第17讲 y=Asin (ωx+φ) 与三角函数应用（9典例精讲+课后作业）讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦y=Asin(ωx+φ)的图像变换（相位、周期、振幅）、参数物理意义、性质（五点法、对称性）及应用，构建从基础变换到函数性质再到几何、生活、物理实际建模的学习支架。 资料通过9大题型典例精讲、6大易错点总结及实际案例（如摩天轮、潮汐），培养数学眼光观察周期现象，数学思维用整体换元解题，数学语言建立模型。课中辅助教学，课后助学生查漏补缺。

第17讲 y=Asin (ωx+ ) 与三角函数应用 （9典例精讲+课后作业） 【题型一】相位变换及解析式特征 【题型六】结合三角函数的图象变换求三角函数的性质 【题型二】周期变换及解析式特征 【题型七】几何中的三角函数模型 【题型三】振幅变换及解析式特征 【题型八】三角函数在生活中的应用 【题型四】描述正(余)弦型函数图象的变换过程 【题型九】三角函数在物理学中的应用 【题型五】求图象变化前(后)的解析式 【知识点01】匀速圆周运动的数学模型 匀速圆周运动是三角函数周期模型的物理本源，其径向投影运动可完美用正弦型函数刻画，是 y=Asin (ωx+ )的几何原型。 设定：质点在平面内做匀速圆周运动，圆周半径为 ，角速度为，初始时刻（）辐角为 ，运动时间为变量 。 1. 任意时刻辐角公式： 2. 竖直方向位移（正弦模型）： 3. 水平方向位移（余弦模型）： 参数物理意义： ：振幅，圆周运动半径，对应振动最大偏移量； ：角速度，决定运动周期快慢； ：初相位，描述质点初始位置； 周期 ：质点完成一周运动的时间，。 【知识点02】函数y=Asin (ωx+ ) 的图象与核心性质 1. 基础参数计算公式 振幅： 平衡中线： 周期与角频率： 初相：，由函数初始位置、定点坐标唯一确定。 2. 函数基本性质 定义域：，值域： 最小正周期： 对称性：整体换元推导对称轴、对称中心，无固定公式，需结合整体法求解。 3. 五点作图法（必考核心） 将 视为整体，取一个周期内五个基准点： 依次反解 的值，对应得到函数五个关键点，平滑连线即可画出一个周期完整图像。 4. 函数图像变换规律（两类变换） 核心准则：所有平移、伸缩变换，仅针对自变量 本身，不针对 整体。 路径1：先平移、后伸缩 路径2：先伸缩、后平移（高频易错） 结论：先伸缩后平移时，平移量为 ，绝非 。 【知识点03】三角函数的实际应用 所有具有周期性波动变化的实际问题，统一建模为标准正弦型函数： 参数实际意义： 为波动幅度， 为平衡基准值， 控制变化周期， 匹配初始状态。 常见应用场景： 1. 自然周期：气温昼夜变化、潮汐涨落、昼夜时长变化； 2. 物理运动：单摆振动、弹簧简谐运动、交变电流、声波波动； 3. 生活工程：周期性转速、波动型数据拟合。 标准化建模四步法： ① 由最值求 ；② 由周期求 ；③ 由定点坐标求 ；④ 代入验证、求解实际问题。 易错点1：图像平移伸缩变换混淆 先伸缩后平移易错直接平移 ，必须提取 系数，平移量为 ；所有变换只针对自变量 ，与整体无关。 易错点2：参数周期关系理解错误 越大，函数周期越小，图像压缩越密集； 越小，周期越大，图像越舒展，极易记反。 易错点3：初相求解多解、错解 求 优先代入图像最高点、最低点，避免代入零点；零点会出现多解，无法锁定唯一初相。 易错点4：实际建模遗漏平衡量 潮汐、气温、振动等实际问题存在基准平衡位置，必须添加常数 ，直接使用 会导致模型完全错误。 易错点5：五点法取值误区 五点法必须将 视为整体取五点，不能直接对自变量 取值，是作图、求单调区间的核心失分点。 易错点6：圆周运动模型混用 竖直位移对应正弦函数，水平位移对应余弦函数，场景匹配错误会直接导致建模解题失败。 【题型一】相位变换及解析式特征 【典例1-1】（24-25高一下·山西吕梁·阶段检测）要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度 【答案】D 【分析】利用三角函数图象变换可得结论. 【详解】因为， 为了得到函数的图象，只需将函数的图象向右平行移动个单位长度. 故选：D. 【变式1-1】（24-25高一下·甘肃临夏·阶段检测）函数在一个周期内的图象可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】函数的图象可由向左平移个单位得到，结合周期可得结论. 【详解】因为， 所以函数的图象可由向左平移个单位得到， 又最小正周期为，所以只有C符合. 故选：C. 【变式1-2】将函数的图象向右平移m个单位，得到函数图象关于y轴对称，则m的最小值为______． 【答案】 【分析】根据三角函数平移变换规定得到，知其为偶函数，故图象应经过，结合正弦函数的图象与性质即可求得的范围即得. 【详解】由函数的图象向右平移m个单位得到函数：的图象， 因的图象关于y轴对称，故有，则有，解得：， 因，故当且仅当时，m的最小值为. 故答案为：. 【变式1-3】（多选）要得到函数的图像，只需将函数的图像（    ） A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】AD 【分析】假设平移个单位长度可得到，则，然后根据三角函数的图象性质确定出的取值及平移的方向即可. 【详解】假设将函数的图象平移个单位可得到的图象，则平移后的解析式为，根据题意只需满足即可，故时，，即向左平移个单位长度，故A符合； 当时，，即向右平移个单位长度，故D符合. 故选：AD. 【点睛】本题考查三角函数图象的平移变换，注意将函数图象向左或向右平移个单位长度时，解析式变为，而不是. 【题型二】周期变换及解析式特征 【典例2-1】要得到的图象，只需把的图象上的所有点（    ） A．横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变 B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 C．纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变 D．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 【答案】A 【分析】根据三角函数图象变换的知识，从变为，得到横坐标伸长到原来的倍，由此得出正确选项. 【详解】从变为，三角函数周期变为原来的倍，故横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变得到. 故选：A 【点睛】本小题主要考查三角函数图象变换，属于基础题. 【变式2-1】（25-26高一下·全国·课堂例题）为了得到函数 y＝sin的图象，需将函数 y＝sin的图象（    ） A．纵坐标变为原来的 3 倍，横坐标不变 B．横坐标变为原来的 3 倍，纵坐标不变 C．横坐标变为原来的，纵坐标不变 D．纵坐标变为原来的，横坐标不变 【答案】C 【分析】由题意利用函数的图象变换规律，得出结论． 【详解】将函数的图象横坐标变为原来的倍，纵坐标不变， 即可得到函数的图象， 故选：C． 【变式2-2】要得到函数的图象，只需要将函数的图象上各点（    ） A．横坐标缩短为原来的，纵坐标不变 B．纵坐标缩短为原来的，横坐标不变 C．横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变 D．纵坐标伸长为原来的倍，横坐标不变 【答案】A 【分析】根据正弦型三角函数的周期关系，确定伸缩变换的比例即可得结论. 【详解】因为的最小正周期，函数最小正周期， 所以，则横坐标缩短为原来的，纵坐标不变. 故选：A. 【变式2-3】（多选）要得到的图象，可以将函数图象上所有的点（    ） A．向右平移个单位，再把横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 B．向右平移个单位，再把横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 C．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位 D．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位 【答案】BC 【分析】根据三角函数图象平移规律可得答案. 【详解】将图象上所有点向右平移个单位得到的图象， 再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变， 得到的图象，故B正确，A错误； 将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变得到的图象，再将图象上所有点向右平移个单位得到的图象，故C正确，D错误； 故选：BC. 【题型三】振幅变换及解析式特征 【典例3-1】将函数的图像上各点的纵坐标缩短到原来的，横坐标不变，则所得图像对应的函数为 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据图像的变换原则即可得到结果 【详解】由题,将函数的图像上各点的纵坐标缩短到原来的,横坐标不变,即得到, 故选：B 【点睛】本题考查三角函数图像变换,属于基础题 【变式3-1】函数的图象可看成是由的图象按下列哪种变换得到（    ） A．横坐标不变，纵坐标变为原来的 B．纵坐标变为原来的3倍，横坐标变为原来的 C．横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍 D．纵坐标变为原来的，横坐标变为原来的3倍 【答案】B 【分析】根据函数与的关系，是要经过两种变换得来，其中振幅变换影响的是的值，是周期变换，也就是图像上每个点的横坐标要进行伸缩变换即可得到答案. 【详解】解：将图像上每个点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，则函数变为，在此基础上，再将这个函数图像上的每个点的纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变，就得到. 故选：B. 【点睛】本题主要考查三角函数图像的变换，关键是要弄清这几种变换是怎么进行的，属于中档题. 【变式3-2】将y＝sin2x的图像上的所有点的纵坐标都变为原来的倍，得到____________的图像. 【答案】 【分析】根据正弦型函数的图像变换的性质进行求解即可. 【详解】将y＝sin2x的图像上的所有点的纵坐标都变为原来的倍，得到的图像， 故答案为： 【点睛】本题考查了正弦型函数图像的变换性质的应用，属于基础题. 【变式3-3】将函数的图像上所有点的横坐标保持不变，纵坐标_________（填“伸长”或“缩短”）为原来的____________倍，将会得到函数的图像. 【答案】 伸长 【分析】由题意得到，所以是纵坐标伸长为原来的3倍，得到答案. 【详解】因为， 故将函数图像上所有点的横坐标保持不变， 纵坐标伸长为原来的倍， 即可得到函数的图像. 【点睛】本题考查正弦型函数的纵坐标的伸缩变换，属于简单题. 【题型四】描述正(余)弦型函数图象的变换过程 【典例4-1】（25-26高一下·江西赣州·期中）为得到函数的图象，只需将函数的图象向（    ） A．左平移个单位长度 B．右平移个单位长度 C．左平移个单位长度 D．右平移个单位长度 【答案】C 【详解】由，故只需将函数的图象向左平移个单位长度得到. 【变式4-1】（25-26高一下·广东茂名·期中）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点（   ） A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 【答案】D 【详解】∵ 目标函数为，可变形为，此式是将中的替换为得到. ∴ 要得到的图象，只需将的图象上所有点向左平移个单位长度. 【变式4-2】（25-26高一下·湖北·期中）为了得到函数的图像，可以将函数的图象上（   ） A．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位 B．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位 C．每个点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，再向右平移个单位 D．每个点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，再向左平移个单位 【答案】B 【详解】将函数的图象上每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，可以得到， 再向右平移个单位，得到. 【变式4-3】（多选）（25-26高一下·辽宁朝阳·期中）要得到函数的图像，只需将函数的图像（    ） A．先向右平移个单位长度，再将横坐标扩大为原来的3倍 B．先向左平移个单位长度，再将横坐标扩大为原来的3倍 C．先将横坐标扩大为原来的3倍，再向左平移个单位长度 D．先将横坐标扩大为原来的3倍，再向右平移个单位长度 【答案】BC 【分析】利用三角函数的平移伸缩变换即可求解． 【详解】对于A，先向右平移个单位长度，得到， 再将横坐标扩大为原来的3倍得到，故A错误； 对于B，先向左平移个单位长度，得到 ， 再将横坐标扩大为原来的3倍得到，故B正确； 对于C，先将横坐标扩大为原来的3倍，得到， 再向左平移个单位长度得到 ，故C正确． 对于D，先将横坐标扩大为原来的3倍，得到， 再向右平移个单位长度，得到，故D错误． 【题型五】求图象变化前(后)的解析式 【典例5-1】（25-26高一下·甘肃酒泉·期末）将函数的图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度，得到的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】将的图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变可得， 再向右平移个单位长度，得到的函数解析式为 【变式5-1】（25-26高一下·湖南娄底·开学考试）将函数的图象横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变）后，所得图象对应的函数为______． 【答案】 【详解】函数的图象横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变）后， 所得图象对应的函数为. 【变式5-2】（多选）将函数的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图像向左平移个单位，得到的图像对应的解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据题意，由三角函数的图像变换即可得到变换之后的函数解析式，从而得到结果. 【详解】由题意可得，将函数图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）可得函数，再将所得的图像向左平移个单位，可得函数，即，且 . 故选：BC 【变式5-3】（25-26高一下·广东珠海·期中）已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式，并求出的对称轴； (2)先把的图象向右平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数的图象，请写出的解析式，并求出在上的最大值和最小值. 【答案】(1)，对称轴方程为，. (2)，最小值，最大值 【分析】（1）根据图象可得，再由周期可求出，再代入点坐标可求得解析式，即可求得对称轴方程； （2）利用图象平移规则求出的解析式，再由函数单调性可求得最大值和最小值. 【详解】（1）由图象可知，设函数的最小正周期为， 则，故，又，所以， 将点代入，得，即， 所以，，即，， 又，故， 所以， 令，，得的对称轴方程为，. （2）先把的图象向右平移个单位得到的图象对应的解析式为， 再向下平移1个单位，得到的图象对应的解析式为， ，则， ∴当，即时，取得最小值，此时； ∴当，即时，取得最大值，此时； 【题型六】结合三角函数的图象变换求三角函数的性质 【典例6-1】（24-25高一上·黑龙江大庆·期末）已知函数的最小正周期是，将的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若为偶函数，则正实数的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据辅助角公式，把函数化为正弦型函数，利用周期计算公式，和偶函数性质求得. 【详解】因为函数， 函数的最小正周期是且，则，解得， 所以 将的图象向右平移个单位后得到函数的图象， 则， 若为偶函数，则，， 解得，，可知当时，正实数取得最小值. 故选：A. 【变式6-1】若函数的图象向左平移后，得到的函数图象与的图象重合，则的最小值为______________． 【答案】3 【分析】先求出平移后的函数图象，再依据图象重合列出方程求解即可. 【详解】的图象向左平移得到, 因为图象重合，所以, 即, 因为,所以的最小值为3. 故答案为：3. 【变式6-2】（多选）将函数的图象向左平移个单位长度后对应的函数为奇函数，则的可能取值为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】AC 【分析】根据三角恒等变换的化简可得，利用三角函数图象的平移变换可得奇函数，结合函数的奇偶性计算即可求解. 【详解】 ， 的图象向左平移个单位长度后得 的图象， 又函数为奇函数，所以， 解得.所以的值可能为. 故选：AC 【变式6-3】已知函数. (1)求的最大值及相应的取值； (2)若把的图象向左平移个单位长度得到的图象，求在上的单调递增区间. 【答案】(1)时，取得最大值. (2). 【分析】（1）化简函数，然后结合三角函数函数的性质判断函数最值； （2）根据“左加右减”平移函数图像，然后整体代入求解函数的单调递增区间； 【详解】（1）因为 所以当， 即时，取得最大值. （2）， 由， 得:， 取得：在上的单调递增区间为 【题型七】几何中的三角函数模型 【典例7-1】《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大的正方形，若下图中所示的角为α，且小正方形与大正方形面积之比为1∶5，则tanα的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】方法一: 用直角三角形较短的直角边长x及α表示出大小正方形边长,由小正方形与大正方形面积之比为1∶5求得后再求tanα的值. 方法二: 设较长直角边边长为x，小正方形边长为a，大正方形的边长为b，由小正方形与大正方形面积之比为1∶5及直角三角形边关系求得,进一步求tanα的值. 【详解】方法一：设直角三角形较短的直角边长为x，由于， 则较长直角边长为，所以小正方形的边长为，大正方形的边长为， 因为小正方形与大正方形面积之比为1∶5， 所以，所以， 所以 ， 由于，解得． 方法二：设较长直角边边长为x，小正方形边长为a，大正方形的边长为b， ，∴，，， ∴，， 故选：D． 【变式7-1】如图，学校有一块矩形绿地，且，现准备在矩形空地中规划一个三角形区域开挖池塘，其中分别在边上，若则面积的最小值为___________. 【答案】 【分析】设，分别求得，再根据，转化为，利用三角函数的性质求解. 【详解】设， 由题意得：， 则， ， ， ， ， ， ， 当即时 取得最小值，最小值为 故答案为： 【变式7-2】第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的，会标是四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为，大正方形的面积，直角三角形中较大的锐角为，则______. 【答案】 【分析】设直角三角形的两直角边长为，，则，解出，利用同角的三角函数公式即可得出. 【详解】设直角三角形的两直角边长为，， 则，解得， ∴，， ∴. 故答案为：. 【点睛】本题考查三角函数同角公式的应用，考查数形结合思想，属于常考题. 【变式7-3】如图，在扇形中，半径，圆心角，是扇形弧上的动点，矩形内接于扇形，记，求当取何值时，矩形的面积最大？并求出最大面积． 【答案】，矩形的面积最大，为． 【分析】由题意可得，，从而可得矩形的面积，再由可得，由此可得当时，取得最大值. 【详解】在中，，， 在中，， 所以， 所以， 设矩形的面积为，则 ， 由，得， 所以当，即时，， 因此，当时，矩形的面积，最大面积为. 【题型八】三角函数在生活中的应用 【典例8-1】（25-26高一上·福建福州·期末）天上有些恒星的亮度是会变化的，其中一种称为造父变星，本身体积会膨胀收缩造成亮度周期性的变化．如图所示为一造父变星的亮度（用“视星等”衡量）随时间（单位：天）的变化记录图，视星等越小，亮度越高．由记录图可知，从第7天开始计算，该星的亮度首次达到最高时，大约需要经过的天数是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】明确视星等与亮度关系，确定找亮度最高即视星等最小处. 【详解】观察图象可知，在第7天之后，视星等首次达到最小值的位置对应的横坐标大约在第11天， 所以从第7天开始到大约第11天，经过的天数为4天. 故选：B. 【变式8-1】（25-26高一上·甘肃武威·期末）如图，已知摩天轮的半径为60米，其中心距地面的距离为70米，摩天轮按逆时针方向匀速转动，每36分钟转一圈，摩天轮上点的起始位置在最高点处.则摩天轮转动12分钟后点距离地面（     ）    A．40米 B．110米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】设函数的表达式，即可根据周期以及最值点求解参数值，进而得函数表达式，代入即可求解. 【详解】设转动过程中，点离地面距离的函数为， 由题意得：，，，， 又，即，故，， 所以， 所以， 即摩天轮转动12分钟后点距离地面40米. 故选:A. 【变式8-2】广安五一公园的摩天轮的最高点离地面160米，直径为156米，并以每30分钟一周的速度匀速旋转，若摩天轮某座舱B经过最低点A开始计时，则10分钟后B离地面的高度为______米. 【答案】121 【分析】依题意求出摩天轮的角速度和相关量，得到摩天轮座舱B离地面的高度关于时间分钟的函数解析式，代值计算即得. 【详解】如图，以为原点，如图所示建立平面直角坐标系，由题意知分钟后摩天轮座舱B离地面的高度为, 因摩天轮的角速度rad/min，, 则，故. 故答案为：. 【变式8-3】如图，某港口一天从6时到18时的水深变化曲线近似满足函数其中，. (1)试确定，，的值； (2)请估计在上午9点钟时，港口水深是多少米？并求出一天中港口水深的最大值是多少？ 【答案】(1)，，． (2)一天中港口水深的最大值是8米． 【分析】（1）利用图像的周期特征求出，结合五点法相位关系求出，再由函数最小值求出，确定三角函数解析式的全部参数； （2）将代入已求得的解析式计算对应水深，再根据正弦函数的最大值求出港口一天中的最大水深. 【详解】（1）根据函数在上的图像，可知，且得，解得； 由五点法作图原理得，，且，解得； 又，解得． 综合可知，，． （2）由（1）知，函数； 则当时，，即在上午9点钟时，港口水深大约是米． 易得，即一天中港口水深的最大值是8米． 【题型九】三角函数在物理学中的应用 【典例9-1】（25-26高一下·全国·课堂例题）如图是一个向右传播的绳波在某一时刻绳子上各点的位置图，经过周期后，乙的位置将移至（    ） A．x轴上 B．最低点 C．最高点 D．不确定 【答案】C 【分析】由相邻最高点与最低点的横坐标相差半个周期即可求得答案. 【详解】相邻最高点与最低点的横坐标相差半个周期，而乙在最低点， 所以经过周期后，乙的位置将移至最高点. 故选：C 【变式9-1】（25-26高一下·四川南充·阶段检测）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度（单位：厘米）由关系式确定，其中，小球从最低点出发，经过秒后，第一次回到最低点，则下列说法中正确的是（   ） A． B．秒与秒时小球偏离平衡位置的距离之比为 C．当秒时，小球正在向上运动 D．当时，若小球有且仅有四次到达最高点，则 【答案】D 【分析】根据周期求出，代入得到，从而得到函数解析式，即可判断A，代入求值判断B，利用特殊值判断C，根据正弦函数的性质判断 D. 【详解】由题，小球运动的周期，又，所以，解得， 当时，，即，，有，则，故A错误； 因为， 所以秒与秒时小球偏离平衡位置的距离之比为，故B错误； 因为小球运动的周期，所以小球在秒的运动状态等价于小球在秒的运动状态 当秒时，，当时，，故小球正在向下运动，故C错误； 若，则，又当时，小球有且仅有四次到达最高点， 所以，解得，即，故D正确； 【变式9-2】若电流I（单位：A）与时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示．则函数的最小正周期为______，当时的电流为______A． 【答案】 /0.02 0 【分析】由题可得该函数的最小正周期是，然后利用函数的周期性可得函数值. 【详解】由图象，可知该函数的最小正周期是， 设，由函数的最小正周期是， 可知， 故时的电流是0A． 故答案为：；0. 【变式9-3】如图，挂在弹簧下方的小球做上下振动，小球在时间t（单位：s）时相对于平衡位置（即静止的位置）的高度为h（单位：cm），由下列关系式决定：，以横轴表示时间，纵轴表示高度，画出这个函数在一个周期的闭区间上的简图，并回答下列问题    (1)小球开始振动时的位置在哪里？ (2)小球位于最高、最低位置时h的值是多少？ (3)经过多长时间小球振动一次（即周期是多少）？ (4)小球每1s能往复振动多少次（即频率是多少）？ 【答案】(1)位置在处，即平衡位置上方处； (2)最高、最低位置时的分别为2，； (3) (4)每秒钟小球能往复振动次. 【分析】（1）根据函数的解析式，即可作出其一个周期上的图象，令，即可求得小球在开始振动（即）时的位置在哪里. （2）根据函数的最大值和最小值，即可求得答案； （3）求出函数的周期，即得答案； （4）根据函数的频率为周期的倒数，即得答案. 【详解】（1）作出函数在一个周期的闭区间上的图象如图，    当时，，即小球在开始振动（即）时的位置在处，即平衡位置上方处； （2）的最大值为2，最小值为， 则小球的最高、最低位置时的分别为2，； （3）由于，故经过小球振动一次； （4）每秒钟小球能往复振动次. 1. 模型本质：匀速圆周运动投影是正弦型函数的物理原型，所有周期波动问题均可统一为 模型。 2. 参数解题口诀：最值定振幅基线，周期定频率，定点定初相，整体求性质。 3. 图像变换核心：平移伸缩只改，先伸后移必除 ，杜绝整体变换错误。 4. 解题通用方法：五点法画图像、整体换元求单调/最值、四步法解决实际建模问题。 5. 应试避坑重点：实际问题必带基线 、求初相优选最值点、变换规则牢记自变量优先。 一、单选题 1．把函数的图像向右平移个单位，所得的图像正好关于轴对称，则的最小正值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出平移后的函数解析式为，再根据函数的奇偶性，得到，即可解得. 【详解】由题意可得平移后所得图像对应的函数为偶函数， ∴ ∴. ∵，∴. 故选:. 2．（25-26高一下·北京·期末）将函数的图象沿轴向右平移个单位，得到函数的图象，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】将函数的图象沿轴向右平移个单位，得到函数的图象. 3．（25-26高一下·四川成都·阶段检测）为了得到的图象，可以将函数的图象上（     ） A．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位 B．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位 C．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位 D．每个点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位 【答案】A 【分析】依据正弦函数图象的伸缩、平移变换规则，判断即可. 【详解】将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，得到函数的图象. 再向左平移（）个单位，平移后的函数解析式为. 令，解得， 故将函数的图象上每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位，即可得到的图象. 4．（25-26高一下·湖北·期中）如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计时，则下列说法错误的是（   ） A．点P距离水面的高度h（米）与时间t（秒）之间的函数解析式为 B．点P第一次到达最高点需要20秒 C．当水轮转动95秒时，点P距离水面1米 D．当水轮转动50秒时，点P在水面下方，距离水面2米 【答案】C 【分析】根据题意求出点距离水面的高度（米）与时间（秒）之间的函数解析式为，结合选项依次判断即可. 【详解】设点距离水面的高度为（米）与时间（秒）之间的函数解析式为，， 由题意，， 所以，解得， 因为，所以， 则， 当时，，所以，则， 又，则， 综上，，故A正确； 令，则， 令，得秒，故B正确； 当秒时，米，故C错误； 当秒时，米，故D正确. 二、多选题 5．为了得到函数的图象，只要将函数的图象（    ） A．所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度 B．所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度 C．向左平移个单位长度，纵坐标不变，再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 D．向左平移个单位长度，纵坐标不变，再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来 【答案】AC 【分析】根据函数图象的变换法则，从两种方式：先平移后伸缩，先伸缩后平移，进行考虑，即可． 【详解】对于A和B，将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到的图象，再将其向左平移个单位长度，得到，故A正确，B错误； 对于C和D，将函数的图象向左平移个单位长度，纵坐标不变，得到的图象，再将所有点的横坐标缩短到原来的，得到，故C正确，D错误． 故选：AC． 6．（25-26高一下·江西赣州·阶段检测）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1.假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.为研究筒车的运动情况，将筒车抽象为一个以原点为圆心，为半径的圆，某盛水筒抽象为圆上的点，如图2.设筒车按逆时针方向每旋转一周用时100秒，当点位于初始点时记为秒，在筒车旋转秒的过程中，点的纵坐标满足，则下列叙述正确的是（    ） A．筒车转动的角速度 B． C．当秒时，点和初始点的距离为 D．当秒时，点距离轴的最大值为 【答案】ACD 【分析】对于A，根据角速度与周期的关系求出；对于B，代入点求出，进而求出解析式；对于C，将代入解析式求出点坐标，根据距离公式求解；对于D，代入已知条件根据正弦函数的性质求最值. 【详解】对于A，因为筒车按逆时针方向每旋转一周用时100秒， 所以，故A正确； 因为当时，盛水筒位于点，则， 所以有，所以， 因为，所以，故B错. 即， 对于C，可知盛水筒的纵坐标为， 设它的横坐标为，所以有， 因为筒车旋转秒时，所以此时盛水筒在第三象限，故， 盛水筒和初始点的距离为，故C对； 对于D，因为， 所以， 所以筒车在秒的旋转过程中，盛水筒最高点到轴的距离是，故D对. 三、填空题 7．（25-26高一下·全国·课后作业）将图象上所有点的横坐标变为原来的，得到函数_____________的图象． 【答案】 【分析】利用三角函数伸缩变换法则，即可得到函数解析式. 【详解】将横坐标变为原来的，则会得到函数的图象． 故答案为：. 8．（2026高一·全国·专题练习）将函数的图像向左平移个单位，再将所得图像上的各点的横坐标变为原来的倍，得到函数的图像，若在单调递增，则的取值范围为______. 【答案】 【分析】先由图像变换得到的解析式，再根据在单调递增求出的范围. 【详解】因函数的图像向左平移个单位，所得函数为，再将所得函数图像上的点的横坐标变为原来的倍，得到函数的图像. 所以，令，， 解得，，又在单调递增， 所以，且，解得且，又， 解得，. 四、解答题 9．（25-26高一下·浙江杭州·期中）已知函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图像．记，求在上的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数图像依次确定，，的值，从而得出函数解析式； （2）根据三角函数恒等变换，将函数化简，结合正弦函数的图像和性质，即可求出函数在上的值域. 【详解】（1）由图可得，，， ，，则， 又，则， 解得，， ，，； （2）由题意得， ． ，，则当时，取得最小值为， 当时，取得最大值为，的取值范围为. 10．（25-26高一下·辽宁大连·期中）如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，是扇形弧上的动点，记，过点作的垂线，垂足为． (1)请用，表示平行四边形中线段，的长度； (2)请用，表示平行四边形的面积； (3)若，求平行四边形面积的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用三角函数定义结合图形即可求得； （2）利用（1）中结论列式即得； （3）借助三角恒等变换公式可用表示出平行四边形面积，结合范围与正弦函数的性质即可得解. 【详解】（1）由图知，在中，，， 在中，易得，则，则， 所以； （2）； （3）若，由题意可得， 则 ， 由于，故， 则，所以， 所以平行四边形面积的取值范围为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第17讲 y=Asin (ωx+ ) 与三角函数应用 （9典例精讲+课后作业） 【题型一】相位变换及解析式特征 【题型六】结合三角函数的图象变换求三角函数的性质 【题型二】周期变换及解析式特征 【题型七】几何中的三角函数模型 【题型三】振幅变换及解析式特征 【题型八】三角函数在生活中的应用 【题型四】描述正(余)弦型函数图象的变换过程 【题型九】三角函数在物理学中的应用 【题型五】求图象变化前(后)的解析式 【知识点01】匀速圆周运动的数学模型 匀速圆周运动是三角函数周期模型的物理本源，其径向投影运动可完美用正弦型函数刻画，是 y=Asin (ωx+ )的几何原型。 设定：质点在平面内做匀速圆周运动，圆周半径为 ，角速度为，初始时刻（）辐角为 ，运动时间为变量 。 1. 任意时刻辐角公式： 2. 竖直方向位移（正弦模型）： 3. 水平方向位移（余弦模型）： 参数物理意义： ：振幅，圆周运动半径，对应振动最大偏移量； ：角速度，决定运动周期快慢； ：初相位，描述质点初始位置； 周期 ：质点完成一周运动的时间，。 【知识点02】函数y=Asin (ωx+ ) 的图象与核心性质 1. 基础参数计算公式 振幅： 平衡中线： 周期与角频率： 初相：，由函数初始位置、定点坐标唯一确定。 2. 函数基本性质 定义域：，值域： 最小正周期： 对称性：整体换元推导对称轴、对称中心，无固定公式，需结合整体法求解。 3. 五点作图法（必考核心） 将 视为整体，取一个周期内五个基准点： 依次反解 的值，对应得到函数五个关键点，平滑连线即可画出一个周期完整图像。 4. 函数图像变换规律（两类变换） 核心准则：所有平移、伸缩变换，仅针对自变量 本身，不针对 整体。 路径1：先平移、后伸缩 路径2：先伸缩、后平移（高频易错） 结论：先伸缩后平移时，平移量为 ，绝非 。 【知识点03】三角函数的实际应用 所有具有周期性波动变化的实际问题，统一建模为标准正弦型函数： 参数实际意义： 为波动幅度， 为平衡基准值， 控制变化周期， 匹配初始状态。 常见应用场景： 1. 自然周期：气温昼夜变化、潮汐涨落、昼夜时长变化； 2. 物理运动：单摆振动、弹簧简谐运动、交变电流、声波波动； 3. 生活工程：周期性转速、波动型数据拟合。 标准化建模四步法： ① 由最值求 ；② 由周期求 ；③ 由定点坐标求 ；④ 代入验证、求解实际问题。 易错点1：图像平移伸缩变换混淆 先伸缩后平移易错直接平移 ，必须提取 系数，平移量为 ；所有变换只针对自变量 ，与整体无关。 易错点2：参数周期关系理解错误 越大，函数周期越小，图像压缩越密集； 越小，周期越大，图像越舒展，极易记反。 易错点3：初相求解多解、错解 求 优先代入图像最高点、最低点，避免代入零点；零点会出现多解，无法锁定唯一初相。 易错点4：实际建模遗漏平衡量 潮汐、气温、振动等实际问题存在基准平衡位置，必须添加常数 ，直接使用 会导致模型完全错误。 易错点5：五点法取值误区 五点法必须将 视为整体取五点，不能直接对自变量 取值，是作图、求单调区间的核心失分点。 易错点6：圆周运动模型混用 竖直位移对应正弦函数，水平位移对应余弦函数，场景匹配错误会直接导致建模解题失败。 【题型一】相位变换及解析式特征 【典例1-1】（24-25高一下·山西吕梁·阶段检测）要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度 【变式1-1】（24-25高一下·甘肃临夏·阶段检测）函数在一个周期内的图象可以是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】将函数的图象向右平移m个单位，得到函数图象关于y轴对称，则m的最小值为______． 【变式1-3】（多选）要得到函数的图像，只需将函数的图像（    ） A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 【题型二】周期变换及解析式特征 【典例2-1】要得到的图象，只需把的图象上的所有点（    ） A．横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变 B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 C．纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变 D．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 【变式2-1】（25-26高一下·全国·课堂例题）为了得到函数 y＝sin的图象，需将函数 y＝sin的图象（    ） A．纵坐标变为原来的 3 倍，横坐标不变 B．横坐标变为原来的 3 倍，纵坐标不变 C．横坐标变为原来的，纵坐标不变 D．纵坐标变为原来的，横坐标不变 【变式2-2】要得到函数的图象，只需要将函数的图象上各点（    ） A．横坐标缩短为原来的，纵坐标不变 B．纵坐标缩短为原来的，横坐标不变 C．横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变 D．纵坐标伸长为原来的倍，横坐标不变 【变式2-3】（多选）要得到的图象，可以将函数图象上所有的点（    ） A．向右平移个单位，再把横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 B．向右平移个单位，再把横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 C．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位 D．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位 【题型三】振幅变换及解析式特征 【典例3-1】将函数的图像上各点的纵坐标缩短到原来的，横坐标不变，则所得图像对应的函数为 A． B． C． D． 【变式3-1】函数的图象可看成是由的图象按下列哪种变换得到（    ） A．横坐标不变，纵坐标变为原来的 B．纵坐标变为原来的3倍，横坐标变为原来的 C．横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍 D．纵坐标变为原来的，横坐标变为原来的3倍 【变式3-2】将y＝sin2x的图像上的所有点的纵坐标都变为原来的倍，得到____________的图像. 【变式3-3】将函数的图像上所有点的横坐标保持不变，纵坐标_________（填“伸长”或“缩短”）为原来的____________倍，将会得到函数的图像. 【题型四】描述正(余)弦型函数图象的变换过程 【典例4-1】（25-26高一下·江西赣州·期中）为得到函数的图象，只需将函数的图象向（    ） A．左平移个单位长度 B．右平移个单位长度 C．左平移个单位长度 D．右平移个单位长度 【变式4-1】（25-26高一下·广东茂名·期中）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点（   ） A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 【变式4-2】（25-26高一下·湖北·期中）为了得到函数的图像，可以将函数的图象上（   ） A．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位 B．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位 C．每个点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，再向右平移个单位 D．每个点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，再向左平移个单位 【变式4-3】（多选）（25-26高一下·辽宁朝阳·期中）要得到函数的图像，只需将函数的图像（    ） A．先向右平移个单位长度，再将横坐标扩大为原来的3倍 B．先向左平移个单位长度，再将横坐标扩大为原来的3倍 C．先将横坐标扩大为原来的3倍，再向左平移个单位长度 D．先将横坐标扩大为原来的3倍，再向右平移个单位长度 【题型五】求图象变化前(后)的解析式 【典例5-1】（25-26高一下·甘肃酒泉·期末）将函数的图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度，得到的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高一下·湖南娄底·开学考试）将函数的图象横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变）后，所得图象对应的函数为______． 【变式5-2】（多选）将函数的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图像向左平移个单位，得到的图像对应的解析式为（　　） A． B． C． D． 【变式5-3】（25-26高一下·广东珠海·期中）已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式，并求出的对称轴； (2)先把的图象向右平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数的图象，请写出的解析式，并求出在上的最大值和最小值. 【题型六】结合三角函数的图象变换求三角函数的性质 【典例6-1】（24-25高一上·黑龙江大庆·期末）已知函数的最小正周期是，将的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若为偶函数，则正实数的最小值是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】若函数的图象向左平移后，得到的函数图象与的图象重合，则的最小值为______________． 【变式6-2】（多选）将函数的图象向左平移个单位长度后对应的函数为奇函数，则的可能取值为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【变式6-3】已知函数. (1)求的最大值及相应的取值； (2)若把的图象向左平移个单位长度得到的图象，求在上的单调递增区间. 【题型七】几何中的三角函数模型 【典例7-1】《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大的正方形，若下图中所示的角为α，且小正方形与大正方形面积之比为1∶5，则tanα的值为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】如图，学校有一块矩形绿地，且，现准备在矩形空地中规划一个三角形区域开挖池塘，其中分别在边上，若则面积的最小值为___________. 【变式7-2】第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的，会标是四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为，大正方形的面积，直角三角形中较大的锐角为，则______. 【变式7-3】如图，在扇形中，半径，圆心角，是扇形弧上的动点，矩形内接于扇形，记，求当取何值时，矩形的面积最大？并求出最大面积． 【题型八】三角函数在生活中的应用 【典例8-1】（25-26高一上·福建福州·期末）天上有些恒星的亮度是会变化的，其中一种称为造父变星，本身体积会膨胀收缩造成亮度周期性的变化．如图所示为一造父变星的亮度（用“视星等”衡量）随时间（单位：天）的变化记录图，视星等越小，亮度越高．由记录图可知，从第7天开始计算，该星的亮度首次达到最高时，大约需要经过的天数是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式8-1】（25-26高一上·甘肃武威·期末）如图，已知摩天轮的半径为60米，其中心距地面的距离为70米，摩天轮按逆时针方向匀速转动，每36分钟转一圈，摩天轮上点的起始位置在最高点处.则摩天轮转动12分钟后点距离地面（     ）    A．40米 B．110米 C．米 D．米 【变式8-2】广安五一公园的摩天轮的最高点离地面160米，直径为156米，并以每30分钟一周的速度匀速旋转，若摩天轮某座舱B经过最低点A开始计时，则10分钟后B离地面的高度为______米. 【变式8-3】如图，某港口一天从6时到18时的水深变化曲线近似满足函数其中，. (1)试确定，，的值； (2)请估计在上午9点钟时，港口水深是多少米？并求出一天中港口水深的最大值是多少？ 【题型九】三角函数在物理学中的应用 【典例9-1】（25-26高一下·全国·课堂例题）如图是一个向右传播的绳波在某一时刻绳子上各点的位置图，经过周期后，乙的位置将移至（    ） A．x轴上 B．最低点 C．最高点 D．不确定 【变式9-1】（25-26高一下·四川南充·阶段检测）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度（单位：厘米）由关系式确定，其中，小球从最低点出发，经过秒后，第一次回到最低点，则下列说法中正确的是（   ） A． B．秒与秒时小球偏离平衡位置的距离之比为 C．当秒时，小球正在向上运动 D．当时，若小球有且仅有四次到达最高点，则 【变式9-2】若电流I（单位：A）与时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示．则函数的最小正周期为______，当时的电流为______A． 【变式9-3】如图，挂在弹簧下方的小球做上下振动，小球在时间t（单位：s）时相对于平衡位置（即静止的位置）的高度为h（单位：cm），由下列关系式决定：，以横轴表示时间，纵轴表示高度，画出这个函数在一个周期的闭区间上的简图，并回答下列问题    (1)小球开始振动时的位置在哪里？ (2)小球位于最高、最低位置时h的值是多少？ (3)经过多长时间小球振动一次（即周期是多少）？ (4)小球每1s能往复振动多少次（即频率是多少）？ 1. 模型本质：匀速圆周运动投影是正弦型函数的物理原型，所有周期波动问题均可统一为 模型。 2. 参数解题口诀：最值定振幅基线，周期定频率，定点定初相，整体求性质。 3. 图像变换核心：平移伸缩只改，先伸后移必除 ，杜绝整体变换错误。 4. 解题通用方法：五点法画图像、整体换元求单调/最值、四步法解决实际建模问题。 5. 应试避坑重点：实际问题必带基线 、求初相优选最值点、变换规则牢记自变量优先。 一、单选题 1．把函数的图像向右平移个单位，所得的图像正好关于轴对称，则的最小正值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·北京·期末）将函数的图象沿轴向右平移个单位，得到函数的图象，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·四川成都·阶段检测）为了得到的图象，可以将函数的图象上（     ） A．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位 B．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位 C．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位 D．每个点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位 4．（25-26高一下·湖北·期中）如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计时，则下列说法错误的是（   ） A．点P距离水面的高度h（米）与时间t（秒）之间的函数解析式为 B．点P第一次到达最高点需要20秒 C．当水轮转动95秒时，点P距离水面1米 D．当水轮转动50秒时，点P在水面下方，距离水面2米 二、多选题 5．为了得到函数的图象，只要将函数的图象（    ） A．所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度 B．所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度 C．向左平移个单位长度，纵坐标不变，再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 D．向左平移个单位长度，纵坐标不变，再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来 6．（25-26高一下·江西赣州·阶段检测）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1.假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.为研究筒车的运动情况，将筒车抽象为一个以原点为圆心，为半径的圆，某盛水筒抽象为圆上的点，如图2.设筒车按逆时针方向每旋转一周用时100秒，当点位于初始点时记为秒，在筒车旋转秒的过程中，点的纵坐标满足，则下列叙述正确的是（    ） A．筒车转动的角速度 B． C．当秒时，点和初始点的距离为 D．当秒时，点距离轴的最大值为 三、填空题 7．（25-26高一下·全国·课后作业）将图象上所有点的横坐标变为原来的，得到函数_____________的图象． 8．（2026高一·全国·专题练习）将函数的图像向左平移个单位，再将所得图像上的各点的横坐标变为原来的倍，得到函数的图像，若在单调递增，则的取值范围为______. 四、解答题 9．（25-26高一下·浙江杭州·期中）已知函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图像．记，求在上的值域． 10．（25-26高一下·辽宁大连·期中）如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，是扇形弧上的动点，记，过点作的垂线，垂足为． (1)请用，表示平行四边形中线段，的长度； (2)请用，表示平行四边形的面积； (3)若，求平行四边形面积的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $