精品解析：山东省潍坊市青州市某校2025-2026学年高二下学期第一次段考数学试题（创新班）

高二创新部下学期第一次段考 数学试题（9.10班） 一、单选题 1. 设离散型随机变量X的方差为，则随机变量的方差为（ ） A. 1.1 B. C. D. 2. 某大街在甲､乙､丙三处设有红､绿灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别为，则汽车仅在甲处因遇红灯而停车一次的概率为（ ） A. B. C. D. 3. 已知是等差数列的前项和，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 对甲，乙两地小学生假期一天中读书情况进行统计，已知小学生的读书时间均符合正态分布，其中甲地小学生读书的时间为（单位：小时），，对应的曲线为，乙地小学生读书的时间为（单位：小时），，对应的曲线为，则下列图象正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若等差数列满足，则（ ） A. 1 B. C. 4 D. 2 6. 某学习小组共有11名成员，其中有6名女生，为了解学生的学习状态，随机从这11名成员中抽选2名任小组组长，协助老师了解情况，A表示“抽到的2名成员都是女生”，B表示“抽到的2名成员性别相同”，则（ ） A. B. C. D. 7. 小明在某不透明的盒子中放入4红5黑9个球，随机摇晃后，小明从中取出一个小球丢掉（未看被丢掉小球的颜色）.现从剩下8个小球中取出两个小球，结果都是黑球，则丢掉的小球也是黑球的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列中，，则（ ） A. 96 B. 97 C. 98 D. 99 二、多选题 9. 已知随机变量X的分布列如下表：若，则（ ） 0 1 A. B. C. D. 10. 已知等差数列的前n项的和为，且，有下面4个结论：其中正确结论的序号为（ ） A. B. C. D. 数列中的最大项为 11. 在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为. 考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输 是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）. A. 采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为 B. 采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为 C. 采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为 D. 当时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率 三、填空题 12. 个零件中有个次品，从中每次抽检个，检验后放回，连续抽检次，则抽检的个零件中恰有个是次品的概率为_________； 13. 由正数组成的等差数列和的前n项和分别为和，且，则______ 14. 已知数列满足＋…＋＝，则数列的通项公式为______. 四、解答题 15. 已知数列满足，（），令. （1）求的值； （2）求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式. 16. 某大学社团共有8名大学生，其中男生4人，女生4人，从这8名大学生中任选4人参加比赛． （1）设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件，求； （2）设所选的4人中男生和女生的人数分别为，记，求随机变量的分布列和数学期望． 17. 某中学举办中国传统文化知识问答测试，规定成绩不低于90分的为“优秀”，现从中随机抽取50名男生和50名女生共100名学生进行测试，得到如图所示的频率分布直方图. （1）已知成绩优秀的学生中男生占，请填写下面的列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为知识问答测试成绩是否优秀与性别有关； 性别 成绩 合计 优秀 不优秀 男 女 合计 （2）从上述成绩，的学生中按比例分层随机抽样选出9人，再从选出的9人中随机抽取3人，记其中成绩优秀的人数为，求的分布列和数学期望. 附：，其中 临界值表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18. 经观测，长江中某鱼类的产卵数与温度有关，现将收集到的温度（单位：）和产卵数的10组观测数据作了初步处理，得到如图所示的散点图及一些统计量表. 360 54.5 1360 44 384 3 588 32 6430 表中，，. （1）根据散点图判断，，与哪一个适宜作为与之间的回归方程模型（给出判断即可，不必说明理由），并求出关于的回归方程； （2）某兴趣小组抽取两批鱼卵，已知第一批中共有5个鱼卵，其中“死卵”有2个；第二批中共有6个鱼卵，其中“死卵”有3个.现随机挑选一批，然后从该批次中随机取出2个鱼卵，求取出“死卵”个数的分布列及数学期望. 附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，. 19. 记为数列的前n项和，已知， ，数列满足 （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）记数列的前项和为，若对任意，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二创新部下学期第一次段考 数学试题（9.10班） 一、单选题 1. 设离散型随机变量X的方差为，则随机变量的方差为（ ） A. 1.1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据方差的性质来求解随机变量的方. 【详解】由题得，所以. 故选:C. 2. 某大街在甲､乙､丙三处设有红､绿灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别为，则汽车仅在甲处因遇红灯而停车一次的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题中条件，根据独立事件的乘法公式，即可求出结果. 【详解】因为汽车仅在甲处因遇红灯而停车一次， 故汽车在乙､丙两处遇到的都是绿灯， 因此汽车仅在甲处因遇红灯而停车一次的概率为. 故选：A. 3. 已知是等差数列的前项和，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由等差数列性质可得，结合条件可求，再由等差数列求和公式及性质可得，由此可求结论. 【详解】因为数列为等差数列，所以， 所以， 所以，所以． 4. 对甲，乙两地小学生假期一天中读书情况进行统计，已知小学生的读书时间均符合正态分布，其中甲地小学生读书的时间为（单位：小时），，对应的曲线为，乙地小学生读书的时间为（单位：小时），，对应的曲线为，则下列图象正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正态曲线的特征可得答案. 【详解】因为，， 所以的对称轴为，的对称轴为， 又，所以的形状偏瘦一些. 故选：C 5. 若等差数列满足，则（ ） A. 1 B. C. 4 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列的性质进行计算即可. 【详解】根据等差数列的性质可得，，则， 所以. 故选：A. 6. 某学习小组共有11名成员，其中有6名女生，为了解学生的学习状态，随机从这11名成员中抽选2名任小组组长，协助老师了解情况，A表示“抽到的2名成员都是女生”，B表示“抽到的2名成员性别相同”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出，，再利用条件概率求解即可． 【详解】由题意可知，， 所以． 故选：A． 7. 小明在某不透明的盒子中放入4红5黑9个球，随机摇晃后，小明从中取出一个小球丢掉（未看被丢掉小球的颜色）.现从剩下8个小球中取出两个小球，结果都是黑球，则丢掉的小球也是黑球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先计算每种情况下，“取出 2 个黑球” 的条件概率，再用贝叶斯公式计算概率. 【详解】用表示丢掉一个小球后任取两个小球均为黑球，用表示丢掉的小球为红球，表示丢掉的小球为黑球，则， 由全概率公式可得， 所以. 故选：D 8. 已知数列中，，则（ ） A. 96 B. 97 C. 98 D. 99 【答案】A 【解析】 【分析】由倒序相加法求和即可； 【详解】， 所以， 两式相加可得：， 所以， 故选：A 二、多选题 9. 已知随机变量X的分布列如下表：若，则（ ） 0 1 A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】结合概率之和为以及求得，由此求得，从而判断出正确答案. 【详解】依题意，AB选项正确. ，C选项正确. ，D选项错误. 故选：ABC 10. 已知等差数列的前n项的和为，且，有下面4个结论：其中正确结论的序号为（ ） A. B. C. D. 数列中的最大项为 【答案】AB 【解析】 【分析】等差数列中，由，可求得，，，，，从而可作出正确判断． 【详解】解：， ， 即，， ，，所以，且． 所以，，因为，，所以为递减数列，且，所以当时取得最大值， 故选：AB 11. 在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为. 考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输 是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）. A. 采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为 B. 采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为 C. 采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为 D. 当时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用相互独立事件的概率公式计算判断AB；利用相互独立事件及互斥事件的概率计算判断C；求出两种传输方案的概率并作差比较判断D作答. 【详解】对于A，依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的事件是发送1接收1、发送0接收0、发送1接收1的3个事件的积， 它们相互独立，所以所求概率为，A正确； 对于B，三次传输，发送1，相当于依次发送1，1，1，则依次收到l，0，1的事件， 是发送1接收1、发送1接收0、发送1接收1的3个事件的积， 它们相互独立，所以所求概率为，B正确； 对于C，三次传输，发送1，则译码为1的事件是依次收到1，1，0、1，0，1、0，1，1和1，1，1的事件和， 它们互斥，由选项B知，所以所求的概率为，C错误； 对于D，由选项C知，三次传输，发送0，则译码为0的概率， 单次传输发送0，则译码为0的概率，而， 因此，即，D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成两两互斥事件的和，相互独立事件的积是解题的关键. 三、填空题 12. 个零件中有个次品，从中每次抽检个，检验后放回，连续抽检次，则抽检的个零件中恰有个是次品的概率为_________； 【答案】## 【解析】 【分析】记抽到次品的概率为，抽到正品的概率为，则，，用表示3次抽检中抽到次品的次数，则是一个随机变量，每次抽检抽到次品的概率为，由题意知，利用二项分布的概率公式可求解. 【详解】记抽到次品的概率为，抽到正品的概率为，则，， 用表示3次抽检中抽到次品的次数，则是一个随机变量， 每次抽检抽到次品的概率为，由题意知，故连续抽检3次， 抽检的3个零件中恰有2个是次品的概率为． 故答案为：. 13. 由正数组成的等差数列和的前n项和分别为和，且，则______ 【答案】 【解析】 【分析】由题意结合等差数列前n项和公式、等差数列的性质可得、，转化条件为，代入即可得解. 【详解】数列和均为正数组成的等差数列， ，， . 故答案为：. 【点睛】本题考查了等差数列的性质及其前n项和公式的应用，考查了运算求解能力，关键是对于条件的转化，属于基础题. 14. 已知数列满足＋…＋＝，则数列的通项公式为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用的关系计算通项公式即可. 【详解】因为数列满足＋…＋＝①， 所以＋…＋＝②，且， ①减②可得＝，即， 显然时满足， 综上. 四、解答题 15. 已知数列满足，（），令. （1）求的值； （2）求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式. 【答案】（1）， （2） 因为， 所以， 两边同时取倒数有： ， 令，有，， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，所以. 【解析】 【分析】（1）采用迭代法，可求，; （2）将转化为，即可证明数列是等差数列，算出数列的通项公式后即可计算数列的通项公式. 【小问1详解】 因为，且， 当时，， 当时，. 【小问2详解】 略 16. 某大学社团共有8名大学生，其中男生4人，女生4人，从这8名大学生中任选4人参加比赛． （1）设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件，求； （2）设所选的4人中男生和女生的人数分别为，记，求随机变量的分布列和数学期望． 【答案】（1）； （2）分布列见解析，期望为. 【解析】 【分析】（1）先求出，，从而利用条件概率公式求出概率； （2）求出的可能取值和对应的概率，得到分布列，求出数学期望. 【小问1详解】 男生甲没有被选中，则从剩余的7人中任选4人， 故， 男生甲没有被选中，且女生乙被选中，则从剩余的6人中选择3人， 故， 所以； 【小问2详解】 的情况一共有， 故的可能取值为4,2,0， 当时，即选择了4名男生或4名女生， 则， 当时，即选择了3名男生和1名女生或3名女生和1名男生， 则， 当时，即选择了2名男生和2名女生， 则， 故随机变量的分布列为 4 2 0 数学期望为. 17. 某中学举办中国传统文化知识问答测试，规定成绩不低于90分的为“优秀”，现从中随机抽取50名男生和50名女生共100名学生进行测试，得到如图所示的频率分布直方图. （1）已知成绩优秀的学生中男生占，请填写下面的列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为知识问答测试成绩是否优秀与性别有关； 性别 成绩 合计 优秀 不优秀 男 女 合计 （2）从上述成绩，的学生中按比例分层随机抽样选出9人，再从选出的9人中随机抽取3人，记其中成绩优秀的人数为，求的分布列和数学期望. 附：，其中 临界值表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） 性别 成绩 合计 优秀 不优秀 男 2 48 50 女 8 42 50 合计 10 90 100 无关 （2）的分布列为： 0 1 2 3 1 【解析】 【分析】（1）根据卡方公式直接计算，再与临界值比较即可得到结论； （2）首先得到的可能取值，再根据超几何分布写出分布列并计算期望即可. 【小问1详解】 根据频率分布直方图知成绩优秀的男生有， 则成绩不优秀的男生有人，成绩优秀的女生有8人，成绩不优秀的女生有42人， 性别 成绩 合计 优秀 不优秀 男 2 48 50 女 8 42 50 合计 10 90 100 零假设：；知识问答测试成绩是否优秀与性别无关， ， ∴根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可以认为知识问答测试成绩是否优秀与性别无关. 【小问2详解】 根据频率分布直方图知成绩，的学生的学生比例为：， 则中抽取人，中抽取人， 根据成绩不低于90分的为“优秀”的标准知：的可能取值为0，1，2，3， ；； ；. 的分布列为： 0 1 2 3 18. 经观测，长江中某鱼类的产卵数与温度有关，现将收集到的温度（单位：）和产卵数的10组观测数据作了初步处理，得到如图所示的散点图及一些统计量表. 360 54.5 1360 44 384 3 588 32 6430 表中，，. （1）根据散点图判断，，与哪一个适宜作为与之间的回归方程模型（给出判断即可，不必说明理由），并求出关于的回归方程； （2）某兴趣小组抽取两批鱼卵，已知第一批中共有5个鱼卵，其中“死卵”有2个；第二批中共有6个鱼卵，其中“死卵”有3个.现随机挑选一批，然后从该批次中随机取出2个鱼卵，求取出“死卵”个数的分布列及数学期望. 附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，. 【答案】（1）适宜作为与之间的回归方程模型， （2） 0 1 2 【解析】 【分析】（1）根据散点图确定模型，代入数据计算即可； （2）确定随机变量取值，结合全概率公式计算概率，进而可求解； 【小问1详解】 根据散点图判断，看出样本点分布在一条指数函数的周围，所以适宜作为与之间的回归方程模型. 令，则， ， ， 所以， 所以关于的回归方程为. 【小问2详解】 由题意设随机挑选一批，取出两个鱼卵，其中“死卵”个数为，则的可能取值为，，， 设“所取两个鱼卵来自第批”， 所以， 设“所取两个鱼卵有个‘死卵’”， 由全概率公式得 ， ， ， 所以取出“死卵”个数的分布列为 0 1 2 所以， 所以取出“死卵”个数的数学期望为. 19. 记为数列的前n项和，已知， ，数列满足 （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）记数列的前项和为，若对任意，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）考虑利用作差，结合，得出，根据等差数列求得数列的通项公式； （2）根据的通项公式得到的通项公式，然后对奇数项与偶数项分组求和即可； （3）根据的通项公式，得到的前项和的表达式，然后根据的奇偶性分别讨论数列不等式的恒成立问题即可求解. 【小问1详解】 令，则， 化简得，又，所以 由题意 于是两式相减可得 化简可得 因为，所以，所以， 所以为首项为3，公差为2的等差数列. 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 由上可知，当为奇数时，设，则，. 当为偶数时，设，则， 所以当为偶数时,. 【小问3详解】 由上可知，当为偶数时，设，, ,即 考虑二次函数的性质，对称轴在，且开口向上， 最接近对称轴的整数为，所以当时,有最小值，即. 当为奇数时，设，. ，化简得 考虑二次函数的性质，对称轴在，且开口向上 最接近对称轴的整数为，所以当时有最小值.即. 综上所述， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $