山东省青州第一中学2025-2026学年高二下学期第一次段考数学试题

**基本信息** 青州一中高二数学段考卷聚焦立体几何与空间向量，通过基础判断、空间轨迹、动态质点等问题设计，考查空间观念、逻辑推理与数学表达，适配高二学段知识进阶需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|空间线面关系、坐标系对称点、向量基底|基础判断与空间想象结合，如第1题线面位置关系辨析| |多选题|3题|法向量应用、四面体截面性质、正方体体积与轨迹|多选项分层考查，如第10题结合正方形截面判断线面关系| |填空题|4题|线面角计算、直三棱柱中点向量、质点运动轨迹|动态问题设计，如第14题质点沿棱运动的异面直线轨迹| |解答题|5题|向量平行与垂直、三棱柱向量表示与长度、面面垂直证明、存在性探究|综合应用与逻辑推理，如第19题四棱锥中面面垂直证明及线面角最大值探究|

数学是打开科学大门的钥匙——培根 青州一中高二数学 姓名 学号 班级 青州一中高二下学期数学第一次段考试题 使用时间：2026年4月 一．单选题[陆唤英选，常国伟审] 1．已知随机变量，若，则（   ） A．6 B．8 C．9 D．12 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】二项分布的方差 【分析】利用二项分布的方差公式求解即可. 【详解】因为，所以 由，可得， 故选：C. 2．已知数列的通项公式是，那么这个数列是（    ） A．递增数列 B．递减数列 C．摆动数列 D．常数列 【答案】A 【解析】作差得出和的大小关系，进而可判断出数列的单调性. 【详解】，， ，因此，数列是递增数列. 故选：A. 3．已知随机变量服从正态分布，且，则（    ） A．0.9 B．0.8 C．0.4 D．0.1 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】正态曲线的性质、指定区间的概率 【分析】根据正态分布的性质即可求解. 【详解】因为，所以， 所以， 故选：A 4．若随机变量X的分布列如表所示，且，则（    ） X 0 1 3 a P 0.2 0.3 b 0.2 A．0.6 B．1.2 C．1.5 D．1.8 【答案】B 【分析】由对应的概率之和为1，可求得，再由数学期望的定义可求得，由此可得的值. 【详解】由随机变量的分布列的性质可知，， 由数学期望的定义可得， 所以. 故选：B. 5．某学校对高二学生是否喜欢阅读进行随机调查，调查的数据如下表所示： 喜欢阅读 不喜欢阅读 总计 男学生 30 20 50 女学生 40 10 50 总计 70 30 100 根据表中的数据，下列对该校高二学生的说法正确的是（    ） P（x²≥k） 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001 k 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 A．没有95%以上的把握认为“性别与是否喜欢阅读有关” B．有99%以上的把握认为“性别与是否喜欢阅读有关” C．在犯错误的概率不超过0.025 的前提下认为“性别与是否喜欢阅读有关” D．在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“性别与是否喜欢阅读有关” 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】卡方的计算、独立性检验解决实际问题 【分析】根据列联表中的数据，求得的值，再与临界值表对照，逐项判断. 【详解】解： A.因为，所以有95%以上的把握认为“性别与是否喜欢阅读有关”，故错误； B.因为，所以没有99%以上的把握认为“性别与是否喜欢阅读有关”，故错误； C.因为，所以在犯错误的概率不超过0.025 的前提下，不能认为“性别与是否喜欢阅读有关”，故错误； D.因为，所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“性别与是否喜欢阅读有关”，故D正确； 故选：D 6．一个袋子中装有5个白球，3个黑球，从中任选4个球，取到一个白球得1分，取到一个黑球得3分，设得分为随机变量，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合组合、古典概型的概率公式，超几何分布，由进行求解即可. 【详解】由题意，从中任选4个球，除取到4个白球得4分外，其他取法的得分都不小于6， 故. 故选：C. 7．质数（primenumber）又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数.数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”，如：3和5，5和，那么，如果我们在不大于30的正整数中，随机选取两个不同的数，记事件：这两个数都是素数；事件：这两个数是孪生素数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件概率的计算方法求得正确答案. 【详解】不超过的正整数有个，其中素数有共个， 孪生素数有和，和，和，和，共组， 所以，， 所以. 故选：B. 8．某城市选用一种植物进行绿化，设其中一株幼苗从观察之日起，第天的高度为cm，测得一些数据如下表所示． 第天 1 4 9 16 25 36 49 高度cm 0 4 7 9 11 12 13 由表格可得关于的回归方程为，则此回归模型第16天的残差（实际值与预报值之差）为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【分析】首先换元，设，根据回归直线方程必过样本点中心，求得后，再计算第16天的模型. 【详解】设，则，， 则必 过点，代入得， 则，当，， 则回归模型第16天的残差是. 故选：D 二．多选题[张永奎选，常国伟审] 9.甲、乙、丙三人选择不同的交通工具各自均从云南大理市出发去昆明市，若在4小时内到达昆明市，则意味着按时到达昆明市，甲、乙、丙三人各自可以按时到达昆明市的概率分别为0.7，0.6，0.5，且甲、乙、丙三人各自是否按时到达昆明市相互独立，则（   ） A．这三人都按时到达昆明市的概率为0.2 B．这三人中只有甲按时到达昆明市的概率为0.14 C．这三人都未按时到达昆明市的概率为0.06 D．这三人中至少有一人按时到达昆明市的概率为0.84 【答案】BC 【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式及对立事件的概率公式逐项判断. 【详解】对于A，这三人都按时到达昆明市的概率为，故A错误； 对于B，这三人中只有甲按时到达昆明市的概率为， 故B正确； 对于C，这三人都未按时到达昆明市的概率为， 故C正确； 对于D，这三人中至少有一人按时到达昆明市的概率为，故D错误. 故选：BC. 10.下列说法正确的是（ CD  ） A．若随机变量X服从两点分布（或0-1分布），且，则 B．以模型去拟合一组数据时，令，求得线性回归方程为，则， C．若随机变量服从正态分布，则 D.若随机变量的方差，则 11．有6个相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.用表示第一次取到的小球的标号，用表示第二次取到的小球的标号，记事件：为偶数，：为偶数，C：，则（    ） A． B．与相互独立 C．与相互独立 D．与相互独立 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】独立事件的判断、独立事件的乘法公式 【分析】对A：借助独立事件乘法公式计算即可得；对B：借助相互独立事件定义，分别计算出、、后，验证是否满足即可得，C、D同理. 【详解】对A：，故A正确； 对B：，， 则，故与不相互独立，故B错误； 对C：，， 则，故与相互独立，故C正确； 对D：， 则，故与相互独立，故D正确； 故选：ACD. 三．填空题[常国伟选，陆唤英审] 12.数列中，，，则______． 【答案】 【分析】利用数列周期性求数列的项即可. 【详解】因为，， 所以， 所以数列是周期为4的数列， 所以. 故答案为：. 13.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n2-4n+1，则an=　　　　　　.  答案　 解析　当n=1时，a1=S1=-2； 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2-4n+1-[(n-1)2-4(n-1)+1]=2n-5. 因为当n=1时，不满足an=2n-5， 所以an= 14.一个箱子里有5个相同的球，分别以1~5标号，若每次取一颗，有放回地取三次，记至少取出一次的球的个数X，则数学期望 . 【答案】/ 【分析】法一：根据题意得到的可能取值，再利用分步乘法原理与古典概型的概率公式求得的分布列，从而求得；法二，根据题意假设随机变量，利用对立事件与独立事件的概率公式求得，进而利用数学期望的性质求得. 【详解】法一：依题意，的可能取值为1、2、3， 总的选取可能数为， 其中：三次抽取同一球，选择球的编号有5种方式， 故， ：恰好两种不同球被取出（即一球出现两次，另一球出现一次）， 选取出现两次的球有5种方式，选取出现一次的球有4种方式， 其中选取出现一次球的位置有3种可能，故事件的可能情况有种， 故， ：三种不同球被取出， 由排列数可知事件的可能情有况种， 故， 所以 . 故答案为：. 四．解答题[常国伟选，陆唤英审] 15.某数学素养提升小组设计了如下问题进行探究：现有完全相同的甲，乙两个箱子（如图），其中甲箱装有2个黑球和4个白球，乙箱装有2个黑球和3个白球，这些球除颜色外完全相同.某人先从两个箱子中任取一个箱子，再从中随机摸出一球. (1)求摸出的球是黑球的概率； (2)若已知摸出的球是黑球，请用概率公式判断该球取自哪个箱子的可能性更大. 【答案】(1) (2)该球取自乙箱的可能性更大 【难度】0.65 【知识点】利用全概率公式求概率、利用贝叶斯公式求概率 【分析】（1）利用全概率公式求摸出的球是黑球的概率； （2）利用贝叶斯公式求黑球来自甲、乙箱的概率，比较它们的大小，即可得结论. 【详解】（1） 记事件A表示“球取自甲箱”，事件表示“球取自乙箱”，事件B表示“取得黑球”， 则， 由全概率公式得： . （2）该球取自乙箱的可能性更大，理由如下： 该球是取自甲箱的概率 该球取自乙箱的概率 因为所以该球取自乙箱的可能性更大. 16．为研究昼夜温差（单位：）与某植物种子当日的百粒发芽数（单位：粒）之间的关系，实验室记录了6天的每日昼夜温差与种子当日的百粒发芽数，如下表所示： 日期编号 1 2 3 4 5 6 温差 9 13 11 15 10 14 百粒发芽数 23 28 26 31 25 29 (1)根据表中的数据，计算样本相关系数（精确到0.01）； (2)求百粒发芽数关于温差的经验回归方程，并估计昼夜温差为时，这种植物种子当日的百粒发芽数． 参考公式：相关系数， ，， 参考数据：，，，． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据条件，直接计算，即可求解； （2）根据条件，直接求出，即可求出线性回归方程，再将代入，即可求解. 【详解】（1）相关系数． （2）由题意得，， 所以，， 所以所求的经验回归方程是， 当时，， 故当昼夜温差为时，这种植物种子当日百粒发芽数为． 17．某校为了解高三学生每天的作业完成时长，在该校高三学生中随机选取了100人，对他们每天完成各科作业的总时长进行了调研，结果如下表所示： 时长（小时） 人数（人） 3 4 33 42 18 (1)从该校高三学生中随机选取1人，估计该生可以在3小时内完成各科作业的概率； (2)从样本“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生中随机选取3人，其中共有人可以在2小时内完成各科作业，求的分布列及期望； (3)从该校高三学生（学生人数较多）中随机选取3人，其中共有人可以在3小时内完成各科作业，求的分布列和方差. 【答案】(1) (2)分布列见解析 (3)分布列见解析， 【分析】（1）根据题意计算随机事件的概率. （2）先确定的所有可能取值，然后计算对应的概率，进而得到其分布列. （3）根据二项分布求得的分布列和方差. 【详解】（1）设“从该校高三学生中随机选取1人，这个学生可以在3小时内完成各科作业”为事件， 则. （2）样本中“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生有（人）， 其中可以在2小时内完成的有3人，的所有可能取值为0，1，2，3. ，，，， 的分布列为： 期望 （3）由题意得，， ， ， ， ， ∴的分布列为： ∴. 18．某高中学校组织乒乓球比赛，经过一段时间的角逐，甲、乙两名同学进入决赛．决赛采取7局4胜制，假设每局比赛中甲获胜的概率均为，且各局比赛的结果相互独立． (1)求比赛结束时恰好打了5局的概率； (2)若前三局比赛甲赢了两局，记还需比赛的局数为X，求X的分布列及数学期望． 【答案】(1)； (2)分布列见解析，． 【难度】0.65 【知识点】利用互斥事件的概率公式求概率、写出简单离散型随机变量分布列、独立事件的乘法公式、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）根据题意求出恰好打了5局，甲获胜的概率和乙获胜的概率，再利用互斥事件的概率公式可求得结果； （2）由题意可知，X的取值范围是，然后求出相应的概率，从而可求出X的分布列及数学期望． 【详解】（1）比赛结束时， 恰好打了5局，甲获胜的概率为， 恰好打了5局，乙获胜的概率为， 所以比赛结束时恰好打了5局的概率为； （2）由题意可知，X的取值范围是． ， ， ， 所以X的分布列如下： X 2 3 4 P 数学期望． 19．分布式计算是一种计算模式，是通过将计算任务分散到多个计算节点上进行处理，这些节点通过网络协同工作，实现大规模计算任务的高效执行．某公司使用分布式计算系统处理任务，每个任务由一个节点或多个节点独立完成，各个节点处理每个任务成功与否互不影响． (1)若某任务由3个节点各自独立完成，每个节点处理该任务成功的概率均为0.5，求恰好有2个节点处理该任务成功的概率； (2)若某任务由60个节点各自独立完成，且每个节点处理该任务成功的概率均为0.6，若处理该任务成功的节点数为k（）的概率最大，求k的值； (3)若公司现有n个任务，为提高效益，考虑两种优化方案： 方案A：每个任务由两个节点同时处理，且每个节点处理各个任务成功的概率均为0.6，每个节点处理各个任务的成本均为10元，每个任务至少有一个节点处理成功则可获得收益35元，否则收益为0元； 方案B：每个任务由一个节点处理，且每个节点处理各个任务成功的概率均提升至0.7，每个节点处理各个任务的成本均由原来的10元提升到16元，每个任务处理成功则可获得收益35元，否则收益为0元 根据这两个方案利润的期望值判断哪个方案更优？（利润＝收益－成本） 【答案】(1) (2) (3)方案A更优 【分析】（1）由题意可得随机变量服从二项分布，利用其概率公式建立方程，可得答案； （2）由题意可得随机变量服从二项分布，利用其概率公式建立不等式组，可得答案； （3）根据二项分布的数学期望计算，可得答案. 【详解】（1）设3个节点中处理任务成功的节点个数为，则， 所以．即恰好有2个节点成功处理任务的概率为． （2）由（1）知，60个节点中处理任务成功的节点个数， 若每次处理任务成功的节点数为时概率最大，则， 解得，因为，所以． （3）若采用方案A，则每个任务至少有一个节点处理成功的概率， 所以处理任务成功数， 则处理任务成功的节点数的期望． 所以利润的期望． 若采用方案B：则处理任务成功数，则处理任务成功的节点数的期望， 所以利润的期望． 因为，所以方案A更优． 第 4 页 共 4 页 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青州一中高二第一次段考数学试题 一、单选题 1.已知，是不重合的直线，是不重合的平面，则下列说法正确的是(     ) A. 若，则 B. ，则 C. 若，则 D. ，则 2.在空间直角坐标系中，，点关于轴的对称点为，则(     ) A. B. C. D. 3.如图，正方体的棱长为，是线段上的点，且，则点的坐标为(     ) A. B. C. D. 4.已知，，，如、、三个向量不能构成空间直角坐标系上的一组基底，则实数为（   ） A． B． C． D． 5.如图所示，点是二面角棱上的一点，分别在，平面内引射线，，若，，则二面角的大小为 (     ) A. B. C. D. 6.已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为平行四边形，M，N分别为棱BC，PD上的点，，PN＝ND，设，，，则向量用为基底表示为（　　） A. B． C. D． 7.如图，是直三棱柱，，点、分别是、的中点，若，则与所成角的余弦值是(     ) A. B. C. D. 8.已知正方体的棱长为，、是棱、的中点，点为底面四边形内包括边界的一动点，若直线与平面无公共点，则点的轨迹长度为(     ) A. B. C. D. 二、多选题 9.以下命题正确的是(     ) A. 两个不同平面，的法向量分别为，，则 B. 若直线的方向向量，平面的一个法向量，则 C. 已知，，若与垂直，则实数 D. 已知，，三点不共线，对于空间任意一点，若，则，，，四点共面 10.如图，在四面体中，点分别是棱的中点，截面是正方形，则下列结论正确的为(     ) A. 截面 B. 异面直线与所成的角为 C. D. 平面 11.如图，正方体的棱长为1，是的中点，则（   ）  A． B．三棱锥的体积为 C．若在底面内（包含边界）运动，且满足，则动点的轨迹的长度为 D．由三点确定的平面与正方体相交形成的截面周长为 三、填空题 12.已知直线的方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成的角是           ． 13.如图所示，在直三棱柱中，，、分别为棱、的中点，则            ． 14.如图，质点从正方体的顶点出发，沿正方体的棱运动，每经过一条棱称之为一次运动，第一次运动经过，第二次运动经过，第三次运动经过，且对于任意的正整数，第次运动所经过的棱与第次运动所经过的棱所在的直线是异面直线，则经过次运动后，点到达的顶点为          点． 四、解答题 15.本小题分已知，. (1)若()∥()，求x，y的值； (2)若，且，求x的值. 16.本小题分如图，在三棱柱中，，分别是，上的点，且，设，，． 试用，，表示向量； 若，，，求线段的长． 17.本小题分已知三棱锥中，，，，分别为棱，的中点，且平面平面，平面平面． （1）求证：； （2）求证：平面平面． 18.本小题分如图，在三棱柱中，若G，H分别是线段AC，DF的中点. (1)求证：； (2)在线段CD上是否存在一点，使得平面平面BCF，若存在，指出的具体位置并证明；若不存在，说明理由. 19.如图，在四棱锥中，平面平面，且．四边形满足．为侧棱上的任意一点，且平面与侧棱交于点． (1)求证：平面平面； (2)设直线与平面所成的角为，求的最大值； (3)是否存在点，使得直线与平面垂直？若存在，写出证明过程并求出线段的长；若不存在，请说明理由． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $