2.3 匀变速直线运动的规律（高效培优·讲义）物理沪科版必修第一册

本讲义聚焦匀变速直线运动规律这一核心知识点，系统梳理从定义出发推导的速度公式v=v₀+at、位移公式x=v₀t+1/2at²、速度-位移公式v²-v₀²=2ax及平均速度公式，结合v-t图像分析，构建完整知识支架。 资料以“避坑指南”解析刹车、多过程等问题，培养科学思维中的模型建构与科学推理，通过微元法推导位移公式渗透科学探究，真题与分层练习助力课中教学深化及课后查漏补缺，提升物理观念应用能力。

2.3 匀变速直线运动的规律 目录 01 本节导航·目标清单 02 教材精研·内容全解 考点01 匀变速直线运动的速度公式 考点02 匀变速直线运动的图象表示 考点03 匀变速直线运动的位移公式 考点04 匀变速直线运动的速度-位移公式 考点05 匀变速直线运动的平均速度公式 03 避坑指南·解题通法 角度01 刹车问题 角度02 速度和位移的函数表达式 角度03 匀变速运动的位移中点和时间中点速度 角度04 多过程问题 04 真题闯关·溯源演练 05 课后三阶·精准练习 目标导航 方法指导 1. 理解匀加速直线运动的基本规律 速度公式： v＝v0＋at 位移公式： 速度-位移公式： 平均速度公式 2. 使用v-t 图像解决解决实际问题。 1. 使用数学方法研究物理问题， 2. 理解数形结合的思想； 3. 理论与实际相联系的思维方法。 4. 运用数学的函数知识理解图象； 考点01 匀变速直线运动的速度公式 1. 匀变速直线运动定义：沿着一条直线，且加速度不变的运动。 2. 速度和时间关系式：v＝v0＋at (1)推导：由加速度的定义式 得 (2)适用条件：公式v＝v0＋at只适用于匀变速直线运动。 (3)公式的矢量性 v0、v、a均为矢量，应用公式解题时，首先应先选取正方向。 一般以v0的方向为正方向，此时匀加速直线运动a＞0，匀减速直线运动a＜0。 对计算结果v＞0，说明v与v0方向相同；v＜0，说明v与v0方向相反。 正负的物理含义：代表方向，不代表大小。 (4)公式应用：含有四个物理量，已知三个可求第四个。 3．两种特殊情况 (1)当v0＝0时，v＝at 表明由静止开始的匀加速直线运动的速度大小与其运动时间成正比。 (2)当a＝0时，v＝v0 加速度为零的运动是匀速直线运动。 4．分类： ①匀加速直线运动：a和v同向，速度随时间均匀增加。 包括a和v同时为正，也包括a和v同时为负 ②匀减速直线运动：a和v反向，速度随时间均匀减小。 例1. 一个质点从静止开始以1m/s2的加速度做匀加速直线运动，经5s后做匀速直线运动，最后2s的时间内使质点做匀减速直线运动直到静止．求： （1）t=5s时质点的速度； （2）质点做匀减速运动时的加速度大小。 考点02 匀变速直线运动的图象表示 1. 匀速直线运动中，速度的大小和方向不随时间变化。我们以横轴表示时间，纵轴表示速度，在平面直角坐标系中就可作出匀速直线运动的图象。根据 v＝v0＋at，当a>0时，图像如下： (1)匀变速直线运动的特点： v－t图像是一条倾斜直线，斜率表示加速度。 (2)v－t图线的斜率的绝对值等于物体的加速度的大小，斜率的正、负表示加速度的方向． (3)如图所示，a表示匀加速直线运动，b表示匀减速直线运动． (4) v－t图线与纵轴的交点的纵坐标表示物体的初速度． (5) 匀速直线运动的v－t图像是一条平行于时间轴的直线． 2. 图像和坐标轴围成的面积 (1)匀速直线运动的图象 如图1所示，甲、乙两条图线分别表示两物体以和的速度作匀速直线运动。 图1 图2 匀速直线运动的位移可由求出，也可由图象求得。如图2所示，阴影部分“面积”的大小就等于位移的大小。即内位移大小为。 (2)匀变速直线运动的图象 匀变速直线运动的位移是否也是图象中的线下面积，如图所示： 注意：速度和位移都是矢量。图象中轴上方的面积为正，对应的位移为正（即位移方向与规定正方向相同）；轴下方的面积为负，对应的位移为负（即位移方向与规定正方向相反）。 在上述过程中我们用到了一种重要的物理思想—“微元”的思想，在今后的学习中，我们还会经常用到。 3. 非匀变速直线运动（变加速直线运动） (1)v－t图像是一条曲线，曲线上某点切线的斜率等于该时刻物体的加速度． (2)图甲、乙中，速度v随时间t的增加都增大． 甲图中，在相等的时间Δt内Δv2>Δv1，斜率增大，加速度增大； 乙图中，在相等的时间Δt′内Δv2′<Δv1′，斜率减小，加速度减小． (3)图像和坐标轴围成的面积同样表示位移。 例2. 如图是做直线运动的某质点图像，请回答： （1）质点在做____________运动，加速度为____________。 （2）质点在做___________运动，加速度为___________。 （3）质点在做___________运动，加速度为___________。 考点03 匀变速直线运动的位移公式 1. 匀变速直线运动的位移与时间的关系式： 2. 微元法思想进行推导： 在匀变速直线运动中，虽然速度时刻变化，但只要时间足够小，速度的变化就非常小，在这段时间内近似应用我们熟悉的匀速运动的公式计算位移，其误差也非常小，如图所示。 由图可知，梯形OAPQ的面积为 ① ② 将②代入①可得，匀变速直线运动的位移公式为： 也可以这样理解：梯形OAPQ的面积可看成S1和S2之和，其中，， 所以，利用面积表示位移可以得到 3. 适用条件：位移公式只适用于匀变速直线运动． 4. 矢量性：公式中x、v0、a都是矢量，应用时必须选取正方向．一般选v0的方向为正方向． ①匀加速直线运动中，a与v0同向，a取正值；匀减速直线运动中，a与v0反向，a取负值． ②若位移的计算结果为正值，说明位移方向与规定的正方向相同；若位移的计算结果为负值，说明位移方向与规定的正方向相反． 5. 两种特殊形式 ①当v0＝0时，x＝at2，即由静止开始的匀加速直线运动的位移公式，位移x与t2成正比． ②当a＝0时，x＝v0t，即匀速直线运动的位移公式． 6. 应用位移公式的解题步骤： ①选择研究对象，分析运动是否为变速直线运动，并选择研究过程。 ②初速度v0、加速度a、时间t、位移x，若有三个已知量，即可用x＝v0t+at2求第四个物理量。 ③规定正方向（一般以v0方向为正方向），判断各矢量正负代入公式计算。 例3. （25-26高一上·上海·期中）一个做匀加速直线运动的物体，初速度，加速度为，求： （1）物体在4秒末的速度大小。 （2）物体在前4秒内的位移大小。 考点04 匀变速直线运动的速度-位移公式 1. 匀变速直线运动位移与速度的关系推导 (1)由位移公式：x＝v0t+at2和速度公式v＝v0+at消去t得：v2﹣v02＝2ax． 式中v0和v是初、末时刻的速度，x是这段时间的位移； 速度与时间的关系式v＝v0＋at。 位移与时间的关系式x＝v0t＋at2。 由以上两个公式消去t，可得 3.公式的适用条件：匀变速直线运动。 4.公式的意义：反映了初速度v0、末速度v、加速度a、位移x之间的关系，当其中三个物理量已知时，可求第四个未知量。 5.公式的矢量性：公式中v0、v、a、x都是矢量，必须选取统一的正方向，一般选v0的方向为正方向。 6.两种特殊形式 (1)当v0＝0时，v2＝2ax。(初速度为零的匀加速直线运动) (2)当v＝0时，－v＝2ax。(末速度为零的匀减速直线运动) 匀变速直线运动的位移﹣速度关系式反映了初速度、末速度、加速度与位移之间的关系． 2. 适用条件：此公式仅适用于匀变速直线运动； 3. 矢量性：公式中四个矢量v、v0、a、x要规定统一的正方向． 例4. （25-26高一上·上海·期中）火车的速度为，关闭发动机后做匀减速直线运动，前进70m时速度减为。若再经过50s，火车又前进的距离为（　　） A．50m B．90m C．120m D．160m 考点05 匀变速直线运动的平均速度公式 1. 平均速度=中间时刻的瞬时速度 ⑴ 由 ⑵ 图象证明 在匀变速直线运动中，对于某一段时间t，其中间时刻的瞬时速度， 即有：（非常重要！） 注意：此式仅适用于匀变速直线运动！ 物理含义：在匀变速直线运动中，某一段时间内的平均速度等于该段时间内中间时刻的瞬时速度， 又等于这段时间内初速度和末速度的算术平均值。 2. 匀变速直线运动的位移中点的瞬时速度推导： 前半段：vx/22﹣v02＝2a 后半段：vt2﹣vx/22＝2a 将两式相减得：vx/2＝ 结论：不论物体做匀加速直线运动还是匀减速直线运动，位移中点的速度均大于时间中点的速度， 即：vx/2＞vt/2． 3. 使用图像理解匀变速直线运动中间时刻的速度与中间位置速度的大小关系： （1）在匀变速直线运动，不管匀加速直线运动和匀减速直线运动，中间位置速度一定大于中间时刻速度。 （2）注意：在匀速直线运动，中间位置速度等于中间时刻速度。 例5. 汽车在平直的公路上匀速行驶，发现前方有险情后紧急刹车，刹车后经过2s速度减半，再滑行15m速度减为零，刹车过程可以看成匀减速直线运动，则汽车匀速行驶时的速度大小为（　　） A．25m/s B．28m/s C．30m/s D．32m/s 角度01 刹车问题 1. 汽车以28m/s的速度匀速行驶，现以4.0m/s2的加速度开始刹车，则刹车后4s末和8s末的速度各是多少？ 角度02 速度和位移的函数表达式 2. 一个物体在水平面上以恒定的加速度运动，它的位移与时间的关系是x＝24t﹣6t2，则它的速度为零的时刻是（　　） A． B．6s C．2s D．24s 角度03 匀变速运动的位移中点和时间中点速度 3．（25-26高一上·上海普陀·阶段检测）某质点做匀减速直线运动，依次经过A，B，C，并在O点停下。已知与段用时相等，且与段间距之比为3∶2，则与段间距之比为（　　） A． B． C． D． 角度04 多过程问题 【方法提示】此类问题一般有斜面、平面、圆形轨道等组成，在交界点处速度大小相等。 4．如图所示，倾角为的光滑斜面与粗糙的水平面平滑连接。现将一滑块（可视为质点）从斜面上A点由静止释放，最终停在水平面上的C点。已知A点距水平面的高度，滑块在上滑动的加速度大小为，B点距C点的距离。（滑块经过B点时速度大小不变，取）求： （1）滑块在水平面上滑动的加速度大小； （2）滑块从A点释放后，经过时间时速度大小； （3）改变滑块在斜面上释放高度h，L的大小也改变，求h与L的比值大小。 1．（25-26高一上·上海长宁·期中）一物体做加速直线运动，依次通过A、B、C三点，，物体在AB段的加速度为，所用时间为，在BC段的加速度为，所用时间为，且物体在B点的瞬时速度为，则（　　） A． B． C． D．AC段平均速度等于 2．（25-26高一上·上海虹口·期中）一辆汽车在平直公路上以某一速度行驶时，司机低头看手机3s，相当于盲开60m，该车遇见紧急情况，紧急刹车的距离（从开始刹车到停下时汽车所行驶的距离）至少是20m。根据以上提供的信息 （1）求汽车行驶的速度大小和刹车的最大加速度大小； （2）若该车以108km/h的速度在高速公路上行驶时，前方150m处道路塌方，该车司机低头看手机3s后才发现危险，已知司机的反应时间为0.6s，刹车的加速度与（1）问中大小相等。试通过计算说明汽车是否会发生交通事故。 ⚡基础速刷 1．汽车在水平公路上自A向B做匀减速直线运动停于B点，初速度为3m/s，加速度为0.4m/s2。若汽车在某1s内通过了0.05m的位移，则在这1s末汽车（　　） A．已停止运动 B．刚好停止运动 C．一定没有停止运动 D．可能没有停止运动 2．在正常情况下，火车以54km/h的速度匀速开过一个小站，现因需要，必须在这个小站停留。火车将要到达该小站时，以﹣0.5m/s2加速度做匀减速运动，停留2min后，又以0.3m/s2的加速度开出小站，一直到恢复原来的速度，则因列车停靠小站而延误的时间为（　　） A．40s B．120s C．160s D．200s 3．一辆汽车由静止开始做匀加速直线运动，刚运动了8s，由于前方突然有巨石滚下，堵在路中央，所以刹车做匀减速运动，经4s刚好停在巨石前，则汽车（　　） A．加速、减速过程的加速度大小之比a1：a2＝2：1 B．加速、减速过程位移之比s1：s2＝1：1 C．加速、减速过程平均速度大小之比v1：v2＝1：1 D．加速、减速过程平均速度大小之比v1：v2＝1：2 4．汽车以20m/s的速度做匀速直线运动，刹车后加速度大小为5m/s2，那么开始刹车后2s与开始刹车后7s汽车通过的位移之比是（　　） A．1：1 B．3：1 C．3：4 D．4：3 5．如图，当轿车以18km/h的速度匀速驶入高速公路ETC收费通道时，ETC天线完成对车载电子标签的识别后发出“滴”的一声。此时轿车距自动栏杆7m，司机发现栏杆没有抬起，于是采取制动刹车，使轿车刚好没有撞杆。已知刹车的加速度大小为5m/s2．则司机的反应时间为（　　） A．0.5s B．0.7s C．0.9s D．1s 6．物体由静止开始做匀加速直线运动，速度为v时位移为s，当位移为3s时，速度为（　　） A．v B．3v C．6v D．9v 7．近日，由蓝箭航天自主研发的国产可重复使用火箭取得了重大进展。回收火箭是非常具有挑战性的任务，返回的火箭着陆前发动机重新点火，做匀减速直线运动，直至着陆。点火后的第1s内和第2s内火箭位移大小依次为90m和50m，则点火后3s内的位移是（　　） A．150m B．151.25m C．152.5m D．153.75m 🚀能力跃升 8．物体做变速运动，初速度v0＝+6m/s，加速度随时间变化关系为a＝+（4﹣2t）（式中a和t的单位分别为m/s2和s；t≤4s），经过　 　s速度达到最大，最大值为　 　m/s。 9．汽车原来以10m/s的速度在平直公路上匀速行驶，因为路口出现红灯，司机从较远的地方开始刹车，使汽车匀减速前进，当车速减到2m/s时，交通灯转为绿色，司机当即放开刹车，并且只用了减速过程的一半时间，将汽车加速到原来的速度，从开始刹车到恢复原来速度的过程用了12s。以初速度方向为正方向。求： （1）减速与加速过程中的加速度； （2）开始刹车后2s末及10s末的瞬时速度。 10．如图所示，一个篮球从高的篮筐上由静止开始下落，经后落到水平地面上，并以反弹，已知篮球与地面碰撞的时间为，碰撞过程的加速度大小为，方向竖直向上，不考虑空气阻力，求： （1）篮球与地面碰撞前瞬间的速度。 （2）篮球下落过程中的加速度。 （3）篮球与地面碰撞后经反弹至最高点，若该上升段的平均速度大小为，则篮球由开始下落到反弹至最高点过程的平均速度的大小和方向。 🌟思维挑战 11．一质点沿直线Ox方向做变速运动，它离开O点的距离x随时间变化的关系为x＝5+2t3（m），它的速度随时间t变化的关系为v＝6t2（m/s），该质点在t＝0到t＝2s间的位移为　 　m；t＝2s到t＝3s间的平均速度为　 　m/s． 12．某人骑自行车沿一坡路直线运动，已知在坡顶的速度是1m/s，他以0.5m/s2的加速度匀加速行驶了4s，恰好到达坡底，试求： （1）他在3s末时的瞬间速度； （2）坡路的长度； （3）在坡路上行驶的平均速度． 13．图为酒店送货机器人。一次送货，机器人沿直走廊送货到30m远的客房，机器人从静止开始做匀加速直线运动，2s时速度达到1.2m/s，然后做匀速直线运动，距离客房2.4m时开始做匀减速直线运动，到达客房门口恰好停止。求： （1）匀加速阶段的加速度大小； （2）匀减速阶段的平均速度； （3）此次送货的时间。 14．某跳伞运动员做低空跳伞表演。当飞机悬停时距离地面h1=225m，此时运动员离开飞机做自由落体运动，当运动员距离地面h2=100m时立即打开降落伞，此后可认为运动员匀减速竖直下降，落地速度刚好为5m/s（g=10m/s2，结果保留到小数点后一位），求： （1）运动员打开降落伞时的速度大小； （2）运动员打开降落伞后的加速度大小； （3）运动员离开飞机后在空中下落的总时间。 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3 匀变速直线运动的规律 目录 01 本节导航·目标清单 02 教材精研·内容全解 考点01 匀变速直线运动的速度公式 考点02 匀变速直线运动的图象表示 考点03 匀变速直线运动的位移公式 考点04 匀变速直线运动的速度-位移公式 考点05 匀变速直线运动的平均速度公式 03 避坑指南·解题通法 角度01 刹车问题 角度02 速度和位移的函数表达式 角度03 匀变速运动的位移中点和时间中点速度 角度04 多过程问题 04 真题闯关·溯源演练 05 课后三阶·精准练习 目标导航 方法指导 1. 理解匀加速直线运动的基本规律 速度公式： v＝v0＋at 位移公式： 速度-位移公式： 平均速度公式 2. 使用v-t 图像解决解决实际问题。 1. 使用数学方法研究物理问题， 2. 理解数形结合的思想； 3. 理论与实际相联系的思维方法。 4. 运用数学的函数知识理解图象； 考点01 匀变速直线运动的速度公式 1. 匀变速直线运动定义：沿着一条直线，且加速度不变的运动。 2. 速度和时间关系式：v＝v0＋at (1)推导：由加速度的定义式 得 (2)适用条件：公式v＝v0＋at只适用于匀变速直线运动。 (3)公式的矢量性 v0、v、a均为矢量，应用公式解题时，首先应先选取正方向。 一般以v0的方向为正方向，此时匀加速直线运动a＞0，匀减速直线运动a＜0。 对计算结果v＞0，说明v与v0方向相同；v＜0，说明v与v0方向相反。 正负的物理含义：代表方向，不代表大小。 (4)公式应用：含有四个物理量，已知三个可求第四个。 3．两种特殊情况 (1)当v0＝0时，v＝at 表明由静止开始的匀加速直线运动的速度大小与其运动时间成正比。 (2)当a＝0时，v＝v0 加速度为零的运动是匀速直线运动。 4．分类： ①匀加速直线运动：a和v同向，速度随时间均匀增加。 包括a和v同时为正，也包括a和v同时为负 ②匀减速直线运动：a和v反向，速度随时间均匀减小。 例1. 一个质点从静止开始以1m/s2的加速度做匀加速直线运动，经5s后做匀速直线运动，最后2s的时间内使质点做匀减速直线运动直到静止．求： （1）t=5s时质点的速度； （2）质点做匀减速运动时的加速度大小。 【答案】（1）5m/s （2）2.5m/s2 【解析】（1）根据速度时间公式得，物体在5s时的速度为：v＝a1t1＝1×5m/s＝5m/s． （2）物体速度减为零的时间2s，做匀减速运动时的加速度大小为：＝2.5m/s2 考点02 匀变速直线运动的图象表示 1. 匀速直线运动中，速度的大小和方向不随时间变化。我们以横轴表示时间，纵轴表示速度，在平面直角坐标系中就可作出匀速直线运动的图象。根据 v＝v0＋at，当a>0时，图像如下： (1)匀变速直线运动的特点： v－t图像是一条倾斜直线，斜率表示加速度。 (2)v－t图线的斜率的绝对值等于物体的加速度的大小，斜率的正、负表示加速度的方向． (3)如图所示，a表示匀加速直线运动，b表示匀减速直线运动． (4) v－t图线与纵轴的交点的纵坐标表示物体的初速度． (5) 匀速直线运动的v－t图像是一条平行于时间轴的直线． 2. 图像和坐标轴围成的面积 (1)匀速直线运动的图象 如图1所示，甲、乙两条图线分别表示两物体以和的速度作匀速直线运动。 图1 图2 匀速直线运动的位移可由求出，也可由图象求得。如图2所示，阴影部分“面积”的大小就等于位移的大小。即内位移大小为。 (2)匀变速直线运动的图象 匀变速直线运动的位移是否也是图象中的线下面积，如图所示： 注意：速度和位移都是矢量。图象中轴上方的面积为正，对应的位移为正（即位移方向与规定正方向相同）；轴下方的面积为负，对应的位移为负（即位移方向与规定正方向相反）。 在上述过程中我们用到了一种重要的物理思想—“微元”的思想，在今后的学习中，我们还会经常用到。 3. 非匀变速直线运动（变加速直线运动） (1)v－t图像是一条曲线，曲线上某点切线的斜率等于该时刻物体的加速度． (2)图甲、乙中，速度v随时间t的增加都增大． 甲图中，在相等的时间Δt内Δv2>Δv1，斜率增大，加速度增大； 乙图中，在相等的时间Δt′内Δv2′<Δv1′，斜率减小，加速度减小． (3)图像和坐标轴围成的面积同样表示位移。 例2. 如图是做直线运动的某质点图像，请回答： （1）质点在做____________运动，加速度为____________。 （2）质点在做___________运动，加速度为___________。 （3）质点在做___________运动，加速度为___________。 【答案】  （1）匀加速直线     2.5    （2）匀减速直线     -5    （3）匀加速直线     -5 【详解】（1）[1][2]由图可知，斜率表示加速度 质点速度在增大，做匀加速直线运动。 （2）[3][4]由图可知，加速度 ，质点速度在减小，做匀减速直线运动。 （3）[5][6]由图可知，加速度 ，质点速度在增大，做匀加速直线运动。 考点03 匀变速直线运动的位移公式 1. 匀变速直线运动的位移与时间的关系式： 2. 微元法思想进行推导： 在匀变速直线运动中，虽然速度时刻变化，但只要时间足够小，速度的变化就非常小，在这段时间内近似应用我们熟悉的匀速运动的公式计算位移，其误差也非常小，如图所示。 由图可知，梯形OAPQ的面积为 ① ② 将②代入①可得，匀变速直线运动的位移公式为： 也可以这样理解：梯形OAPQ的面积可看成S1和S2之和，其中，， 所以，利用面积表示位移可以得到 3. 适用条件：位移公式只适用于匀变速直线运动． 4. 矢量性：公式中x、v0、a都是矢量，应用时必须选取正方向．一般选v0的方向为正方向． ①匀加速直线运动中，a与v0同向，a取正值；匀减速直线运动中，a与v0反向，a取负值． ②若位移的计算结果为正值，说明位移方向与规定的正方向相同；若位移的计算结果为负值，说明位移方向与规定的正方向相反． 5. 两种特殊形式 ①当v0＝0时，x＝at2，即由静止开始的匀加速直线运动的位移公式，位移x与t2成正比． ②当a＝0时，x＝v0t，即匀速直线运动的位移公式． 6. 应用位移公式的解题步骤： ①选择研究对象，分析运动是否为变速直线运动，并选择研究过程。 ②初速度v0、加速度a、时间t、位移x，若有三个已知量，即可用x＝v0t+at2求第四个物理量。 ③规定正方向（一般以v0方向为正方向），判断各矢量正负代入公式计算。 例3. （25-26高一上·上海·期中）一个做匀加速直线运动的物体，初速度，加速度为，求： （1）物体在4秒末的速度大小。 （2）物体在前4秒内的位移大小。 【答案】（1）6m/s （2）16m 【详解】（1）物体做匀加速直线运动，在的速度为 （2）物体在内位移为 考点04 匀变速直线运动的速度-位移公式 1. 匀变速直线运动位移与速度的关系推导 (1)由位移公式：x＝v0t+at2和速度公式v＝v0+at消去t得：v2﹣v02＝2ax． 式中v0和v是初、末时刻的速度，x是这段时间的位移； 速度与时间的关系式v＝v0＋at。 位移与时间的关系式x＝v0t＋at2。 由以上两个公式消去t，可得 3.公式的适用条件：匀变速直线运动。 4.公式的意义：反映了初速度v0、末速度v、加速度a、位移x之间的关系，当其中三个物理量已知时，可求第四个未知量。 5.公式的矢量性：公式中v0、v、a、x都是矢量，必须选取统一的正方向，一般选v0的方向为正方向。 6.两种特殊形式 (1)当v0＝0时，v2＝2ax。(初速度为零的匀加速直线运动) (2)当v＝0时，－v＝2ax。(末速度为零的匀减速直线运动) 匀变速直线运动的位移﹣速度关系式反映了初速度、末速度、加速度与位移之间的关系． 2. 适用条件：此公式仅适用于匀变速直线运动； 3. 矢量性：公式中四个矢量v、v0、a、x要规定统一的正方向． 例4. （25-26高一上·上海·期中）火车的速度为，关闭发动机后做匀减速直线运动，前进70m时速度减为。若再经过50s，火车又前进的距离为（　　） A．50m B．90m C．120m D．160m 【答案】B 【详解】由匀变速直线运动的速度位移公式：，代入已知数据可得（负号表示减速）。 速度从 减速至 所需时间：。再经过时，火车的位移与时的位移相同 代入数据可得 故选B。 考点05 匀变速直线运动的平均速度公式 1. 平均速度=中间时刻的瞬时速度 ⑴ 由 ⑵ 图象证明 在匀变速直线运动中，对于某一段时间t，其中间时刻的瞬时速度， 即有：（非常重要！） 注意：此式仅适用于匀变速直线运动！ 物理含义：在匀变速直线运动中，某一段时间内的平均速度等于该段时间内中间时刻的瞬时速度， 又等于这段时间内初速度和末速度的算术平均值。 2. 匀变速直线运动的位移中点的瞬时速度推导： 前半段：vx/22﹣v02＝2a 后半段：vt2﹣vx/22＝2a 将两式相减得：vx/2＝ 结论：不论物体做匀加速直线运动还是匀减速直线运动，位移中点的速度均大于时间中点的速度， 即：vx/2＞vt/2． 3. 使用图像理解匀变速直线运动中间时刻的速度与中间位置速度的大小关系： （1）在匀变速直线运动，不管匀加速直线运动和匀减速直线运动，中间位置速度一定大于中间时刻速度。 （2）注意：在匀速直线运动，中间位置速度等于中间时刻速度。 例5. 汽车在平直的公路上匀速行驶，发现前方有险情后紧急刹车，刹车后经过2s速度减半，再滑行15m速度减为零，刹车过程可以看成匀减速直线运动，则汽车匀速行驶时的速度大小为（　　） A．25m/s B．28m/s C．30m/s D．32m/s 【答案】C 【详解】取运动方向为正方向，设汽车匀速行驶时的速度大小为v 则：，，代入数据解得：v=30m/s，故选C。 角度01 刹车问题 1. 汽车以28m/s的速度匀速行驶，现以4.0m/s2的加速度开始刹车，则刹车后4s末和8s末的速度各是多少？ 【答案】刹车后4s末速度为12m/s，8s末的速度是0． 【解析】由题以初速度v0＝28m/s的方向为正方向，则加速度：＝﹣4.0m/s2， 刹车至停止所需时间：＝7s． 故刹车后4s时的速度：v3＝v0+at＝28m/s﹣4.0×4m/s＝12m/s 刹车后8s时汽车已停止运动，故：v8＝0 角度02 速度和位移的函数表达式 2. 一个物体在水平面上以恒定的加速度运动，它的位移与时间的关系是x＝24t﹣6t2，则它的速度为零的时刻是（　　） A． B．6s C．2s D．24s 【答案】C 【解析】根据匀变速直线运动位移与时间的关系公式与x＝24t﹣6t2对比可得： v0＝24m/s a＝﹣12m/s2 根据公式v＝v0+at得 ＝2s 故选：C。 角度03 匀变速运动的位移中点和时间中点速度 3．（25-26高一上·上海普陀·阶段检测）某质点做匀减速直线运动，依次经过A，B，C，并在O点停下。已知与段用时相等，且与段间距之比为3∶2，则与段间距之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】质点做匀减速直线运动，加速度大小为。已知 段与 段时间相等，设为，且 根据平均速度公式可得 得 由速度公式 ， 联立解得，， 段位移 段位移 故 故选A。 角度04 多过程问题 【方法提示】此类问题一般有斜面、平面、圆形轨道等组成，在交界点处速度大小相等。 4．如图所示，倾角为的光滑斜面与粗糙的水平面平滑连接。现将一滑块（可视为质点）从斜面上A点由静止释放，最终停在水平面上的C点。已知A点距水平面的高度，滑块在上滑动的加速度大小为，B点距C点的距离。（滑块经过B点时速度大小不变，取）求： （1）滑块在水平面上滑动的加速度大小； （2）滑块从A点释放后，经过时间时速度大小； （3）改变滑块在斜面上释放高度h，L的大小也改变，求h与L的比值大小。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）设滑块在B点时速度为，滑块在斜面上做匀加速直线运动，加速度， 则有，解得 滑块在水平面上做匀减速直线运动，加速度为，则有 ，解得 滑块在水平面上滑动的加速度大小为。 （2）设滑块在斜面上运动时间，则 可知时滑块在水平面上运动了 设时滑块速度大小为，则有 （3）改变滑块在斜面上释放高度h的大小，滑块在斜面和水平面上的加速度不变， 设滑块在B点的速度为，则有 ， 联立可得 1．（25-26高一上·上海长宁·期中）一物体做加速直线运动，依次通过A、B、C三点，，物体在AB段的加速度为，所用时间为，在BC段的加速度为，所用时间为，且物体在B点的瞬时速度为，则（　　） A． B． C． D．AC段平均速度等于 【答案】AC 【详解】AB．对于AB段和BC段，位移均为。由匀变速运动位移与速度的关系， 在AB段有 在BC段有 联立两式，将代入，得 所以，A正确，B错误； C．设AB段速度增量为 ， BC段速度增量为 将代入两式，得 由匀变速运动速度与时间的关系， 因为，所以，故C正确； D．物体在AC的平均速度 由运动学关系，物体在AB段和BC段有， 代入得 将与作差值比较 因为，，所以 即，AC的平均速度小于，故D错误。 故选AC。 2．（25-26高一上·上海虹口·期中）一辆汽车在平直公路上以某一速度行驶时，司机低头看手机3s，相当于盲开60m，该车遇见紧急情况，紧急刹车的距离（从开始刹车到停下时汽车所行驶的距离）至少是20m。根据以上提供的信息 （1）求汽车行驶的速度大小和刹车的最大加速度大小； （2）若该车以108km/h的速度在高速公路上行驶时，前方150m处道路塌方，该车司机低头看手机3s后才发现危险，已知司机的反应时间为0.6s，刹车的加速度与（1）问中大小相等。试通过计算说明汽车是否会发生交通事故。 【答案】（1），；（2）会发生交通事故 【详解】（1）根据题意知，低头看3s手机相当于盲开60m，由此可以知道， 汽车运动的速度大小为 设汽车刹车的最大加速度大小为a，把刹车过程看成反方向的初速度为零的匀加速直线运动， 根据 可得刹车时的最大加速度大小为 （2）在高速公路上汽车的速度为 司机看手机时，汽车发生的位移为 反应时间内发生的位移为 刹车后汽车发生的位移为 汽车前进的距离为 所以会发生交通事故。 ⚡基础速刷 1．汽车在水平公路上自A向B做匀减速直线运动停于B点，初速度为3m/s，加速度为0.4m/s2。若汽车在某1s内通过了0.05m的位移，则在这1s末汽车（　　） A．已停止运动 B．刚好停止运动 C．一定没有停止运动 D．可能没有停止运动 【答案】A 【解析】应用逆向思维，把末速度为零的匀减速反向看成初速度为零的匀加速运动，初速度为零，匀加速t=1s的位移>0.05m，该车在这1s末之前已停止运动。A正确。 2．在正常情况下，火车以54km/h的速度匀速开过一个小站，现因需要，必须在这个小站停留。火车将要到达该小站时，以﹣0.5m/s2加速度做匀减速运动，停留2min后，又以0.3m/s2的加速度开出小站，一直到恢复原来的速度，则因列车停靠小站而延误的时间为（　　） A．40s B．120s C．160s D．200s 【答案】C 【解析】根据题意可知v0＝54km/h＝15m/s 火车匀减速驶入小站t1＝＝30s 位移：x1＝＝225m，火车在站内停留t2＝120s，x2＝0 火车匀加速开出小站t3＝＝50s 位移：x3＝＝375m，t总＝t1+t2+t3＝30s+120s+50s＝200s 若火车匀速驶过小站＝40s 列车停靠小站而延误的时间△t＝t总﹣t总'＝200s﹣40s＝160s，故C正确、ABD错误。 3．一辆汽车由静止开始做匀加速直线运动，刚运动了8s，由于前方突然有巨石滚下，堵在路中央，所以刹车做匀减速运动，经4s刚好停在巨石前，则汽车（　　） A．加速、减速过程的加速度大小之比a1：a2＝2：1 B．加速、减速过程位移之比s1：s2＝1：1 C．加速、减速过程平均速度大小之比v1：v2＝1：1 D．加速、减速过程平均速度大小之比v1：v2＝1：2 【答案】C 【解析】设运动过程中的最大速度为v A.加速段的末速度就是减速段的初速度，加速段初速度为零，减速段末速度为零。 根据公式v﹣v0＝at可知，a＝ 根据题意有a1＝ a1＝ a1：a2＝1：2，故A错误。 B.匀变速运动的平均速度 可知，平均速度大小相同，均为 s1＝×8s s2＝×4s 因此，s1：s2＝2：1 C.匀变速运动的平均速度v＝可知，平均速度大小相同，故C正确，D错误。 4．汽车以20m/s的速度做匀速直线运动，刹车后加速度大小为5m/s2，那么开始刹车后2s与开始刹车后7s汽车通过的位移之比是（　　） A．1：1 B．3：1 C．3：4 D．4：3 【答案】C 【解析】汽车速度减为零的时间， 则刹车后2s内的位移＝30m， 刹车后7s内的位移， 则开始刹车后2s与开始刹车后7s汽车通过的位移之比为3：4，故C正确。 5．如图，当轿车以18km/h的速度匀速驶入高速公路ETC收费通道时，ETC天线完成对车载电子标签的识别后发出“滴”的一声。此时轿车距自动栏杆7m，司机发现栏杆没有抬起，于是采取制动刹车，使轿车刚好没有撞杆。已知刹车的加速度大小为5m/s2．则司机的反应时间为（　　） A．0.5s B．0.7s C．0.9s D．1s 【答案】C 【详解】轿车的速度为：v0＝18km/h＝5m/s，设司机的反应时间为△t，轿车在这段时间内做匀速直线运动，位移为：x1＝v0t，随后做匀减速直线运动，位移为：，由题意可知两段位移之和为：L＝x1+x2，代入数据联立解得：△t＝0.9s，故C正确。 6．物体由静止开始做匀加速直线运动，速度为v时位移为s，当位移为3s时，速度为（　　） A．v B．3v C．6v D．9v 【答案】A 【详解】由v2＝2ax可知，加速度为：a＝； 再对3s过程由v2＝2a•3s可知其位移为时的速度为：v′＝v，故选：A。 7．近日，由蓝箭航天自主研发的国产可重复使用火箭取得了重大进展。回收火箭是非常具有挑战性的任务，返回的火箭着陆前发动机重新点火，做匀减速直线运动，直至着陆。点火后的第1s内和第2s内火箭位移大小依次为90m和50m，则点火后3s内的位移是（　　） A．150m B．151.25m C．152.5m D．153.75m 【答案】B 【详解】第1s内的平均速度 第2s内的平均速度 则加速度大小 初速度为 减速至0 的数据 则点火后3s内的位移 ，故选B。 🚀能力跃升 8．物体做变速运动，初速度v0＝+6m/s，加速度随时间变化关系为a＝+（4﹣2t）（式中a和t的单位分别为m/s2和s；t≤4s），经过　 　s速度达到最大，最大值为　 　m/s。 【答案】2；+10 【解析】分析题意可知，物体做变速运动，当加速度为零时，速度最大， a＝+（4﹣2t）＝0，解得t＝2s， t＝0时，初速度：v0＝+6m/s，加速度：a1＝+4m/s2 t＝2s时，加速度：a2＝0， 加速度随时间线性变化，该时间段内的速度变化量，， t＝2s末的速度：v＝v0+△v＝+10m/s。 9．汽车原来以10m/s的速度在平直公路上匀速行驶，因为路口出现红灯，司机从较远的地方开始刹车，使汽车匀减速前进，当车速减到2m/s时，交通灯转为绿色，司机当即放开刹车，并且只用了减速过程的一半时间，将汽车加速到原来的速度，从开始刹车到恢复原来速度的过程用了12s。以初速度方向为正方向。求： （1）减速与加速过程中的加速度； （2）开始刹车后2s末及10s末的瞬时速度。 【答案】（1），；（2）， 【详解】（1）汽车先做匀减速运动，再做匀加速运动，其运动简图如图所示， 设汽车从点开始减速，其运动的初速度，用表示从点到达点经过的时间， 汽车从点又开始加速，用时间到达点， 则 ，，且 ，，解得 ， 根据运动学公式 得在段，，在段， 带入数据得 ， （2）2s末汽车的速度 10s末汽车的速度 10．如图所示，一个篮球从高的篮筐上由静止开始下落，经后落到水平地面上，并以反弹，已知篮球与地面碰撞的时间为，碰撞过程的加速度大小为，方向竖直向上，不考虑空气阻力，求： （1）篮球与地面碰撞前瞬间的速度。 （2）篮球下落过程中的加速度。 （3）篮球与地面碰撞后经反弹至最高点，若该上升段的平均速度大小为，则篮球由开始下落到反弹至最高点过程的平均速度的大小和方向。 【答案】（1）速度大小为8m/s，方向竖直向下；（2），方向竖直向下； （3），方向竖直向下 【详解】（1）由 可得篮球与地面碰撞前瞬间的速度：，负号表示速度方向竖直向下； （2）设向下为正方向，篮球由静止开始下落，则下落过程的加速度为 ，方向竖直向下； （3）篮球上升段的平均速度大小为，则上升段的位移大小为： 则篮球由开始下落到反弹至最高点过程的位移为：，方向竖直向下 运动总时间为                               平均速度的大小：，方向竖直向下。 🌟思维挑战 11．一质点沿直线Ox方向做变速运动，它离开O点的距离x随时间变化的关系为x＝5+2t3（m），它的速度随时间t变化的关系为v＝6t2（m/s），该质点在t＝0到t＝2s间的位移为　 　m；t＝2s到t＝3s间的平均速度为　 　m/s． 【答案】16，38． 【解析】根据题意，质点离开O点的距离x随时间变化的关系为x＝5+2t3（m），故： t＝0时，x＝5m； t＝2s时，x′＝21m； t＝3s时，x′′＝59m 故2s内位移为：△x＝x′﹣x＝21m﹣5m＝16m； 第三秒内的位移为：△x′＝x′′﹣x′＝59m﹣21m＝38m； 故第3秒内的平均速度为： 12．某人骑自行车沿一坡路直线运动，已知在坡顶的速度是1m/s，他以0.5m/s2的加速度匀加速行驶了4s，恰好到达坡底，试求： （1）他在3s末时的瞬间速度； （2）坡路的长度； （3）在坡路上行驶的平均速度． 【答案】（1）2.5m/s； （2）8m． （3）2m/s． 【解析】（1）自行车做匀加速直线运动，已知加速度a＝0.5m/s2，初速度 v0＝1m/s，则他在3s末时的瞬间速度为： v3＝v0+at3＝1+0.5×3＝2.5（m/s） （2）坡路的长度为：x＝v0t+＝1×4+×0.5×42＝8（m） （3）在坡路上行驶的平均速度为：＝2m/s 13．图为酒店送货机器人。一次送货，机器人沿直走廊送货到30m远的客房，机器人从静止开始做匀加速直线运动，2s时速度达到1.2m/s，然后做匀速直线运动，距离客房2.4m时开始做匀减速直线运动，到达客房门口恰好停止。求： （1）匀加速阶段的加速度大小； （2）匀减速阶段的平均速度； （3）此次送货的时间。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）设机器人匀加速阶段的加速度大小为，则有 （2）设机器人匀减速运动的平均速度为，则有 （3）设匀加速运动的位移为，匀速运动的位移为，匀减速运动的位移为， 则有 ， 则匀速运动的时间为 匀减速运动的时间为 此次送货的时间为 14．某跳伞运动员做低空跳伞表演。当飞机悬停时距离地面h1=225m，此时运动员离开飞机做自由落体运动，当运动员距离地面h2=100m时立即打开降落伞，此后可认为运动员匀减速竖直下降，落地速度刚好为5m/s（g=10m/s2，结果保留到小数点后一位），求： （1）运动员打开降落伞时的速度大小； （2）运动员打开降落伞后的加速度大小； （3）运动员离开飞机后在空中下落的总时间。 【答案】（1）50m/s；（2）12.4m/s2；（3）8.6s 【详解】（1）运动员先做自由落体运动 由运动学公式 ，有 （2）运动员打开降落伞后的加速度为 ，加速度大小12.4m/s2。 （3）运动员离开飞机后自由落体运动时间 伞打开后运动员运动时间为 所以运动员下落的总时间为 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $