第2章有理数典例精讲与强化训练-2026-2027学年苏科版 数学七年级上册

**基本信息** 以“概念-转化-应用”为主线，通过典例精讲与分层训练，系统整合有理数核心知识，提炼新定义转化、分类辨析等解题方法，培养抽象能力与运算能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |典例精讲|3个|新定义转化（除方→乘方）、概念分类（实数分类步骤）、运算技巧（绝对值几何意义）|从有理数概念到新定义拓展，形成“概念-转化-综合应用”逻辑链| |强化训练|选择8/填空6/解答4|概念辨析（倒数/相反数判定）、运算策略（简便运算/科学记数法规则）、实际应用（权重计算）|基础题型到综合应用，覆盖有理数核心考点，强化知识迁移能力|

第2章有理数典例精讲与强化训练 典例精讲 1．计算 (1)； (2) 2．把下列各数分别填在相应的集合中： ，0，，，，，，． 非负有理数集合{____________________________________…}； 无理数集合{________________________________________…}； 负整数集合{________________________________________…}； 正分数集合{________________________________________…}； 负分数集合{________________________________________…}． 3．【概念学习】 现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”，一般地，把（个，）写作，读作“a的圈n次方”． (1)【初步探究】直接写出计算结果：_________，__________； (2)【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成幂的形式．_________，_________． (3)算一算：． 强化训练 一、单选题 1．的倒数是（     ） A． B． C． D． 2．是一款基于混合专家（）架构的大语言模型，它的参数量巨大，截至去年1月，的参数量已经高达6710亿，将6710亿用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 3．下列各组数中，互为相反数的是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 4．如果温度上升记作，那么温度下降记作（     ） A． B． C． D． 5．，，的大小顺序是（     ） A． B． C． D． 6．数轴上表示数的点与其相反数所表示的点的距离是（     ） A．5 B．10 C． D． 7．已知，，，，则（     ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 8．定义，例如，则的结果为（     ） A． B． C．1 D．3 二、填空题 9．比较下列各组数的大小： （1）0______； （2）______； （3）______． 10．某高山山下的温度为，记为，山顶的温度为零下，记为______，这座高山山下和山顶的温度相差______． 11．在数轴上，M为表示的点，N在M左面3个单位长度，Q为距离N为5个单位长度的点，Q所表示的数是___________． 12．已知a，b为有理数，，，且，将a，，b，从小到大排列，用“”连接：___________ 13．若有理数，互为倒数，，互为相反数，则__________． 14．当______时，的最小值是______． 三、解答题 15．将下列各数填在相应的括号里： 、5、、、、0、102、、、 分数集合：{ }； 非正有理数集合：{ }； 负数集合：{ } 16．计算题： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 17．一个不透明的袋子里装有4个小球，小球上分别标有数字：，0，2，5．现从袋子中随机摸出3个小球，对小球上的数字进行运算． (1)①若摸出的3个小球上分别标有2，，5，计算：； ②若摸出的3个小球上所标数字的积不为0，求这3个数字的和； (2)将随机摸出的3个小球上的数字按一定顺序填入“□-□-□”中的“□”内，直接写出计算结果的最大值． 18．小明计划购买一块用于记录日常运动和健康数据的智能手表，拟通过统计方法对三款备选产品进行综合评分选购、他围绕智能手表的核心指标设计评分项目，结合用户反馈确定评价层级，并依据个人使用需求制定计分规则，相关信息如下： 层级赋分：“非常好”赋3分，“良好”赋2分，“一般”赋1分． 计分规则：总分健康监测准确性运动模式丰富度电池续航外观颜值佩戴舒适度． (1)从计分规则可以看出，小明最重视哪一个评分项目？ (2)请计算每款智能手表的总分，按此计分规则，小明会选购哪款智能手表？ (3)结合本次计分规则的设计逻辑，分析“B款手表‘非常好’的项目数量最多，但小明未选择它”的原因． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 典例精讲解析 1．(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 2． ，，，； ； ，； ，； ． 【分析】本题考查实数的分类，弄清概念是关键．先化简各数，再根据非负有理数、无理数、负整数、正分数、负分数的定义分类即可． 【详解】解：先化简各数：，，，是无限不循环小数为无理数．根据定义分类得： 非负有理数集合{，，，， …}； 无理数集合{，…}； 负整数集合{，，…}； 正分数集合{，，…}； 负分数集合{，…}． 3．(1)；4 (2)； (3) 【分析】（1）根据题中所给定义进行计算即可； （2）根据题中所给示例进行计算即可； （3）结合（1）和（2）的方法进行计算即可． 【详解】（1）解：， ． （2）解：， ． （3）解： ． 强化训练解析 1．C 【分析】根据倒数定义：乘积是1的两个数互为倒数，即可解答． 【详解】解：的倒数是． 2．B 【分析】科学记数法的一般形式为（，n为整数），据此确定a的值以及n的值即可． 【详解】解：∵1亿， ∴亿． 3．A 【详解】解：∵，和互为相反数， ∴与互为相反数. 4．D 【详解】解：温度上升记作， 温度下降记作． 5．A 【分析】根据有理数大小比较的基本规则即可求解． 【详解】解：，，． ∵ ， ∴ ． 6．B 【分析】先求出的相反数，再计算两点距离即可． 【详解】解：∵的相反数是， 数轴上两点间的距离等于较大数减去较小数， ∴两点距离为． 7．B 【分析】本题利用有理数乘法的符号法则，即几个非零数相乘，积的符号由负因数个数决定，负因数个数为奇数时积为负，为偶数时积为正，逐步推导出和的符号即可． 【详解】解：∵ ，， ∴ ， 又∵ ，即， ∴ ， 又∵ ，即， ∴ ， 综上，，，，． 8．B 【分析】原式利用题中的新定义计算即可求出值． 【详解】解：∵， ∴ ． 9． 【分析】根据有理数的大小进行比较即可． 【详解】解：（1），， ； （2），， ； （3），， 又， ． 10． 【分析】零上温度用正数表示，零下温度用负数表示，温差等于较高温度减去较低温度． 【详解】解：∵零上温度记为正，零下温度记为负， ∴零下记为， ∵用山下温度减去山顶温度：， ∴高山山下和山顶的温度相差． 11．或 【分析】先根据M点的位置求出N点表示的数，再分Q在N点左侧、Q在N点右侧两种情况计算Q点表示的数． 【详解】解：已知M表示，N在M左面3个单位长度，数轴上左边的数比右边小，因此N表示的数为：， ∵Q距离N为5个单位长度，Q的位置有两种可能，分情况计算： 当Q在N左侧时，Q表示的数为：， 当Q在N右侧时，Q表示的数为：， 因此Q所表示的数是或． 12． 【分析】先区分四个数的正负，再根据绝对值比较同号数的大小，结合负数小于所有正数得到排序结果． 【详解】解：由题意得，，， 因此可得，， 比较两个负数：， 因此， 比较两个正数：， 因此， 综上所述，． 13． 【详解】解：∵有理数，互为倒数，，互为相反数， ∴，， ∴． 14． 【分析】表示数轴上点到点的距离，原式可转化为数轴上一点到三个定点，，的距离之和，当取奇数个定点中位于中间的点时，距离之和取得最小值，代入计算即可得到结果． 【详解】根据绝对值的几何意义可知：表示数轴上点到点的距离，表示数轴上点到点的距离，表示数轴上点到点的距离， 因此表示点到，，三点的距离之和， 将三点从小到大排列为，共奇数个点，中间点为，此时距离之和最小， 将代入原式． 15．； ； 【详解】解：分数集合：； 非正有理数集合：； 负数集合： 16．(1)3 (2)3.5 (3) (4) (5)0 (6) 【分析】（1）根据有理数的加减法法则计算； （2）根据有理数的加法结合律计算； （3）根据有理数的乘法分配律计算； （4）先算有理数的乘法，再根据有理数的加减法法则计算； （5）先算乘方，再算乘除，最后算加减； （6）先算乘方，再算乘除，最后算加减． 【详解】（1）解： ； （2）解： = ； （3）解： ； （4）解： = ； （5）解： ； （6）解： ． 17．(1)①2；②这3个数字的和为 (2)计算结果的最大值为13 【分析】（1）①利用有理数的四则混合运算法则计算即可； ②根据题意得到摸出的3个数字为，2，5，再求和即可； （2）根据题意列式计算即可． 【详解】（1）解：① ； ②∵摸出的3个小球上所标数字的积不为0， ∴摸出的3个数字为，2，5． ∴这3个数字的和； （2）解：当摸出的3个小球上的数字为5，0，时，计算结果最大， 即，即计算结果的最大值为13． 18．(1)“健康监测准确性” (2) 解：A款智能手表得分：分． B款智能手表得分：分． C款智能手表得分：分． 按此评分规则，小明会选购C款智能手表． (3) 解：B款智能手表被评为“非常好”的四项权重分别为2，1，1，1，而被评为“一般”的那一项的权重是4，重要程度高，对总分影响大． 【分析】（1）根据评分规则分析即可； （2）分别求出三款手表的得分，取得分最高的手表即可； （3）根据权重分析即可． 【详解】（1）解：由题意可知，小明最重视“健康监测准确性”这一评分项目． （2）略 （3）略 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $