第09讲 幂函数与函数应用（一）（核心知识+5易错辨析+8典例精讲+课后作业）-2026-2027学年高一数学重难点复习 + 期考讲义专项（人教A版必修第一册）

本讲义聚焦幂函数与函数应用核心知识，系统梳理幂函数定义（系数为1、底数自变量）、五大常见幂函数（正比例、二次、三次、根式、反比例）的定义域、值域、奇偶性、单调性及图像，结合奇偶性判定（有理指数互质）和单调性分析，延伸至一次、二次、分段函数应用模型及建模步骤，构建从概念到性质再到应用的学习支架。 该资料亮点在于5个易错辨析精准突破定义混淆、定义域出错等误区，培养数学思维的严谨性。8个题型含典例及变式，结合利润最大化、刹车距离等实际问题，通过数学语言构建模型，提升应用意识。课中助力教师系统授课，课后作业与口诀帮助学生巩固，查漏补缺。

第09讲 幂函数与函数应用（一） （核心知识+5易错辨析+8典例精讲+课后作业） 【题型一】求幂函数的解析式 【题型五】判断五种常见幂函数的奇偶性 【题型二】根据函数是幂函数求参数值 【题型六】由幂函数的单调性求参数 【题型三】幂函数图象的判断及应用 【题型七】利用二次函数模型解决实际问题 【题型四】判断一般幂函数的单调性 【题型八】分段函数模型的应用 【知识点01】幂函数的定义 一般地，形如 的函数叫做幂函数，其中底数是自变量，指数是常数（）。 定义核心辨析 1. 幂函数系数必须为1，形如均不是幂函数； 2. 自变量仅在底数位置，指数为固定常数，区别于指数函数； 3. 指数可为整数、分数、正数、负数，对应不同定义域与图像。 【知识点02】五大核心常见幂函数 1. 正比例函数： 定义域：，值域：；奇函数；图像为过原点的倾斜直线；在 上单调递增。 2. 二次幂函数： 定义域：，值域：；偶函数；图像为开口向上、顶点在原点的抛物线；在 单调递减，在 单调递增。 3. 三次幂函数： 定义域：，值域：；奇函数；图像关于原点对称；在 上单调递增。 4. 根式幂函数： 定义域：，值域：；非奇非偶函数；图像仅在第一象限；在 单调递增。 5. 反比例幂函数： 定义域：，值域：；奇函数；图像为双曲线，分布在一、三象限；在 分别单调递减。 【知识点03】幂函数奇偶性快速判定 对于有理指数（互质，）： 1. 奇、奇：幂函数为奇函数； 2. 偶、奇：幂函数为偶函数； 3. 偶：定义域不对称，幂函数非奇非偶。 【知识点04】函数的实际应用（一）基础模型 1. 一次函数模型：，适用于匀速变化、线性增长/减少问题； 2. 二次函数模型：，适用于最值问题、抛物型变化、面积利润最值问题。 函数建模通用步骤 审题设变量→建立函数解析式→确定实际定义域→利用函数性质求解→回归实际作答。 易错点1：幂函数定义混淆 误区：带幂次的函数都是幂函数，如、是幂函数。 正解：严格只有（系数为1）是幂函数，系数不为1均不属于幂函数。 易错点2：幂函数与指数函数混淆 误区：分不清与的函数类型。 正解：底数变量、指数常数为幂函数；底数常数、指数变量为指数函数。 易错点3：负指数幂函数定义域出错 误区：认为定义域为。 正解：负指数对应分式形式，底数不能为0，定义域必须剔除。 易错点4：单调区间滥用并集 误区：将递减区间写为。 正解：区间不连续，单调性不整体成立，必须分开书写，用逗号分隔。 易错点5：函数应用忽略实际定义域 误区：建模求解直接用解析式定义域，不考虑实际意义。 正解：实际问题中变量多为正数、整数，必须根据题意限制定义域，否则结果无实际意义。 【题型一】求幂函数的解析式 【典例1-1】（24-25高一上·河南·阶段检测）已知幂函数的图象经过点，则该函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由幂函数定义可设，由条件列方程求，可得结论. 【详解】因为函数为幂函数，故可设， 因为函数的图象过点， 所以， 所以， 所以，即. 故选：A. 【变式1-1】（25-26高一上·安徽阜阳·阶段检测）若幂函数的图象经过点，则的解析式为____. 【答案】 【分析】设幂函数，待定系数法求出解析式. 【详解】设幂函数（），因为幂函数的图象经过点， 代入得，即，则，解得，所以. 故答案为： 【变式1-2】（24-25高一上·新疆喀什·期末）已知幂函数的图象过点，求这个函数的解析式. 【答案】 【分析】设出幂函数解析式并代入点坐标即可求得结果. 【详解】设幂函数，代入点可得，解得； 所以其解析式为. 【变式1-3】（25-26高一上·江苏南通·期中）已知幂函数的图象不过原点． (1)求函数解析式； (2)若是定义在上的偶函数，当时，，求的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据幂函数的定义结合幂函数图象的特点可得出关于实数的等式或不等式，即可解出的值，由此可得出函数的解析式； （2）写出当时函数的解析式，然后设，可得，则可得出函数在时的解析式，综合可得答案. 【详解】（1）因为幂函数的图象不过原点， 所以，解得，故. （2）因为是定义在上的偶函数， 当时，， 当时，，则. 综上所述，. 【题型二】根据函数是幂函数求参数值 【典例2-1】（25-26高一上·浙江衢州·期末）幂函数图象过点，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据题意，得到，即可求得的值，得到答案. 【详解】因为幂函数图象过点，可得，解得. 故选：B. 【变式2-1】（25-26高一下·湖南衡阳·期中）若幂函数的定义域为，则实数______． 【答案】3 【详解】解：由题意得，解得或， 当时，， 此时定义域不为，故舍去； 当时，，满足题意． 【变式2-2】（多选）“为幂函数”的一个必要不充分条件是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据幂函数的定义求出的值，再结合集合的包含关系判断即可. 【详解】若函数为幂函数，则，解得或， 因为，， 所以，“为幂函数”的一个必要不充分条件是BC选项. 故选：BC. 【变式2-3】（25-26高一上·安徽·期中）已知幂函数在区间内是减函数． (1)求实数的值； (2)求方程的解集． 【答案】(1) (2). 【分析】（1）由幂函数的定义可得，从而得，从而根据单调性进行取舍最值得符合的实数的值； （2）根据幂函数解析式列方程求解即可得解集. 【详解】（1）得，，解得或， 当时，，在区间内是增函数，舍去， 当时，，在区间内是减函数，符合， 故. （2）由（1）得，则就是， 等价于， 解得或，故方程的解集是. 【题型三】幂函数图象的判断及应用 【典例3-1】（25-26高一上·云南昆明·期末）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先判断函数的定义域和值域，再根据幂函数的性质判断即可. 【详解】函数的定义域为，值域为，排除B，D选项， 又函数函数图像为曲线非直线，故C错误， A选项图像大致符合函数图像. 故选：A 【变式3-1】（25-26高一上·湖南衡阳·期中）幂函数的大致图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数的性质进行判断. 【详解】因为，所以，所以为偶函数，图象关于轴对称； 又，所以在上单调递减. 故选：C 【变式3-2】（24-25高一上·四川·期末）下列图象可能为幂函数图象的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用幂函数必过的点来判断即可. 【详解】幂函数（为常数）的性质有： 若自变量有意义，则必过原点，根据这条性质，排除A、B、C， 故D正确； 故选：D. 【变式3-3】（多选）（25-26高一上·山东枣庄·阶段检测）当时，幂函数的图象不可能经过的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】BD 【分析】根据幂函数性质确定选项. 【详解】因为经过一，三象限，经过第一象限， 经过一，三象限， 故幂函数的图象不可能经过二，四象限. 故选：BD 【题型四】判断一般幂函数的单调性 【典例4-1】（24-25高一上·山东聊城·期中）下列函数在区间上为增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】逐一判断各选项中函数的单调性即可. 【详解】对于A，函数在上单调递减，A不是； 对于B，当时，，函数在上单调递增，B是； 对于C，函数在上单调递增，则在上单调递减，C不是； 对于D，函数在上单调递减，D不是. 故选：B 【变式4-1】（24-25高一上·江苏宿迁·期末）已知幂函数图象经过点，则函数的增区间为_______. 【答案】 【分析】直接代入即可求出，则得到其增区间. 【详解】由题意得，则，则， 则其增区间为. 故答案为：. 【变式4-2】（25-26高一上·广东佛山·期末）函数的单调减区间为____________ 【答案】 【分析】先将函数化为根式形式确定定义域，判断函数的奇偶性，再根据幂函数的性质分析正半轴的单调性，结合奇偶性得出单调减区间. 【详解】函数可化为，由于分母中中，即， 因此函数的定义域， ， 故函数为偶函数，其图像关于轴对称， 幂函数的指数小于0时，在上单调递减， 又因为是偶函数，所以在上单调递增， 综上，函数的单调递减区间是， 故答案为： 【变式4-3】（25-26高一上·江西·阶段检测）已知函数是幂函数． (1)求的值； (2)判断在区间上的单调性，并用定义给出证明． 【答案】(1) (2) 由（1）可知，，则函数在区间上为增函数，证明如下： 任取、且，则，， 所以，即， 故函数在区间上为增函数. 【分析】（1）根据幂函数的定义可得出关于的等式，即可解得的值； （2）判断出在区间上为增函数，然后任取、且，作差，变形后并判断出的符号，结合函数单调性的定义可得出结论. 【详解】（1）因为函数为幂函数，则，解得. （2）略 【题型五】判断五种常见幂函数的奇偶性 【典例5-1】（25-26高一上·福建宁德·阶段检测）下列幂函数中过点，的偶函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合所过点及偶函数定义逐项判断即可得. 【详解】对A：的定义域为，故该函数不为偶函数，故A错误； 对B：令，有，，定义域为， 且，故该函数为偶函数，故B正确； 对C：的定义域中不含，不过点，故C错误； 对D：令，定义域为，且， 故该函数为奇函数，故D错误. 【变式5-1】（25-26高一上·安徽淮北·期末）下列函数既是幂函数又是奇函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，定义域为，不关于原点对称，非奇非偶，故A错误； 对于B，不属于幂函数，故B错误； 对于C，定义域为关于原点对称，，为偶函数，故C错误； 对于D，定义域为，，为奇函数，故D正确. 【变式5-2】写出下列函数的定义域，并分别指出它们的奇偶性： （1）；     （2）；     （3）. 【答案】（1）定义域是，奇函数；（2），函数既不是奇函数，也不是偶函数；（3），是偶函数. 【分析】确定函数式有意义的自变量的集合，根据奇偶性定义判断奇偶性. 【详解】解（1）函数的定义域是. 因为对任意的，，且都有， 所以由奇函数的定义知，函数是奇函数. （2）函数即，其定义域是. 因为当时，， 所以由奇函数、偶函数的定义可知，函数既不是奇函数，也不是偶函数. （3）由函数即可知，所以此函数的定义域是. 因为对任意的，，都有，，且， 所以由偶函数的定义知，函数是偶函数. 【变式5-3】分别写出下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性： （1）；         （2）； （3）；         （4）. 【答案】（1）奇函数；（2）非奇非偶函数；（3）偶函数；（4）非奇非偶函数； 【分析】首先求出函数的定义域，再利用函数的奇偶性定义即可求解. 【详解】（1），定义域为，关于原点对称， ，函数为奇函数. （2），定义域为，不关于原点对称， 函数为非奇非偶函数. （3）定义域为， 关于原点对称，且，函数为偶函数. （4）定义域为， 定义域不关于原点对称，函数为非奇非偶函数. 【题型六】由幂函数的单调性求参数 【典例6-1】（25-26高一下·湖北黄石·阶段检测）已知幂函数在单调递增，则（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】C 【详解】因为幂函数 在单调递增，所以，解得： 【变式6-1】（25-26高一上·广东广州·期末）幂函数在上是增函数，则________． 【答案】2 【分析】根据幂函数定义解方程，再由函数单调性求得. 【详解】易知，即，解得或； 又因为在上是增函数，所以. 【变式6-2】（多选）若幂函数在区间上单调递减，则实数m的值可能为（    ） A． B． C． D．2 【答案】AC 【分析】根据幂函数在上单调递减，得到，结合选项得到结果. 【详解】∵幂函数在区间上单调递减， ∴， 由于，则A、C正确；B、D错误. 故选：AC. 【变式6-3】（24-25高一上·云南昆明·期中）已知函数为幂函数，且在上单调递减． (1)求的值； (2)若函数，且，判断的单调性，并证明． 【答案】(1)1 (2)，在区间单调递增．    证明如下：任取， 则，    由可得：，， 则，即，    故在区间单调递增． 【分析】（1）由幂函数定义，求出，由函数在上单调递减验证即可. （2）由（1）可得，用定义证明即可. 【详解】（1）由题意知，解得：或2， 当时，幂函数，此时幂函数在上单调递减，符合题意；    当时，幂函数，此时幂函数在上单调递增，不符合题意； 所以的值为1． （2）略 【题型七】利用二次函数模型解决实际问题 【典例7-1】（25-26高一上·辽宁·阶段检测）某文旅公司设计了一款文创纪念品，打算批量生产并在旅游景区进行售卖.前期设计费和宣传费需要固定投入5万元，每件纪念品的生产成本为40元，经市场调研预估，若以60元的单价出售，则能销售1万件，在销售单价60元的基础上，每降价1元，销量在1万件的基础上增加1千件，要使得该款纪念品的利润最大，则每件纪念品的定价应为（    ） A．50元 B．52元 C．53元 D．55元 【答案】D 【分析】设该款纪念品降价元，根据题意得到利润，根据二次函数的最值即可得到答案. 【详解】依题意，设该款纪念品降价元，则销售单价为元，销售量为万件， 利润为，当时，取得最大值，即定价为55元时，利润最大. 故选：D. 【变式7-1】（25-26高一下·安徽滁州·开学考试）某型号汽车在某种路面的刹车距离米与汽车车速公里小时的关系式是，若该车在行驶过程中发现前面米处有障碍物，这时为了能在离障碍物不少于米处停车，则该汽车的最大速度为__________． 【答案】公里小时 【分析】由题意得到，求解即可. 【详解】若该车在行驶过程中发现前面米处有障碍物，且能在离障碍物不少于米处停车， 则， 解得， 即该汽车的最大速度为公里小时. 【变式7-2】（25-26高一上·山西太原·期中）某蛋糕店销售一种蛋糕.蛋糕店每日的固定成本为900元，每个蛋糕的制作成本是20元.该种蛋糕的日销售量（单位：个）与销售单价（单位：元）满足 .假设每日生产的蛋糕全部售完. (1)将每日利润表示为销售单价的函数； (2)当销售单价为多少元时，蛋糕店每日利润最大？其最大利润是多少元？ (3)当销售单价为多少元时，蛋糕店每个蛋糕的平均利润最大？并求出其最大值. 【答案】(1)， (2)当销售单价为60元时，每日的利润最大，最大利润是700元 (3)，最大值20 【分析】（1）由题意即可直接求解； （2）由（1）结合二次函数单调性即可求解； （3）由（1）得到，再由基本不等式即可求解. 【详解】（1）由题意得，. （2）由（1）得， 在上单调递增，在上单调递减， 所以，当时，取得最大值700， 所以，当销售单价为60元时，每日的利润最大，最大利润是700元. （3）由（1）得 ， 当且仅当， 即当元时，取得最大值20元. 【变式7-3】（25-26高一上·浙江台州·期中）已知某商品的成本价为每台10元，每月的销量（台）与销售单价（元）之间的关系近似满足一次函数. (1)设每月获得的利润为（元），写出与之间的函数关系式. (2)规定该商品的单价不能超过25元，如果想要每月获得不少于3000元的利润，那么该商品的售价范围应该为多少? 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题可得与之间的函数关系式； （2）由（1）解二次不等式可得答案. 【详解】（1）依题可知每台商品的销售利润为元，每月的销量为台， 所以每月获得的利润与销售单价之间的函数关系为. （2）由于每月获得的利润不得少于3000元，得， 化简得，解得. 由于销售单价不得高于25元， 故该商品的售价范围是 【题型八】分段函数模型的应用 【典例8-1】（25-26高一下·湖南长沙·期中）某市开通“招手即停”公共汽车，票价按下列规则制定： （1）5以内（含5）票价2元， （2）5以上，每增加5，票价增加1元，（不足5的按5计算） 第一期开通的路线为20，请根据题意，选出票价与里程之间的函数图象（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意写出分段函数解析式，从而可选出符合函数的图象. 【详解】依题意可得：  ，做出图象，选D. 【变式8-1】（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）某商场搞促销活动，促销活动期间，若顾客一次性购物总金额不超过200元，则不享受任何优惠；若顾客一次性购物总金额超过200元，但不超过500元，则超过部分优惠；若顾客一次性购物总金额超过500元，则在享受上一档优惠（超过200元但不超过500元的部分）的同时，超过500元的部分优惠.某人在该商场促销期间一次性购物享受了60元的优惠，则此人这次在该商场购物实际所付金额为__________元. 【答案】590 【分析】设此人这次在该商场购物不优惠，共花费元，分析出，从而得到方程，求出答案. 【详解】设此人这次在该商场购物不优惠，共花费元，显然， 若，则最多优惠元，小于60元， 故，所以，解得， 所以此人这次在该商场购物实际所付金额为元. 故答案为：590 【变式8-2】（25-26高一上·贵州遵义·期中）为了增强团队凝聚力，某公司组织员工去旅游．若参加旅游的人数不超过20，则旅游费用为每人220元；若参加旅游的人数超过20，但不超过48，则旅游费用为每人200元；若参加旅游的人数超过48，则旅游费用为每人180元．若此次旅游的总费用为9000元，则该公司参加此次旅游的员工人数可能是（   ） A．42 B．45 C．50 D．54 【答案】BC 【分析】根据题意，列出符合要求的分段函数，结合总费用，求出旅游的人数. 【详解】设此次参加旅游的人数为， 由题意可知此次旅游的总费用 当，，不符合题意； 当，令，解得，符合题意； 当时，令，解得，符合题意． 综上，此次参加旅游的人数是45或50． 故选：BC 【变式8-3】（25-26高一上·江苏徐州·期末）某军工企业生产一种精密电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：其中是仪器的月产量（总收益=总成本+利润.）. (1)将利润表示为月产量的函数； (2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润是25000元 【分析】（1）先设月产量为台，写出总成本进而得出利润函数的解析式； （2）分两段求出函数的最大值：当时和当时，最后得出当月产量为多少台时，公司所获利润最大及最大利润即可. 【详解】（1）设月产量为台，利润为元，则总成本为元， 因， 则当时，； 当 时，. 故； （2）当时，， 所以当时，取得最大值25000； 当时，是减函数， 所以. 所以当时，的最大值为25000， 即当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润是25000元. 1. 幂函数核心口诀 幂函数形，系数为1是关键； 指数正，增且过原点；指数负，减不过原点； 图像恒过，一象限指数定高低。 2. 奇偶与单调核心结论 有理指数看互质，奇偶分母定对称；负指函数区间断，单调区间不合并。 3. 函数实际应用要点 建模四步：设变量、列解析式、限定义域、求最值、做作答； 实际问题优先考虑变量的现实意义，定义域从严取舍，避免数学解与实际脱节。 4. 考场避错重点 区分幂函数与指数函数、严格判定幂函数定义、规范书写单调区间、实际问题必限定义域。 一、单选题 1．（25-26高一上·河北唐山·期中）已知幂函数的图象过点，则的值是（   ） A．64 B． C． D．2 【答案】D 【详解】由题意得，，则，则. 2．（25-26高一下·河南新乡·期末）下列函数中，是奇函数且在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用函数奇偶性定义结合幂函数的单调性判断即可. 【详解】对于A：定义域为，，所以为偶函数，不符合题意； 对于B：定义域为，，所以为偶函数，不符合题意； 对于C：定义域为，，所以为奇函数，但是在区间上单调递减，不符合题意； 对于D：定义域为，，所以为奇函数，是在区间上单调递增，符合题意； 3．（25-26高一上·湖南·阶段检测）如图，在一块等腰三角形空地中欲建一个内接矩形花园（阴影部分），已知，，则内接矩形花园面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，矩形的面积为．取的中点，连接，交于．由等腰三角形求得，由三角形相似表示出，从而得到，然后得到，通过配方法求得其最大值. 【详解】设，矩形的面积为． 取的中点，连接，交于． 因为，所以，，则． 易知，则，则， 则AI＝，所以， 所以， 当时，取得最大值，且最大值为96，故内接矩形花园面积的最大值为． 故选： 二、多选题 4．（25-26高一上·山西朔州·期末）已知幂函数，则（   ） A．当为奇函数时， B．当为偶函数时， C．当为奇函数时，在上单调递减 D．当为偶函数时，在上单调递减 【答案】ACD 【分析】根据幂函数定义计算可得或，再分别利用函数奇偶性定义、单调性定义对选项逐一判断即可得出结论. 【详解】由幂函数的定义可知，即，解得或， 当时，为奇函数，且在上单调递减，A，C正确； 当时，为偶函数，且在上单调递减，B错误，D正确． 故选：ACD． 5．（25-26高一上·浙江·期末）已知幂函数，下列说法正确的有（   ） A．若，则的图象关于直线对称 B．若，则是偶函数，且在上单调递增 C．若，则的定义域为，且在上单调递减 D．若，则对任意，都有 【答案】BC 【分析】根据幂函数的性质逐项分析即可. 【详解】若，，定义域为， 其图象上存在点，而点(4,2)关于直线对称点不在其图象上，，故不关于直线对称，故A错误. 若，，可知是开口向上的二次函数，对称轴为， 又，是偶函数，，在上单调递增，故B正确. 若，，可知的定义域为， 又，在上单调递减，故C正确. 若，，则 ， 故只有当时才有，故D错误. 故选：BC. 三、填空题 6．（25-26高一下·四川乐山·期末）已知幂函数的图象过点，则__________． 【答案】 【详解】因为函数为幂函数，所以设， 函数过点，所以， 所以. 7．（2025高一上·广东汕头·竞赛）已知幂函数的图象关于轴对称，则__________. 【答案】 【详解】因为是幂函数，所以，解得或， 当时，为偶函数，图象关于轴对称. 当时，为奇函数，图象关于原点对称，不符. 所以， 四、解答题 8．（24-25高一上·福建厦门·期中）已知幂函数是偶函数，且在上单调递增. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在区间上的单调性，并证明. 【答案】(1) (2)在上单调递增， 证明如下：因为 ， 设， 则， 因为，所以，， 则， 所以在上单调递增 【分析】（1）根据 是幂函数得 ，再根据 是偶函数，且在 上单调递增得 为正偶数，从而求解出 解析式. （2）求出 解析式后根据单调性定义证明函数 的单调性. 【详解】（1）∵幂函数（k∈Z）是偶函数，且在上单调递增， ，且为正偶数，则，故. （2）略. 9．（25-26高一上·湖南邵阳·期末）已知幂函数在上单调递减，. (1)当时，求的表达式并直接写出在的单调区间． (2)若在上的最小值为，求的值． 【答案】(1)，单调递减区间为，单调递增区间为． (2) 【分析】（1）根据幂函数的定义和单调性可得出关于实数的等式与不等式，解出值，得函数的解析式和函数的解析式，当时，根据对勾函数的单调性可得出函数在的单调区间； （2）对实数的取值进行分类讨论，分析函数在区间上的单调性，结合可求得实数的值. 【详解】（1）因为幂函数在上单调递减， 所以，解得，故， 所以， 当时，，根据对勾函数的单调性， 所以函数在的单调递减区间为，单调递增区间为． （2）由（1）可知， ①当时，因为函数、在上均为减函数， 则函数在上单调递减，则，解得（舍去）； ②当时，函数在上单调递减， 此时，不符合题意； ③当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 若，即当时，函数在上单调递增，则，符合题意， 若，即当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 此时，解得（舍去）， 当时，即当时，函数在上单调递减， 此时，解得（舍去）． 综上所述，． 10．（25-26高一上·安徽黄山·期末）鱼灯是黄山市传统民俗工艺品，深受广大游客喜爱.某厂家欲生产一款鱼灯，经过市场调研发现，生产该款鱼灯需投入固定成本10万元，每生产万盏鱼灯另需投入变动成本万元.若这款鱼灯的售价为80元／盏，且该厂家2026年生产的万盏鱼灯均能售完. (1)求该厂家2026年利润（单位：万元）的函数解析式； (2)求该厂家2026年产量为多少万盏时所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】(1) (2)6万盏时所获年利润最大，最大年利润是110万元 【分析】（1）根据题设条件，求解分段函数的表达式即可； （2）利用二次函数和基本不等式求分段函数在各段的最大值，比较大小，即可求解. 【详解】（1）由题意知，鱼灯的售价为80元／盏，则2026年生产的万盏鱼灯售万元， 当时， ， 当时， ， 所以，. （2）当时时，， 所以时，取到最大值108. 当时，， 当且仅当时，取到最大值110. 综上可得：该厂家2026年的产量为6万盏时，所获年利润最大，最大年利润是110万元. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 幂函数与函数应用（一） （核心知识+5易错辨析+8典例精讲+课后作业） 【题型一】求幂函数的解析式 【题型五】判断五种常见幂函数的奇偶性 【题型二】根据函数是幂函数求参数值 【题型六】由幂函数的单调性求参数 【题型三】幂函数图象的判断及应用 【题型七】利用二次函数模型解决实际问题 【题型四】判断一般幂函数的单调性 【题型八】分段函数模型的应用 【知识点01】幂函数的定义 一般地，形如 的函数叫做幂函数，其中底数是自变量，指数是常数（）。 定义核心辨析 1. 幂函数系数必须为1，形如均不是幂函数； 2. 自变量仅在底数位置，指数为固定常数，区别于指数函数； 3. 指数可为整数、分数、正数、负数，对应不同定义域与图像。 【知识点02】五大核心常见幂函数 1. 正比例函数： 定义域：，值域：；奇函数；图像为过原点的倾斜直线；在 上单调递增。 2. 二次幂函数： 定义域：，值域：；偶函数；图像为开口向上、顶点在原点的抛物线；在 单调递减，在 单调递增。 3. 三次幂函数： 定义域：，值域：；奇函数；图像关于原点对称；在 上单调递增。 4. 根式幂函数： 定义域：，值域：；非奇非偶函数；图像仅在第一象限；在 单调递增。 5. 反比例幂函数： 定义域：，值域：；奇函数；图像为双曲线，分布在一、三象限；在 分别单调递减。 【知识点03】幂函数奇偶性快速判定 对于有理指数（互质，）： 1. 奇、奇：幂函数为奇函数； 2. 偶、奇：幂函数为偶函数； 3. 偶：定义域不对称，幂函数非奇非偶。 【知识点04】函数的实际应用（一）基础模型 1. 一次函数模型：，适用于匀速变化、线性增长/减少问题； 2. 二次函数模型：，适用于最值问题、抛物型变化、面积利润最值问题。 函数建模通用步骤 审题设变量→建立函数解析式→确定实际定义域→利用函数性质求解→回归实际作答。 易错点1：幂函数定义混淆 误区：带幂次的函数都是幂函数，如、是幂函数。 正解：严格只有（系数为1）是幂函数，系数不为1均不属于幂函数。 易错点2：幂函数与指数函数混淆 误区：分不清与的函数类型。 正解：底数变量、指数常数为幂函数；底数常数、指数变量为指数函数。 易错点3：负指数幂函数定义域出错 误区：认为定义域为。 正解：负指数对应分式形式，底数不能为0，定义域必须剔除。 易错点4：单调区间滥用并集 误区：将递减区间写为。 正解：区间不连续，单调性不整体成立，必须分开书写，用逗号分隔。 易错点5：函数应用忽略实际定义域 误区：建模求解直接用解析式定义域，不考虑实际意义。 正解：实际问题中变量多为正数、整数，必须根据题意限制定义域，否则结果无实际意义。 【题型一】求幂函数的解析式 【典例1-1】（24-25高一上·河南·阶段检测）已知幂函数的图象经过点，则该函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高一上·安徽阜阳·阶段检测）若幂函数的图象经过点，则的解析式为____. 【变式1-2】（24-25高一上·新疆喀什·期末）已知幂函数的图象过点，求这个函数的解析式. 【变式1-3】（25-26高一上·江苏南通·期中）已知幂函数的图象不过原点． (1)求函数解析式； (2)若是定义在上的偶函数，当时，，求的解析式． 【题型二】根据函数是幂函数求参数值 【典例2-1】（25-26高一上·浙江衢州·期末）幂函数图象过点，则（   ） A． B． C．1 D．2 【变式2-1】（25-26高一下·湖南衡阳·期中）若幂函数的定义域为，则实数______． 【变式2-2】（多选）“为幂函数”的一个必要不充分条件是（    ） A．或 B． C． D． 【变式2-3】（25-26高一上·安徽·期中）已知幂函数在区间内是减函数． (1)求实数的值； (2)求方程的解集． 【题型三】幂函数图象的判断及应用 【典例3-1】（25-26高一上·云南昆明·期末）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高一上·湖南衡阳·期中）幂函数的大致图象为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高一上·四川·期末）下列图象可能为幂函数图象的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（多选）（25-26高一上·山东枣庄·阶段检测）当时，幂函数的图象不可能经过的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【题型四】判断一般幂函数的单调性 【典例4-1】（24-25高一上·山东聊城·期中）下列函数在区间上为增函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高一上·江苏宿迁·期末）已知幂函数图象经过点，则函数的增区间为_______. 【变式4-2】（25-26高一上·广东佛山·期末）函数的单调减区间为____________ 【变式4-3】（25-26高一上·江西·阶段检测）已知函数是幂函数． (1)求的值； (2)判断在区间上的单调性，并用定义给出证明． 【题型五】判断五种常见幂函数的奇偶性 【典例5-1】（25-26高一上·福建宁德·阶段检测）下列幂函数中过点，的偶函数是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高一上·安徽淮北·期末）下列函数既是幂函数又是奇函数的是（ ） A． B． C． D． 【变式5-2】写出下列函数的定义域，并分别指出它们的奇偶性： （1）；     （2）；     （3）. 【变式5-3】分别写出下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性： （1）；         （2）； （3）；         （4）. 【题型六】由幂函数的单调性求参数 【典例6-1】（25-26高一下·湖北黄石·阶段检测）已知幂函数在单调递增，则（    ） A． B．0 C．1 D． 【变式6-1】（25-26高一上·广东广州·期末）幂函数在上是增函数，则________． 【变式6-2】（多选）若幂函数在区间上单调递减，则实数m的值可能为（    ） A． B． C． D．2 【变式6-3】（24-25高一上·云南昆明·期中）已知函数为幂函数，且在上单调递减． (1)求的值； (2)若函数，且，判断的单调性，并证明． 【题型七】利用二次函数模型解决实际问题 【典例7-1】（25-26高一上·辽宁·阶段检测）某文旅公司设计了一款文创纪念品，打算批量生产并在旅游景区进行售卖.前期设计费和宣传费需要固定投入5万元，每件纪念品的生产成本为40元，经市场调研预估，若以60元的单价出售，则能销售1万件，在销售单价60元的基础上，每降价1元，销量在1万件的基础上增加1千件，要使得该款纪念品的利润最大，则每件纪念品的定价应为（    ） A．50元 B．52元 C．53元 D．55元 【变式7-1】（25-26高一下·安徽滁州·开学考试）某型号汽车在某种路面的刹车距离米与汽车车速公里小时的关系式是，若该车在行驶过程中发现前面米处有障碍物，这时为了能在离障碍物不少于米处停车，则该汽车的最大速度为__________． 【变式7-2】（25-26高一上·山西太原·期中）某蛋糕店销售一种蛋糕.蛋糕店每日的固定成本为900元，每个蛋糕的制作成本是20元.该种蛋糕的日销售量（单位：个）与销售单价（单位：元）满足 .假设每日生产的蛋糕全部售完. (1)将每日利润表示为销售单价的函数； (2)当销售单价为多少元时，蛋糕店每日利润最大？其最大利润是多少元？ (3)当销售单价为多少元时，蛋糕店每个蛋糕的平均利润最大？并求出其最大值. 【变式7-3】（25-26高一上·浙江台州·期中）已知某商品的成本价为每台10元，每月的销量（台）与销售单价（元）之间的关系近似满足一次函数. (1)设每月获得的利润为（元），写出与之间的函数关系式. (2)规定该商品的单价不能超过25元，如果想要每月获得不少于3000元的利润，那么该商品的售价范围应该为多少? 【题型八】分段函数模型的应用 【典例8-1】（25-26高一下·湖南长沙·期中）某市开通“招手即停”公共汽车，票价按下列规则制定： （1）5以内（含5）票价2元， （2）5以上，每增加5，票价增加1元，（不足5的按5计算） 第一期开通的路线为20，请根据题意，选出票价与里程之间的函数图象（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）某商场搞促销活动，促销活动期间，若顾客一次性购物总金额不超过200元，则不享受任何优惠；若顾客一次性购物总金额超过200元，但不超过500元，则超过部分优惠；若顾客一次性购物总金额超过500元，则在享受上一档优惠（超过200元但不超过500元的部分）的同时，超过500元的部分优惠.某人在该商场促销期间一次性购物享受了60元的优惠，则此人这次在该商场购物实际所付金额为__________元. 【变式8-2】（25-26高一上·贵州遵义·期中）为了增强团队凝聚力，某公司组织员工去旅游．若参加旅游的人数不超过20，则旅游费用为每人220元；若参加旅游的人数超过20，但不超过48，则旅游费用为每人200元；若参加旅游的人数超过48，则旅游费用为每人180元．若此次旅游的总费用为9000元，则该公司参加此次旅游的员工人数可能是（   ） A．42 B．45 C．50 D．54 【变式8-3】（25-26高一上·江苏徐州·期末）某军工企业生产一种精密电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：其中是仪器的月产量（总收益=总成本+利润.）. (1)将利润表示为月产量的函数； (2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？ 1. 幂函数核心口诀 幂函数形，系数为1是关键； 指数正，增且过原点；指数负，减不过原点； 图像恒过，一象限指数定高低。 2. 奇偶与单调核心结论 有理指数看互质，奇偶分母定对称；负指函数区间断，单调区间不合并。 3. 函数实际应用要点 建模四步：设变量、列解析式、限定义域、求最值、做作答； 实际问题优先考虑变量的现实意义，定义域从严取舍，避免数学解与实际脱节。 4. 考场避错重点 区分幂函数与指数函数、严格判定幂函数定义、规范书写单调区间、实际问题必限定义域。 一、单选题 1．（25-26高一上·河北唐山·期中）已知幂函数的图象过点，则的值是（   ） A．64 B． C． D．2 2．（25-26高一下·河南新乡·期末）下列函数中，是奇函数且在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·湖南·阶段检测）如图，在一块等腰三角形空地中欲建一个内接矩形花园（阴影部分），已知，，则内接矩形花园面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（25-26高一上·山西朔州·期末）已知幂函数，则（   ） A．当为奇函数时， B．当为偶函数时， C．当为奇函数时，在上单调递减 D．当为偶函数时，在上单调递减 5．（25-26高一上·浙江·期末）已知幂函数，下列说法正确的有（   ） A．若，则的图象关于直线对称 B．若，则是偶函数，且在上单调递增 C．若，则的定义域为，且在上单调递减 D．若，则对任意，都有 三、填空题 6．（25-26高一下·四川乐山·期末）已知幂函数的图象过点，则__________． 7．（2025高一上·广东汕头·竞赛）已知幂函数的图象关于轴对称，则__________. 四、解答题 8．（24-25高一上·福建厦门·期中）已知幂函数是偶函数，且在上单调递增. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在区间上的单调性，并证明. 9．（25-26高一上·湖南邵阳·期末）已知幂函数在上单调递减，. (1)当时，求的表达式并直接写出在的单调区间． (2)若在上的最小值为，求的值． 10．（25-26高一上·安徽黄山·期末）鱼灯是黄山市传统民俗工艺品，深受广大游客喜爱.某厂家欲生产一款鱼灯，经过市场调研发现，生产该款鱼灯需投入固定成本10万元，每生产万盏鱼灯另需投入变动成本万元.若这款鱼灯的售价为80元／盏，且该厂家2026年生产的万盏鱼灯均能售完. (1)求该厂家2026年利润（单位：万元）的函数解析式； (2)求该厂家2026年产量为多少万盏时所获年利润最大？最大年利润是多少？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $