专题23 圆的相关性质（5考点38题）（1年汇编）（全国通用01期）【好题汇编】2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 专题23圆的相关性质汇编38道中考真题，覆盖垂径定理、弧弦圆心角关系等5个核心考点，题型含选择、填空、解答，创新考法融合实践建模、文化传承与动态探究，适配中考命题趋势。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|15题|垂径定理结合勾股计算、切线证明；直径直角模型串联中位线、三角函数|实践创新（圆柱形水管水面高度计算）、文化创新（沈括会圆术弧长近似计算）| |选择/填空|23题|圆周角定理与正五边形外接圆角度计算；等弧圆周角等量代换|模型创新（正多边形外接圆角度）、动态创新（圆上动点角度范围判断）|

函学科网 专题23 考点01垂径定理 1.B 2.0.2或0.8/或0.8或0.2 3.(1)证明：连接0C, D E B OA=OC, .∠OAC=∠OCA, :CD是⊙O的切线， .OC⊥CD. .AD⊥CD .OC∥AD ∴.∠DAC=∠OCA. .∠DAC=∠OAC, .AC平分∠DAB: 26π-95 4.042 (2)证明：连接OE, www.zxxk.com 让教与学更高效 圆的相关性质(5考点38题) 答案版 1/11 函学科网 C B D G :点G在EF的垂直平分线上， .GE=GF, ∴.∠GEF=∠GFE, ,∠GFE=∠AFH. .∠GEF=∠AFH, :CD⊥AB .∠AHF=90°， .∠A+∠AFH=90°， .OA=OE. .∠A=∠OEA. .∠OEA+∠GEF=90°， ∴.∠OEG=90°， .OE⊥EG .OE是⊙0半径， .EG是⊙O的切线。 5.(1)证明：如图，连接CD, 为 的直径， ·BC⊙O www.zxxk.com 让教与学更高效 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠CDB=90°， 又AC=BC, .AD=BD: .25 2)6 6.)证明：连接OE,OD,CO0,并延长CO交DE于点G, B D :BC为⊙O的切线，CO为半径， .∠OCB=90° :DE∥BC .∠CGE=∠OCB=90°，即CG⊥DE .OE =OD ∴.CG垂直平分DE .CE=CD: .144 225 7.(1)多次测量取平均值 (2)方案二弧长为2πm;方案三弧长为6.225m 6)'s-6.2m.4EB=72 8.(1)证明：连接OD G EB 的直径，弦 于点E, AB⊙O CD⊥AB :.BC=BD∠BOD+∠ODE=90° 3/11 函学科网 WWW.2 .∠BOD=2∠A :.2∠A+∠0DE=90°， 1 LA=ZCDG, :∠CDG=2∠A, .∠CDG+∠ODE=90°， .∠0DG=90° ∴DG是⊙O的切线： 5 (2)4 9.(1)证明：：AB为⊙0的直径， .∠C=90°. ,四边形CDEF是平行四边形， .∠E=∠C=90° ,DE,EF分别与OO相切于点M,N, ∴.∠OME=∠OWE=90° ∴.∠E=∠OME=∠ONE=90°. ∴.四边形OMEN为矩形， ..OM =ON. ∴.四边形OMEN为正方形： (2)8 品 考点02弧、弦、圆心角的关系 1.(1)相等：互相垂直 2)证明：延长PO交AC于点H, 由(I)可得，PO垂直平分AC,即HA=HC, xxk.com 让教与学更高效 函学科网 ..OA=OB. .OH是△ABC的中位线， .OH I BC,即POI‖BC; (3)补全图形如图： 的半径为3 ⊙0 2.(1)证明：如图，连接OF, F .AC是⊙O的切线， .∠1+∠2=90° .∠C=90°， .∠4+∠2=90° ∴.∠1=∠4 又.OF=OB .∠1=∠3 .∠3=∠4 :脉D (2)BE=BD+2CD 证明：如图，连接FD,过点F作FG⊥BE www.zxxk.com 让教与学更高效 于点G, 5/11 学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 B E .∠FGB=∠C=90° 由(1)可得∠FBC=∠FBE 又FB=FB .△FBC≌△FBG(AAS) .FC=FG,BC=BG .EF=FD .FD=FE, :RtEFG≌RtDFC(HL) ∴.CD=EG .'BE=BG+EG=BC+CD=BD+2CD,BE BD+2CD 3.扇形BOD(即阴影部分)的面积为5π 4.(1)∠OBC=60°，∠0BD=15° ②)BD=3V2DG=25 5.(1)证明：，AB为的⊙0直径， ∴.∠ACB=90°，即∠ACD+∠BCD=90° 又，CD⊥AB, ∴.∠BCD=90°-∠ABC=∠CAB CE=CB ∴.∠CBE=∠CAB .∠ACD+∠CBE=90°； a0的半径为18 ,18BE=1011 函学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 考点03圆周角定理 1.A 2.A 3.A 4.C 5.B 6.D 7.D 8.A 9.56 10.π 11.80° 12.(1)证明：连接OA,OB, y B C:BD⊥AC∠BAC=45° .∠ABD=90°-∠BAC=45°=∠BAC, .DA=DB, .OA=OB,DO=DO.DA=DB. ∴.△DOA≌△DOB(SSS) ∴.∠ADO=∠BDO OD平分∠ADB; ②4C=V6.∠CBD=15° 7/11 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 考点04同弧或等孤所对的圆周角相等 1.B 2.B 3.B 4.50° 5.)证明：AC=D .∠ADC=∠BAD .CDI AB .AH⊥CD .AH⊥AB, 又AB是OO的直径， ∴.AH是⊙O的切线. .5 2)2 品 考点05半圆（直径）所对的圆周角是直角 1.A 2.B 3.110 4.(1)证明：如图所示，连接OC, C D B .OB=OC. ∴.∠B=∠BCO :∠ACD=∠B, 可学科网 ∴.∠ACD=∠BCO :AB为⊙O的直径， .∠ACB=90°， ∴.∠AC0+∠BCO=90° ∴∠ACD+∠AC0=90°，即∠OCD=90°， 又：OC是⊙0的半径， .CD为⊙O的切线： (2)2 5.()证明：连接D0并延长交⊙0于点F B BD=BD .∠1=∠3 ,DF是直径， .∠FBD=90° ∴.∠1+∠2=90° ,AD平分∠BAC :3=∠BAC 2 ·∠BDE= ∴.∠3=∠BDE ∴.∠1=∠BDE ∴.∠BDE+∠2=∠EDF=90° OD是半径， DE是⊙O的切线； www.zxxk.com 让教与学更高效 连接BF, 9/11 函学科网 ②4v3 6.(I)①证明：如图1所示，连接AD,OD 4 图1 AB为⊙O的直径， .∠ADB=90°，即AD⊥BC, .AC=AB CD=BD,即点D为BC的中点， 又，点O为AB的中点， ∴.OD是△ABC的中位线， ODI‖AC, .DM⊥AC, .DM⊥OD .OD是⊙O的半径 .DM是⊙O的切线： 9V3 ③3玩、 4 (2)2 7.(1)证明：如图，连接OC, .OC=OB, ∴.∠OBC=∠OCB ,CB平分∠ECD, www.zxxk.com 让教与学更高效 可学科网 :.∠BCE=∠DCB CD⊥AB, ∠OBC+∠DCB=90°， .∠OCB+∠BCE=90°， ∴.OC⊥CE ,OC为⊙0的半径， .CE是⊙O的切线： 2①tan∠BCE=2:②25 1 www.zxxk.com 让教与学更高效 11/11 专题23 圆的相关性质（5考点38题） 考点分类 2026年中考命题解读 创新考法 考点01 垂径定理 核心考查垂直弦、平分弦、勾股结合计算，分水面高低双解模型；常搭配切线证明、阴影面积、实际管道 / 拱桥应用题，选择解答均有覆盖。 实践创新：圆柱形水管、石拱桥跨度拱高建模；文化创新：沈括会圆术近似弧长计算；综合创新：垂直平分线、切线判定联动证明。 考点02 弧、弦、圆心角关系 围绕等弧对等弦、等圆心角命题，搭配切线、等腰三角形，以证明题为主，含线段等量、扇形面积计算，侧重全等转化推理。 开放创新：自主推导线段数量关系；变换创新：切线 + 中位线组合模型；情境创新：直角三角形内切圆结合圆性质设问。 考点03 圆周角定理 核心为圆心角 = 2 倍圆周角，融合正多边形、圆内接四边形；基础角度计算，中档结合切线，大题联动内心、直径直角模型。 模型创新：正五边形外接圆角度；融合创新：三角形内心与圆周角导角；几何链：切线 + 直径直角综合计算。 考点04 同弧等弧圆周角相等 依托等弧角度等量代换，常与直径直角、相交弦、内心结合，多用于角度推导、相似证明，是圆证明核心过渡工具。 综合创新：相交弦三角形角度等量；拓展创新：切线平行线搭配等弧导角；计算创新：设参勾股求圆半径。 考点05 直径所对圆周角为直角 必考基础模型，直角为桥梁串联勾股、中位线、切线判定，多作为解答题第一问核心条件，搭配阴影面积、三角函数求值。 动态创新：圆上动点角度范围判断；几何综合：中位线 + 等边三角形组合；图形操作：作垂线构造切线证明。 考点01 垂径定理 1．（2026·四川南充·中考真题）如图，为直径，弦于E，，则长为（     ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理及勾股定理，根据垂径定理求出的长，再在中利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：为直径，，， ， 在中，． 2．（2026·四川广安·中考真题）水平放置的圆柱形排水管道的截面是半径为的圆，其中水面宽为，则水面高为_____m． 【答案】0.2或0.8/或0.8或0.2 【分析】分水面在圆心下方和水面在圆心上方两种情况讨论，利用垂径定理结合勾股定理计算圆心到水面的距离，进而得到水面高度． 【详解】解：设截面圆的圆心为，弦为水面，已知，． 过点作于点，直线交下面圆弧于点D， 根据垂径定理可得： 在中，由勾股定理得： 分两种情况讨论： 当水面在圆心下方时， 水面高度为 ； 当水面在圆心上方时， 水面高度为 ． 故答案为或． 3．（2026·湖北武汉·中考真题）如图，为的直径，为上一点，过点的直线和过点的切线互相垂直，垂足为，交于点，连接． (1)求证：平分； (2)若，．求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)证明：连接， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分； (2) 【分析】（1）连接，利用切线的性质，推出，得到，利用等边对等角得到，进而得到，即可； （2）连接，交于点，连接，交于点，分割法求阴影部分面积即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接，交于点，连接，交于点， ∵为直径， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 4．（2026·四川攀枝花·中考真题）如图，是的直径，弦，垂足为．为上一点，连接交于点，的垂直平分线交的延长线于点，连接． (1)若的半径为，，求的长； (2)求证：是的切线． 【答案】(1)； (2)证明：连接， ∵点在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是半径， ∴是的切线。 【分析】（1）连接，先求出长度，利用垂径定理得，再在中由勾股定理算出，进而求出； （2）连接，由垂直平分线性质得，等边对等角得，结合推出，再利用得，等量代换证明，依据切线判定定理证为切线。 【详解】（1）解：连接， ∵半径为， ∴， ∵， ∴， ∵，为直径， ∴，， 在中，， ∴； （2）略 5．（2026·湖北·中考真题）如图，在中，，以为直径的交于点，弦，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明：如图，连接， 为的直径， ， 又， ； (2) 【分析】（1）利用等腰三角形三线合一证明即可； （2）由（1）得出的长，利用垂径定理求出的长，在中利用勾股定理求出的长，设的半径为，则，，在中利用勾股定理即可求出． 【详解】（1）略； （2）解：如图，连接， 弦，为直径，， ， ，， ， 在中，， 设的半径为，则，， 在中，， ，化简得，解得， 的半径为． 6．（2026·陕西·中考真题）如图，点在上，连接并延长至点，过点作的切线，切点为，作弦，垂足为，作弦，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：连接，并延长交于点， ∵为的切线，为半径， ∴ ∵ ∴，即 ∵ ∴垂直平分 ∴； (2) 【分析】（1）连接，并延长交于点，根据圆的切线的性质以及平行线的性质可得，再由三线合一得到垂直平分，即可得到； （2）设，先对运用勾股定理求解半径，然后用面积法求解，即可求解，再证明，则由求解，最后由垂径定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：设，则， ∵， ∴ ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， d又， ∴， ∴， 解得， ∵，经过圆心， ∴． 7．（2026·河北·中考真题）在学习了圆的相关知识后，同学们设计并开展了一项综合实践活动，下面是一个小组尚未完成的活动报告． 主题 求生活中的圆弧长 研究内容 本次活动选取学校的铅球场地，将场地的一部分抽象为扇形（如图1所示），已知扇形所在圆的半径于点，，用不同的方案分别求的长． 工具 软尺（长度足够）、测角仪（可测量角度的大小）等 研究方案与实践成果 方案一 方案二 方案三 用软尺直接测量的长． 测量数据： 第一次 第二次 用测角仪测角，利用弧长公式计算的长． 测量数据： 查阅文献，发现北宋沈括的《梦溪笔谈》中收录了近似计算圆弧长度的“会圆术”．图1中，弧长． 测量数据： 反思应用 取两次测量结果的平均数，则． 利用弧长公式，…… 根据“会圆术”，…… ①方案一可通过____________的方法减少误差； ②我们可以利用上面的活动经验解决一些生活中的问题． 如图2所示，公园里一座桥的主桥拱是圆弧形，已知其跨度为，拱高为，虽然弧长和圆心角不方便测量，但可以通过计算近似得出． 计算过程如下：…… 请你帮助该小组完成活动报告，具体如下： (1)写出“反思应用”①中减少误差的方法；（写出一种方法即可） (2)分别利用方案二（结果保留）和方案三计算的长； (3)求图2中弧长和圆心角．（取3.1） 【答案】(1)多次测量取平均值 (2)方案二弧长为；方案三弧长为 (3)， 【分析】（1）方案一可通过多次测量取平均值的方法减少误差； （2）方案二利用弧长公式求解即可，方案三代入已知数据求解即可； （3）先由垂径定理以及勾股定理求解，再由“会圆术”求解弧长，最后根据弧长公式求解圆心角的度数即可． 【详解】（1）解：方案一可通过多次测量取平均值的方法减少误差； （2）解：方案二：的长； 方案三：∵，，， ∴； （3）解：∵， ∴ 在中，由勾股定理得，， ∴ 解得 由“会圆术”可得，， 设的度数为，则由得，， 解得 8．（2026·四川遂宁·中考真题）如图，是的直径，弦于点E，连接，过点D的直线分别与的延长线交于点，且． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：连接 是的直径，弦于点E， ，， ， ， ， ， ， ， 是的切线； (2) 【分析】（1）连接，证明即可证明是的切线； （2）设，得到，根据勾股定理得到，解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：设， 是的直径，弦于点E，， ， ， ， ， ，， ， ， 解得， 故的长为． 9．（2026·安徽·中考真题）如图，为的直径，点在上，点，分别在的边，上，，分别与相切于点，． (1)求证：四边形为正方形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵为的直径， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，分别与相切于点，， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形； (2) 【分析】（1）先根据直径所对的圆周角是直角得到，然后根据平行四边形的性质得到，再由圆的切线的性质证明即可； （2）过点作于点，由垂径定理得，然后求出， 再证明四边形是矩形，则，，再由勾股定理求解，最后由求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：过点作于点，则， ∵经过圆心， ∴， ∵在中，， ∴四边形是矩形，， ∴， ∵，四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 考点02 弧、弦、圆心角的关系 1．（2026·贵州·中考真题）如图，已知是的直径，点，在上，． (1)线段与线段的数量关系是________，若连接，则直线与的位置关系是________； (2)求证：； (3)过点作的切线，过点作于点．根据题意补全图形，若，，求的半径． 【答案】(1)相等；互相垂直 (2)证明：延长交于点， 由（1）可得，垂直平分，即， ∵， ∴是的中位线， ∴，即； (3)补全图形如图： 的半径为3 【分析】（1）先根据弧与弦之间的关系求解；再根据线段垂直平分线的判定证明垂直平分即可； （2）延长交于点，证明是的中位线，再由中位线的性质求解即可； （3）先根据题意补全图形，然后连接，延长交于点，然后证明四边形是矩形，再由圆周角定理得到，最后对运用勾股定理求解． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， ∴线段与线段的数量关系是相等； 连接， ∵， ∴垂直平分 ∴直线与的位置关系是互相垂直； （2）略 （3）解：如图，连接，延长交于点， 由（2）可知， ∵直线是的切线，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴半径为． 2．（2026·山东烟台·中考真题）如图，中，，是边上一点，以为半径作，分别与，交于，两点，与相切于点，连接，． (1)求证：； (2)试用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)证明：如图，连接， ∵是的切线， ∴ ∵， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴； (2)， 证明：如图，连接，过点作于点， ∴ 由（1）可得 又∵ ∴ ∴， ∵ ∴， ∴ ∴ ∴，即 【分析】（1）根据切线的性质可得，根据直角三角形的两个锐角互余可得，则，根据得出，等量代换可得，即可得出； （2）连接，过点作于点，证明得出，进而证明，得出，根据线段的和差关系，即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 3．（2026·山西·中考真题）如图，是的直径，点，是上的两点，且，过点作的切线与的延长线交于点，连接，．若，，求扇形（即阴影部分）的面积（结果保留）． 【答案】扇形（即阴影部分）的面积为 【分析】连接，先根据切线性质得到，进而得到，然后根据等弧所对的圆心角相等得到，继而得到，最后根据扇形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：连接． 与相切于点． ． ． ， ． ， ． ． ， ． ， ． 4．（2026·天津·中考真题）已知点 ， 在 上，，点在上，点在以 ， 为端点的优弧上． (1)如图①，当为的中点时，若，求和的大小； (2)如图②，当时，过点作的切线，且，与相交于点，若 的半径为 ，求和的长． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）连接，根据题意可得，则可得到，由圆周角定理可得；根据等腰三角形的性质和三角形内角定理可求出的度数，进而可求出的度数； （2）连接，由切线的性质得到，则由平行线的性质可得；由勾股定理可求出；求出，则由圆周角定理得到；可证明，则，解直角三角形求出的长即可． 【详解】（1）解：如图①所示，连接， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图②所示，连接， ∵与相切， ∴，即， ∵， ∴， ∴； ∵ 的半径为， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴． 5．（2026·四川成都·中考真题）如图，点在以为直径的上，连接，，过点作，垂足为，在圆上取一点，使连接，． (1)求证：； (2)若，求的半径和的长． 【答案】(1)证明：∵为的直径， ∴，即 又∵， ∴ ∵ ∴ ∴； (2)的半径为， 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，得出，进而根据同角的余角相等得出，结合已知得出，进而可得； （2）设的半径为，由（1）可得，根据正弦的定义，可得，求得，，勾股定理求得，进而求得，证明，过点作于点，则，进而解，求得，进而求得的长，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：设的半径为， 由（1）可得 ∴ ∴ 解得：， ∴， 在中， ∴ ∴ ∵ ∴ 如图，过点作于点，则 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 考点03 圆周角定理 1．（2026·湖北武汉·中考真题）如图，内接于，，，，则的直径是(     ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点C作于点D，连接并延长交于点E，连接，解直角三角形求出和，继而求出，从而用勾股定理求出，再在直角三角形中利用求出即可． 【详解】解：过点C作于点D，连接并延长交于点E，连接， ∵，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， 解得：，即的直径是． 2．（2026·广东·中考真题）如图，的半径为1，点，，在上，．则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆周角定理求出圆心角的度数，再利用扇形面积公式计算即可． 【详解】解：，与分别是所对的圆周角和圆心角 的半径为 ． 3．（2026·四川内江·中考真题）如图，正五边形内接于，为上的一点（点不与点重合），则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求得中心角，进而根据圆周角定理，即可求解． 【详解】解：∵正五边形内接于， ∴， ∵与分别是所对的圆周角和圆心角， ∴． 4．（2026·河北·中考真题）如图，在中，所对的圆心角为，点在上．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，连接并延长交于点E，连接，首先利用等边对等角得到，然后利用三角形内角和定理求出，然后结合圆周角定理和圆内接四边形对角互补求解即可． 【详解】解：如图，连接并延长交于点E，连接 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 5．（2026·四川宜宾·中考真题）如图，是的外接圆，连接、．若为等边三角形，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等边三角形的性质得到的度数，再由圆周角定理即可得到的度数． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴． 6．（2026·云南·中考真题）如图，是的弦，点在上．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用圆周角定理，同弧或等弧所对的圆心角是圆周角的两倍求解． 【详解】解：． 7．（2026·重庆·中考真题）如图，点A，B，C在上．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍求解即可． 【详解】 解：∵与是同弧所对的圆周角与圆心角， ∵， ∴． 8．（2026·湖北·中考真题）如图，与相切于点，连接并延长交于点，连接．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据切线的性质可得，根据圆周角定理求出的度数，最后在中利用直角三角形两锐角互余求解即可． 【详解】解：连接， 是的切线， ， ， ， ， ． 9．（2026·四川甘孜·中考真题）如图，点，，在上，若，则______度． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，即在同圆中，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍．根据图形可知是弧所对的圆周角，（即）是弧所对的圆心角，利用定理直接计算即可． 【详解】解：是中弧所对的圆周角，是弧所对的圆心角， ． ， ．即． 10．（2026·陕西·中考真题）如图，为的直径，点在上，的平分线交于点．若，则的长为_________． 【答案】 【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角得到，由角平分线的定义和圆周角定理得到，再根据弧长公式求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵为的直径， ∴， ∵的平分线交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的长为． 11．（2026·黑龙江绥化·中考真题）如图，在中，，，则______． 【答案】 【分析】先由弧、弦、圆心角的关系得，所以，再通过三角形内角和定理可得，最后由圆周角定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 12．（2026·广西·中考真题）如图1，是锐角三角形的外接圆，，，于点． (1)求证：平分； (2)如图2，若以为圆心，为半径的圆与相切于点，求的长及的度数． 【答案】(1)证明：连接，， ，， ， ， ，，， ， ， 平分； (2)， 【分析】（1）连接，，证明即可； （2）连接，，，过点作于点，根据圆周角定理先确定为等腰直角三角形，，然后解求出，再由圆的切线的性质求解，再解求出，解求出，最后根据垂径定理以及角度和差计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接，，，过点作于点， ， ， ， 为等腰直角三角形，， ， 以为圆心，为半径的圆与相切于点， ， ，均为等腰直角三角形， ， ， ，平分， ， ， 为等腰直角三角形， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ． 考点04 同弧或等弧所对的圆周角相等 1．（2026·甘肃天水·中考真题）如图，内接于，是的直径，与交于点．若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据是直径得到，因此根据角的和差求出，根据三角形的内角和定理求出，即可得到，再根据三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵是直径， ∴， ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． 2．（2026·四川泸州·中考真题）如图，的直径与弦相交于点，连接，，，，若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意易得，，然后可得，进而根据三角形外角的性质进行求解即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．（2026·四川广元·中考真题）如图，为的直径，点在上，点为的内心，的延长线交于点，连接，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，则， 由内心的定义可得 平分， 可得， 进一步可证明，利用勾股定理可得，设的内切圆半径为， 根据，可求出， 过点作于点，则，解直角三角形即可求出的长． 【详解】解：如图所示，连接， 为 的直径， ， 点为的内心， 平分， ， 弧 弧， ， 在 中，由勾股定理得， 在 中，由勾股定理得； 设的内切圆半径为， 点 为的内心， 点到的三边的距离都等于， ， ， ， ； 如图所示， 过点作于点， 则， 在中，， 是等腰直角三角形 ， ． 4．（2026·河南·中考真题）如图，为的直径，，为上两点，，则的度数为_________． 【答案】 【分析】由圆周角定理得到，再根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴． 5．（2026·山东·中考真题）如图，是的直径，，是上的两点，，连接，，，过点作交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵是的直径， ∴是的切线． (2) 【分析】（1）根据同弧或等弧所对圆周角相等可得，进而判断，由即可得出，由此判定是的切线． （2）连接，过点作，垂足为，构造矩形和直角三角形，利用求出，在中根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接，过点作，垂足为， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵在中，， ∴，解得：，（负值不合题意已经舍去）， ∴， 设的半径为，即，则， ∵在中，， ∴，解得：， 答：的半径为， 【点睛】已知半径证垂直是解（1）的关键，小问（2）求圆的半径，最经典的套路就是“构造直角三角形，用勾股定理列方程”． 考点05 半圆（直径）所对的圆周角是直角 1．（2026·吉林·中考真题）如图，是的内接三角形，是的直径，点为边上不与点，重合的任意一点，连接．若，则的度数可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直径所对的圆周角为直角，求出，根据，求出，得出，再进行判断即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵点为边上不与点，重合的任意一点， ∴， ∵ ∴四个选项中只有A选项符合题意． 2．（2026·福建·中考真题）如图， 是 的直径， 是 的切线， 交 于点D．若，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据切线的性质得出，再由直角三角形斜边中线的性质确定，利用圆周角定理得出，得出，再由正切函数即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵ 是 的切线， ∴， ∵， ∴点D为的中点， ∴， ∵ 是 的直径， ∴， ∴， ∴． 3．（2026·江苏扬州·中考真题）如图，C是以为直径的上一点，点D在上，，则_______． 【答案】 【分析】根据直径所对的圆周角是直角，得出，利用三角形内角和定理求出的度数，再根据圆内接四边形对角互补，即可求解． 【详解】解：是的直径， ， ， ， 四边形内接于， ， ． 4．（2026·四川乐山·中考真题）如图，为的直径，点为圆上一点，点在延长线上，连接，且． (1)求证：为的切线； (2)若，的半径为，求的长． 【答案】(1)证明：如图所示，连接， ， ， ， ． 为的直径， ， ． ，即， 又是的半径， 为的切线； (2) 【分析】（1）由等腰三角形的性质得到，则可证明，由直径所对的圆周角是直角得到，则可证明，即，据此可证明为的切线； （2）解直角三角形得到，由勾股定理可得，再由线段的和差关系可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得， ，的半径为， ，即， ∴， , ． 5．（2026·新疆·中考真题）如图，内接于，平分交于点D，连接，，经过点D的直线与的延长线相交于点E，且． (1)求证：是的切线； (2)如果点I是的内心，，，求的值． 【答案】(1)证明：连接并延长交于点，连接， ∵ ∴ ∵是直径， ∴ ∴ ∵平分 ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∵是半径， ∴是的切线； (2) 【分析】（1）连接并延长交于点，连接，由圆周角定理得到，，则，由角平分线得到，结合已知条件可得，继而等量代换证明即可； （2）连接，交于点，先由圆周角定理得到证明，根据垂径定理的推论可得，，再证明，解求出，，即可求解，，再由内心的性质导角证明． 【详解】（1）略 （2）解：连接，交于点， ∵平分 ∴， ∴， ∴， ∵是半径， ∴，， ∵ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， ∵点I是的内心， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴， ∴． 6．（2026·四川内江·中考真题）如图，在中， ，以边 为直径作 ，交于点 ，交的延长线于点 ，连接交 于点 ． (1)如图1，过点 作于点 ． ①求证： 是 的切线； ②若，，求阴影部分的面积； (2)如图2，连接，若，，求的值． 【答案】(1)①证明：如图1所示，连接， ∵为的直径， ∴，即， ∵， ∴，即点D为的中点， 又∵点O为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴ 是 的切线； ② (2) 【分析】（1）①连接，可证明，得到点D为的中点，则是的中位线，进而可证明，进一步可证明，则可证明 是 的切线；②由圆周角定理可得，则可证明是等边三角形，得到，，解直角三角形得到，可求出，根据列式求解即可； （2）取的中点T，连接，可证明为的中位线，则，由平行线分线段成比例定理得到；设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）①略； ②解：如图1所示，连接， ∵为的直径， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵点O为的中点， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图2所示，取的中点T，连接， 由（1）可得点D为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴； 设，则， ∴； ∵是的直径， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴． 7．（2026·甘肃天水·中考真题）如图，是的直径，点是上一点，于点，点在的延长线上，平分． (1)求证：是的切线； (2)当，时， ①填空：的值等于__________； ②求的长． 【答案】(1)证明：如图，连接， ∵， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵为的半径， ∴是的切线； (2)①；② 【分析】（1）连接，由得；由平分得．结合，可知中，等量代换得，即，进而即可证明； （2）①由平分得，在中，．可得，由勾股定理得，进而即可求出；②连接，由是直径得，结合，由同角的余角相等得，则可得，即．在中，，由得；在中，由得，最终由勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：①∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图，连接， 为的直径， ， ． 由（1）可知，， ， 由（1）可知，， ， ． 在中，，， ． 在中，，， ， ． / 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题23圆的相关性质(5考点38题) 中考命题规律 考点分类 2026年中考命题解读 创新考法 核心考查垂直弦、平分弦、勾股 实践创新：圆柱形水管、石拱桥跨 结合计算，分水面高低双解模 度拱高建模：文化创新：沈括会圆 考点01垂径定理 型；常搭配切线证明、阴影面 术近似孤长计算；综合创新：垂直 积、实际管道/拱桥应用题，选 平分线、切线判定联动证明。 择解答均有覆盖。 围绕等弧对等弦、等圆心角命 开放创新：自主推导线段数量关 题，搭配切线、等腰三角形，以 系；变换创新：切线+中位线组 考点02弧、弦、 圆心角关系 证明题为主，含线段等量、扇形 合模型；情境创新：直角三角形内 面积计算，侧重全等转化推理。 切圆结合圆性质设问。 核心为圆心角=2倍圆周角，融 模型创新：正五边形外接圆角度： 合正多边形、圆内接四边形：基 融合创新：三角形内心与圆周角导 考点03圆周角定 理 础角度计算，中档结合切线，大 角：几何链：切线+直径直角综 题联动内心、直径直角模型。 合计算。 考点04同弧等弧 依托等弧角度等量代换，常与直 综合创新：相交弦三角形角度等 圆周角相等 径直角、相交弦、内心结合，多 量：拓展创新：切线平行线搭配等 1/16 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 用于角度推导、相似证明，是圆 弧导角：计算创新：设参勾股求圆 证明核心过渡工具。 半径。 必考基础模型，直角为桥梁串联 动态创新：圆上动点角度范围判 勾股、中位线、切线判定，多作 断：几何综合：中位线+等边三 考点05直径所对 圆周角为直角 为解答题第一问核心条件，搭配 角形组合；图形操作：作垂线构造 阴影面积、三角函数求值。 切线证明。 真题考点精练P 考点01垂径定理 1.(2026四川南充中考真题)如图，AB为⊙0直径，弦CD1AB于E,OB=CD=2,则OE长为 A.1 B V3 C.2 D.5 2.(2026四川广安中考真题)水平放置的圆柱形排水管道的截面是半径为0.5m的圆，其中水面宽为 0.8m ,则水面高为m, 3.(2026湖北武汉中考真题)如图，AB为⊙0的直径，C为⊙0上一点，过点A的直线和过点C的切 线互相垂直，垂足为D,AD交⊙O于点E,连接AC. 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D B (I)求证：AC平分∠DAB: (2)若AE=6,ED=3.求图中阴影部分的面积. 4(2026四川攀技花中考真盟)如图，B是O0的直径，弦CD18,垂足为”.E为D上一点，连 接AE交CD于点F,EF的垂直平分线交CD的延长线于点G,连接GE. B D G 1)若⊙0的半径为3，AH=2,求CD的长； 2)求证：EG是⊙O的切线. 5.(2026湖北中考真题)如图，在△ABC中，AC=BC,以BC为直径的⊙O交AB于点D,弦 DF⊥BC,垂足为E, (I)求证：AD=BD; 3/16 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2)若AB=10,DF=8,求⊙0的半径. 6.(2026陕西中考真题)如图，点A在⊙0上，连接0A并延长至点B,过点B作⊙0的切线，切点为C, 作弦CD⊥OA,垂足为H,作弦DE∥BC,连接CE, 0 D (I)求证：CE=CD; (2)若AB=2,BC=4,求DE的长. 7.(2026河北中考真题)在学习了圆的相关知识后，同学们设计并开展了一项综合实践活动，下面是一 个小组尚未完成的活动报告. 主题 求生活中的圆弧长 本次活动选取学校的铅球场地， 将场地的一部分抽象为扇形 OPO (如图1所示)，己知扇 研究内 M 容 形OPO所在圆的半径OM⊥PQ 于点N,OP≈10.00m,用不同 图1 的方案分别求P吧 的长. 工具 软尺（长度足够）、测角仪（可测量角度的大小）等 方案 方案二 方案三 研究方 用软尺直接测 用测角仪测 案与实 角，利用弧长 查阅文献，发现北宋沈括的《梦溪笔谈》 践成果 量PD的长 中收录了近似计算圆弧长度的“会圆 PO 测量数据： 公式计算 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 术”.图1中，弧长 =PO+MN2 OP 的长 第一次6.36m 测量数据： 第二次6.32m 测量数据： ∠P00≈36° PQ≈6.20m MN≈0.50m 取两次测量结 利用弧长公 果的平均数， 根据“会圆术”，… 式，… 则1=6.34m ①方案一可通过 的 方法减少误差： ②我们可以利用上面的活动经验 反思应 解决一些生活中的问题. 用 如图2所示，公园里一座桥的主 桥拱是圆弧形，已知其跨度AB 为6m,拱高CD为lm,虽然弧 E 图2 长和圆心角∠AEB不方便测 量，但可以通过计算近似得出。 计算过程如下：… 请你帮助该小组完成活动报告，具体如下： ()写出“反思应用”①中减少误差的方法；（写出一种方法即可） ②分别利用方案二（结果保留元）和方案三计算PD的长'： 3)求图2中弧长和圆心角∠AEB.(π取3.1) 8.(2026四川遂宁·中考真题)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E,连接AC,过点D的直线分 别与AB、AC的延长线交于点R、G,且A=<CDG 5/16 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B D (1)求证：DG是⊙0的切线： (②)若AB=10,CD=6,求BF的长. 9.(2026安徽中考真题)如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙0上，点A,B分别在CDEF的边CD, CF上，DE,EF分别与OO相切于点M,N. B D E (I)求证：四边形OMEN为正方形： (2②)若CD=9,AB=10,求CF的长. 品 考点02弧、弦、圆心角的关系 1.(2026贵州中考真题)如图，已知4B是O0的直径，点P,C在o0上，PA=PC (I)线段PA与线段PC的数量关系是 一，若连接AC,则直线PO与AC的位置关系是 (2)求证：PO‖BC. ⊙过点P作O0的切线，过点作1D1/于点D.根据题意补全图形，若PD=25.8C=2,求0 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 的半径. 2.(2026山东烟台中考真题)如图，△ABC中，∠C=90°，0是边AB上一点，以OB为半径作⊙0，分 别与BC,AB交于D,E两点，与AC相切于点F,连接EF,BF. A B EF=FD (1)求证： (②)试用等式表示线段BE,BD,CD之间的数量关系，并证明你的结论 3。(2026山西中考真题)如图，4B是O0的直径，点C,D是0 上的两点，且BD=BC 过点C作 ⊙0的切线与AB的延长线交于点E,连接AC,OD.若LACE=115°，OB=6,求扇形BOD(即阴影 部分)的面积（结果保留π）· 4(2026天津中考真题)已知点1,8在00上，∠40B=120,点C在丽 ”在 上， 上，点D在以，B 为端点的优弧上. D D 0 B C 图① 图② 7/16 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1)如图0，当C为 AB DB=DC 的中点时，若 ,求∠OBC和∠OBD 和 的大小： 2)如图②，当∠AOC=90°时，过点D作⊙0的切线EF,且EF IOB,CD与OB相交于点G,若⊙0的 半径为3，求BD和DG的长 5.(2026四川成都中考真题)如图，点C在以AB为直径的⊙O上，连接AC,BC,过点C作CD⊥AB, 垂足为D,在圆上取一点E,使C正=C 连接CE,BE C B (I)求证：∠ACD+∠CBE=90°， ②若nA-名0D=7,求O0的半径和BE的长。 考点03圆周角定理 (2026湖北武汉中考真题)如图，A48C内接于00,4B=11'8C=5,sinB=号 =5,则⊙0的直径是 6 A.5V5 B.314 c.&V2 D.2V3 2.(2026广东中考真题)如图，⊙0的半径为1，点A,B,C在⊙0上，∠ACB=30°.则图中阴影部 分的面积为() 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A. π B.3 C.a 3.(2026四川内江中考真题)如图，正五边形 BCDE内接于o0,P为C上的点《点P不与点C重 为 合)，则∠CPD的度数为() D A.36° B.45° C.60° D.72 4. (2026河北中考真题)如图，在00中， AC 所对的圆心角为150°，点D在4C上.若∠C80= 则∠ADC=() B O A.90°+n° B.180°-n° C.195°-n° D.2n° 5.(2026四川宜宾中考真题)如图，⊙0是△ABC的外接圆，连接OA、OC,若△A0C为等边三角形， 则∠ABC的度数是() 9/16 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.20° B.30° C.50° D.60° 6.(2026云南中考真题)如图，AB是⊙0的弦，点C在⊙0上.若∠ACB=26°，则∠A0B=() B A.10° B.26 C.40 D.52° 7.(2026重庆中考真题)如图，点A,B,C在⊙0上.若∠4CB=40°，则∠AOB的度数是() B A.140° B.100° C.90° D.80° 8.(2026湖北中考真题)如图，PA与⊙O相切于点A,连接PO并延长交OO于点B,连接AB.若 ∠B=24°，则∠P的度数是() B 0 A.42° B.48° C.56° D.66° 9.(2026四川甘孜中考真题)如图，点A,B,C在⊙0上，若∠A=28°，则∠0=度. 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 10.(2026陕西中考真题)如图，AB为⊙0的直径，点C在⊙0上，∠ACB的平分线交⊙0于点D.若 B=4,则BD的长为 B D 1.(2026黑龙江银化中考真题)如图，在o0中.B=C,∠A8C=70°，则∠B0C= A 12.(2026广西中考真题)如图1，⊙0是锐角三角形ABC的外接圆，∠BAC=45°，BC=2, BD⊥AC于点D. A O。D B 图1 图2 (1)求证：OD平分∠ADB: (②)如图2，若以O为圆心，OD为半径的圆与BC相切于点E,求AC的长及∠CBD的度数. 11/16 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 考点04同弧或等弧所对的圆周角相等 1.(2026甘肃天水中考真题)如图，△ABC内接于⊙0，CD是OO的直径，AB与CD交于点P.若 ∠ABC=60°，∠ACB=50°，则∠BPC=() A.95 B.100 C.105 D.110° 2.(2026四川泸州中考真题)如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E,连接AC,AD,BD,BC, 若∠ACD=40°，∠AEC=65°，则CBD=(） D A.45° B.55° C.60° D.65 3.(2026四川广元中考真题)如图，AB为⊙0的直径，点C在⊙0上，点E为△ABC的内心，CE的延 线交⊙O于点F,连接AF,若AC=5AF3 2,则CE的长为() C E B 3W2 A.2 B.22 C.5-V2 D.1+√2 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4.(2026河南中考真题)如图，AB为⊙0的直径，C,D为⊙0上两点，∠ADC=40°，则∠CAB的度 数为 B 三.(2026山东中考真题)如图，4B是O0的直径，C,D是O0上的两点，4C=BD,连接4C,4D, CD,过点A作AH LCD交DC的延长线于点H. B (I)求证：AH是⊙O的切线： (2)若AH=2' sin∠CAH= 5,求⊙0的半径. 考点05半圆（直径）所对的圆周角是直角 1.(2026吉林中考真题)如图，△ABC是O0的内接三角形，AB是OO的直径，点P为边AC上不与点 A,C重合的任意一点，连接BP.若∠BAC=60°，则∠ABP的度数可能为() B A.20° B.35° C.45° D.60° 2.(2026福建中考真题)如图，AB是⊙0的直径，BC是⊙0的切线，AC交⊙0于点D.若 13116 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AD=CD,则tan4的值是() 0 B C 2 A.2 B.1 C.2 D.2 3.(2026江苏扬州中考真慰)如图，C是以1B为直径的O0上一点，点D在BC上，∠ABC=20°，则 ∠CDB= D 0 4.(2026四川乐山中考真题)如图，AB为⊙O的直径，点C为圆上一点，点D在BA延长线上，连接 CD,且∠ACD=∠B C B (1)求证：CD为OO的切线： 2)若anD=3 ,⊙0的半径为3，求4D的长. 5.(2026新疆·中考真题)如图，△ABC内接于⊙O,AD平分∠BAC交⊙O于点D,连接BD,CD,经 过点D的直线与HB的延长线相交于点B,且∠BDE=)B4C, 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D I)求证：DE是⊙O的切线： ②如果点I是AHBC的内心，an∠BAC= 5,BC=24,求DI的值. 6.(2026四川内江中考真题)如图，在△ABC中，AB=AC,以边AB为直径作⊙0，交BC于点D, 交CA的延长线于点E,连接DE交AB于点F· F E M D 图1 图2 (I)如图1，过点D作DM⊥AC于点M. ①求证：DM是O0的切线： ②若∠CED=30°，AB=6,求阴影部分的面积； EF 1 (②)如图2，连接BE,若FD2,BE=25,求4E的值. 7.(2026甘肃天水中考真题)如图，AB是⊙0的直径，点C是⊙0上一点，CD⊥AB于点D,点E在 AB的延长线上，CB平分∠ECD (I)求证：CE是⊙O的切线： (2)当AD=8, sin∠BcE=VS 5时， 15116 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ①填空： tan∠BCE的值等于 ②求BC的长.