第3章代数式典例精讲与强化训练-2026-2027学年人教版 数学七年级上册

**基本信息** 以“整体思想”为核心，通过典例精讲与分层训练，构建代数式从概念辨析到综合应用的逻辑体系，强化符号意识与模型意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |典例精讲|3题|提炼“整体思想”及整体代入法，通过阅读理解示范解题步骤，拓展至多变量转化|从倒数、相反数等概念生成代数式求值方法，递进至图形面积、规律探究的综合应用| |强化训练|21题|涵盖概念辨析（代数式书写规范）、建模应用（阶梯水价）、规律归纳（图形与程序框图）|以代数式概念为起点，经运算技能（化简求值）到实际问题解决，形成“概念-运算-应用”的完整链条|

第3章代数式典例精讲与强化训练 典例精讲 1．已知a与b互为倒数，c与互为相反数，，求的值． 2．如图，某校有一块长为米，宽为米的长方形地块，该校计划在中间留一块边长为米的正方形空地修建花坛，其余部分铺设草坪（阴影部分）． (1)请你直接写出花坛的面积．_____平方米．（用含的代数式表示） (2)求草坪的面积是多少平方米？（用含的代数式表示，结果请化简） (3)若，，草坪的单价为每平方米40元，求购买草坪所需的总费用． 3．“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用较为广泛．以下是老师安排的作业题． 代数式的值为7，则代数式的值为_______． 阅读理解： 小乐在做作业时采用的方法如下： ， ， ， ∴代数式的值为5． 方法运用： （1）若代数式，则代数式_______； （2）当时，代数式的值为11，求当时，代数式的值； 拓展运用： （3）已知，，，求的值； （4）已知，的值为最大负整数，求的值． 强化训练 一、单选题 1．有下列各式：①；②；③米；④ ；⑤；⑥．其中，不符合代数式书写规范要求的有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．下列式子：①1；②2a；③；④；⑤；⑥，其中代数式有（   ） A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 3．用代数式表示“、两数的平方和”，下列表示正确的是（   ） A． B． C． D． 4．一种商品进价为每件a元，先按进价增加出售，后因库存积压降价，按售价的九折出售，此时售价为（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 5．对代数式的意义表述正确的是（    ） A．a减去b的平方的差 B．a与b差的平方 C．a与的平方之和 D．a的平方与b的平方的差 6．在这些数中，有理数有个，整数有个，负数有个，则的值为（  ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．若a，b互为相反数，，互为倒数，m的绝对值为2，则的值为（　   ）． A．或3 B．1或 C．或4 D．2或 8．数学老师根据图中的◯三个数按照如下规律设置学校密码，根据提供的信息可以推断该校的密码是（    ）． A．322448 B．24824 C．468468 D．324880 9．已知，则的值为（   ） A． B．19 C．47 D． 10．如图所示的运算程序中，若开始输入的值为，我们发现第一次输出的结果为，第二次输出的结果为，……，则第次输出的结果为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．已知油用去一半时，桶和油的质量一共是．当再次装满油时，桶和油的质量一共是，则桶的质量是___________． 12．某景区国庆假期第一天网络预约游客m人，第二天网络预约的游客人数比第一天的少300人，则代数式“”表示的意义是______． 13．若，则代数式的值是________． 14．当时，代数式的值在数轴上所对应的点可能落在第_____段． 15．数学“兴趣小组”对学校400米跑道进行规划设计，跑道由两段直道和两端为半圆的弯道组成（如图）．其中跑道最内圈的周长为400米，两端弯道最内圈的半径为米，最外圈的半径为米．则跑道最外圈的周长为___________米．（用含，代数式表示） 16．如图是一组有规律的图案．第一个图案包含6个白色圆片，第二个图案包含11个白色圆片，第三个图案包含16个白色圆片，……，按此规律，第2026个图案包含___________个白色圆片． 三、解答题 17．若和互为相反数，和互为倒数，的绝对值为3． (1)直接写出，，的值； (2)求的值． 18．为鼓励人们节约用水，某地实行阶梯式计量水价（如表所示）． 级别 月用水量 水价 第1级 20吨以下（含20吨） 2元/吨 第2级 20吨至30吨（含30吨） 超过20吨部分按2.4元/吨 第3级 30吨以上 超过30吨部分按4.8元/吨 (1)若小明家4月份用水量为16吨，则该月需缴纳水费多少元； (2)若小红家5月份用水量为a吨，请计算该月需缴纳水费多少元？（用含a的代数式表示） 19．程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．如图是一个数值运算程序． (1)用含的代数式表示输出的结果；（结果化为最简） (2)当输入的值为时，求输出的值． 20．如图是某居民小区的一块长为a米，宽为米的长方形空地，为了美化环境，准备在这个长方形空地的四个顶点处各修建一个半径为b米的圆形休息区，阴影部分种植草坪，草坪外围用篱笆围起来． (1)求阴影部分的周长C（用含a、b的代数式表示）； (2)已知围建篱笆的费用为每米20元．当，，π取3时，求围建篱笆的费用． 21．数形结合是一种重要的数学方法，许多重要的计算转化成图形后，非常奇妙而简单，观察下表： (1)图表中表示的数值是___________； (2)根据你的观察，猜想：______________________ (3)你能猜想下列式子的值吗？ ①； ②． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 典例精讲解析 1．5或 【分析】根据倒数、相反数、绝对值的概念可得，，再代入计算即可求解． 【详解】解：a与b互为倒数，c与互为相反数，， ，， ， 当时，； 当时，； 综上，的值为5或． 2．(1) (2)草坪的面积是平方米 (3)购买草坪的总费用为6200元 【分析】（1）根据正方形面积公式进行计算即可； （2）根据草坪面积=长方形面积-正方形面积，利用多项式乘多项式法则，及完全平方公式化简即可； （3）将，，代入（2），计算即可． 【详解】（1）解：花坛的面积为平方米． （2）解：∵， ∴ ， ∴草坪的面积是平方米； （3）解：当，时，， ∴（元）． 答：购买草坪的总费用为6200元． 3．（1）11；（2）；（3）2022；（4）19 【分析】本题考查了整体代入求值，准确计算是解题的关键． （1）原式整理成，再整体代入，即可求解； （2）先将代入得出，再将代入得到，整体代入，即可求解； （3）由当，时得到，再整体代入，即可求解； （4）先求得，再将原式整理成，再整体代入，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：11； （2）解：把代入，得 ， ， 当时， ； （3）解：当，时， ， 当，即时， ∴原式； （4）解：∵的值为最大负整数， ∴， ∵， ∴    ． 强化训练解析 1．D 【分析】本题考查了代数式的书写，代数式写法规则为：数与字母相乘时，数写在字母的前面，数字是带分数的化为假分数或小数，除号用分数线表示，代数式不含单位；据此解答即可． 【详解】解： ① 中使用了“”号，不符合规范； ② 中数字1未省略，不符合规范； ③米，代数式中含有单位，不符合规范； ④书写正确； ⑤中使用了除号，不符合规范； ⑥ 中使用了带分数，不符合规范， ∴不符合规范的有①②③⑤⑥，共5个， 故选：D． 2．B 【分析】本题考查代数式的判断，代数式是指用运算符号连接数或字母的式子，或单独的数或字母；含有等号或不等号的式子不是代数式，据此进行判断即可． 【详解】解：①1；②2a；③；④；⑤；⑥中，①②④为代数式；③⑤⑥中的式子含有等号或不等号，不是代数式； 故选B． 3．D 【分析】本题考查了列代数式，理解题意是解题的关键． “平方和”指两个数各自平方后再求和，因此应为． 【详解】解：“、两数的平方和”，用代数式表示为， 故选：D． 4．A 【分析】本题考查列代数式，正确的翻译句子，列出代数式即可． 【详解】解：∵进价为a元， ∴第一次售价为元， ∵按售价的九折出售， ∴最终售价为元， 故选A． 5．A 【分析】本题主要考查了代数式表示的意义，正确理解代数式表示的意义是关键．根据代数式表示的意义应为“a减去b的平方的差”，据此即可解答． 【详解】解：由题意得，代数式表示的意义应为“a减去b的平方的差”． 故选：A． 6．A 【分析】本题主要考查了代数式求值，有理数的分类，根据有理数的分类方法分别求出有理数、整数、负数的个数，进而代值计算即可得到答案． 【详解】解：在中， 所有数均为有理数，故； 整数有：，，，，共个，故； 负数有：，，，，共个，故； ∴． 故选：A． 7．A 【分析】本题考查相反数、倒数和绝对值的概念，熟练掌握相关知识是关键． 利用相反数和倒数的性质简化表达式，再结合绝对值的定义分情况计算． 【详解】解：∵a，b互为相反数，，互为倒数， ∴，， ∴， ∵m的绝对值为2， ∴， 当时，原式； 当时，原式． 故选：A． 8．D 【分析】本题考查数字的变化规律的探索．根据图片发现密码的数字规律，是解题的关键．根据所给密码可知，最上面的数与下面右边的数的乘积的结果是密码的前两位，下面的两个数的乘积的结果是密码的中间两位，最上面的数与下面左边的数的和与右边的数的乘积的结果是密码的最后两位，由此求解即可． 【详解】解：由前个密码与三个数字的关系可以发现： 第、个数字为最上面的数与下面右边的数的积， 第、个数字为下面的两个数的积， 第、个数字为最上面的数与下面左边的数的和与右边的数的积， ∴第、个数字，第、个数字，第、个数字， ∴该校的密码是． 故选：． 9．D 【分析】本题考查代数式化简求值，熟练掌握“整体思想”的运用是解题的关键． 由已知方程化简得，然后将所求表达式转换为的形式，代入求值即可． 【详解】解：由于， 则， 故选：D． 10．A 【分析】本题考查了求代数式的值，数字类规律探索，关键是找到规律；先计算出前几次的输出结果，从而可得从第三次开始，输出的结果是，进行循环，由此计算即可得解． 【详解】解：当输入的值为时，第一次输出的结果为， 第二次输出的结果为， 第三次输出的结果为， 第四次输出的结果为， 第五次输出的结果为， 第六次输出的结果为， 第七次输出的结果为， 第八次输出的结果为， …， 从第三次开始，输出的结果是，进行循环， ∵， ∴第次输出的结果为， 故选：A． 11． 【分析】本题考查列代数式．根据题意列代数式即可． 【详解】解：当再次装满油时，桶和油的质量一共是，则油的质量为： ∴桶的质量是， 故答案为：． 12．第二天网络预约的人数 【分析】根据题意，第二天网络预约的游客人数比第一天少300人，因此第二天人数可表示为，故代数式表示第二天人数． 本题考查了代数式的意义，熟练掌握意义是解题的关键． 【详解】解：第一天网络预约游客m人，第二天比第一天少300人， 则第二天人数为， 所以代数式“”表示第二天网络预约的人数． 故答案为：第二天网络预约的人数． 13．2 【分析】本题主要考查了代数式求值，熟练掌握整体代入法，是解题的关键．通过去括号和合并同类项化简代数式，再利用已知条件代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：2． 14．② 【分析】本题考查代数式求值，利用代入法，代入所求的式子即可． 【详解】解：当时，, 故在数轴上所对应的点落在第②段． 故答案为：②． 15． 【分析】本题考查了圆的周长的求解，以及代数式的推导，解决本题的关键是得到两段直道的长度． 先由跑道最内圈的周长为400米，求解出两段直道的长度，再由圆的周长求解即可． 【详解】解：设两段直道的长度为x米， ∵跑道最内圈的周长为400米， ∴，解得， ∴跑道最外圈的周长为米． 故答案为： ． 16． 【分析】本题考查了图形类的规律探索． 根据图案的数量变化规律，用含的代数式表示第个图案中白色圆片的个数，将代入计算即可． 【详解】解：观察图案可知，第1个图案中白色圆片的个数为； 第2个图案中白色圆片的个数为； 第3个图案中白色圆片的个数为； 依此规律，第个图案中白色圆片的个数为； ∴第个图案中白色圆片的个数为． 故答案为：． 17．(1) (2)2或 【分析】本题主要考查了相反数、倒数、绝对值以及代数式求值等知识， （1）根据相反数、倒数、绝对值的定义，即可获得答案； （2）结合（1），分和两种情况，分别代入求值即可． 【详解】（1）解：根据题意，和互为相反数，和互为倒数，的绝对值为3， ∴； （2）解：由（1）可知，， 当时，， 当时，， ∴的值为2或． 18．(1)32元 (2)当时，水费为2a元；当时，水费为元；当时，水费为元 【分析】本题主要考查了用代数式表示， 对于（1），根据可知水价每吨2元，即可得出答案； 对于（2），分三种情况分别得出代数式即可． 【详解】（1）解：∵， ∴（元）． 答：该月需缴水费为32元； （2）解：当时，水费为元， 当时，水费为元， 当时，水费为元． 19．(1) (2) 【分析】本题考查程序流程图与代数式求值： （1）根据流程图，列出代数式即可； （2）把代入（1）中的代数式进行求解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：当时，． 20．(1)米 (2)围建篱笆的费用为320元 【分析】本题主要考查列代数式及代数式的值，解题的关键是理解题意； （1）根据圆的周长公式及图形可进行求解； （2）把，，代入（1）中代数式进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得： 米． （2）解：把，，分别代入C，得： （米）， 围建篱笆的费用为每米20元， （元）． 答：围建篱笆的费用为320元． 21．(1) (2)； (3)①；② 【分析】（1）根据图中数据即可得出A表示的数值； （2）根据图形面积得出这些数的和； （3）①根据（2）中所求，得出规律即可计算； ②根据（2）中所求，得出规律即可计算． 【详解】（1）解：图表中A表示的数值是：； （2）解：根据图形面积得出：； （3）解：① ； ②． 【点睛】此题主要考查了数字变化规律，正确根据图形面积得出变化规律是解题关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $