培优专题01 空间向量及其运算（专项训练）高二数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦空间向量核心概念与运算，以题型分类为框架，构建从基础概念到坐标应用的递进式训练体系，突出高频考点与综合能力提升。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |空间向量及其运算|4类题型（含共线/共面定理）|概念辨析、线性运算、定理应用（高频）|从向量概念生成到线性运算，通过共线/共面定理建立空间位置关系判断逻辑| |数量积与基本定理|3类题型（重/难）|数量积计算、基底表示、综合应用|以数量积为工具，结合基本定理实现向量的分解与合成，深化空间度量关系| |坐标表示及应用|2类题型（高频）|坐标表示、模长/夹角/平行垂直应用|将向量运算坐标化，构建代数与几何的转化桥梁，强化运算求解能力|

专题01 空间向量及其运算 常考题型·精准突破 考点一 空间向量及其运算 ◆题型1空间向量的有关概念理解 ◆题型2 空间向量的线性运算 ◆题型3 空间向量共线定理 ◆题型4 空间向量共面定理 （高频） 考点二 空间向量的数量积运算和空间向量基本定理 ◆题型5 求空间向量数量积 （重） ◆题型6 空间向量基本定理 （重） ◆题型7 空间向量数量积和空间向量基本定理的应用（难） 考点三 空间向量及其运算的坐标表示 ◆题型8 空间向量的坐标表示 ◆题型9 空间向量坐标的应用 （高频） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 空间向量及其运算 ◆题型1空间向量的有关概念理解 1．（空间向量的有关概念、空间向量共线的判定 25-26高二上·全国·期末） 下列关于空间向量的命题中，正确的是（ ） A．将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆 B．若空间向量，满足，则或； C．若空间向量满足，则； D．若空间向量满足，，则． 2．（零向量与单位向量、相等向量、共线向量 25-26高二上·山东济南·期中）【多选】 下列四个命题中，说法不正确的是（   ） A．空间任意两个单位向量必相等 B．对于非零向量，由，则 C．是共线的充分不必要条件 D．若向量满足，则 ◆题型2 空间向量的线性运算 3．（空间向量的线性运算 25-26高二上·河南新乡·阶段检测）【多选】 如图，已知四面体，点分别是的中点，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（空间向量的线性表示 25-26高二下·河南平顶山·期中） 如图，在正八面体中，四边形为平行四边形，，分别为，的中点，设，，，则（   ） A． B． C． D． 5．（空间向量的线性运算求参数 25-26高二上·河南濮阳·期末） 如图，在三棱台中，，，，，，分别为，的中点，则（   ） A． B． C． D． 6．（空间向量线性运算的几何表示 24-25高二上·广东东莞·阶段检测） 《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，M，N分别是的中点，是的中点，若，则（    ）    A． B． C． D． ◆题型3 空间向量共线定理 7．（空间向量共线的判定 25-26高二上·新疆喀什·期中）【多选】 如图，在三棱柱中，P为空间中一点，且满足，则下列说法正确的是（   ） A．当时，点在棱上 B．当时，点在线段上 C．当时，点在棱上 D．当时，点在线段上 8．（判断三点共线） 已知是空间两个不共线的非零向量，且，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 9．（由空间向量共线求参数或值 2026·上海·高考真题） 已知向量，，是两两不平行的向量，且，，则的值为__________． 10．（空间共线向量定理的推论及应用 23-24高二上·辽宁大连·期末） 在四面体中，E为的中点，G为平面的重心．若与平面交于点F，则（    ） A． B． C． D． ◆题型4 空间向量共面定理 11．（判定空间向量共面、空间向量基底概念 25-26高一下·黑龙江·期末） 若构成空间的一个基底，则下列可以构成空间的另一个基底的是（    ） A． B． C． D． 12．（判断四点共面 25-26高一下·黑龙江大庆·阶段检测） 已知点，，不共线，为平面外一点，下列能够确定，，，四点共面的是（    ） A． B． C． D． 13．（空间向量共面求参数 26-27高三上·江苏常州·阶段检测） 已知向量，，，若，，共面，则（    ） A．存在无数个实数符合题意 B．存在唯一的正整数符合题意 C．不存在正整数符合题意 D．不存在任何实数符合题意 14．（四点共面求参数、基本不等式“1”的妙用求最值 25-26高二下·江苏南京·阶段检测） 已知为空间中四点，任意三点不共线，O为平面ABC外一点，且，若四点共面，则的最小值为（    ） A． B． C．9 D．4 15．（空间共面向量定理的推论及应用 25-26高二上·广东江门·期中） 如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，H在棱PD上，若E，F，G，H四点共面，则________.    考点二 空间向量的数量积运算和空间向量基本定理 ◆题型5 求空间向量数量积 16．（空间向量数量积的概念辨析 24-25高二上·山东·阶段检测） 对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（    ）． A．若，，则 B． C．若，则，的夹角是钝角 D． 17．（求空间向量的数量积 25-26高二上·江苏南通·期末） 在平行六面体中，，则__________. 18．（求空间向量的数量积范围和最值 25-26高二上·浙江杭州·期中） 在长方体中，，，点为线段上一动点，则的最小值为__________． 19．（空间向量数量积的应用、新定义 24-25高二上·山西晋城·期中）【多选】 “没有运算的向量只能起到路标作用，有了运算的向量力量无穷”，除了向量线性运算和数量积外常见的还有向量的外积．定义如下，空间向量与的外积是一个向量，其长度等于，其方向满足，，，，且三个向量构成右手系（如图）．在棱长为2的正四面体中，为的中心，下列结论正确的有（   ） A． B． C． D． ◆题型6 空间向量基本定理 20．（空间向量基本定理概念辨析 25-26高二上·江苏南通·期末）【多选】 已知为空间的一个基底，则下列结论正确的是（    ） A．至多有一个零向量 B．也是空间的一个基底 C．空间任一向量均可用唯一线性表示 D．若，其中，则 21．（空间向量基底概念 25-26高二上·浙江·期末） 已知空间向量为一组基底，则以下空间向量不能构成基底的是（    ） A． B． C． D． 22．（用空间基底表示向量 25-26高二·全国·暑假作业） 在平行六面体中，，，，为的中点，为与的交点． (1)用基底表示下列向量：，，； (2)在图中画出化简后的向量． 23．（由空间向量基本定理求参数 25-26高二上·辽宁沈阳·阶段检测） 如图，在三棱锥中，点为的重心，点在上，且，过点任意作一个平面分别交线段于点，，若，则（    ） A． B．4 C． D． ◆题型7 空间向量数量积和空间向量基本定理的应用 24．（空间向量的夹角（余弦值）的计算 25-26高二上·广西河池·阶段检测） 如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是2，且它们彼此的夹角都是，为与的交点．若． (1)求的值； (2)求． 25．（ 利用空间向量求模、由空间向量共线求参数或值 24-25高二上·福建泉州·期中） 已知平行六面体，底面是正方形，，，，，，，设，，． (1)用向量表示向量，并求的长度； (2)设点满足，是否存在使得，，三点共线，若存在求出，若不存在请说明理由． 26．（利用空间向量求模、空间向量垂直的应用 2025高二上·湖北武汉·专题练习） 如图，已知棱长为1的正四面体，设高的中点为． (1)求的长； (2)求证：，，两两垂直． 27．（求投影向量、求投影数量 25-26高二上·广西钦州·阶段检测）【多选】 在正四棱台中，，则（    ） A．和是相等向量 B． C．向量在向量上的投影向量为 D．向量在向量上的投影数量为2 28．（求投影向量、利用空间向量求模 25-26高二上·河南漯河·阶段检测） 已知空间向量，均为单位向量，向量满足，，. (1)证明：在上的投影向量为. (2)求. 考点三 空间向量及其运算的坐标表示 ◆题型8 空间向量的坐标表示 29．（关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标 25-26高二上·福建厦门·阶段检测） 点关于平面的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 30．（求空间点的坐标 25-26高二下·甘肃酒泉·期末） 已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 31．（空间向量数量积运算的坐标表示 25-26高二上·浙江宁波·期末） 已知，，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 32．（单位正交基底概念 23-24高二上·河北·期中） 已知平面，，，，，则空间的一个单位正交基底可以为（    ） A． B． C． D． 33．（根据单位正交基底求坐标、空间向量共线空间的判定 25-26高二上·广东广州·期中）【多选】 下列说法正确的是（    ） A．若与共线，与共线，则与共线 B．若G是四面体OABC的底面的重心，则 C．若，则A，B，C，G四点共面 D．若向量（其中，，是三个不共面的向量，），则称在基底下的坐标为．若在单位正交基底下的坐标为，则在基底下的坐标为 34．（空间向量线性运算的坐标表示、空间向量共面求参数 25-26高二上·江苏无锡·期末） 已知空间向量，，，若向量，，共面，则实数的值为_____. ◆题型9 空间向量坐标的应用 35．（空间向量模长的坐标表示 25-26高一下·广东深圳·期末）【多选】 已知空间向量，则（ ） A． B．向量不是共面向量 C． D． 36．（空间向量平行的坐标表示 24-25高二上·陕西西安·期中）【多选】 向量，，，且，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 37．（空间向量夹角余弦的坐标表示 25-26高三·全国·一轮复习） 已知，，且与夹角为锐角，则实数x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 38．（空间向量垂直平行的坐标表示、求投影向量和向量夹角余弦 25-26高二上·四川广安·阶段检测） 已知向量，，，且，． (1)求，，； (2)求向量与所成夹角的余弦值； (3)求在上的投影向量（用坐标表示）． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．已知M(1,2,3),N(2,3,4),P(-1,2,-3)，若且，则Q点的坐标为（   ） A．(2,5,0) B．(-4,-1,-6)或(2,5,0) C．(3,4,1) D．(3,4,1) 或(-3,-2,-5） 2．在空间直角坐标系中，，，，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 3．如图，二面角的度数为，其棱上有两点、，线段、分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，若，，则线段的长为（    ）    A． B． C． D． 4．在四面体中，点分别为线段的中点，若，则的值为（    ） A． B．1 C． D． 5．已知正三棱锥的底面边长为，侧棱长为1．O为底面内一点，且，，则（   ） A．0 B． C． D． 6．对于一个单位球，为球心，在球面上，若对任意的，都有，则的最大值为（       ）. A．4 B．6 C．7 D．8   7．在长方体中，，，向量，若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 8．下列给出的命题不正确的是（ ） A．若为空间的一组基底，则不能构成空间的一组基底 B．若空间向量，满足，则与夹角为锐角 C．若直线的方向向量为，平面的法向量，则// D．若空间向量，则在方向上的投影向量为 9．已知平行六面体中，各棱长均为，，则以下说法正确的是（    ） A． B．异面直线和所成角的余弦值为 C．四棱锥的体积为 D．与三棱锥各棱均相切的球的体积为 10．在棱长均为的三棱柱中，，点满足，其中，则下列说法正确的是（   ） A．当点为棱的中点时， B．当时，四点共面 C．当时， D．当时，面积的最小值为 三、填空题 11．三个空间向量，，不共面，且存在实数，使.则__________. 12．若向量，，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围为__. 四、解答题 13．已知空间向量. (1)求在上的投影向量； (2)若，求； (3)若，求的值. 14．如图，在平行六面体中，，，，，.点是棱的中点，点是对角线上一点（包括端点），且满足. (1)若三点共线，求的值； (2)若对角线，求的最大值； 15．在平面上有如下命题：“若 为直线 外一点，则点 在直线 上的充要条件是：存在实数、 ，满足，且．” (1)请将该命题类比到空间中，并证明． (2)在四面体 中，已知，，．点 在平面 内，且满足． ①求的值； ②求的值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 空间向量及其运算 常考题型·精准突破 考点一 空间向量及其运算 ◆题型1空间向量的有关概念理解 1.【答案】C 2.【答案】ABD ◆题型2 空间向量的线性运算 3.【答案】ABC 4.【答案】D 5.【答案】A 6.【答案】A ◆题型3 空间向量共线定理 7.【答案】ACD 8.【答案】D 9.【答案】 10.【答案】C ◆题型4 空间向量共面定理 11.【答案】B 12.【答案】C 13.【答案】B 14.【答案】A 15.【答案】 考点二 空间向量的数量积运算和空间向量基本定理 ◆题型5 求空间向量数量积 16.【答案】B 17.【答案】 18.【答案】 19.【答案】ABD ◆题型6 空间向量基本定理 20.【答案】BCD 21.【答案】B 22.【答案】(1)，， (2)答案见解析 【分析】（1）根据几何体的性质，以及空间向量基本定理，用基底表示向量即可； （2）根据向量加法，求出向量即可. 【详解】（1）， ， ． （2），连接， 由于，且，所以或即为所求． 23.【答案】A ◆题型7 空间向量数量积和空间向量基本定理的应用 24.【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平行六面体的性质，结合已知条件得出各向量的模及夹角，再通过向量加减法，结合向量的数量积计算； （2）先用已知向量分别表示，再求出以及和，进而求解． 【详解】（1） 平行六面体所有棱长均为2，的模均为2，夹角均为，为与的中点， ，， ， ． （2）， ， ， ， ． 25.【答案】(1)， (2)存在， 【分析】（1）先表示出，然后根据可求的表示；采用先平方再开方的方法结合数量积计算公式求解出的长度； （2）假设存在满足条件，先表示出，再根据三点共线得到对应方程组，由此可求的值. 【详解】（1）因为， ， 所以； 所以 ， 所以. （2）假设存在满足条件，所以， 因为，，三点共线，所以设， 所以， 所以，解得， 故满足条件. 26.【答案】(1) (2) 证法1：因为 ， 所以， 同理可得, 所以 ， 所以，即， 同理可证，， 所以，，两两垂直． 证法2：因为为正三角形的重心， 所以， 其中为正三角形边上的中线(高)， 在中，， 所以， 在中， 可得， 同理可得， 所以可得， 所以， 同理可证，， 所以，，两两垂直． 【分析】（1）解法1：利用共面向量及三角形的重心特征可得，平方即可得答案； 解法2：求得，在中，由勾股定理求解即可； （2）证法1：由，可得，同理可证，，即得证明； 证法2：由，可得，，利用勾股定理即可得证明. 【详解】（1）解：解法1：因为为的重心， 所以， 所以 ， 所以； 解法2：因为为的重心 所以， 在中，由勾股定理可得：． （2）略 27.【答案】BCD 28.【答案】(1) 证明：因为，，空间向量为单位向量，所以. . 所以在上的投影向量为. 故在上的投影向量为. (2) 【分析】（1）根据向量的数量积公式及投影向量计算公式计算即可. （2）根据向量的模及数量积公式计算即可. 【详解】（1）略 （2）因为空间向量，均为单位向量，所以，，又， 所以，同理可得，又， 所以 . 故. 考点三 空间向量及其运算的坐标表示 ◆题型8 空间向量的坐标表示 29.【答案】A 30.【答案】D 31.【答案】D 32.【答案】B 33.【答案】BD 34.【答案】10 ◆题型9 空间向量坐标的应用 35.【答案】AC 【详解】，A正确； 设，即，解得， 即，所以是共面向量，B错误； ，所以，C正确； ，D错误. 36.【答案】ABD 37.【答案】D 38.【答案】(1)，， (2) (3) 【详解】（1），，，， 又，，. 因此，，. （2），. ，. . 因此向量与所成夹角的余弦值为. （3）在上的投影向量为. 综合攻坚·知能拔高 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A D C B B A BCD BC BCD 11． 12． 13．(1)； (2)； (3). 【分析】（1）按照投影向量定义计算即可； （2）先根据算出，然后计算； （3）先根据算出，然后计算. 【详解】（1）由投影向量的定义， 在上的投影向量为. （2）若，则，所以， 所以 （3）若，则，所以，进而. 14．(1) (2) 【分析】（1）设基向量，利用基底表示，根据三点共线即可求出； （2）根据基底以及得出即可求出. 【详解】（1）设基向量， 则， 因为， 所以， 因为三点共线，设， 则， 所以，得. （2）因为，且， 所以， 得，即， 故，即，所以的最大值为. 15．(1)类比到空间中，该命题为： 若 为平面 外一点，则点 在平面 内的充要条件是： 存在实数、 、 ，满足，且． 证明：①若点平面 ， 由向量共面的充要条件知存在实数 、 使得， 由向量加减法得， 整理得， 令，，，则，其中． ②反之，若已知，且． 则， 整理得， 即， 根据向量共面的充要条件知、、共面，即 、 、 、 共面， 所以点 在平面 内． 综上所述，若 为平面 外一点，则点 在平面 内的充要条件是： 存在实数、 、，满足，且． (2)①；② 【分析】（1）结合空间向量的运算，利用共面向量定理证明即可； （2）①利用数量积的运算律求解即可； ②利用数量积的运算律及模的运算法则求解即可. 【详解】（1）略 （2）①由（1）的结论知，从而， 从而， 由已知，，得 ， ②因为 ， 所以． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 空间向量及其运算 常考题型·精准突破 考点一 空间向量及其运算 ◆题型1空间向量的有关概念理解 ◆题型2 空间向量的线性运算 ◆题型3 空间向量共线定理 ◆题型4 空间向量共面定理 （高频） 考点二 空间向量的数量积运算和空间向量基本定理 ◆题型5 求空间向量数量积 （重） ◆题型6 空间向量基本定理 （重） ◆题型7 空间向量数量积和空间向量基本定理的应用（难） 考点三 空间向量及其运算的坐标表示 ◆题型8 空间向量的坐标表示 ◆题型9 空间向量坐标的应用 （高频） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 空间向量及其运算 ◆题型1空间向量的有关概念理解 1．（空间向量的有关概念、空间向量共线的判定 25-26高二上·全国·期末） 下列关于空间向量的命题中，正确的是（ ） A．将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆 B．若空间向量，满足，则或； C．若空间向量满足，则； D．若空间向量满足，，则． 【答案】C 【分析】根据单位向量的性质可判断A的正误，根据相等向量的定义可判断BC的正误，根据零向量的性质可判断D的正误. 【详解】对于A，根据空间向量的定义，空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点， 则它们的终点构成一个球面，所以A错误； 对于B，若空间向量，满足， 但由于它们的方向不一定相同或相反，故不一定相等或相反，所以B错误； 对于C，根据向量相等的定义可得，所以C正确； 对于D，向量的平行不具有传递性，比如当为零向量时，零向量与任何向量都平行， 则不一定平行，所以D错误. 故选：C. 2．（零向量与单位向量、相等向量、共线向量 25-26高二上·山东济南·期中）【多选】 下列四个命题中，说法不正确的是（   ） A．空间任意两个单位向量必相等 B．对于非零向量，由，则 C．是共线的充分不必要条件 D．若向量满足，则 【答案】ABD 【分析】根据单位向量、相等向量、共线向量、向量的数量积等逐项进行分析判断即可. 【详解】选项A：单位向量的模长均为1，但方向任意，而相等向量需要模长和方向都相同，因此空间任意两个单位向量不一定相等，A错误. 选项B：因为为非零向量，所以可化为，故，无法推出，B错误. 选项C：若，则，即， 所以，说明反向共线； 当共线时，①同向时，，②反向时，， 所以不一定等于. 因此是共线的充分不必要条件，C正确. 选项D：向量是既有大小又有方向的量，不能直接比较大小，故D错误. 故选：ABD. ◆题型2 空间向量的线性运算 3．（空间向量的线性运算 25-26高二上·河南新乡·阶段检测）【多选】 如图，已知四面体，点分别是的中点，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据空间向量的线性运算逐项分析即可得解. 【详解】A：因为，故A正确； B：因为，故B正确； C：因为，故C正确； D:因为，故D错误. 故选：ABC. 4．（空间向量的线性表示 25-26高二下·河南平顶山·期中） 如图，在正八面体中，四边形为平行四边形，，分别为，的中点，设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】为正八面体，四边形为正方形； ； 是的中点，，则， 为的中点，四边形为平行四边形， ， . 5．（空间向量的线性运算求参数 25-26高二上·河南濮阳·期末） 如图，在三棱台中，，，，，，分别为，的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量基本定理结合图形求解即可. 【详解】. 因为，，，， 所以 . 故选：A. 6．（空间向量线性运算的几何表示 24-25高二上·广东东莞·阶段检测） 《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，M，N分别是的中点，是的中点，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，利用空间向量运算即可求得正确答案. 【详解】连接，因为是的中点，所以，    因为底面为直角三角形的直棱柱， 所以四边形为长方形， 又因M，N分别是的中点， 所以， 则， 又因，所以可得，解得， 所以. 故选：A. ◆题型3 空间向量共线定理 7．（空间向量共线的判定 25-26高二上·新疆喀什·期中）【多选】 如图，在三棱柱中，P为空间中一点，且满足，则下列说法正确的是（   ） A．当时，点在棱上 B．当时，点在线段上 C．当时，点在棱上 D．当时，点在线段上 【答案】ACD 【分析】判断点是否在线段上，利用共线向量定理及推论逐项判断即可． 【详解】对于A，当时，，，所以，则点在棱上，故A正确； 对于B，当时，，，连接，即， 即，所以点在线段上，故B错误； 对于C，当时，，，所以， 所以，即，所以点在棱上，故C正确； 对于D，当时，，， 由三点共线结论知,三点共线，所以点在线段上，故D正确． 故选：ACD. 8．（判断三点共线） 已知是空间两个不共线的非零向量，且，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】D 【分析】利用向量加法求出，再观察与的线性关系，得出，两向量成倍数关系即共线，又有公共点，即可判定三点共线，其余选项向量无倍数关系，不满足三点共线条件. 【详解】. 选项A：，，不存在实数使等式成立，不共线. 选项B：，，不存在实数使等式成立，不共线. 选项C：，，不存在实数使等式成立，不共线. 选项D：计算， ，存在，故与共线， 又两向量有公共点，因此三点共线. 9．（由空间向量共线求参数或值 2026·上海·高考真题） 已知向量，，是两两不平行的向量，且，，则的值为__________． 【答案】 【分析】方法一：由条件可得，，消去，根据平面向量基本定理列方程求结论； 方法二：先证明共面，设，由条件结合平面向量基本定理列方程求结论. 【详解】方法一：因为，所以. 因为，所以， 所以， 因为不平行，所以，所以. 方法二：因为，，两两不平行， 所以，. 若不共面，所以，矛盾， 所以共面，可设， 所以， 所以. 因为，可设， 所以，， 所以，， ，所以. 10．（空间共线向量定理的推论及应用 23-24高二上·辽宁大连·期末） 在四面体中，E为的中点，G为平面的重心．若与平面交于点F，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据共线定理及空间向量线性运算可得结果. 【详解】如图：连接交于H，则H为中点，连接, 因为平面，平面，设，则， 又平面，所以平面，故K为与平面的交点， 又因为与平面交于点F，所以F与K重合， 又E为的中点，G为平面的重心， 因为点A，F，G三点共线，则 又因为点E，F，H三点共线，则， , 所以，解得，即，故. 故选：C. ◆题型4 空间向量共面定理 11．（判定空间向量共面、空间向量基底概念 25-26高一下·黑龙江·期末） 若构成空间的一个基底，则下列可以构成空间的另一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由基底的定义逐一判断即可. 【详解】，故A不是； 不存在，使得，故B是； ，故C不是； ，故D不是. 12．（判断四点共面 25-26高一下·黑龙江大庆·阶段检测） 已知点，，不共线，为平面外一点，下列能够确定，，，四点共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】点不共线，为平面外一点，则四点共面的充要条件是：存在实数，使得且系数和，再逐个验证选项. 【详解】若在平面内，则存在实数，使得,即， 整理得：，令，则， 即点不共线，为平面外一点，则四点共面的充要条件是：存在实数，使得且系数和； 对于 A：系数和，不满足共面条件， 对于B：系数和，不满足共面条件， 对于 C：系数和，满足共面条件， 对于 D：系数和，不满足共面条件. 13．（空间向量共面求参数 26-27高三上·江苏常州·阶段检测） 已知向量，，，若，，共面，则（    ） A．存在无数个实数符合题意 B．存在唯一的正整数符合题意 C．不存在正整数符合题意 D．不存在任何实数符合题意 【答案】B 【详解】因为向量，，， 若，，共面，则存在唯一实数，使得， 则，解得， 所以存在唯一的正整数符合题意. 14．（四点共面求参数、基本不等式“1”的妙用求最值 25-26高二下·江苏南京·阶段检测） 已知为空间中四点，任意三点不共线，O为平面ABC外一点，且，若四点共面，则的最小值为（    ） A． B． C．9 D．4 【答案】A 【详解】因为四点共面，则有， 由共面条件可得，，即， 所以， 当且仅当，即，即时，等号成立. 故选A. 15．（空间共面向量定理的推论及应用 25-26高二上·广东江门·期中） 如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，H在棱PD上，若E，F，G，H四点共面，则________.    【答案】 【分析】设，以为基底表示出，利用，，，四点共面，得到，再由，得到，代入上式，即可得到方程组，进而求出结果. 【详解】由题知，设，则， 又，且 ， 因为，，，四点共面，所以， 即， 又因为，则，即， 所以， 所以， 所以 ， 所以，解得， 故，所以，所以. 故答案为： 考点二 空间向量的数量积运算和空间向量基本定理 ◆题型5 求空间向量数量积 16．（空间向量数量积的概念辨析 24-25高二上·山东·阶段检测） 对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（    ）． A．若，，则 B． C．若，则，的夹角是钝角 D． 【答案】B 【分析】由空间向量的位置关系可得A错误；由数量积的运算律可得B正确，D错误；当两向量的夹角为时，也成立可得D错误； 【详解】对于A，若，，则或，故A错误； 对于B，由数量积的运算律可知，故B正确； 对于C，若，则，的夹角是钝角或反向共线，故C错误； 对于D，由数量积的运算律可知，等号左面与共线，等号右面与，两边不一定相等，故D错误； 故选：B. 17．（求空间向量的数量积 25-26高二上·江苏南通·期末） 在平行六面体中，，则__________. 【答案】 【分析】设，则，再根据向量运算求解即可. 【详解】设，则， 所以 因为， 所以 故答案为： 18．（求空间向量的数量积范围和最值 25-26高二上·浙江杭州·期中） 在长方体中，，，点为线段上一动点，则的最小值为__________． 【答案】 【详解】 如图所示，以为坐标原点，以为轴，建立空间直角坐标系， 则， 设点，即， 可得，即， 所以， 则， 根据二次函数性质可知当时取得最小值，此时最小值为. 所以的最小值为. 19．（空间向量数量积的应用、新定义 24-25高二上·山西晋城·期中）【多选】 “没有运算的向量只能起到路标作用，有了运算的向量力量无穷”，除了向量线性运算和数量积外常见的还有向量的外积．定义如下，空间向量与的外积是一个向量，其长度等于，其方向满足，，，，且三个向量构成右手系（如图）．在棱长为2的正四面体中，为的中心，下列结论正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】要利用向量的外积的定义，可知外积向量的方向是要依据右手法则，所以外积两向量没有交换律，若外积的两个向量交换，则外积向量取反向，理解后就可以作出各选项判断. 【详解】对于A，根据外积定义可得， 又，A正确； 对于B，，，B正确； 对于C，根据定义可得，长度相等，方向相反， 即，C错误； 对于D，，根据定义得与反向，， 所以，D正确． 故选：ABD. ◆题型6 空间向量基本定理 20．（空间向量基本定理概念辨析 25-26高二上·江苏南通·期末）【多选】 已知为空间的一个基底，则下列结论正确的是（    ） A．至多有一个零向量 B．也是空间的一个基底 C．空间任一向量均可用唯一线性表示 D．若，其中，则 【答案】BCD 【分析】根据空间基底的定义和性质对每个选项逐一进行分析判断. 【详解】对于A，零向量与任意向量共面，不满足空间基底中三个向量不共面的条件，故A错误； 对于B，假设共面， 则存在实数使得，说明共面， 与是空间的一个基底矛盾，所以不共面， 所以是空间的一个基底，故B正确； 对于C，根据空间向量基本定理，空间任一向量均可用空间一组基底唯一线性表示，故C正确； 对于D，因为是空间的一个基底，所以不共面， 所以当且仅当时，才成立，故D正确； 故选：BCD 21．（空间向量基底概念 25-26高二上·浙江·期末） 已知空间向量为一组基底，则以下空间向量不能构成基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用空间向量的共面定理，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，设存在实数，使得，可得， 所以，方程组无解，所以不共面，可以作为空间基底，所以A不符合题意； 对于B，设存在实数，使得，可得， 所以，解得，所以共面，不能作为空间基底，所以B符合题意； 对于C，向量，不存在实数使得， 所以不共面，可以作为空间基底，所以C不符合题意； 对于D，设存在实数，使得，可得， 所以，方程组无解，所以不共面，可以作为空间基底，所以D不符合题意. 故选：B. 22．（用空间基底表示向量 25-26高二·全国·暑假作业） 在平行六面体中，，，，为的中点，为与的交点． (1)用基底表示下列向量：，，； (2)在图中画出化简后的向量． 【答案】(1)，， (2)答案见解析 【分析】（1）根据几何体的性质，以及空间向量基本定理，用基底表示向量即可； （2）根据向量加法，求出向量即可. 【详解】（1）， ， ． （2），连接， 由于，且，所以或即为所求． 23．（由空间向量基本定理求参数 25-26高二上·辽宁沈阳·阶段检测） 如图，在三棱锥中，点为的重心，点在上，且，过点任意作一个平面分别交线段于点，，若，则（    ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】以为空间一组基底，结合已知条件得到，再利用四点共面即可得解. 【详解】连接并延长，交于点， 以为空间一组基底， 因为是的重心，点M在上，且， 所以 ， 又，则， 所以， 因为四点共面，所以， 则. 故选：A. ◆题型7 空间向量数量积和空间向量基本定理的应用 24．（空间向量的夹角（余弦值）的计算 25-26高二上·广西河池·阶段检测） 如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是2，且它们彼此的夹角都是，为与的交点．若． (1)求的值； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平行六面体的性质，结合已知条件得出各向量的模及夹角，再通过向量加减法，结合向量的数量积计算； （2）先用已知向量分别表示，再求出以及和，进而求解． 【详解】（1） 平行六面体所有棱长均为2，的模均为2，夹角均为，为与的中点， ，， ， ． （2）， ， ， ， ． 25．（ 利用空间向量求模、由空间向量共线求参数或值 24-25高二上·福建泉州·期中） 已知平行六面体，底面是正方形，，，，，，，设，，． (1)用向量表示向量，并求的长度； (2)设点满足，是否存在使得，，三点共线，若存在求出，若不存在请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在， 【分析】（1）先表示出，然后根据可求的表示；采用先平方再开方的方法结合数量积计算公式求解出的长度； （2）假设存在满足条件，先表示出，再根据三点共线得到对应方程组，由此可求的值. 【详解】（1）因为， ， 所以； 所以 ， 所以. （2）假设存在满足条件，所以， 因为，，三点共线，所以设， 所以， 所以，解得， 故满足条件. 26．（利用空间向量求模、空间向量垂直的应用 2025高二上·湖北武汉·专题练习） 如图，已知棱长为1的正四面体，设高的中点为． (1)求的长； (2)求证：，，两两垂直． 【答案】(1) (2) 证法1：因为 ， 所以， 同理可得, 所以 ， 所以，即， 同理可证，， 所以，，两两垂直． 证法2：因为为正三角形的重心， 所以， 其中为正三角形边上的中线(高)， 在中，， 所以， 在中， 可得， 同理可得， 所以可得， 所以， 同理可证，， 所以，，两两垂直． 【分析】（1）解法1：利用共面向量及三角形的重心特征可得，平方即可得答案； 解法2：求得，在中，由勾股定理求解即可； （2）证法1：由，可得，同理可证，，即得证明； 证法2：由，可得，，利用勾股定理即可得证明. 【详解】（1）解：解法1：因为为的重心， 所以， 所以 ， 所以； 解法2：因为为的重心 所以， 在中，由勾股定理可得：． （2）略 27．（求投影向量、求投影数量 25-26高二上·广西钦州·阶段检测）【多选】 在正四棱台中，，则（    ） A．和是相等向量 B． C．向量在向量上的投影向量为 D．向量在向量上的投影数量为2 【答案】BCD 【分析】根据相等向量、空间向量垂直、投影向量、投影数量等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】如图，和是相反向量，A错误. 根据正四棱台的性质可知，则，B正确. 设上底面在下底面的射影为， 延长交于点，连接. 根据正四棱台的性质可知， 平面， 平面平面，， 向量在向量上的投影向量为. ， 则向量在向量上的投影向量为，C正确. 向量在向量上的投影数量为，D正确. 故选：BCD    28．（求投影向量、利用空间向量求模 25-26高二上·河南漯河·阶段检测） 已知空间向量，均为单位向量，向量满足，，. (1)证明：在上的投影向量为. (2)求. 【答案】(1) 证明：因为，，空间向量为单位向量，所以. . 所以在上的投影向量为. 故在上的投影向量为. (2) 【分析】（1）根据向量的数量积公式及投影向量计算公式计算即可. （2）根据向量的模及数量积公式计算即可. 【详解】（1）略 （2）因为空间向量，均为单位向量，所以，，又， 所以，同理可得，又， 所以 . 故. 考点三 空间向量及其运算的坐标表示 ◆题型8 空间向量的坐标表示 29．（关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标 25-26高二上·福建厦门·阶段检测） 点关于平面的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵ 空间直角坐标系中，点关于平面对称时，纵坐标与竖坐标保持不变，横坐标变为原横坐标的相反数. ∴ 点关于平面的对称点坐标为 30．（求空间点的坐标 25-26高二下·甘肃酒泉·期末） 已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设点的坐标为，再根据向量相等坐标计算求解. 【详解】平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，设顶点的坐标为， 因为，所以，所以， 所以的坐标为. 31．（空间向量数量积运算的坐标表示 25-26高二上·浙江宁波·期末） 已知，，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据向量数量积的运算律和向量数量积的坐标表示计算即可. 【详解】因为，，， 所以. 所以. 故选：D. 32．（单位正交基底概念 23-24高二上·河北·期中） 已知平面，，，，，则空间的一个单位正交基底可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先得到两两垂直，再根据其长度得到空间的一个单位正交基底. 【详解】因为平面，平面， 所以，． 因为,即两两垂直， 又，，， 所以空间的一个单位正交基底可以为． 故选：B. 33．（根据单位正交基底求坐标、空间向量共线空间的判定 25-26高二上·广东广州·期中）【多选】 下列说法正确的是（    ） A．若与共线，与共线，则与共线 B．若G是四面体OABC的底面的重心，则 C．若，则A，B，C，G四点共面 D．若向量（其中，，是三个不共面的向量，），则称在基底下的坐标为．若在单位正交基底下的坐标为，则在基底下的坐标为 【答案】BD 【分析】A选项，若为零向量，与不一定共线；B选项利用向量的运算法则进行化简；C选项利用四点共面公式即可进行判断；D选项设在基底下的坐标为，利用题目所给的概念，将用两种方式表示出来，利用系数相等解出. 【详解】对于A，若为零向量，则满足与共线，与共线，但是与不一定共线，故A错误； 对于B，由于为四面体的底面的重心，设为的中点，故， 所以，故，故B正确； 对于C，由于，故四点不共面，故C错误； 对于D，在单位正交基底下的坐标为，即， 设在基底下的坐标为， 则满足， 所以，解得，则在基底下的坐标为，故D正确. 故选：BD. 34．（空间向量线性运算的坐标表示、空间向量共面求参数 25-26高二上·江苏无锡·期末） 已知空间向量，，，若向量，，共面，则实数的值为_____. 【答案】 【分析】根据空间向量共面定理，结合空间向量坐标的运算即可求解. 【详解】显然不共线， 因为向量，，共面， 所以，使得， 因为，，， 所以， 则，解得， 所以实数的值为. 故答案为：. ◆题型9 空间向量坐标的应用 35．（空间向量模长的坐标表示 25-26高一下·广东深圳·期末）【多选】 已知空间向量，则（ ） A． B．向量不是共面向量 C． D． 【答案】AC 【详解】，A正确； 设，即，解得， 即，所以是共面向量，B错误； ，所以，C正确； ，D错误. 36．（空间向量平行的坐标表示 24-25高二上·陕西西安·期中）【多选】 向量，，，且，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据空间向量的模的坐标公式即可判断A；根据空间向量共线定理即可判断B；根据空间向量线性运算的坐标表示及数量积的坐标公式即可判断C；根据空间向量夹角的坐标公式即可判断D. 【详解】对于A，， ，故A正确； 对于B，，设，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 37．（空间向量夹角余弦的坐标表示 25-26高三·全国·一轮复习） 已知，，且与夹角为锐角，则实数x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的坐标运算求解可得实数x的取值范围. 【详解】，，当时，有，解得， 此时，与夹角为，所以与夹角不可能为， 当与夹角为锐角时，有，解得， 则实数x的取值范围是． 故选：D. 38．（空间向量垂直平行的坐标表示、求投影向量和向量夹角余弦 25-26高二上·四川广安·阶段检测） 已知向量，，，且，． (1)求，，； (2)求向量与所成夹角的余弦值； (3)求在上的投影向量（用坐标表示）． 【答案】(1)，， (2) (3) 【详解】（1），，，， 又，，. 因此，，. （2），. ，. . 因此向量与所成夹角的余弦值为. （3）在上的投影向量为. 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．已知M(1,2,3),N(2,3,4),P(-1,2,-3)，若且，则Q点的坐标为（   ） A．(2,5,0) B．(-4,-1,-6)或(2,5,0) C．(3,4,1) D．(3,4,1) 或(-3,-2,-5） 【答案】B 【详解】设 ∵ ，        ∴         ∵且         ∴或         ∴或         ∴   或           ∴点的坐标为或，故答案选B 2．在空间直角坐标系中，，，，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】表示出，，后，利用空间向量坐标运算及垂直性质计算即可得. 【详解】，， ，， 由题意可得，解得. 3．如图，二面角的度数为，其棱上有两点、，线段、分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，若，，则线段的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析可知，，，，，利用空间向量数量积的运算性质可求得线段的长. 【详解】由题意可知，，，，，， 则， 因为， 所以， ， 因此，. 故选：D. 4．在四面体中，点分别为线段的中点，若，则的值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】先依据空间向量基本定理利用向量表示向量，进而求得的值，即可求得的值. 【详解】由 又，则 所以 故选：C 5．已知正三棱锥的底面边长为，侧棱长为1．O为底面内一点，且，，则（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量共面的推论求出，再根据数量积的定义及运算律计算可得. 【详解】根据空间向量共面定理：若点在平面内，且， 则系数和满足，解得： , 已知正三棱锥侧棱长，底面边长, 在中，，故，得, 同理在中，，故，得, 展开： 因此结果为. 6．对于一个单位球，为球心，在球面上，若对任意的，都有，则的最大值为（       ）. A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】的几何意义，即向量与的夹角大于等于，结合单位球的性质，通过分析球面上点的分布情况即可确定的最大值. 【详解】设与的夹角为，已知，且，则，所以， 在单位球面上，要使任意两个向量与的夹角大于等于，可以先考虑正多面体的顶点情况. 对于正四面体，它有4个顶点，其顶点在单位球面上时，任意两个顶点与球心连线的夹角大于，满足的条件. 对于正八面体，它有6个顶点，其顶点在单位球面上时，任意两个顶点与球心连线的夹角为，满足的条件. 若，在球面上必然存在两个点，，使得与的夹角小于，不满足条件. 因此，的最大值为6. 故选：B.    7．在长方体中，，，向量，若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，将点 的坐标用表示，代入约束条件后，把转化为关于的二次代数式，再通过代数配方求出最小值. 【详解】以D为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则, 所以， 所以， 所以， 所以，又， 所以， 将其看作关于的二次式，， 则当时最小值为， 则当时取得最小值，此时. 故选：A. 二、多选题 8．下列给出的命题不正确的是（ ） A．若为空间的一组基底，则不能构成空间的一组基底 B．若空间向量，满足，则与夹角为锐角 C．若直线的方向向量为，平面的法向量，则// D．若空间向量，则在方向上的投影向量为 【答案】BCD 【分析】利用空间向量基本定理判断A，当同向共线时即可判断B，由线面平行的条件判定C，在上的投影向量为即可判断D. 【详解】因为，所以三个向量共面， 所以不能构成空间的一组基底，故A对； 当同向共线时也成立，但与夹角不为锐角，故B错误， 由， 但当时，满足条件，但直线l不平行于平面，故C错； 在上的投影向量为，故D错， 故选：BCD 9．已知平行六面体中，各棱长均为，，则以下说法正确的是（    ） A． B．异面直线和所成角的余弦值为 C．四棱锥的体积为 D．与三棱锥各棱均相切的球的体积为 【答案】BC 【分析】利用空间向量数量积的运算性质可判断AB选项；求出平行六面体的高，分析可知四棱锥的体积是平行六面体体积的，结合柱体的体积公式可判断C选项；求出三棱锥棱切球的半径，结合球体体积公式可判断D选项. 【详解】由空间向量数量积的定义可得， 同理可得， 因为， 所以 ，所以，故A错误； 因为， 则 ， ， 所以， 所以，异面直线和所成角的余弦值为，故B正确； 四棱锥的体积为平行六面体体积的， 平行六面体的高即为正四面体的高，如下图所示： 设点在平面的射影为点，则为正的中心， 由正弦定理可得，， 菱形的面积为， 所以平行六面体的体积为， 所以四棱锥的体积为，故C正确； 三棱锥为正四面体，棱长为6， 设正四面体的棱切球球心为，且也为其外接球球心，则， 则，即，解得， 取线段的中点，连接，则， 且， 所以，正四面体的棱切球的半径为， 故球的体积为，故D错误. 10．在棱长均为的三棱柱中，，点满足，其中，则下列说法正确的是（   ） A．当点为棱的中点时， B．当时，四点共面 C．当时， D．当时，面积的最小值为 【答案】BCD 【分析】依托三棱柱棱长与夹角条件得到基底向量数量积，分别对四个选项：A通过向量分解求出系数求和判断对错；B利用空间四点共面向量充要条件推导；C展开数量积化简消去参数得定值；D结合点到直线距离与均值不等式求三角形面积最小值． 【详解】 对于A，当点为棱的中点时， ， 所以，，，，A错误； 对于B，当时，， 所以，即， 所以四点共面，B正确； 对于C，当时， ， 所以， 所以 ，C正确； 对于D，当时， ， ， 所以点到的距离， 因为，所以， 当且仅当时，等号成立， 所以的面积， 即面积的最小值为，D正确． 三、填空题 11．三个空间向量，，不共面，且存在实数，使.则__________. 【答案】 【分析】由条件，结合空间向量基本定理可求，由此可求结论. 【详解】因为，，，不共面， 所以，，， 所以. 故答案为：. 12．若向量，，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围为__. 【答案】 【分析】根据与的夹角为钝角，首先满足，解出的取值范围，排除共线的情况. 【详解】根据题意与的夹角为钝角， 则，解得； 若两向量方向相反，则存在，使得， 即，解得， 故有且， 所以实数的取值范围为. 四、解答题 13．已知空间向量. (1)求在上的投影向量； (2)若，求； (3)若，求的值. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）按照投影向量定义计算即可； （2）先根据算出，然后计算； （3）先根据算出，然后计算. 【详解】（1）由投影向量的定义， 在上的投影向量为. （2）若，则，所以， 所以 （3）若，则，所以，进而. 14．如图，在平行六面体中，，，，，.点是棱的中点，点是对角线上一点（包括端点），且满足. (1)若三点共线，求的值； (2)若对角线，求的最大值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设基向量，利用基底表示，根据三点共线即可求出； （2）根据基底以及得出即可求出. 【详解】（1）设基向量， 则， 因为， 所以， 因为三点共线，设， 则， 所以，得. （2）因为，且， 所以， 得，即， 故，即，所以的最大值为. 15．在平面上有如下命题：“若 为直线 外一点，则点 在直线 上的充要条件是：存在实数、 ，满足，且．” (1)请将该命题类比到空间中，并证明． (2)在四面体 中，已知，，．点 在平面 内，且满足． ①求的值； ②求的值． 【答案】(1)类比到空间中，该命题为： 若 为平面 外一点，则点 在平面 内的充要条件是： 存在实数、 、 ，满足，且． 证明：①若点平面 ， 由向量共面的充要条件知存在实数 、 使得， 由向量加减法得， 整理得， 令，，，则，其中． ②反之，若已知，且． 则， 整理得， 即， 根据向量共面的充要条件知、、共面，即 、 、 、 共面， 所以点 在平面 内． 综上所述，若 为平面 外一点，则点 在平面 内的充要条件是： 存在实数、 、，满足，且． (2)①；② 【分析】（1）结合空间向量的运算，利用共面向量定理证明即可； （2）①利用数量积的运算律求解即可； ②利用数量积的运算律及模的运算法则求解即可. 【详解】（1）略 （2）①由（1）的结论知，从而， 从而， 由已知，，得 ， ②因为 ， 所以． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $