专题04 角平分线和垂直平分线重难点七大题型汇编（专项训练）数学新教材浙教版八年级上册

**基本信息** 聚焦角平分线与垂直平分线核心性质，通过六大题型系统覆盖从基础计算到综合构造的全维度应用，体现性质→应用→综合的递进逻辑。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |垂直平分线求角度|5题|结合三角形内角和、等腰性质|垂直平分线性质→线段相等→角相等→角度计算| |垂直平分线求线段|4题|周长转化、作图应用|垂直平分线性质→线段等量代换→周长/边长求解| |角平分线求面积|5题|距离相等转化面积关系|角平分线性质→等距离→面积公式应用| |角平分线求边长|6题|面积法、全等辅助线|角平分线性质→等距离/全等→边长计算| |角平分线+垂直构造全等|7题（含综合题）|辅助线构造、多步推理|性质综合→全等模型构建→逻辑推理| |尺规作图综合|5题|定位与性质结合|作图原理→性质应用→实际问题解决|

专题04 角平分线和垂直平分线重难点六大题型汇编 常考题型·精准突破 题型 1:利用垂直平分线的性质求角度 题型 2:利用垂直平分线定位性质求线段长度（常考） 题型 3;利用角平分线的性质求面积（重点） 题型 4;利用角平分线的性质求边长 题型 5:角平分线+垂直构造全等模型（难点） 题型 6:利用尺规作图综合应用（常考） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型·1:利用垂直平分线的性质求角度 1．如图，的垂直平分线交于点，连接，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握相应知识是解题的关键． 由垂直平分，可得，从而，由，可求得，利用即可求解． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：B． 2．如图，在中，．若是三边垂直平分线的交点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查垂直平分线的性质，等边对等角等知识，先根据“是三边垂直平分线的交点”得到，，从而可知，，用三角形的内角和求出，从而得到，则，最后再用三角形内角和求解即可． 【详解】如图，连接． ∵是三边垂直平分线的交点， ∴，， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 3．如图，已知，，若和分别垂直平分和，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的内角和定理，由垂直平分线性质可得，，所以，，通过三角形内角和定理可得，最后通过角度的和与差即可求解，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用． 【详解】解：∵和分别垂直平分和， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：． 4．如图，的两边、的垂直平分线分别交于D、E，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质及三角形内角和定理．利用线段垂直平分线的性质得到相等的线段，再根据等腰三角形的性质得到相等的角，最后结合三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：∵、的垂直平分线分别交于D、E， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 5．如图，在等边中，，垂足为D，E是上一点，．则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查等边三角形的性质，由等边三角形的性质推出垂直平分是解题的关键．由等边三角形的性质推出，，由线段垂直平分线的性质推出，得到，判定是等腰直角三角形，得到，即可求出的度数． 【详解】解： 是等边三角形，， ，， 垂直平分， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ． 故选：A． ◆题型·2:利用垂直平分线定位性质求线段长度（常考） 6．如图，在中，以点为圆心，的长为半径作圆弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，连接交于点．若的周长为，，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由作图可知垂直平分线段，利用线段垂直平分线的性质求解即可． 【详解】解：由作图可知：是的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， ∴， ∵由作图可知， ∴， ∴． 7．如图，在中，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线交于点，连接若的周长为，，则的周长为（     ） A． B． C． D．30 【答案】C 【分析】根据作图痕迹判断是的垂直平分线，由垂直平分线性质得，从而将△的周长转化为，再结合求解即可． 【详解】解：根据作图痕迹判断是的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴，即， ∵， ∴的周长为A． 8．如图，在锐角中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，，则的周长为（     ） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】A 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，，据此即可求解． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴的周长． 9．如图，在中，，以点为圆心，长为半径画弧交的延长线于点，分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别交于点，连接交于点，连接，则的周长为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】A 【分析】连接，由作图可得，由即可得出结果． 【详解】解：如图，连接， 由作图可知是的垂直平分线， ， 的周长为． ◆题型·3;利用角平分线的性质求面积（重点） 10．如图，点M是平分线上的一点，点P、点Q分别在射线、射线上，满足，若的面积是2，则的面积是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】过点M作，先利用角平分线的性质说明与的关系，再利用三角形的面积公式求出与的积，最后再利用三角形的面积公式得结论． 【详解】解：过点M作，垂足分别为E、F． ∵M是平分线上的一点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，掌握“角平分线上的点到角两边的距离相等”、三角形的面积公式是解决本题的关键． 11．如图，在四边形中，，平分，，，，则四边形的面积是（     ） A．40 B．42 C．46 D．48 【答案】A 【分析】过点作交的延长线于点，根据角平分线的性质得到，然后将四边形的面积转化为与的面积之和进行计算即可． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点， ∵平分，，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积为 ． 12．如图，已知的周长是，和的角平分线交于点，于点，若，则的面积是（    ） A．84 B．48 C．42 D．24 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质，解题关键是将三角形分成三个等高的三角形，利用周长来求面积．先利用角平分线的性质得到O点到各边的距离相等，再将三角形分成3个三角形，将它们的面积相加即可． 【详解】解：过点O作于点E，过点O作于点F，连接，如图所示： ∵点O为与的平分线的交点，且， ∴， ∵，的周长是， ∴ ； 故选：A． 13．如图，是的平分线，是中线，、相交于点E，于点F，，，若的面积是30，则的长为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的性质，三角形中线的性质，三角形的面积，掌握角平分线的性质是解题的关键．过作于，由角平分线的性质推出，求出，由三角形的面积公式得到的面积的面积，得，即可求出． 【详解】解：如图，过作于， ∵是的平分线，， ∴， ∵是中线，，的面积是， ∴，的面积的面积， ∵的面积的面积的面积， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：B． 14．如图，在中，是边上的中线，是边上的高，平分交于点，，，，则阴影部分的面积是（   ） A．8 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的面积，三角形中线的性质，角平分线的性质，理解掌握角平分线的性质是解题的关键． 根据三角形的面积公式求出的面积，再根据三角形中线的性质得到的面积，过点F作于点M，作于点N，根据角平分线的性质得到，根据求出，再由三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵是边上的高， ，， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ． 过点F作于点M，作于点N， ∵平分，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选∶B． ◆题型·4;利用角平分线的性质求边长 15．如图，在中，平分交于点D，垂足为E，若，则的长为______． 【答案】 【分析】由角平分线的性质可得，即可得出答案． 【详解】解：∵平分 ，， ∴， ∵ ∴． 16．如图，是的一条角平分线，是边上的中线，若的面积是18，的面积是6，，则的长为________． 【答案】6 【分析】先根据三角形中线的性质求出，即可求解，过点D作于F，过D作于G，然后根据角平分线的性质定理得到，再由三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵的面积是6，是边上的中线， ∴， ∵的面积是18 ∴ 如图所示，过点D作于F，过D作于G， 是的角平分线， ， ， ， ∴． 17．如图，在中，平分于点的面积为，则的长是___________ 【答案】5 【分析】过点作于点，利用角平分线的性质得出，再根据即可求解． 【详解】解：过点作于点， ∵平分，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 18．如图，在中，，平分交于点，于点，若，，则的长为______． 【答案】 【分析】先得出，又平分，，则有，然后通过线段的和与差得到即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即的长为． 19．如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，交，于点、，分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点．若点到直线的距离为，，则的长为________． 【答案】 【分析】根据作图痕迹判断是的平分线，利用角平分线的性质得出的长，结合线段的和差关系即可求解． 【详解】解：由作图可知，射线是的平分线， ∵， ∴， ∵点到直线的距离为，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴等于点到直线的距离，即， ∵，， ∴，的长为． 20．如图，是的一条角平分线，，垂足为．是上一点，且．若，则的长为________． 【答案】 【分析】先根据角平分线的性质得到，再证明即可求解． 【详解】解：∵是直角三角形， ∴． ∵平分，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴． ◆题型·5:角平分线+垂直构造全等模型（难点） 21．如图，在中，，边的垂直平分线交和于点，，并且平分． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2) 证明：∵平分，且， ∴， 由（1）可知，， ． ， ． 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，三角形内角和定理，勾股定理和含角直角三角形的性质以及角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点． （1）根据垂直平分线的性质得到，进而得到，由角平分线的概念得到，进而利用三角形内角和定理求解即可； （2）由角平分线的性质得，根据含角直角三角形的性质得到，进而可得证． 【详解】（1）解：垂直平分， ， ． 又平分， ， ， 又， ； （2）证明：略． 22．解决问题 (1)如图1，已知在中，，．把向下平移至后，， ．请求出图中阴影部分的面积． (2)如图2，中，是边的垂直平分线，，，求的长． (3)如图3，已知，，垂直的延长线于点垂直的延长线于点F．求证：． 【答案】(1) (2)7 (3)证明：如图，连接． 在和中， ， ． 又，， 【分析】（1）根据平移变化只改变图形的位置不改变图形的形状可得，然后求出，再求出梯形的面积即为阴影部分的面积． （2）根据垂直平分线的性质可得，进而根据即可求解． （3）连接，证明，得到，再利用角平分线的性质得到． 【详解】（1）解：把向下平移至， ，， ， ， 阴影部分面积梯形的面积，． （2）垂直平分 ， ． （3）略 23．如图，在中，平分，的垂直平分线交于点，交于点，连接． (1)若，，求的周长； (2)若，，，求点到的距离． 【答案】(1)的周长为10 (2)点到的距离为 【分析】本题主要考查垂直平分线的性质和角平分线的性质， （1）根据垂直平分的性质得，则的周长为 即可； （2）过点分别作于点，于点，角平分线的性质得，利用三角形面积求得，结合比例得，即可求得，由即可． 【详解】（1）解：是的垂直平分线， ， 的周长 ， ∵，， ∴的周长， 的周长为10． （2）解：过点分别作于点，于点，如图， 平分， ．   ，， ， ．   ， ， ， 解得， ， 即点到的距离为． 24．如图，中，平分边的垂直平分线交于D点，于E，于F．    (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：如图，连接、，   且， ， 平分，于，于， ，， 在与中， ， ， ； (2) 【分析】（1）连接、，先由垂直平分线性质得，再由角平分线性质得，然后证，即可得出结论； （2）先证明，得，则，由及（1）知，则，代入、值即可求得长，继而求得长． 【详解】（1）略 （2）解：平分，于，于， ，， 在与中， ， ， ， ， 由（1）知：， 即， ， ， 【点睛】本题考查角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质定义和线段垂直平分线的性质定理是解题的关键． 25．如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于P点，于点D，于点E，连接． (1)试探究线段与线段的数量关系，并给出理由； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) 解：，理由如下： 点在的垂直平分线上， ， 是的平分线，， ， 在和中， ， ， ； (2) 【分析】（1）根据线段垂直平分线性质可得，根据角平分线性质可得，然后利用证明和全等，根据全等三角形对应边相等证明即可； （2）根据全等三角形对应角相等可得，设，根据列出方程，然后解方程即可． 【详解】（1）略 （2）解：，平分， ， ， ， ， ， ， ， 设，则： ， ， ， 解得：， ． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质及三角形外角性质，熟记性质是解题的关键． 26．【发现问题】 在全等三角形研究“筝形”的数学活动中，学习了筝形的定义：有两组邻边分别相等的四边形叫做筝形，以及筝形的边、角、对角线的性质.小明在学完十三章《轴对称》后，将学过的角平分线的性质与判定定理，线段垂直平分线的性质与判定定理的图形进行了整理，发现这些图形中都存在筝形，且筝形是轴对称图形． 【提出问题】 小明利用筝形是轴对称图形对它的面积进行了探究，得到了筝形面积与对角线的数量关系． （1）如图1，在四边形中，，，对角线与相交于点O． 求证：． 【分析问题】 （2）如图2，在四边形中，，，于点B，于点D，点M，N分别是，上的点，且，求的周长．（用含a的式子表示） 【解决问题】 （3）①如图3，在中，点D为内一点，平分，且． 求证：． ②如图4，在中，，，点D，E分别是边，上的动点，当四边形为筝形时，请直接写出______°． 【答案】（1）在四边形中， ， ∴点A在线段的垂直平分线上， 又， ∴点C在线段的垂直平分线上， ， ， （2）； （3）①如图3，过点D作， 平分， ∴ 又， ，， ， ， ②或 【分析】本题主要考查了垂直平分线的判定和性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键． （1）先证明，再利用及三角形面积公式即可证明； （2）延长至，使，连接，易证，从而证得，得到，，由的定义，结合图形等线段转化即可得解； （3）①过点D作，由直角三角形的全等的判定易得，，得到，从而得证； ②分两种情况：当四边形为筝形时，时和时，结合图形分别计算即可得解； 【详解】（1）略 （2）如图2，延长至，使，连接， ，， ， 又，， ， ， ， ， 即， 又， ， ， ， （3）①略 ②分两种情况： 当四边形为筝形时，时，如图 ， 当四边形为筝形时，时，如图 ， ， ， 综上所述，或 ◆题型·6:利用尺规作图综合应用（常考） 27．尺规作图：如图，用尺规在的内部作一点P，使，并且点P到两边的距离相等．（提示：作图要保留作图痕迹，且要用铅笔，不用写作法）． 【答案】如图：点P即为所求． 【分析】如图：连接，用尺规作的垂直平分线，再用尺规作的角平分线，垂直平分线与角平分线的交点即为所求． 【详解】略 28．校园一角的形状如图所示，其中，，表示围墙．现要修建一个垃圾投放点，使得点到围墙，的距离相等，且到围墙边界，的距离相等，请确定点的位置． 【答案】解：如图，点即为所求． 【分析】作的角平分线和线段的垂直平分线即可． 【详解】略． 29．已知：如图，．请你用尺规作图． (1)作边的垂直平分线交于点D； (2)连接，作的平分线交于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】(1)如图，点D即为所求： (2)如图，射线即为所求： 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质作出图形即可； （2）根据作已知角的平分线的作法画出图形，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 30．如图，两个班的学生分别在、两处参加植树劳动，现要在道路、的交叉区域内设一个临时休息点，使到两条道路的距离相等，且使到、两地的距离相等．用圆规、直尺作临时休息点的位置．（不写作法，只保留作图痕迹） 【答案】如图，点D即为所求： 【分析】根据角平分线和线段垂直平分线的性质，点D的位置为的平分线与线段的垂直平分线的交点，故连接，按照角平分线和线段垂直平分线的尺规作图步骤画图即可． 【详解】略 31．如图，在中，． (1)尺规作图：①作边的垂直平分线交于点，交于点；②连接，作的平分线交于点；（要求：保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）所作的图中，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别以点，为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧在两侧交于两个交点，过这两个交点作直线，即是的中垂线； 以点为圆心，任意长度为半径画一条弧，让这条弧与角的两条边分别相交，得到两个交点，分别以这两个交点为圆心，取大于这两个交点之间距离一半的长度为半径画弧，两弧在角内部相交于一点，连接点和找到的交点，画出的射线就是这个角的平分线； （2）是的垂直平分线，可得，，由三角形内角和定理，可解得，又由平分，可解得的度数． 【详解】（1）略 （2）解：∵是的垂直平分线， ， ， 在中，，， ， ， 平分， ． 综合攻坚·知能拔高 1．如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点，，，，，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质，可得，即可求出的周长． 【详解】解：∵为边的垂直平分线， ∴， ∵ ∴的周长为， 故选D． 2．如图，在中，边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点O，这两条垂直平分线分别交于点D、E，已知的周长为，分别连接、、，若的周长为，则的长为（   ）． A．6.5 B．7.5 C．15 D．43 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先根据线段垂直平分线性质得，，，再根据的周长为得的长，再根据的周长为，即可得解． 【详解】解：∵是的垂直平分线，是的垂直平分线， ∴，，，， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴． 故选：B ． 3．如图，在中，，分别垂直平分和，垂足为，，且分别交于点，．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形性质及三角形内角和定理，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质和等边对等角得出，，然后利用三角形的内角和定理得出，即可求解． 【详解】解：∵，分别垂直平分和， ∴，（线段垂直平分线的性质）， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 4．如图，某数学兴趣小组在测量校园内直角三角形花坛的相关数据时，用尺规作图的方法作的平分线：以为圆心画弧交，于，，再分别以，为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点．若测得，，则点到边的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，然后根据角平分线的性质定理可得，进而问题可求解． 【详解】解：过点作，如图所示： 由作图可知：平分， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即点到边的距离为． 5．如图，在直角三角形中，，．根据尺规作图的痕迹可知，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角形内角和定理求出的度数，由作图方法可得平分，，据此求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵在直角三角形中，，， ∴， 由作图方法可得平分，， ∴， ∴． 6．如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是（    ） A．12 B．24 C．36 D．48 【答案】B 【分析】过点G作于点H，根据题意得，是的角平分线，得，根据三角形面积公式，即可求出的面积． 【详解】解：过点G作于点H， 根据题意得，是的角平分线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 7．如图，在中，线段是的角平分线、是边上的中线，垂直于，已知：，则长是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形面积公式． 过点作于点，如图，先利用三角形面积公式得到，再根据角平分线的性质得到，然后根据三角形面积公式，利用可求出的长． 【详解】解：过点作于点，如图， ∵是边上的中线， ∴， ∴， ∵线段是的角平分线， ， ∴， ∵， ∴， 解得． 故答案为：B． 8．阅读以下作图步骤：①以点O为圆心，适当的长度为半径画弧，分别交于点C，D；②分别以点C，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点M；③作射线，连接，如图．根据以上作图步骤，判断下列结论错误的是（   ） A．平分， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的作法，全等三角形的判定和性质，根据作图方法依次判断即可得到答案． 【详解】解：由作图方法可得平分，，， ∴， ∴A、C、D正确，不符合题意； 无法得出，符合题意； 故选：B． 9．如图，的角平分线交于点O，于D，若，的周长为17，则的面积为（    ） A．16 B．17 C．18 D．19 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的性质，连接，作，垂足分别为，根据角平分线的性质，得到，分割法求出三角形的面积即可． 【详解】解：作，垂足分别为， ∵的角平分线交于点O，于D，， ∴， ∴ ； ∵的周长为17， ∴， ∴； 故选B． 10．如图，三角形中，的平分线交于点D，过点D作，垂足分别为E，F，下面四个结论：①；②垂直平分；③；④一定平行．其中正确的是（    ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】此题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．先根据角平分线的性质得，证明，可得，继而证得①；又由线段垂直平分线的判定，可得②垂直平分；然后利用三角形的面积公式求解即可得③． 【详解】解：①∵三角形中，的平分线交于点D，过点D作， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故①正确； ②∵，， ∴点D在的垂直平分线上，点A在的垂直平分线上， ∴垂直平分， 故②正确； ③∵，，， ∴； 故③正确； ④∵不一定等于， ∴不一定平行． 故④错误． 综上所述，正确的有①②③． 故选：A． 11．如图，在中，平分，交于点，于点，于点，是的高，交于点．已知：，，． (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）根据角平分线的性质可得； （2）利用面积法即可求出的长． 【详解】（1）解：∵平分，于点，于点，且， ∴． （2）解：∵， ， ∴， 又∵是的高， ∴， 即， 解得． 12．如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路和的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置P，并简要写出作法及作图依据． 【答案】解：如图所示，作线段的垂直平分线，再作的角平分线交线段的垂直平分线于点P，则点P即为所求； 由线段垂直平分线的性质可得点P到两个城镇A，B的距离相等，由角平分线的性质可得点P到两条高速公路和的距离也相等． 【分析】点P到两个城镇A，B的距离相等，则点P在线段的垂直平分线上，点P到两条高速公路和的距离相等，则点P在的角平分线上，据此作图即可． 【详解】略 13．本学期我们认识了“角平分线”的概念后，老师布置了一项探究性作业：角平分线除了将已知角分为完全相同的两部分以外，还有怎样的性质特点呢？我校七年级某班“探海数学小组”经过研究发现：角平分线上的任意一点到角两边的垂直距离都相等． (1)请你协助他们进行证明： 在图①中，已知平分，过点作，，求证：； (2)如图②所示，四边形、是长方形，为公共点，在上，在延长线上，、为长方形的对角线．已知， ①用尺规作的角平分线，与相交于点； ②若， ，请结合（）中的结论，求与的面积之比． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）利用证明即可解答： （2）①根据角平分线的作法作出角平分线即可； ②利用证明，得到，，设，则，利用线段的长度关系求出的值，过点作，，由角平分线的性质得到，再利用三角形的面积公式进行比较即可． 【详解】（1）解：证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴ ， 在和中， ， ∴， ∴； （2）①如图所示即为所求： ②∵四边形、是长方形， ∴， 又∵， 即， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 设，则， 即， ∵， ∴， 解得：， ，， 过点作，如图所示： 又∵平分，由（）结论得：， ∴， ∴与的面积之比为． 14．我们通过学习知道角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等． (1)为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：是的平分线，于点于点．求证：． (2)如图2，于点，于点，为平分线上的一点，，求证：． 【答案】(1) 证明：∵于点于点 ∴ ∵是的平分线， ∴ 又∵ ∴， ∴； (2) 证明：∵于点，于点，为平分线上的一点， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴． 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质． （1）根据图形写出已知条件和求证，利用全等三角形的判定得出，由全等三角形的性质可得结论． （2）根据角平分线的性质可得，进而证明，即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 角平分线和垂直平分线重难点六大题型汇编 常考题型·精准突破 ◆题型·1:利用垂直平分线的性质求角度 1．如图，的垂直平分线交于点，连接，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，．若是三边垂直平分线的交点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，已知，，若和分别垂直平分和，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，的两边、的垂直平分线分别交于D、E，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．如图，在等边中，，垂足为D，E是上一点，．则的度数为（   ） A． B． C． D． ◆题型·2:利用垂直平分线定位性质求线段长度（常考） 6．如图，在中，以点为圆心，的长为半径作圆弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，连接交于点．若的周长为，，则的长是（     ） A． B． C． D． 7．如图，在中，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线交于点，连接若的周长为，，则的周长为（     ） A． B． C． D．30 8．如图，在锐角中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，，则的周长为（     ） A．11 B．10 C．9 D．8 9．如图，在中，，以点为圆心，长为半径画弧交的延长线于点，分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别交于点，连接交于点，连接，则的周长为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 ◆题型·3;利用角平分线的性质求面积（重点） 10．如图，点M是平分线上的一点，点P、点Q分别在射线、射线上，满足，若的面积是2，则的面积是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 11．如图，在四边形中，，平分，，，，则四边形的面积是（     ） A．40 B．42 C．46 D．48 12．如图，已知的周长是，和的角平分线交于点，于点，若，则的面积是（    ） A．84 B．48 C．42 D．24 13．如图，是的平分线，是中线，、相交于点E，于点F，，，若的面积是30，则的长为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 14．如图，在中，是边上的中线，是边上的高，平分交于点，，，，则阴影部分的面积是（   ） A．8 B． C． D． ◆题型·4;利用角平分线的性质求边长 15．如图，在中，平分交于点D，垂足为E，若，则的长为______． 16．如图，是的一条角平分线，是边上的中线，若的面积是18，的面积是6，，则的长为________． 17．如图，在中，平分于点的面积为，则的长是___________ 18．如图，在中，，平分交于点，于点，若，，则的长为______． 19．如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，交，于点、，分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点．若点到直线的距离为，，则的长为________． 20．如图，是的一条角平分线，，垂足为．是上一点，且．若，则的长为________． ◆题型·5:角平分线+垂直构造全等模型（难点） 21．如图，在中，，边的垂直平分线交和于点，，并且平分． (1)求的度数； (2)求证：． 22．解决问题 (1)如图1，已知在中，，．把向下平移至后，， ．请求出图中阴影部分的面积． (2)如图2，中，是边的垂直平分线，，，求的长． (3)如图3，已知，，垂直的延长线于点垂直的延长线于点F．求证：． 23．如图，在中，平分，的垂直平分线交于点，交于点，连接． (1)若，，求的周长； (2)若，，，求点到的距离． 24．如图，中，平分边的垂直平分线交于D点，于E，于F．    (1)求证：； (2)若，求的长． 25．如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于P点，于点D，于点E，连接． (1)试探究线段与线段的数量关系，并给出理由； (2)若，，求的度数． 26．【发现问题】 在全等三角形研究“筝形”的数学活动中，学习了筝形的定义：有两组邻边分别相等的四边形叫做筝形，以及筝形的边、角、对角线的性质.小明在学完十三章《轴对称》后，将学过的角平分线的性质与判定定理，线段垂直平分线的性质与判定定理的图形进行了整理，发现这些图形中都存在筝形，且筝形是轴对称图形． 【提出问题】 小明利用筝形是轴对称图形对它的面积进行了探究，得到了筝形面积与对角线的数量关系． （1）如图1，在四边形中，，，对角线与相交于点O． 求证：． 【分析问题】 （2）如图2，在四边形中，，，于点B，于点D，点M，N分别是，上的点，且，求的周长．（用含a的式子表示） 【解决问题】 （3）①如图3，在中，点D为内一点，平分，且． 求证：． ②如图4，在中，，，点D，E分别是边，上的动点，当四边形为筝形时，请直接写出______°． ◆题型·6:利用尺规作图综合应用（常考） 27．尺规作图：如图，用尺规在的内部作一点P，使，并且点P到两边的距离相等．（提示：作图要保留作图痕迹，且要用铅笔，不用写作法）． 28．校园一角的形状如图所示，其中，，表示围墙．现要修建一个垃圾投放点，使得点到围墙，的距离相等，且到围墙边界，的距离相等，请确定点的位置． 29．已知：如图，．请你用尺规作图． (1)作边的垂直平分线交于点D； (2)连接，作的平分线交于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法）． 30．如图，两个班的学生分别在、两处参加植树劳动，现要在道路、的交叉区域内设一个临时休息点，使到两条道路的距离相等，且使到、两地的距离相等．用圆规、直尺作临时休息点的位置．（不写作法，只保留作图痕迹） 31．如图，在中，． (1)尺规作图：①作边的垂直平分线交于点，交于点；②连接，作的平分线交于点；（要求：保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）所作的图中，求的度数． 综合攻坚·知能拔高 1．如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点，，，，，则的周长为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点O，这两条垂直平分线分别交于点D、E，已知的周长为，分别连接、、，若的周长为，则的长为（   ）． A．6.5 B．7.5 C．15 D．43 3．如图，在中，，分别垂直平分和，垂足为，，且分别交于点，．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 4．如图，某数学兴趣小组在测量校园内直角三角形花坛的相关数据时，用尺规作图的方法作的平分线：以为圆心画弧交，于，，再分别以，为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点．若测得，，则点到边的距离为（     ） A． B． C． D． 5．如图，在直角三角形中，，．根据尺规作图的痕迹可知，的度数为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是（    ） A．12 B．24 C．36 D．48 7．如图，在中，线段是的角平分线、是边上的中线，垂直于，已知：，则长是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 8．阅读以下作图步骤：①以点O为圆心，适当的长度为半径画弧，分别交于点C，D；②分别以点C，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点M；③作射线，连接，如图．根据以上作图步骤，判断下列结论错误的是（   ） A．平分， B．， C．， D．， 9．如图，的角平分线交于点O，于D，若，的周长为17，则的面积为（    ） A．16 B．17 C．18 D．19 10．如图，三角形中，的平分线交于点D，过点D作，垂足分别为E，F，下面四个结论：①；②垂直平分；③；④一定平行．其中正确的是（    ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 11．如图，在中，平分，交于点，于点，于点，是的高，交于点．已知：，，． (1)求的长； (2)求的长． 12．如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路和的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置P，并简要写出作法及作图依据． 13．本学期我们认识了“角平分线”的概念后，老师布置了一项探究性作业：角平分线除了将已知角分为完全相同的两部分以外，还有怎样的性质特点呢？我校七年级某班“探海数学小组”经过研究发现：角平分线上的任意一点到角两边的垂直距离都相等． (1)请你协助他们进行证明： 在图①中，已知平分，过点作，，求证：； (2)如图②所示，四边形、是长方形，为公共点，在上，在延长线上，、为长方形的对角线．已知， ①用尺规作的角平分线，与相交于点； ②若， ，请结合（）中的结论，求与的面积之比． 14．我们通过学习知道角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等． (1)为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：是的平分线，于点于点．求证：． (2)如图2，于点，于点，为平分线上的一点，，求证：． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04角平分线和垂直平分线重难点六大题型汇编 常考题型精准突破 ◆题型·1：利用垂直平分线的性质求角度 1. 【答案】B 【详解】解：MN垂直平分AB, .DA=DB. ∴.∠ABD=∠A=40°， ∠A=40°，AB=AC, :∠ABC=180,∠A=700, 2 ∴.∠DBC=∠ABC-∠ABD=30°」 故选：B 2. 【答案】D 【详解】如图，连接OA, B ,O是△ABC三边垂直平分线的交点， ∴.OA=OB,OA=OC, ∴.∠OAB=∠OBA,∠OAC=∠OCA. ,∠ABC+∠ACB=100°， ∴.∠BAC=180°-∠ABC+∠ACB=180°-100°=80°， .∠OBA+∠OCA=∠OAB+∠OAC=∠BAC=80°， .∠OBC+∠OCB=∠ABC+∠ACB-∠OBA+∠OCA=100°-80°=20°， :∠B0C=180°-∠0BC+∠0CB=180°-20=160°. 故选：D. 1/24 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3. 【答案】B 【详解】解：，MP和QN分别垂直平分AB和AC, ..PB=PA,QA=QC, ∴.∠B=∠PAB=20°，∠C=∠QAC=30, ,∠B+∠C+∠BAC=180°， .∠BAC=130°， .∠PAQ=∠BAC-∠PAB+∠QAC=130°-50=80°， 故选：B。 4. 【答案】c 【详解】解：，AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E, ..DA=DB,EA=EC, .∠ABC=∠BAD,∠ACB=∠CAE, .·∠ABC+∠ACB=105°， ∴，∠BAC=180°-∠ABC+∠ACB=75°， ∴.∠BAD+∠CAE=105°， .∠EAD=∠BAD+∠CAE-∠BAC=105°-75°=30°， 故选：C 5. 【答案】A 【详解】解：，'△ABC是等边三角形，AD⊥BC, ∴.∠ACB=60°，BD=CD, .AD垂直平分BC, ∴.BE=CE, ∴.∠ECD=∠EBD ,·DE=BD,∠BDE=90°， ∴.△BDE是等腰直角三角形， .∠DBE=45°， .∠ECD=45°， 2/24 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∴.∠ACE=∠ACB-∠ECD=15°. 故选：A. ◆题型·2：利用垂直平分线定位性质求线段长度（常考） 6. 【答案】B 【详解】解：由作图可知：MN是BD的垂直平分线， .EB=DE, :△ADE的周长为15， .AD+AE+DE=15. ,由作图可知AD=AC=6, .AE+DE=15-AD=15-6=9, ,AB=AE+BE=AE+DE=9」 7. 【答案】C 【详解】解：根据作图痕迹判断MN是AB的垂直平分线， ∴AD=BD, :△ADC的周长为18， ..AC+CD+AD=18. ∴.AC+CD+BD=18,即AC+BC=18, AB=10, ∴.△ABC的周长为AC+BC+AB=18+10=28 8. 【答案】A 【详解】解：DE是AB的垂直平分线， ..AE=BE, ,GF是AC的垂直平分线， ∴.AG=CG ,△AEG的周长=AE+EG+AG=BE+EG+CG=BC+2EG=9+2=11 9. 3124 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】A 【详解】解：如图，连接BD, B 由作图可知CD=AC=2,PQ是BD的垂直平分线， ∴.BE=DE ∴.△CDE的周长为CD+DE+CE=CD+BE+CE=CD+BC=2+6=8 ◆题型·3；利用角平分线的性质求面积（重点） 10. 【答案】D 【详解】解：过点M作ME⊥OP,MF⊥OB,垂足分别为E、F. A E M ▣ FO B ,M是∠AOB平分线上的一点， ∴.ME=MF :SA0w-号0Q×MF=2, 2 ∴.OQ×MF=4, .OP=20Q, ∴.OP×MF=OP×ME=8. SAOP=OP x MF=4. 故选：D 11. 4/24 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】A 【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB交BA的延长线于点E, E B ,BD平分∠ABC,∠BCD=90°，DE⊥AB, ..DE=CD=5, 5 AB-DE-x5×5=15, ∴.SA BCD= 2 BC:CD=7×10×5=25 ∴.四边形ABCD的面积为S△ABD+SABCD=15+25=40 12. 【答案】A 【详解】解：过点O作OE⊥AB于点B,过点O作OF⊥AC于点F,连接OA,如图所示： A E F ∠ABC∠ACB OD⊥BC B D C:点O为 与 的平分线的交点，且 ∴.OE=OD=OF, OD=3.5cm,△ABC的周长是48cm, ∴.SAABC=SABOC+SAA0B+S△A0C =3AB-0E+AC0F+号Bc0D (AB+AG+BG)OD =1×48×3.5 =84cm: 故选：A. 5/24 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 13. 【答案】B 【详解】解：如图，过E作EH⊥AC于H, B :AE是∠BAC的平分线，EF⊥AB, ∴EH=EF, ,BD是中线，AC=12,△BDC的面积是30 :AD=CD=号AC=号×12=6，△ABD的面积=△BDC的面积=30， :△ABD的面积=△ABE的面积+△ADE的面积， 30-AB-EF+ADEH-IAB+ADEF. AB=14,AD=6, 号x14+6·EF=30 ∴EF=3 故选：B. 14. 【答案】B 【详解】解：，AE是BC边上的高，BC=14,AE=6, 5ec专0cnE-x14×6=4, AD是BC边上的中线， 8SAA即SaA×42=2D BD-号c=7. 过点F作FM⊥AB于点M作FN⊥BC于点N, 6124 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9 B DNE ,BF平分∠ABC,FM⊥AB,FN⊥BC, ∴FM=FN, Sa=5ar+SMOr=AB~-BM+号B0·FN, x11×FN+×7×FN=21, :.2 2 .FN=7 Γ3 ∴.SABDF= BD·FN= 2 7×749 2 36 故选：B. ◆题型·4；利用角平分线的性质求边长 15. 【答案】2.4 【详解】解：：∠C=90°，AD平分∠BAC,DE⊥AB,DE=1.6, ∴.CD=DE=1.6, .BC=4, .BD=BC-CD=4-1.6=2.4, 16. 【答案】6 【详解】解：，△ABE的面积是6，BE是△ABD边AD上的中线， .S△ABD=2×6=12, ,△ABC的面积是18 ∴.S△AcD=18-12=6 如图所示，过点D作DF⊥AB于F,过D作DG⊥AC于G 7124 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,AD△ABC B 是 的角平分线， ∴.DF=DG, .AC=3, S△ABD= AB·DF 2 AB_AB_12 S△ACD AC·DG AC36 ∴AB=6 17. 【答案】5 【详解】解：过点D作DF⊥AC于点F, :CD平分∠ACB,DE⊥BC,DE=4, ..DF=DE=4, 1 SaA=Sa0n+SaD号×4AC+2×4BC S△ABc=28,BC=9, ,28=2AC+18, 2AC=10, ..AC=5 18. 【答案】3 【详解】解：，∠C=90°， .CD⊥AC, :AD平分∠BAC,DE⊥AB, ∴DE=CD, .BC=7cm,BD=4cm, ∴CD=BC-BD=7-4=3cm, 8/24 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,∴.DE=CD=3cm,即DE的长为3cm 19. 【答案】6 【详解】解：由作图可知，射线AD是∠BAC的平分线， ∠C=90°， ∴.DC⊥AC, ,点D到直线AB的距离为2，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴，DC等于点D到直线AB的距离，即DC=2, BC=BD+DC,BD=4, ∴.BC=4+2=6,BC的长为6 20 【答案】2 【详解】解：，△ABC是直角三角形， DC⊥BC :BD平分∠ABC,DE⊥AB,DC⊥BC, ∴.DC=DE,∠C=∠DEA=90°， 又：∠CDF=∠ADE, ∴.△DCF≌△DEA ASA, ∴.CF=AE=2. ◆题型·5：角平分线+垂直构造全等模型（难点） 21. 【详解】(1)解：.DE垂直平分AB ∴.EA=EB, ∴.∠EBA=∠A 又.BE平分∠ABC ∴.∠EBA=∠CBE, .∠C=90°， 又，：∠CBE+∠EBA+∠A=90°， .∴.∠A=30°： 9124 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2) 证明：：BE平分∠ABC,且ED⊥AB,EC⊥BC, ∴EC=ED 由(1)可知，∠A=30°， ∴.AE=2ED. ∴.AE=2EC, .AC=AE+EC=2EC+EC=3EC 22.解决问题 D D B D 图1 图2 图3 (1)如图1，已知在△ABC中，∠ABC=90°，BC=12cm.把△ABC向下平移至△兽U后， AD=5cm,GC=4cm.请求出图中阴影部分的面积. (2)如图2，△ABC中，DE是边AC的垂直平分线，AD=5,BD=2,求BC的长， (3)如图3，已知AB=AC,BD=CD,DE垂直AB的延长线于点E,DF垂直AC的延长线于点F.求 证：DE=DF 【详解】(1)解：.把△ABC向下平移至△乙， .BC=EF=12cm,AD=BE=5cm, GC=4cm, .BG=12-4=8cm, ∴.阴影部分面积=梯形BGEF的面积，=8+12×5÷2=50cm2. (2).DE垂直平分 .AD=CD=5, .∴.BC=BD+CD=2+5=7. (3)证明：如图，连接AD 10/24 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E 在△ABD和△ACD中， AB=AC, BD=CD AD=AD, ∴.△ABD≌△ACD SSS, ∴.∠BAD=∠CAD 又.DE⊥AE,DF⊥AF, ∴.DE=DF 23. 【详解】(1)解：.FE是BC的垂直平分线， ∴.FB=FC, △CDF的周长=FC+FD+CD =FB+FD+CD =BD+CD BD=7,CD=3, ∴.△CDF的周长=10， ∴.△CDF的周长为10. (2)解：过点D分别作DG⊥AB于点G,DH⊥BC于点H,如图， D ··BD ∠ABC B 平分 ∴.DG=DH .EF⊥BC,EF=4, SrBcEr=I0, 11/24 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.BC=5 BF:DF=5:3, '.SABDC 85Kr=16, 5 .×5×DH=16 解得DH=32 5 ..DG=DH=32 2 即点D到AB的距离为5 24. 【答案】(1) 证明：如图，连接BD、CD, E .·DG⊥BCBG=GC G B 且 ∴.BD=CD ,AD平分∠BAC,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F, ∴.DE=DF,∠DEB=∠DFC=90°， 在Rt△BED与Rt△CFD中， DE=DF BD=CD ∴.Rt△BED≌Rt△CFD|HL, ∴.BE=CF; (2)解：，AD平分∠BAC,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F, ∴.DE=DF,∠DEB=∠DFC=90°， 在Rt△AED与Rt△AFD中， 12/24 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AD-AD DE=DF ∴.Rt△AED≌Rt△AFD|HL, ∴.AE=AF, ∴.CF=AF-AC=AE-AC, 由(1)知：BE=CF, ∴.AB-AE=AE-AC 即5-AE=AE-3, ∴.AE=4cm, ∴.BE=AB-AE=5-4=1, 25. 【答案】(1) 解：BD=CE,理由如下 点P在BC的垂直平分线上， ∴BP=CP, AP是∠DAC的平分线，PD⊥AB,PE⊥AC, .DP=EP 在Rt△BDP和Rt△CEP中， BP=CP DP=EP ∴.Rt△BDP≌Rt△CEP HL, ∴.BD=CE (2)解：∠DAC=84°，AP平分∠DAC, .∠DAP=∠PAE=号×84=42°， .∠APB=24 ∴.∠ABP=42°-24°=18°， .Rt△BDP≌Rt△CEP, ∴.∠DBP=∠ECP=18°， ∴.PB=PC, ∴.∠PBC=∠PCB, 设∠ACB=x,则： 13/24 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.PBC=∠PCB=X+18°， .'∠DAC=∠ABC+∠ACB, .18°+x+18+x=84, 解得：X=24°， ∴.∠ACB=24° 26 【答案】(1)在四边形ABCD中， AB=AD. ∴点A在线段BD的垂直平分线上， 又CB=CD ∴，点C在线段BD的垂直平分线上， .∴.AC⊥BD :S茶sn=SAc+Sg=AC-D0+号AC~B0=号AC-(D0+B0)=号AC~BD, (2)如图2，延长AB至E,使BE=DM,连接CE, D M .'AB⊥BCAD⊥CD B 图2 ∴.∠CBE=∠MDC=90, 又BE=DM,CB=CD, '.△CBE≌△CDM(SAS), ∴.CM=CE,∠MCD=∠BCE, .∠MCD+∠NCB=∠MCN, .∴.∠BCE+∠NCB=∠MCN, 即∠NCE=∠BCE, 又.CN=CN, ∴.△MCN≌△ECN(SAS)】 .∴.MN=EN, 14/24 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .'CAAMN =AM+AN MN AM+AN +NE=AM+AE=AM+AB+BE =AM+AB+MD=AD+AB, AB=AD=a, .'CAAMN=2a (3)①如图3，过点D作DE⊥AB,DF⊥AC, EP ·.AD ∠BAC B 图3 平分 ..DE=DF 又，'BD=CD,AD=AD, '.Rt△DEB≌Rt△DFC(HL),Rt△ADE≌Rt△ADF(HL), ∴.BE=CF,AE=AF, ∴.BE+AE=CF+AF, ∴.AB=AC ②100°或40° ◆题型·6：利用尺规作图综合应用（常考） 27. 【答案】如图：点P即为所求 B 28. 【答案】解：如图，点P即为所求 15/24 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C777777D 29 【答案】(1)如图，点D即为所求： B (2)如图，射线AE即为所求： B 30 【答案】如图，点D即为所求： B D 31. E 【答案】(1) (2)解：DP是AB的垂直平分线， ∴.BD=AD ∴.∠BAD=∠B=30°， 16/24 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在△ABC中，∠B=30°，∠C=40, ∴.∠BAC=180°-30°+40=110°， ∴.∠DAC=110°-30°=80°， .'AE平分∠DAC, ∠DAE=<DAC=40 综合攻坚知能拔高 1. 【答案】D 【详解】解：，DE为AB边的垂直平分线， .BD=AD .BD=5cm,CD=2cm,AC=4cm ∴.△ACD的周长为AC+CD+AD=AC+CD+BD=11cm, 故选D. 2. 【答案】B 【详解】解：，OM是AB的垂直平分线，ON是AC的垂直平分线， ..DA=DB,EA=EC,OA=OB,OA=OC, ..OB=OC=0A. ,△ADE的周长为14cm, ∴.DA+DE+EA=14cm, .BC=DB+DE+EC=14cm, ,△OBC的周长为29cm, ..OB+OC+BC=29cm. ∴.20A+14=29cm, ∴.0A=7.5cm. 故选：B· 3 17/24 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】A 【详解】解：，DM,EN分别垂直平分AB和AC, :,DA=DB,EA=EC(线段垂直平分线的性质)， ∴.∠B=∠DAB,∠EAC=∠ECA, ,∠BAC=100°， .∠B+∠C=180°-∠BAC=180°-100°=80°， ∴.∠DAE=∠BAC-∠DAB-∠EAC=∠BAC-∠B+∠C=100°-80°=20°， 故选：A 【答案】B 【详解】解：过点F作FH⊥AB,如图所示： M 由作图可知：AF平分∠BAC, ∠C=90°， ∴FH=CF, .BC=10cm,BF=6cm, ..CF=BC-BF=4cm, .FH=4cm,即点F到AB边的距离为4cm 【答案】B 【详解】解：：在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，∠B=24°， ∠BAC=180°-∠ACB-∠B=66°， 由作图方法可得AD平分∠BAC,DE⊥AB, :∠DAE=号∠BAC=33°，∠AED=909, .∠ADE=180°-∠DAE-∠AED=57° 6. 【答案】B 18/24 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：过点G作GH⊥AB于点H, 根据题意得，AF是∠CAB的角平分线， ∠C=90°， .AC⊥CG, ,GH⊥AB, ∴.CG=GH=4, CSAA×AB×GH=号×12×4=2☑ 7. 【答案】B 【详解】解：过D点作DF⊥AC于F点，如图， ,AM是BC边上的中线， ,.∴SAACM=S△ABM, ∴.S△ABC=2S△ABM=2×5.5=11, :线段AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB,DF⊥AC, ..DF=DE=2, :S△ABm+SAACD=S△ABC, ×5x2+3×AC×2=1n 2 解得AC=5. 故答案为：B. 8. 【答案】B 【详解】解：由作图方法可得OM平分∠AOB,∠1=∠2，OC=OD,MC=MD 19/24 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴，△OCM≌△ODM(SAS), ,A、C、D正确，不符合题意； 无法得出∠1=∠3，符合题意： 故选：B 9. 【答案】B 【详解】解：作OE⊥BC,OF⊥AB,垂足分别为E,F, B :△ABC的角平分线交于点O,OD⊥AC于D,OD=2, ..OD=OE=OF=2. .SAABC=S△AOB+SACOB+S△AOC -2AB-0r+号Dc-0E+号AC-0D 2 =AB+BC+AC; :△ABC的周长为17， ..AB+BC+AC=17, ∴.S△4Bc=17: 故选B 10. 【答案】A 【详解】解：①'三角形ABC中，∠A的平分线交BC于点D,过点D作DF⊥AC,DE⊥AB, ..DF=DE, 又：AD=AD :.Rt△ADF≌Rt△ADE|HL, ..AF=AE, ,∠AFE=∠AEF, 故①正确： 20/24 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②，DF=DE,AF=AE, ∴点D在EF的垂直平分线上，点A在EF的垂直平分线上， ∴AD垂直平分EF, 故②正确： @SAam-号BEDE,Saen号F-DF,DP=DE, SABED SACFD CF: 故③正确： ④，∠AFE不一定等于∠ACB, EF不一定平行BC 故④错误。 综上所述，正确的有①②③. 故选：A。 11. 【详解】(1)解：，BD平分∠ABC,DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F,且DE=3, ∴DF=DE=3. 2)解：Sam号AB-DE=x6×3=9, SaD号BCDF=5×8x3=12, .SAABC=SAABD+SABCD=9+12=21, 又，AG是△ABC的高， SAAc=号BCAG=21, 即2×8·AG=21, 7 解得AG=21 4 12. 【答案】解：如图所示，作线段AB的垂直平分线，再作∠MON的角平分线交线段AB的垂直平分线 于点P,则点P即为所求： 21/24 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 由线段垂直平分线的性质可得点P到两个城镇A,B的距离相等，由角平分线的性质可得点P到两条 高速公路OM和ON的距离也相等。 13. 【详解】(1)解：证明：，PC⊥OA,PD⊥OB, .∠PCO=∠PDO OP平分ㄥAOB .∠COP=∠DOP, 在△COP和△DOP中， ∠PCO=∠PDO ∠COP=∠DOP PO=PO ∴.△COP≌△DOP ASA, ..PC=PD: (2)①如图所示即为所求： ②：四边形ABCD、CEFG是长方形， ∠B=∠CEF=90°， 又∠ACF=90°， 即∠ACB+∠FCE=90°， 又，∠ACB+∠CAB=90°， ∴.∠CAB=∠FCE, 在△ACB和△CFE中， 22/24 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠B=∠CEF CAB=ㄥFCE AC=CF ∴，△ACB≌△CFE AAS, ..EC=AB=DC,BC=FE=AD=GC, 设DC=EC=x,则BC=BE+EC=7+X, 即AD=CG=7+X, DG=23, ∴，DC+CG=x+7+x=23, 解得：X=8, .∴.DC=8,AD=CG=7+x=15, 过P点作PM⊥AD,PN⊥DC如图所示： B E Mh- 又，DP平分∠ADC,由(1)结论得：PM=PN, ADXPM SAADP= AD-15 SACDP ⊥DCx PN DC 8' 2 ∴.△ADP与△CDP的面积之比为15：8. 14. 【答案】(1) 证明：PE⊥OA于点E,PF⊥OB于点F ∴.∠PEO=∠PFO=90° OP是∠AOB的平分线， ∴.∠POE=∠POF 又，PO=PO ∴.△POE≌△POF AAS, ∴PE=PF: (2) 23/24 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 证明：，PE⊥OA于点E,PF⊥OB于点F,P为∠AOB平分线上的一点， PE=PF,∠PEM=∠PFN=90° ,∠OMP+∠ONP=180°，∠PNF+∠ONP=180° ∴.∠OMP=∠PNF ∴△PME≌△PNF AAS ..PM=PN. 24124