1.1空间向量及其运算（题型专练）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦空间向量核心概念与运算，按“概念-运算-位置关系-综合应用”逻辑编排，题型覆盖选择、填空、解答，培养空间观念与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |空间向量的概念|5题|定义填空+命题真假判断|从自由向量等基础概念出发，构建向量基本属性认知| |空间向量加减运算|10题|结合几何体（平行六面体、三棱柱）的向量表示|在概念基础上，通过几何体模型实现向量运算具象化| |共线共面判断|8题|多选+填空（含三点共线、四点共面证明）|以共线/共面向量定理为核心，建立位置关系判断方法| |综合应用|17题|解答题（长度计算、夹角求解、投影向量）|整合概念与运算，解决复杂空间几何问题，体现知识迁移|

1.1空间向量及其运算 （题型专练）原卷版 空间向量的概念知识点01 1．（25-26高三·全国·一轮复习）空间向量的有关概念 名称 定义 表示法 自由向量 与向量的起点无关 零向量 模为__的向量 单位向量 模为__的向量 _____或________ 相等向量 方向________且模________的向量 或 相反向量 方向________且模________的向量 ________ 共线向量 当表示向量的两条有向线段所在的直线________或________时，称这两个向量互为共线向量或________向量 规定：零向量与任意向量________ 共面向量 当表示向量的有向线段所在直线________平面或________平面内时，就说向量平行于平面 平行于同一平面的向量，叫作共面向量．空间中，任意两个向量总是________的 2．（25-26高二·全国·暑假作业）（多选）（多选）下列命题为真命题的是（   ） A．若空间向量，满足，则 B．在正方体中，必有 C．若空间向量，，满足，，则 D．空间中任意两个单位向量必相等 3．（25-26高二上·重庆·期中）关于空间向量，下列四个结论正确的是（    ） A．共线的单位向量都相等 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．相反向量指方向相反的两个向量 D．任意两个空间向量一定共面 4．（25-26高二上·山东济南·期中）（多选）下列四个命题中，说法不正确的是（   ） A．空间任意两个单位向量必相等 B．对于非零向量，由，则 C．是共线的充分不必要条件 D．若向量满足，则 5．（25-26高二上·天津·阶段检测）下列关于空间向量的命题中，正确的是（   ） A．空间中所有的单位向量都相等 B．长度相等且方向相反的两个向量是相反向量 C．若满足，且同向，则 D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同 空间向量加减运算知识点02 6．（25-26高二下·甘肃白银·期末）在平行六面体中，（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一下·湖南长沙·期末）如图，在三棱柱中，设，，，是的中点，则可表示为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二·全国·暑假作业）（多选）（多选）在以下命题中，不正确的命题是（   ） A．已知A，B，C，D是空间任意四点，则 B．是共线的充要条件 C．若与共线，则表示与的有向线段所在直线平行 D．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若（其中），则P，A，B，C四点共面 9．（25-26高二·全国·暑假作业）在正方体中，下列各式的运算结果不为向量的是（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高二下·河南新乡·期中）如图，在三棱锥中，为的中点，，则（    ） A． B． C． D． 空间向量共线共面的判断知识点03 11．（24-25高二上·山东·期中）（多选）下列说法中正确的是（    ） A． 是共线的充分不必要条件 B．若共线，则 C．三点不共线，对空间中任意一点，若，则四点共面 D．若为空间四点，且有（不共线），则是三点共线的充要条件 12．（25-26高二上·河北·期中）（多选）关于空间向量、、，下列说法正确的是（    ） A．若与共线，与共线，则与共线 B．若存在实数、，使得，则、、共面 C．若是空间的一个基底，且，则四点共面 D．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 13．（25-26高二上·四川资阳·阶段检测）（多选）（多选）下列命题中为真命题的是（    ） A．若，都是直线的方向向量，则必有 B．为空间任意一点，若，且四点共面，则 C．若为不共线的非零向量，，，则 D．若向量是三个不共面的向量，且满足等式则 14．（25-26高二·全国·暑假作业）设是不共线的向量，已知，若A，B，D三点共线，则实数k为______． 15．（25-26高二上·广东揭阳·阶段检测）已知是空间的一个基底，向量，，，若，则的值________ 16．（25-26高二上·海南·阶段检测）对于下列命题： （1）若为空间不重合的四点(无三点共线)，且有，则是三点共线的充要条件. （2）对于空间的任意三个向量，它们一定是共面向量. （3）已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，有，则的值为. 正确的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 17．（25-26高二上·重庆·阶段检测）如图，在四面体中，为棱的中点，点，分别满足，，则（   ） A． B． C． D． 18．（25-26高二上·云南昆明·期末）平行六面体中，，设向量，则（    ） A． B． C． D． 空间向量加减运算知识点04 19．（25-26高二上·湖北黄冈·期末）在四面体中，设，，，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 20．（25-26高二上·江西景德镇·期末）（多选）关于空间向量，以下说法正确的是（   ） A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．若，则与的夹角是锐角 C．已知向量、、是不共面的向量，则、、也是不共面的向量 D．若对空间中任意一点，有，则、、、四点共面 21．（25-26高二上·新疆伊犁·期末）（多选）若三个空间向量，，，下列命题为假命题的是（   ） A．若，，满足，则 B．若，，则 C．若，，则 D． 22．（25-26高二下·江苏南京·期中）对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（ ） A．若且，则 B． C．若，且，则 D． 23．（25-26高二上·广西钦州·阶段检测）（多选）在正四棱台中，，则（    ） A．和是相等向量 B． C．向量在向量上的投影向量为 D．向量在向量上的投影数量为2 24．（25-26高二上·福建福州·阶段检测）（多选）下列四个结论错误的是（   ） A．任意向量，，若，则或或 B．若空间中点O，A，B，C满足，则A，B，C三点共线 C．空间中任意向量，，都满足 D．若，，则 25．（25-26高一下·河北承德·期末）在棱长为的正四面体中，点在上，且，为中点，则为（   ） A． B． C． D． 26．（25-26高二下·甘肃酒泉·期末）如图，平行六面体中，，，则__________． 27．（25-26高二下·江苏镇江·期末）正四面体的棱长为，为底面的中心，则______. 28．（25-26高二·全国·暑假作业）（多选）（多选）在正方体中，下列结论正确的是（    ） A．四边形的面积为 B．与的夹角为 C． D． 29．（25-26高三下·山东·阶段检测）（多选）已知正四面体的棱长为2，点分别为的中点，则（   ） A． B．直线与所成角的余弦值为 C． D．该正四面体的内切球体积为 30．（2026高二·全国·专题练习）已知空间向量，，的长度均为2，且，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（25-26高一下·重庆·期末）已知是同一平面内的四点，且任意三点不共线，为平面外一点，若，则实数的值为（    ） A．1 B． C． D． 2．（25-26高一下·黑龙江大庆·阶段检测）已知点，，不共线，为平面外一点，下列能够确定，，，四点共面的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·重庆沙坪坝·期中）已知四棱柱是平行六面体，空间中一点平面，实数满足，则实数（    ） A． B． C． D． 4．（2026·甘肃张掖·二模）已知非零向量，满足，则向量在向量上的投影向量为（     ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·江苏淮安·期中）如图所示，四面体所有棱长均为4，则（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·甘肃酒泉·期中）已知直四棱柱的棱长均为2，，则（    ） A．4 B．2 C． D． 7．（25-26高一下·上海·期中）下面给出的关系式中 （1）；         （2）； （3）；         （4）； （5）若，且，则． 正确的个数是（   ）. A．1 B．2 C．3 D．4 8．（25-26高二下·河南平顶山·期中）如图，在正八面体中，四边形为平行四边形，，分别为，的中点，设，，，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高二下·湖南岳阳·期末）（多选）若构成空间的一个基底，则下列不能构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 10．（2026·广东东莞·三模）（多选）在平行六面体中，，，，分别为棱，的中点，则（    ） A． B．平面 C． D．直线与所成角的余弦值为 11．（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）（多选）若空间向量为非零向量，下列命题正确的有（    ） A．若，则. B．向量在向量上投影向量为. C．若不共线，则共面的充要条件是存在唯一实数对，使得. D．若向量两两夹角相同且是单位向量，则的取值范围为. 三、填空题 12．（25-26高一下·黑龙江·期末）已知A，B，C三点不共线，P为平面ABC外一点，且.若H，A，B，C四点共面，则__________. 13．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）已知四棱锥，底面是平行四边形，为的中点，经过直线的平面与侧棱分别交于点．设，．若，则______． 14．（24-25高二下·江苏·阶段检测）已知正四棱锥的所有棱长均为为底面内一点，且，则__________. 四、解答题 15．（25-26高二下·江苏扬州·期中）如图，在三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于为的中点，为线段上靠近的三等分点. (1)设，试用向量表示； (2)求线段的长度. 16．（25-26高二上·湖北·阶段检测）如图，在空间四边形中，，点为的中点，设． (1)试用向量表示向量； (2)若，求的值． 17．（25-26高二上·江苏南通·期中）如图，在棱长为2的正四面体中，已知是线段的中点，点在线段上，且.    (1)用向量表示； (2)求； (3)求向量与夹角的余弦值. 18．（25-26高二上·天津·阶段检测）已知平行六面体． (1)求的长度？ (2)求证：； (3)求异面直线与所成角的余弦值． 19．（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）在平行六面体中，，，，，． (1)求； (2)求证：； (3)求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1空间向量及其运算（题型专练）答案版 1．（25-26高三·全国·一轮复习）空间向量的有关概念 名称 定义 表示法 自由向量 与向量的起点无关 零向量 模为__的向量 单位向量 模为__的向量 _____或________ 相等向量 方向________且模________的向量 或 相反向量 方向________且模________的向量 ________ 共线向量 当表示向量的两条有向线段所在的直线________或________时，称这两个向量互为共线向量或________向量 规定：零向量与任意向量________ 共面向量 当表示向量的有向线段所在直线________平面或________平面内时，就说向量平行于平面 平行于同一平面的向量，叫作共面向量．空间中，任意两个向量总是________的 【答案】 0 1 1 1 相同 相等 相反 相等 平行 重合 平行 平行 平行于 在 共面 【知识点】空间向量的有关概念 【详解】略 2．（25-26高二·全国·暑假作业）（多选）（多选）下列命题为真命题的是（   ） A．若空间向量，满足，则 B．在正方体中，必有 C．若空间向量，，满足，，则 D．空间中任意两个单位向量必相等 【答案】BC 【知识点】空间向量的有关概念、空间向量共线的判定 【详解】A，根据向量相等的定义知，模相等且方向相同为相等向量，而A中向量与的方向不一定相同，假命题； B，由正方体的结构特征知，与的方向相同，模也相等，故，真命题； C，向量的相等满足传递性，真命题； D，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同故不一定相等，假命题． 3．（25-26高二上·重庆·期中）关于空间向量，下列四个结论正确的是（    ） A．共线的单位向量都相等 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．相反向量指方向相反的两个向量 D．任意两个空间向量一定共面 【答案】D 【知识点】空间向量的有关概念 【分析】根据空间向量的相关定义即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，共线的单位向量方向可能相同也可能相反，即共线的单位向量可能是相等的向量也可能是相反向量，故A不正确； 对于B，不相等的两个空间向量的模可能相等，比如相反向量，故B错误； 对于C，相反向量指方向相反，模相等的两个向量，故C错误； 对于D，任意两个空间向量一定共面，故D正确. 故选：D 4．（25-26高二上·山东济南·期中）（多选）下列四个命题中，说法不正确的是（   ） A．空间任意两个单位向量必相等 B．对于非零向量，由，则 C．是共线的充分不必要条件 D．若向量满足，则 【答案】ABD 【知识点】判断命题的充分不必要条件、零向量与单位向量、相等向量、空间向量的有关概念 【分析】根据单位向量、相等向量、共线向量、向量的数量积等逐项进行分析判断即可. 【详解】选项A：单位向量的模长均为1，但方向任意，而相等向量需要模长和方向都相同，因此空间任意两个单位向量不一定相等，A错误. 选项B：因为为非零向量，所以可化为，故，无法推出，B错误. 选项C：若，则，即， 所以，说明反向共线； 当共线时，①同向时，，②反向时，， 所以不一定等于. 因此是共线的充分不必要条件，C正确. 选项D：向量是既有大小又有方向的量，不能直接比较大小，故D错误. 故选：ABD. 5．（25-26高二上·天津·阶段检测）下列关于空间向量的命题中，正确的是（   ） A．空间中所有的单位向量都相等 B．长度相等且方向相反的两个向量是相反向量 C．若满足，且同向，则 D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同 【答案】B 【知识点】空间向量的有关概念 【分析】根据题意，利用向量的定义、相等向量和相反向量的定义，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，向量是既有大小又有方向的量，所有单位向量的模相等，方向不一定相同， 所以空间中所有的单位向量不一定相等，所以A错误； 对于B，由相反向量的定义知，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，所以B正确； 对于C，由向量的定义知，向量不能比较大小，所以C错误； 对于D，根据相等向量的定义知，长度相等且方向相同的两个向量是相等向量，但相等向量的起点和终点不一定相同，所以D错误. 故选：B. 6．（25-26高二下·甘肃白银·期末）在平行六面体中，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】向量加法法则的几何应用、空间向量的加减运算、空间向量加减运算的几何表示 【详解】由题意得， 所以. 7．（25-26高一下·湖南长沙·期末）如图，在三棱柱中，设，，，是的中点，则可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】空间向量的加减运算、空间向量加减运算的几何表示、用空间基底表示向量 【详解】是的中点，则 ． 8．（25-26高二·全国·暑假作业）（多选）（多选）在以下命题中，不正确的命题是（   ） A．已知A，B，C，D是空间任意四点，则 B．是共线的充要条件 C．若与共线，则表示与的有向线段所在直线平行 D．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若（其中），则P，A，B，C四点共面 【答案】BCD 【知识点】空间向量的加减运算、空间向量共线的判定、空间共线向量定理的推论及应用、判定空间向量共面 【分析】根据空间向量线性运算、模、平行、共面等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】，故A正确； 若，同向共线，则，故B不正确； 若与共线，则表示与的有向线段所在直线重合或平行，故C不正确； D选项中，只有时，才有P，A，B，C四点共面，故D不正确． 9．（25-26高二·全国·暑假作业）在正方体中，下列各式的运算结果不为向量的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则、空间向量的加减运算、用空间基底表示向量 【详解】根据空间向量的加法法则及正方体的性质，逐一判断可知A，B，D的运算结果都为，而C中，． 10．（25-26高二下·河南新乡·期中）如图，在三棱锥中，为的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】空间向量的加减运算、空间向量的数乘运算、用空间基底表示向量 【分析】根据空间向量的加减法及数乘运算计算求解. 【详解】因为为的中点，所以， 因为， 所以． 11．（24-25高二上·山东·期中）（多选）下列说法中正确的是（    ） A． 是共线的充分不必要条件 B．若共线，则 C．三点不共线，对空间中任意一点，若，则四点共面 D．若为空间四点，且有（不共线），则是三点共线的充要条件 【答案】ACD 【知识点】判断命题的充分不必要条件、充要条件的证明、空间向量共线的判定、判定空间向量共面 【分析】由向量数量积运算律及共线判定，结合充分必要性定义判断A，利用共线，则直线AB，CD可能重合判断B，利用四点共面的结论判断C，由向量线性运算及共线判定，结合充分必要性定义判断D. 【详解】对于A：由， 此时，共线，充分性成立， 若，同向共线，且，则，显然不成立， 必要性不成立， 所以“”是“共线”的充分不必要条件，故A正确； 对于B：若共线，则直线AB，CD可能重合，故B错误； 对于C：由，且， 根据空间向量共面的推论知四点共面，故C正确； 对于D：（不共线），若， 则，所以， 即，所以三点共线，反之也成立， 所以是三点共线的充要条件，（本选项也可用三点共线的推论）故D正确. 故选：ACD 12．（25-26高二上·河北·期中）（多选）关于空间向量、、，下列说法正确的是（    ） A．若与共线，与共线，则与共线 B．若存在实数、，使得，则、、共面 C．若是空间的一个基底，且，则四点共面 D．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 【答案】BCD 【知识点】空间向量共线的判定、判定空间向量共面、空间共面向量定理的推论及应用 【分析】利用任意向量都与共线来判断A，利用共面定理来判断B，利用空间四点共面定理来判断C，利用空间基底来判断D. 【详解】当时，任意的，都与共线，但与不一定共线，故A错误； 若存在实数、，使得，根据这个式子可判断、、共面，故B正确； 由，满足，则四点共面，故C正确； 若是空间的一个基底，则不共面，假设共面， 则， 因为不共面，所以，此时方程组无解，故假设不成立， 所以不共面， 即也是空间的一个基底，故D正确； 故选：BCD 13．（25-26高二上·四川资阳·阶段检测）（多选）（多选）下列命题中为真命题的是（    ） A．若，都是直线的方向向量，则必有 B．为空间任意一点，若，且四点共面，则 C．若为不共线的非零向量，，，则 D．若向量是三个不共面的向量，且满足等式则 【答案】CD 【知识点】空间向量的有关概念、空间向量共线的判定、判定空间向量共面 【分析】利用共线向量的意义及定理判断选项A、C；利用共面向量定理可以判断选项B,D. 【详解】对于选项A:一条直线的方向向量有多个，它们是平行向量，方向相同或相反，模长可以不同，故选项A错误； 对于选项B: 由题意可得:， 所以， 因为四点共面，所以由共面向量定理的推论可得， 即；故选项B错误； 对于选项C:因为，所以，故选项C正确； 对于选项D:假设存在不全为零的实数,，使得 不妨设，则 此时共面，与不共面矛盾， 所以只有时，，故选项D正确． 故选：CD. 14．（25-26高二·全国·暑假作业）设是不共线的向量，已知，若A，B，D三点共线，则实数k为______． 【答案】 【知识点】由空间向量共线求参数或值 【详解】因为，又A，B，D三点共线， 由向量共线的充要条件得，所以． 15．（25-26高二上·广东揭阳·阶段检测）已知是空间的一个基底，向量，，，若，则的值________ 【答案】 【知识点】由空间向量共线求参数或值 【分析】由向量平行得到，求解即可. 【详解】因为，所以， 即，， 所以. 故答案为：. 16．（25-26高二上·海南·阶段检测）对于下列命题： （1）若为空间不重合的四点(无三点共线)，且有，则是三点共线的充要条件. （2）对于空间的任意三个向量，它们一定是共面向量. （3）已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，有，则的值为. 正确的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【知识点】空间共线向量定理的推论及应用、判定空间向量共面、空间共面向量定理的推论及应用 【分析】根据线性运算法则，结合三点共线的性质，即可判断（1）的正误；根据线性运算法则，结合向量共面的性质，可判断（2）、（3）的正误，即可得答案. 【详解】对于（1）：若，则 ， 所以，即， 说明A在直线BC上，故三点共线，充分性成立； 若三点共线，则存在，使得， 所以，整理得， 此时，必要性成立， 所以是三点共线的充要条件，故（1）正确. 对于（2）：因为， 所以是共面向量，故（2）正确； 对于（3）：由题意 ， 因为点M在平面ABC内， 所以，解得，故（3）错误. 故选：C 17．（25-26高二上·重庆·阶段检测）如图，在四面体中，为棱的中点，点，分别满足，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】空间向量的加减运算、空间向量加减运算的几何表示、空间共线向量定理的推论及应用 【分析】根据给定的几何体，利用空间向量的基底表示，再利用向量线性运算求解作答. 【详解】在四面体中，是的中点，则， 因为，所以，所以， 又，所以，所以， 所以. 故选：A. 18．（25-26高二上·云南昆明·期末）平行六面体中，，设向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】空间向量的加减运算、空间向量的数乘运算 【分析】根据空间向量的线性运算可得. 【详解】 由图和题意可知 ， 又， 故， 故选：C 19．（25-26高二上·湖北黄冈·期末）在四面体中，设，，，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】空间向量的加减运算、空间向量加减运算的几何表示、空间向量的数乘运算、空间向量数乘运算的几何表示 【分析】根据空间向量的线性运算即可求解 . 【详解】由已知， . 故选：A 20．（25-26高二上·江西景德镇·期末）（多选）关于空间向量，以下说法正确的是（   ） A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．若，则与的夹角是锐角 C．已知向量、、是不共面的向量，则、、也是不共面的向量 D．若对空间中任意一点，有，则、、、四点共面 【答案】ACD 【知识点】判定空间向量共面、空间共面向量定理的推论及应用、空间向量数量积的概念辨析 【分析】根据向量夹角的范围、空间基底的定义和空间向量基本定理的知识依次判断即可. 【详解】对于A选项，根据共线向量的概念可知，空间中的三个向量，若有两个向量共线， 则这三个向量一定共面，A对； 对于B选项，若，则与的夹角是锐角或与方向相同，B错； 对于C选项，假设、、也是共面向量， 则存在、，使得，即， 由向量、、是不共面的向量，则有、，无解， 故、、也是不共面的向量，C对； 对于D选项，因为， 所以，即， 所以、、共面，故、、、四点共面，D对. 故选：ACD. 21．（25-26高二上·新疆伊犁·期末）（多选）若三个空间向量，，，下列命题为假命题的是（   ） A．若，，满足，则 B．若，，则 C．若，，则 D． 【答案】ABD 【知识点】空间向量共线的判定、空间向量数量积的概念辨析 【分析】根据向量的数量积、平行关系以及向量相等的性质逐一判断即可. 【详解】对于A，根据数量积定义可得，当时，对于任意的向量和都有，但不一定，故A错误. 对于B，当时，与任意向量平行，故对于任意的向量和，都有，，但此时不一定有，故B错误. 对于C，根据向量相等的定义可知，若，，则和大小相等，方向相同，即，故C正确. 对于D，表示与共线的向量，表示与共线的向量， 和不一定共线，不一定等于，故D错误. 故选：ABD. 22．（25-26高二下·江苏南京·期中）对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（ ） A．若且，则 B． C．若，且，则 D． 【答案】B 【知识点】空间向量数量积的概念辨析 【分析】根据数量积的运算律即可判断BCD，根据向量共线的性质即可判断A. 【详解】对于A，若，则且，不一定成立，故A错误， 对于B，，故B正确， 对于C，若，且，则， 则，无法得出，故C错误， 对于D，表示与共线的向量，而表示与共线的向量， 所以与不一定相等，故D错误. 故选：B. 23．（25-26高二上·广西钦州·阶段检测）（多选）在正四棱台中，，则（    ） A．和是相等向量 B． C．向量在向量上的投影向量为 D．向量在向量上的投影数量为2 【答案】BCD 【知识点】空间向量的有关概念、空间向量数量积的概念辨析 【分析】根据相等向量、空间向量垂直、投影向量、投影数量等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】如图，和是相反向量，A错误. 根据正四棱台的性质可知，则，B正确. 设上底面在下底面的射影为， 延长交于点，连接. 根据正四棱台的性质可知， 平面， 平面平面，， 向量在向量上的投影向量为. ， 则向量在向量上的投影向量为，C正确. 向量在向量上的投影数量为，D正确. 故选：BCD    24．（25-26高二上·福建福州·阶段检测）（多选）下列四个结论错误的是（   ） A．任意向量，，若，则或或 B．若空间中点O，A，B，C满足，则A，B，C三点共线 C．空间中任意向量，，都满足 D．若，，则 【答案】CD 【知识点】空间向量共线的判定、空间向量数量积的概念辨析、空间向量数量积的应用 【分析】根据向量数量积的概念判断AC的真假；根据三点共线的有关结论判断B的真假；举特例说明D错误. 【详解】对A：因为，若，则或或， 即或或，故A正确； 对B：因为，时，三点共线，故B正确； 对C：因为两个向量的数量积是实数，故是与共线的向量， 是与共线的向量，所以未必成立，故C错误； 对D：当时，对任意向量，，都成立，但未必成立，故D错误. 故选：CD 25．（25-26高一下·河北承德·期末）在棱长为的正四面体中，点在上，且，为中点，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求空间向量的数量积、空间向量数量积的应用、用空间基底表示向量 【分析】选取基底向量将表示为向量的线性组合，再通过对该向量求平方，利用已知向量的数量积即可求解. 【详解】设， 由题意得，， ，， 因为为中点，所以， ， ， 所以.    26．（25-26高二下·甘肃酒泉·期末）如图，平行六面体中，，，则__________． 【答案】 【知识点】求空间向量的数量积、空间向量数量积的应用 【分析】先得到，两边平方，从而得到模长 【详解】， ， 所以. 27．（25-26高二下·江苏镇江·期末）正四面体的棱长为，为底面的中心，则______. 【答案】 【知识点】求空间向量的数量积 【详解】因为O为底面的中心，所以， ， ， 28．（25-26高二·全国·暑假作业）（多选）（多选）在正方体中，下列结论正确的是（    ） A．四边形的面积为 B．与的夹角为 C． D． 【答案】ACD 【知识点】向量夹角的计算、求空间向量的数量积、空间向量数量积的应用 【分析】先由正方体的结构特征，判断四边形为矩形，验证A；再区分异面直线所成角与向量夹角的定义，结合为等边三角形，判断B；接着利用空间向量加法法则，将左边化简为，再结合正方体体对角线长度验证C；最后将向量差化简为，由正方体中验证D． 【详解】 对于A，因为平面，平面，所以， 所以四边形为矩形，面积为，A正确； 对于B，是等边三角形，所以， 又因为，所以异面直线与所成的角为， 结合图象向量与的夹角为，B错误； 对于C，由向量加法的运算法则可以得到， 因为，所以，C正确； 对于D，易得， 在正方体中，平面， 所以，所以，D正确． 29．（25-26高三下·山东·阶段检测）（多选）已知正四面体的棱长为2，点分别为的中点，则（   ） A． B．直线与所成角的余弦值为 C． D．该正四面体的内切球体积为 【答案】ABD 【知识点】球的体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、求异面直线所成的角、求空间向量的数量积 【分析】取的中点，利用线面垂直的判定性质判断A；利用定义法求出异面直线夹角余弦判断B；利用空间向量数量积运算律计算判断C；利用体积法求出内切球的半径，进而求出球的体积判断D. 【详解】对于A中，因为点分别为的中点，所以， 取的中点，分别连接， 因为，所以， 又因为且平面，所以平面， 因为平面，所以， 又因为，所以，所以A正确； 对于B，取的中点，连接，因为为的中点，所以， 所以异面直线与所成角，即为直线与所成角所成的角， 因为正四面体的棱长为，可得， 在中，可得， 所以异面直线与所成角的余弦值为，所以B正确； 对于 C，设向量，则，且， 则， 因为，， 所以， 所以C错误； 对于D，设正四面体的底面正的中心为，连接， 在等边中，可得， 在直角中，可得， 即正四面体的高为， 所以正四面体的体积为， 又由正四面体的表面积为， 设正四面体的内切球的半径为， 根据等体积法，可得，即，解得， 所以内切球的体积为，所以D正确. 30．（2026高二·全国·专题练习）已知空间向量，，的长度均为2，且，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模、向量夹角的计算、空间向量数量积的应用 【分析】利用空间向量的数量积求向量的夹角. 【详解】因为，，即； 又，所以，， 设与的夹角为，则， 又，所以. 1．（25-26高一下·重庆·期末）已知是同一平面内的四点，且任意三点不共线，为平面外一点，若，则实数的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【知识点】空间向量共面求参数 【分析】利用共面向量定理的推论，四点共面时向量线性表示的系数和为1，列方程求解λ. 【详解】因为是同一平面内的四点，任意三点不共线， 为平面外一点，当时， 根据共面向量定理的推论，有，解得. 2．（25-26高一下·黑龙江大庆·阶段检测）已知点，，不共线，为平面外一点，下列能够确定，，，四点共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判定空间向量共面、空间共面向量定理的推论及应用 【分析】点不共线，为平面外一点，则四点共面的充要条件是：存在实数，使得且系数和，再逐个验证选项. 【详解】若在平面内，则存在实数，使得,即， 整理得：，令，则， 即点不共线，为平面外一点，则四点共面的充要条件是：存在实数，使得且系数和； 对于 A：系数和，不满足共面条件， 对于B：系数和，不满足共面条件， 对于 C：系数和，满足共面条件， 对于 D：系数和，不满足共面条件. 3．（25-26高一下·重庆沙坪坝·期中）已知四棱柱是平行六面体，空间中一点平面，实数满足，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】空间向量共面求参数、空间共面向量定理的推论及应用 【详解】因为四点共面， 所以，解得. 4．（2026·甘肃张掖·二模）已知非零向量，满足，则向量在向量上的投影向量为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模、求投影向量 【详解】由，得，因此， 向量在向量上的投影向量， 故B正确. 5．（25-26高二下·江苏淮安·期中）如图所示，四面体所有棱长均为4，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、空间向量的加减运算 【分析】根据空间向量的线性运算及数量积求解即可. 【详解】由题意知，为等边三角形，所以. 所以 . 6．（25-26高二下·甘肃酒泉·期中）已知直四棱柱的棱长均为2，，则（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】B 【知识点】空间向量数量积的应用 【详解】 在直四棱柱中，，， , . 7．（25-26高一下·上海·期中）下面给出的关系式中 （1）；         （2）； （3）；         （4）； （5）若，且，则． 正确的个数是（   ）. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】向量数乘的有关计算、数量积的运算律 【分析】根据平面向量的数乘、数量积的运算法则与性质，逐个判断5个关系式的正误，统计正确关系式的个数得到结果. 【详解】判断(1)：根据数乘向量的定义，实数与任意向量相乘，结果都是零向量，因此正确； 判断(2)：根据数量积的分配律展开：，正确； 判断(3)：，正确； 判断(4)：是实数，左边是与共线的向量； 是实数，右边是与共线的向量，与不一定共线，因此等式不一定成立，错误； 判断(5)：由，只能推出，当时，，不能推出，错误； 综上，正确的关系式共个，选C. 8．（25-26高二下·河南平顶山·期中）如图，在正八面体中，四边形为平行四边形，，分别为，的中点，设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】空间向量的加减运算 【详解】为正八面体，四边形为正方形； ； 是的中点，，则， 为的中点，四边形为平行四边形， ， . 9．（25-26高二下·湖南岳阳·期末）（多选）若构成空间的一个基底，则下列不能构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【知识点】基底的概念及辨析、判定空间向量共面 【详解】空间基底判定：三个向量不共面才能构成空间基底； 若存在不全为 0 实数使，则三向量共面，不能作为基底， A：因为，系数不全为 0，所以三向量共面，不能构成基底； B：因为，系数全为 1 不全为 0，所以三向量共面，不能构成基底； C：设，整理：， 不共面，解得唯一解，所以三向量不共面，可以构成基底； D：设，整理：， 不共面，解得唯一解，所以三向量不共面，可以构成基底. 10．（2026·广东东莞·三模）（多选）在平行六面体中，，，，分别为棱，的中点，则（    ） A． B．平面 C． D．直线与所成角的余弦值为 【答案】BD 【知识点】余弦定理解三角形、求异面直线所成的角、证明线面垂直、空间向量数量积的应用 【分析】对A：利用平行六面体性质结合平行四边形定义及其性质可得，又与相交，可得与为异面直线；对B：借助菱形性质可得，再利用三角形全等可得，由等腰三角形三线合一可得，即可利用线面垂直判定定理得到平面；对C：求出、及后，利用余弦定理计算即可得；对D：由，，可得即为所求，求出、、后，利用余弦定理计算即可得. 【详解】对于A：平行六面体中，， 又为棱的中点，所以与相交，故与为异面直线，A错误.    对于B：连接、，交于点，连接、， 因为，则四边形为菱形，故，点为中点. 又，，所以，故. 又点为中点，所以， 又，，平面，故平面，故B正确. 对于C：由，， 得、、均为等边三角形，故. 在等腰中，， 在等腰中，， 在中，， 在中，，则，C错误. 对于D：连接，，因为，分别为棱，的中点，所以， 又，则直线与所成角即为直线与所成角，即为. ， ，， 在中，，D正确. 11．（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）（多选）若空间向量为非零向量，下列命题正确的有（    ） A．若，则. B．向量在向量上投影向量为. C．若不共线，则共面的充要条件是存在唯一实数对，使得. D．若向量两两夹角相同且是单位向量，则的取值范围为. 【答案】BC 【知识点】数量积的运算律、判定空间向量共面、空间向量数量积的应用、求投影向量 【详解】 对于A，如图，在正方体中，不妨设， 此时，但是，故A错误； 对于B，向量在向量上的投影向量为，故B正确； 对于C，根据共面向量基本定理，可知C正确； 对于D，设向量之间的夹角为，因， 则，因，则， 故的取值范围为，故D错误. 12．（25-26高一下·黑龙江·期末）已知A，B，C三点不共线，P为平面ABC外一点，且.若H，A，B，C四点共面，则__________. 【答案】 【知识点】空间向量共面求参数 【分析】结合空间向量共面定理的推论求参数即可. 【详解】由题意可知H，A，B，C四点共面的充要条件是存在，使得且， 所以，解得. 13．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）已知四棱锥，底面是平行四边形，为的中点，经过直线的平面与侧棱分别交于点．设，．若，则______． 【答案】/0.6 【知识点】空间向量共面求参数 【分析】连接交于点，将转换成，结合共面，即可求解. 【详解】 连接交于点，因为底面ABCD是平行四边形， 所以为的中点， 由平行四边形法则可得：， 故， 又，， 得，， 又Q为PA的中点，， 所以， 由题意共面， 所以， 解得. 14．（24-25高二下·江苏·阶段检测）已知正四棱锥的所有棱长均为为底面内一点，且，则__________. 【答案】 【知识点】空间向量数量积的应用、用空间基底表示向量 【详解】因为为底面内一点，且， 所以，解得，则， 又， 可得 . 15．（25-26高二下·江苏扬州·期中）如图，在三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于为的中点，为线段上靠近的三等分点. (1)设，试用向量表示； (2)求线段的长度. 【答案】(1) (2) 【知识点】求空间向量的数量积、空间向量数量积的应用、用空间基底表示向量 【分析】（1）根据空间向量的加减运算求解即可； （2）根据空间向量的数量积的运算律及数量积的定义运算求解， 【详解】（1） . （2）依题意，， 则 . 16．（25-26高二上·湖北·阶段检测）如图，在空间四边形中，，点为的中点，设． (1)试用向量表示向量； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】求空间向量的数量积、用空间基底表示向量 【分析】（1）利用向量的线性运算法则计算求解； （2）先利用已知条件求出相关向量数量积，运用向量加减法运算求出，再通过向量数量积运算求解． 【详解】（1），． ． 点为的中点， ． （2）， ， ， ． 17．（25-26高二上·江苏南通·期中）如图，在棱长为2的正四面体中，已知是线段的中点，点在线段上，且.    (1)用向量表示； (2)求； (3)求向量与夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】已知数量积求模、向量夹角的计算、用空间基底表示向量 【分析】（1）根据向量的线性运算法则，准确化简、运算，即可求解； （2）利用向量的模与数量积的关系求解即可； （3）利用向量的夹角公式计算即可求解. 【详解】（1） ； （2） （3）因为， 所以 . . 由正四面体的棱长为2，可得， 所以. 18．（25-26高二上·天津·阶段检测）已知平行六面体． (1)求的长度？ (2)求证：； (3)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3) 【知识点】求空间向量的数量积、空间向量数量积的应用 【分析】（1）首先写出，再根据向量数量积的运算律即可得到答案； （2）利用基底法得，再计算数量积为0即可； （3）首先写出，再求出相关数量积和模长，最后根据数量积的夹角公式即可得到答案. 【详解】（1）设，， ，，， 则 . （2）， 则，则. （3）， 则， 而 则， 则异面直线与所成角的余弦值为. 19．（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）在平行六面体中，，，，，． (1)求； (2)求证：； (3)求的长． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【知识点】求空间向量的数量积、空间向量数量积的应用、空间位置关系的向量证明 【分析】（1）由向量数量积的定义计算即可； （2）根据数量积为证明垂直； （3）由，再计算模长即可. 【详解】（1）. （2）证明：因为 ， 所以. （3）因为， 所以， . 所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $