17.5 反证法 课件 2026-2027学年冀教版 数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“反证法”核心知识点，从“三角形含直角时只能有一个直角”的问题切入，引导学生发现直接证明困难，自然过渡到反证法的学习，搭建起从直接证明到间接证明的知识支架。 其亮点在于通过三角形直角个数、平行线同位角相等、直角三角形全等“斜边直角边”定理等实例，结合“假设-推理-矛盾-结论”的固定步骤，培养学生的推理能力和有条理的思维，体现“会用数学的思维思考现实世界”。练习题涵盖几何与代数，帮助学生用数学语言规范表达证明过程，学生能掌握间接证明方法，教师可提升教学效率。

17.5 反证法 已知：如图，△ABC. 求证：在△ABC中，如果它含直角，那么它只能有一个直角. C A B 这道题你能不能直接从条件出发证明？ 我们可以先假设命题不成立 再从这个假设出发进行证明 C A B 证明：假设△ABC中有两个(或三个)直角，不 妨设 ∠A=∠B =90°. ∵∠A+∠B=180°，∴∠A+∠B+∠C >180°. 这与“三角形的内角和等于180°”相矛盾. 因此，三角形有两个(或三个)直角的假设是不成立的. 所以，如果三角形含直角，那么它只能有一个直角. 已知：如图，△ABC. 求证：在△ABC中，如果它含直角，那么它只能有一个直角. 先假设原命题结论不正确，然后从这个假设出发，经过逐步推理论证，最后推出与学过的三角形内角和定理相矛盾的结果.因此，假设是错误的，原结论是正确的. 这种证明命题的方法叫作反证法. 反证法是一种间接证明的方法. 用反证法证明一个命题是真命题的一般步骤是： 第一步，假设命题的结论不成立. 第二步，从这个假设和其他已知条件出发，经过推理论证，得出与学过的概念、基本事实，已证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果. 第三步，由矛盾的结果，判定假设不成立，从而说明命题的结论是正确的. 当命题从正面不容易或不能得到证明时，就需要运用反证法.反证法步骤固定，思路固定，写好假设是前提，正确推理得矛盾是关键. 例1 用反证法证明平行线的性质定理一：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等. 已知：如图，直线AB∥CD，直线 EF分别与直线AB，CD交于点G， H，∠1和∠2是同位角. 求证：∠1=∠2. 1 2 F C G E D B A H 反证法基本步骤： (1)假设命题不成立； (2)得出矛盾； (3)肯定结论. 证明：假设∠1≠∠2. 过点G作直线MN，使得∠EGN =∠1. ∵∠EGN=∠1，∴ MN∥CD(基本事实). 又∵AB∥CD(已知)， ∴过点G，有两条不同的直线AB和MN都与直线CD平行. 这与“经过已知直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行”相矛盾. ∴∠1≠∠2的假设是不成立的. 因此，∠1=∠2. 假设 推理 矛盾 命题成立 1 2 F C G E D B A H M N 已知：如图，直线AB∥CD，直线 EF分别与直线AB，CD交于点G， H，∠1和∠2是同位角. 求证：∠1=∠2. 例2 用反证法证明直角三角形全等的“斜边、直角边”定理. 已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠C=∠C′ = 90°，AB=A′B′，AC=A′C′， 求证：△ABC≌△A′B′C′. A B C A' B' C' 反证法基本步骤： (1)假设命题不成立； (2)得出矛盾； (3)肯定结论. 证明：假设△ABC与△A′B′C′不全等，即BC≠B′C′. 不妨设BC＜B′C′.如图.在B′C′上截取C′D=CB，连接A′D. 在△ABC和△A′DC′ 中， ∵AC = A′C′，∠C = ∠C′，CB = C′D， ∴△ABC≌△A′DC′(SAS). ∴AB = A′D(全等三角形的对应边相等). D 已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠C=∠C′ = 90°，AB=A′B′，AC=A′C′， 求证：△ABC≌△A′B′C′. A B C A' B' C' ∵AB = A′B′ (已知)， ∴A′B′ = A′D(等量代换). ∴∠B′ = ∠A′DB′(等边对等角). ∴∠A′DB′ ＜90°(三角形的内角和定理)， 即∠C′＜∠A′DB′＜90°(三角形的外角大于 和它不相邻的内角). D A B C A' B' C' 已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠C=∠C′ = 90°，AB=A′B′，AC=A′C′， 求证：△ABC≌△A′B′C′. 用反证法证明时，一定要得出矛盾，这种矛盾可以是与已知矛盾，也可以是与某个定义、公理、定理矛盾. 这与∠C′＝90°相矛盾. 因此，BC≠B′C′的假设不成立，即△ABC与△A′B′C′不全等的假设不成立. 所以，△ABC≌△A′B′C′. D A B C A' B' C' 已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠C=∠C′ = 90°，AB=A′B′，AC=A′C′， 求证：△ABC≌△A′B′C′. 请用反证法证明： (1)如果a·b=0，那么a，b中至少有一个等于0. 证明：假设a0且b， 从而ab. 这与已知条件“ab=0”矛盾，故假设不成立. 因此，如果ab=0，那么a=0或b=0. 请用反证法证明： (2)两条直线相交，有且只有一个交点. 证明：假设a，b相交时不止一个交点P， 设其他交点中有一个为P'， 则点P和点P'在直线a上又在直线 b上， 那么经过P和P'的直线就有两条， 这与“两点确定一条直线”相矛盾， 因此假设不成立， 所以两条直线相交只有一个交点. a b 已知：直线a，b， 求证：直线a，b相交时只有一个交点P. 1.用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则 a∥b”，第一步应假设 ( ) A.a∥b B.a与b垂直 C.a与b不一定平行 D.a与b相交 2.用反证法证明命题“如果x＞y，那么x3＞y3”时，假设的内容应 是 ( ) A.x3＝y3 B.x3＜y3 C.x3＜y3或x3＝y3 D.x3＜y3且x3＝y3 D C 3.利用反证法证明“直角三角形中至少有一个锐角不小于45°”，应先假设 ( ) A.直角三角形的两个锐角都小于45° B.直角三角形有一个锐角大于45° C.直角三角形的两个锐角都大于45° D.直角三角形有一个锐角小于45° C 4.已知：如图，同一平面内，l1∥l2，l1与l3相交于点A. 求证：l3必与l2相交. A l1 l2 l3 证明：假设l3与l2不相交，则l3∥l2，∵l1∥l2，l3∥l2， ∴l1∥l3，这与已知l1与l3相交于点A相矛盾， ∴假设不成立.故l3必与l2相交. 通过本节课的学习，回答以下问题： 1.什么是反证法？ 2.用反证法证明一个命题是真命题有哪些步骤？ 先假设原命题结论不正确，然后从这个假设出发，经过逐步推理论证，最后推出与学过的三角形内角和定理相矛盾的结果.因此，假设是错误的，原结论是正确的.这种证明命题的方法叫作反证法. ①假设命题的结论不成立.②从这个假设和其他已知条件出发，经过推理论证，得出与学过的概念、基本事实，已证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果.③由矛盾的结果，判定假设不成立，从而说明命题的结论是正确的. $