等于定值，那么当时，和有最小值； ②如果等于定值，那么当时，积有最大值； （3）讨论等号成立的条件是否满足； 4、应用基本不等式“四”勿忘 ①勿忘“正”：“正”是指使用基本不等式的前提条件是各项均为正实数； ②勿忘“定”：“定”是指用基本不等式时，和或积为定值； ③勿忘“等”：“等”是利用基本不等式求最值时，应注意等号是否可以取到，即等号成立的条件； ④勿忘“同”：“同”是指多次使用基本不等式时，等号成立的条件应相同； 在解答基本不等式的问题时，常常会用加项、凑项、常数的代换、代换换元等技巧，而且在通常情况下往往会考查这些知识的嵌套使用； 1．已知、都是正数，若，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 2．下列说法中错误的为（ ） A．已知，则“”是“”的必要不充分条件 B．若，则的最小值为2 C．若正实数满足，则的最小值为6 D．若，且，则的最大值为7 3．函数的最小值及取得最小值时的值分别是（ ） A．1， B．3，0 C．3， D．2， 4．关于的不等式的解集不是空集，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．已知，，，则的最大值是 6．两次购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定_______（填第一种或者第二种）方式比较经济. 7．不等式成立的充要条件是 8．关于的方程：的解集为； 9．存在实数，使得不等式有解，则实数的取值范围为 10．已知问题：“恒成立，求实数的取值范围”；两位同学对此问题展开讨论：小明说可以分类讨论，将不等式左边的两个绝对值打开；小新说可以利用三角不等式解决问题.请你选择一个适合自己的方法求解此题，并写出实数的取值范围 11．（1）已知，，证明：； （2）已知，，且，求：的最小值. 12．问题：正数满足，求的最小值； 其中一种解法是：，当且仅当，且时， 即且时取等号，学习上述解法并解决下列问题： （1）若正实数满足求的最小值； （2）若正实数满足，且，试比较和的大小，并说明理由； （3）利用（2）的结论，求代数式的最大值，并求出使得最大的的值． 【解析版】微专题 对【沪教版】2.3 基本不等式及其应用的最新解读 在【沪教版】必修一《第2章 等式与不等式》2.3基本不等式及其应用中，有一段说明“在不等式的应用中，有一些很基本而十分重要的不等式，如平均值不等式和三角不等式等，我们将其统称为基本不等式；” 本节学习过程中，首要牢记解题三要素：一正、二定、三相等，正数为基础，和或乘积为定值是求最值前提，还要检验等号可取；衍生出和定积最大、积定和最小两条最值规律，可通过配凑、换元构造定值求解代数式最值； 学习重在逻辑推导、代数式变形，易错点是忽略负数情况、多次用不等式时等号条件冲突。该章节承接不等式基础，也是后续函数、数列最值题型的重要解题工具，锻炼逻辑推理和数学建模素养。 1、定理（平均值不等式） 两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，即对于任意的正数、有，且等号当且仅当时成立； 2、定理 对于任意的实数、，有，且等号当且仅当时成立； 【说明】（1）两个不等式与成立的条件是不同的；前者要求、，是实数即可，而后者要求、都是正实数（实际上后者只要、即可【P46上的注解】）； （2）两个不等式和都是带有等号的不等式，都是“当且仅当时，等号成立”； （3）几个重要的不等式的变形： ①(、)．；②(、同号)；③(、)； 3、定理（三角不等式） 如果、是实数，那么；当且仅当时，等号成立。 题型1、利用平均值不等式与定理比较大小 例1、设，则下列不等式中正确的是（ ） A． B． C． D． 【提示】利用平均值不等式和不等式的传递性即可选出答案； 【答案】B； 【解析】因为，，由基本不等式得，所以， 故选：B. 【说明】本题考查了由平均值不等式与不等式性质比较数（式）大小； 例2、已知，，，且，，则与的大小关系是________________． 【提示】注意构建与平均值不等式的联系； 【答案】； 【解析】当时，，显然成立； 当时，与同号，则与也同号， 所以，； 综上知； 答案：； 【说明】本题综合考查了绝对值的性质与利用平均值不等式比较代收式的大小； 题型2、利用平均值不等式与定理求积最大值 例3、已知，则的最大值是 【提示】利用平均数不等式，直接计算即可； 【答案】3； 【解析】，当且仅当，即取得等号，满足题意； 【说明】本题主要考查了利用基平均值不等式求积的最大值； 例4、已知正数，满足，则的最大值为（ ） A． B． C． D．1 【提示】先利用平均值不等式中“1”的妙用求得的取值范围，从而求得的最大值； 【答案】B； 【解析】因为，，，所以， 故， 当且仅当且，即时，等号成立， 所以，故，则的最大值为. 故选：B； 【说明】本题考查平均值不等式中“1”的妙用求最值； 题型3、利用平均值不等式与定理求和最小值 例5、已知，则的最小值为 【提示】借助平均值不等式计算即可得； 【答案】3； 【详解】由，则，故， 当且仅当时，等号成立； 【说明】本题主要考查了利用基平均值不等式求和的最小值； 例6、已知，且，则的最小值为 【提示】由题可得，结合平均值不等式即可求出的最小值； 【答案】3； 【解析】已知，且，则, 所以， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值为； 【说明】本题主要考查了结合题设依据平均值不等式求和的最小值； 题型4、二次或二次商式的最值 例7、已知，则代数式的最小值是 【提示】利用平均值不等式求最值； 【答案】7； 【解析】因为，则， 可得代数式， 当且仅当，即时，等号成立， 故代数式：的最小值为； 【说明】本题考查了利用求“商式”和的最小值； 例8、已知为正实数，则的最大值为 【提示】注意根据代数式的结构结合平均值不等式与不等式性质解之； 【答案】； 【解析】由题意可得：， 结合不等式的性质有：，当且仅当时等号成立， 即，的最大值为； 【说明】本题主要考查了利用平均值不等式求积的最大值与不等式性质的灵活运用；在应用平均值不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误； 题型5、带有条件等式求最值问题 例9、若正数x、y满足，则的最小值为 【提示】根据基本不等式“1”的妙用方法计算即可； 【答案】 【解析】因为正数x、y满足， 所以， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为3； 例10、设x、y为正实数，且，则的最小值为 【提示】先表达出，从而得，再利用平均值不等式即可求解； 【答案】6； 【解析】因为x、y为正实数，且， 所以，所以， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为6； 【说明】本题考查了依据平均值不等式利用条件等式与代数变换求最值； 题型6、平均值不等式与“1”的妙用的交汇 例11、若，，，则的最小值为（ ） A．26 B．25 C．19 D．13 【提示】注意题设“”中“”的妙用； 【答案】B； 【解析】因为，，，所以， 当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为25. 【说明】本题考查了平均值不等式“1”的妙用求最值； 例12、若，，，则的最小值为 【提示】注意题设“”中“”的妙用； 【答案】； 【解析】， ， 当且仅当，即时取等号， 所以. 【说明】本题考查了平均值不等式“1”的妙用与代数变换结合求最值； 题型7、平均值不等式与定理恒成立问题 例13、已知，，若不等式恒成立，则m的最大值为（ ） A．10 B．12 C．16 D．9 【提示】利用参变分离的方法将不等式变形为恒成立，再由基本不等式得出代数式的最值，可得选项； 【答案】D； 【解析】由已知，，若不等式恒成立， 所以恒成立， 转化成求的最小值， ， 当且仅当时取等 所以． 故选：D； 【说明】本题考查了利用平均值不等式的解答恒成立问题； 例14、若正实数满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是________． 【提示】将问题转化为，利用基本不等式求的最小值，再解绝对值不等式即可求解； 【答案】； 【解析】因为不等式恒成立，所以， 因为正实数满足，所以， 所以， 当且仅当，即，时等号成立，所以. 所以，即，所以， 解得，则实数m的取值范围是. 故答案为：； 【说明】本题考查了平均值不等式的恒成立问题、几何意义解绝对值不等式、平均值不等式“1”的妙用求最值； 题型8、基本不等式的综合应用 例15、若，，都是正实数，则的最小值为____________． 【提示】将分子拆分分组后，对两组项分别应用基本不等式放缩，凑出与分母线性相关的结果，验证等号成立条件后即可得到最小值； 【答案】2； 【解析】因为，所以， 当且仅当时取等号， 即的最小值是； 【说明】本题考查了平均值不等式的应用、平均值；不等式求和的最小值； 例16、对于任意实数，，定义已知实数，均大于0，令，则的最大值为__________． 【提示】由题意可知，再结合基本不等式即可求解； 【答案】； 【解析】由题意可知，， 由不等式性质可知 因为， 令，，则， 因为，所以， 因为， 当且仅当，即时等号成立， 所以，当且仅当，时， 即时，等号成立，所以的最大值为. 故答案为：； 【说明】基本题综合考查了平均值不等式的应用； 题型9、利用平均值不等式与定理证明不等式 例17、已知，， （1）比较与大小； （2）证明： 【提示】（1）利用作差法，化简表达式，然后根据其符号判断该表达式的正负即可比较大小； （2）根据平均值不等式的性质，将化简成，同理可得，从而证之； 【答案】（1）；（2）证明见解析； 【解析】（1） 由知，因此. （2）证明：由题设，及基本不等式知， . 同理，， ，即. 即：. 【说明】本题综合考查了由平均值不等式证明不等关系、作差法证明不等式； 例18、对任意实数，，求证：。 【提示】利用换元法及平均值不等式证明即可； 【证明】因为，， 所以，， 令，， 则 当且仅当，即时等号成立； 所以，当且仅当时，等号成立； 【说明】本题考查了由平均值不等式证明不等关系、利用平均值不等式证明不等式； 题型10、平均值不等式与定理的实际应用 例19、某社区为扩大居民的活动区域，计划将社区内原有的半径为8m的圆形花坛扩建成一个矩形花园．若要求扩建前的圆与扩建后矩形的两邻边和一条对角线都相切（如图所示），则矩形花园占地面积的最小值为______．（结果精确到） 【答案】； 【解析】设矩形的长与宽分别为和，则由直角三角形内切圆半径公式可得， 即，故， 平方整理得 ， 由重要不等式得， 则 而，解得，， 当且仅当时，等号成立， 此时取得最小值746，所以矩形花园占地面积的最小值为746. 【说明】本题考查了建立拟合函数模型解决实际问题结合平均值不等式的应用，再利用平均值不等式求和的最小值； 例20、某单位为了激励员工努力工作，决定提高员工待遇，给员工分两次涨工资，现拟定了三种涨工资方案，甲：第一次涨幅，第二次涨幅； 乙：第一次涨幅，第二次涨幅； 丙：第一次涨幅，第二次涨幅. 其中，小明帮员工李华比较上述三种方案得到如下结论，其中正确命题的序号是 ①方案甲和方案乙工资涨得一样多； ②采用方案乙工资涨得比方案丙多； ③采用方案乙工资涨得比方案甲多； ④采用方案丙工资涨得比方案甲多 【提示】不防设原工资为1，分别计算三种方案两次涨幅后的价格，利用平均值不等式比较即可求解； 【答案】②③； 【解析】方案甲：两次涨幅后的价格为：； 方案乙：两次涨幅后的价格为：； 方案丙：两次涨幅后的价格为：； 因为，由平均值不等式，当且仅当时等号成立， 故，因为，所以，， 所以方案采用方案乙工资涨得比方案甲多，采用方案甲工资涨得比方案丙多， 故答案为：②③； 【说明】本题考查了平均值不等式的应用； 题型11、定理：三角不等式定理的推导与拓展 例21、证明：定理（三角不等式）：对任意的实数、；有，且等号当且仅当时成立； 【提示】注意：利用等价变形进行证明与探究“等号”成立条件与变式； 【证明】（方法1：分析法）为证明， 只需证明， 即，也就是， 所以，等号当且仅当时成立； （方法2：利用） 由① ② 两式相加就有③， 将（）看作一个整体时，上面的③式逆用， 即可证明； 【说明】变式1：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件； 变式2：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件； 变式3：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件； 变式4：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件； 变式5：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件； 变式6：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件； 变式7：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件； 变式8：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件； 例22、已知、、为实数，求证：； 【提示】注意：用好“代换”法 【证明】由， 等号当且仅当成立； 题型12、利用三角不等式定理的证明 例23、已知、、为实数，求证：； 【提示】注意：逆用“代换”法； 【证明】由； 【说明】本题说明认真理解教材的知识与学习过程，结合数学方法：比如：代换、换元、特殊到一般等， 往往可以事半功倍； 例24、设a、b、，且，，．求证：． 【提示】利用绝对值三角不等式结合已知条件可证得结论； 【证明】因为，， 所以 【说明】本题考查了定理：三角不等式、三角不等式应用； 题型13、应用三角不等式求最值 例25、函数的取得最小值时的值为 【提示】利用绝对值不等式，求得函数的最小值，并求得对应的值； 【答案】； 【解析】依题意，当且仅当， 即时等号成立； 【说明】本小题主要考查绝对值不等式，以及绝对值不等式等号成立的条件； 例26、对于实数，若，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D； 【解析】因为|x−2y+1|=|(x−1)−2(y−1)|⩽|x−1|+2|y−1|⩽|x−1|+2|y−1| 再由|x−1|⩽2，|y−1|⩽2可得|x−1|+2|y−1|⩽2+2×2=6， 故|x−2y+1|的最大值为6， 故答案为6，故选D； 【说明】本题考查了利用定理：三角不等式求最值； 题型14、三角不等式恒成立问题 例27、对任意，使不等式恒成立的的取值范围是________________ 【提示】利用定理：三角不等式求解或利用分段函数求最值； 【答案】； 【解析】令， 方法1：对，， 当且仅当，即时取等号， 则，故， 故实数m的取值范围是. 方法2：， 当时，；时，， 则，故， 故实数m的取值范围是. 故答案为：. 【说明】本题考查了定理：三角不等式、分段函数的值域或最值、函数不等式恒成立问题 例28、已知不等式恒成立，正数m的最小值为M，则最小值M是： 【提示】利用定理：三角不等式求出m的范围，进而求得正数m的最小值； 【答案】（1）；（2）证明见解析； 【解析】（1）因为，当且仅当时，等号成立． 由题得，解得或． 因为，所以，所以． 【说明】本题考查了利用定理：三角不等式恒成立问题求参数； 题型15、利用三角不等式解方程（不等式） 例29、设，求方程的解集； 【提示】注意，基本方法“分段讨论”，但本方程又放在三角不等式的习题中，为什么？ 【答案】； 【解析】方法1、【零点分段法】 当时，恒成立， 当时，，解得：不成立， 当时，，解得：，不成立， 当时，恒成立， 综上可知方程的解集是. 故答案为：； 方法2、由三角不等式，等号成立条件，得，则（后面相 同） 【说明】通过本题说明：想到、用好“三角不等式”等号成立条件解方程，则既简捷又方便。 例30、若关于x的不等式的解集为R，则实数m的取值范围是 【提示】根据定理：三角不等式变形求解； 【答案】； 【解析】由“绝对值三角不等式”及其变式，知， 因为不等式恒成立，所以，解得或. 所以实数m的取值范围为. 故答案为：； 【说明】本题考查了利用定理：三角不等式，求参数值或范围； 题型16、定理：三角不等式的应用 例31、已知直角坐标平面上的三点、、，记， ，.求证：. 【提示】由新定义，写出不等式两边的表达式，根据绝对值三角不等式及加法法则即可证明； 【解析】根据绝对值三角不等式得， ， 由不等式的加法法则得， 即，所以； 【说明】由不等式的性质证明不等式、定理：三角不等式的应用； 例32、例两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工，这两个地点分别位于公路路碑的第10公里和第20公里处.现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区，每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次，要使两个施工队每天往返的路程之和最小，生活区应该建于何处? 【提示】设生活区建于公路路碑的第 x km处，两施工队每天往返的路程之和为S(x)km， 则，利用绝对值三角不等式即可求解； 【答案】临时生活区位于两个施工点之间（包含施工点）. 【解析】如果生活区建于公路路碑的第 x km处，两施工队每天往返的路程之和为S(x)km 那么 ， 当且仅当时取等号，解得. 答：临时生活区位于两个施工点之间（包含施工点）使两个施工队每天往返的路程之和最小； 【说明】本题是属于利用“三角不等式”解决实际应用 1、平均值基本不等式 （1）基本不等式成立的条件：、； （2）等号成立的条件：当且仅当时取等号． （3）其中叫做正数、的算术平均数，叫做正数、的几何平均数． 2、几个重要的不等式 （1）（、）； （2）（、同号）； （3）（、）； （4）（、）； 以上不等式等号成立的条件均为：； 3、用平均值不等式求最值 用平均值不等式求最值应注意：一正二定三相等. （1）、是正数； （2）①如果等于定值，那么当时，和有最小值； ②如果等于定值，那么当时，积有最大值； （3）讨论等号成立的条件是否满足； 4、应用基本不等式“四”勿忘 ①勿忘“正”：“正”是指使用基本不等式的前提条件是各项均为正实数； ②勿忘“定”：“定”是指用基本不等式时，和或积为定值； ③勿忘“等”：“等”是利用基本不等式求最值时，应注意等号是否可以取到，即等号成立的条件； ④勿忘“同”：“同”是指多次使用基本不等式时，等号成立的条件应相同； 在解答基本不等式的问题时，常常会用加项、凑项、常数的代换、代换换元等技巧，而且在通常情况下往往会考查这些知识的嵌套使用； 1．已知、都是正数，若，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C； 【解析】因、都是正数，， 则由，可得. 当且仅当，即，时取等号. 所以的最大值为. 2．下列说法中错误的为（ ） A．已知，则“”是“”的必要不充分条件 B．若，则的最小值为2 C．若正实数满足，则的最小值为6 D．若，且，则的最大值为7 【答案】B； 【解析】对于A选项，中，中，所以， 不能推出，所以“”是“”的必要不充分条件，故A正确； 对于B选项，，当且仅当时取“=”，但此时无解，故B错误； 对于C选项，因为，所以 则， 当且仅当时，即时，取“=”，故C正确； 对于D选项，设，则， 则， 其中， 当且仅当时，等号成立，故，故D正确. 故选：B； 3．函数的最小值及取得最小值时的值分别是（ ） A．1， B．3，0 C．3， D．2， 【答案】C； 【解析】依题意，当且仅当，即时等号成立，故选C； 4．关于的不等式的解集不是空集，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B； 【解析】由，又不等式的解集不是空集，所以 故选：B； 5．已知，，，则的最大值是 【答案】1； 【解析】由，，，得，当且仅当时取等号， 所以的最大值是1. 6．两次购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定_______（填第一种或者第二种）方式比较经济. 【答案】第二种 【解析】按第一种策略购物，设第一次购物时的价格为，购， 第二次购物时的价格为元，仍购， 两次购物的平均价格为； 若按第二种策略购物，第一次花元钱，能购物品， 第二次仍花元钱，能购物品， 两次购物的平均价格为， 比较两次购的平均价格：， 第一种策略的平均价格不小于第二种策略的平均价格， 因而用第二种策略比较经济. 故答案为：第二种. 7．不等式成立的充要条件是 【答案】； 【解析】因为，要保证分母不等于0，所以、不能同时为0，即， 所以，两边平方得2ab≤2|a||b|，不等式恒成立； 8．关于的方程：的解集为； 【提示】注意构建与“三角不等式”的关联； 【答案】 【解析】因为【细节哦】，由三角不等式， 得 所以，恒成立； 当且仅当等号成立【细节哦】 即，解得，即时等号成立； 即原方程的解集为：； 9．存在实数，使得不等式有解，则实数的取值范围为 【提示】由绝对值不等式的性质，求得，把不等式 有解，转化为 恒成立，列出不等式，即可求解； 【答案】. 【解析】由绝对值不等式的性质，可得， 当且仅当时等号成立， 要使得不等式有解，转化为 恒成立， 所以，解得或， 即实数的取值范围为. 故答案为：； 10．已知问题：“恒成立，求实数的取值范围”；两位同学对此问题展开讨论：小明说可以分类讨论，将不等式左边的两个绝对值打开；小新说可以利用三角不等式解决问题.请你选择一个适合自己的方法求解此题，并写出实数的取值范围 【提示】根据三角不等式求出最小值即可得解； 【答案】； 解析：根据“三角不等式”， 所以恒成立，只需， 所以或，解得； 故答案为：； 11．（1）已知，，证明：； （2）已知，，且，求：的最小值. 【解析】（1）证明：因为，，所以，当且仅当时，等号成立. 从而，当且仅当时，等号成立. （2）因为，，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值为. 12．问题：正数满足，求的最小值； 其中一种解法是：，当且仅当，且时， 即且时取等号，学习上述解法并解决下列问题： （1）若正实数满足求的最小值； （2）若正实数满足，且，试比较和的大小，并说明理由； （3）利用（2）的结论，求代数式的最大值，并求出使得最大的的值． 【提示】（1）已知正实数满足核心思路是等式两边同除以构造“和为定值”的齐次式，再采用乘1法，将乘以该定值，分式展开，利用基本不等式求最小值，关键是构造可使用均值不等式的乘积结构； （2）已知，采用乘1法，将与条件式相乘展开，拆分后用均值不等式放缩，通过等号成立条件对比和的大小关系，核心是借用题干示范的乘1构造法完成放缩证明； （3）先根据根式定义域求出的范围，换元令，，转化为已知求的最大值，直接套用第（2）问结论，用乘1法结合均值不等式求解，实现结论迁移应用； 【答案】（1）；（2），理由如下： ， 当且仅当，即时，等号成立，所以. （3）的最大值为，此时． 【解析】（1）因为，所以． 所以． 当且仅当，即时，等号成立． 所以的最小值为． （2），理由如下： ， 当且仅当，即时，等号成立，所以. （3）由得， 令，则， 令，由（2）知，， 所以，即， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为，此时； 第31页，共32页 学科网（北京）股份有限公司 $