第三章 代数式 单元自测 2026-2027学年人教版七年级数学上册

**基本信息** 聚焦代数式核心知识，通过面包店优惠、大闸蟹购买等实际情境与数值转换机、三角垛弹珠等规律探究，考查抽象能力、运算能力及模型意识，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|代数式书写、列代数式、实际意义|结合数值转换机情境，基础巩固| |填空题|6/18|代数式表示、规律探究、程序计算|杯子叠高、面包店优惠等生活化问题| |解答题|8/72|代数式求值、实际应用（购物/几何）、分类讨论|大闸蟹购买方案设计、三角垛规律探索，综合考查模型意识与推理能力|

第三章 代数式 单元测试卷 数学·全解全析 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列式子，符合代数式书写格式的是（） A． B． C． D．人 【答案】A 【分析】本题主要考查了代数式的书写规范，熟练掌握代数式的书写规范是解题的关键； 利用书写代数式的规范对每个选项进行逐一判断即可得出结论． 【详解】A、符合代数式书写格式的要求，A选项符合题意； B、数与字母相乘时，带分数要化成假分数，正确的写法，故B选项不符合题意； C、字母与数相除，要写出分数的形式，正确的写法，故C选项的不符合题意； D、多项式添加单位时，多项式要用括号括起来，故正确的书写为人，故D选项不符合题意； 故选：A． 2．下列各式中，代数式的个数是（   ） ①  ②  ③  ④ ⑤  ⑥a  ⑦  ⑧． A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了代数式的定义，一般地，用运算符号加、减、乘、除、乘方、开方把数或者表示数的字母连接起来，所得到的式子叫做代数式．含“=”、“>”、“<”、“≥”、“≤”的式子都不是代数式．据此解答即可． 【详解】解：①，②，④ ⑤，⑥a  ⑦， ⑧是代数式， 含“=”不是代数式． 故选C． 3．已知甲数比乙数的6倍少5，则下列说法正确的是（    ） A．设乙数为x，则甲数为 B．设甲数为x，则乙数为 C．设甲数为x，则乙数为 D．设甲数为x，则乙数为 【答案】C 【分析】根据题意列出代数式即可． 【详解】解： 设乙数为x，则甲数为， 设甲数为x，则乙数为； 故A、B、D错误，C正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了列代数式，解题关键是明确题目中的数量关系． 4．请仔细分析下列赋予实际意义的例子中错误的是（　　） A．若葡萄的价格是4元，则表示买葡萄的金额 B．若a表示一个正方形的边长，则表示这个正方形的周长 C．若4和a分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字，则表示这个两位数 D．某款凉鞋进价为a元，销售这款凉鞋盈利，则销售两双的销售额为元 【答案】C 【分析】本题考查了代数式．根据代数式表示实际意义的方法分别判断每个选项即可得． 【详解】解：A、若葡萄的价格是4元，则表示买葡萄的金额，原说法正确，故此选项不符合题意； B、若a表示一个正方形的边长，则表示这个正方形的周长，原说法正确，故此选项不符合题意； C、若4和a分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字，则表示这个两位数，原说法错误，故此选项符合题意； D、某款凉鞋进价为a元，销售这款凉鞋盈利，则销售两双的销售额为元，原说法正确，故此选项不符合题意； 故选：C． 5．一个三位数，百位上的数是，十位上的数是，个位上的数是，这个三位数用字母表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列代数式，也就是把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来； 百位上的数字是，表示个百，十位上的数字是，表示个十，个位上的数字是，表示个一，所以表示这个三位数的式子应该是． 【详解】因为百位上的数字是，表示个百，即， 因为十位上的数字是，表示个十，即， 因为个位上的数字是，表示个一，即， 所以表示这个三位数的式子应该是． 故选：D． 6．如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，其余的三边、、用篱笆围成，且这三边的和为40米．若设的长米，则的长度可以表示为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式． 根据图形，可以用含的代数式表示出的长度． 【详解】解：由图可得， 的长度可以表示为米， 故选：C． 7．乐乐在数学学习中遇到了神奇的“数值转换机”，按如图所示的程序运算，若输入一个有理数，则可相应的输出一个结果若输入的值为，则输出的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：由题意可得： 当x=-1时，则-1×(-3)-8=-5，结果为负，返回计算 当x=-5时，则-5×(-3)-8=7，结果为正，输出结果为y=7 故答案为：B 8．当时，代数式的值是2009，则当时，代数式的值是（    ） A． B． C． D．2008 【答案】A 【分析】本题考查了已知式子的值求代数式的值，理解题意，把代入，整理得，同理把代入，则，然后把代入进行计算，即可作答． 【详解】解：依题意，把代入， 得， 即， 把代入， 得， 故选：A． 9．有一列数：，4，，16，，…，按这样的规律排列，则第n个数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题是对数字变化规律的考查，比较简单，观察出后一个数是前一个数的倍是解题的关键．观察不难发现，后一个数是前一个数的倍，根据此规律写出即可，再根据指数与序数的关系写出第n个数即可． 【详解】解：由，4，，16，，…，可知，后一个数是前一个数的倍， 所以，第n个数是． 故选：B． 10．设三个互不相等的有理数，既可以表示成1、m+n、m的形式，又可以表示成0、 、n的形式，则m2021+n2021的值为（　　） A．0 B．1 C．-1 D．2 【答案】A 【解析】解： 这三个有理数互不相等，且分式的分母不能为0， 或 ， 解得 或 （舍去）， 则 . 故答案为：A. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．用代数式表示“比x的平方的2倍大1的数” ． 【答案】/ 【分析】本题考查了列代数式，根据题意正确列式是解题关键；根据列代数式的方法求解即可． 【详解】解：用代数式表示“比x的平方的2倍大1的数”是， 故答案为：． 12．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的非负性，已知字母的值求代数式的值，根据，得出，再代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 把代入， 得； 故答案为：． 13．观察下列各数：0，，，，，…，根据它们的排列规律写出第45个数为 ． 【答案】 【分析】此题考查数字的变化规律，发现数字之间的联系，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题． 根据目中所给分数的特征，总结规律即可得解． 【详解】解：∵0，，，，，…， ∴每一项的符号是奇数位置为负，偶数位置为正，分子是所在位置的序号少1，分母是所在位置的序号的平方，故第45个数为 ， 故答案为：. 14．根据如图所示的程序计算，若输入x的值为2，则输出的值为 　 　． 【答案】1 【解析】解：当x=2时，， 故答案为：1. 15．把一些规格相同的杯子叠起来，如图，4个杯子叠起来高20cm，6个杯子叠起来高26cm．个杯子叠起来的高度是 厘米． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式（根据实际问题探索规律），解题的关键是先求出每增加一个杯子的高度增量，再确定底层杯子的基础高度，进而推导个杯子叠放的高度表达式． 通过对比4个和6个杯子的总高度，求出每增加1个杯子的高度增量，再计算最底层杯子的基础高度，最后根据“基础高度+增加的高度”列出个杯子叠放高度的代数式． 【详解】解：4个杯子叠起来的高度是20厘米，6个杯子叠起来的高度是26厘米，则2个杯子露出来的高度为（厘米），1个杯子露出来的高度为（厘米）， 所以最下面杯子的高度是（厘米）， 每增加一个杯子，则增加一个露出来的高度， 所以个杯子叠起来的高度为（厘米）． 故答案为：． 16．如表是某面包店的价目表．小明原本拿了4个面包去结账，结账时收银员告诉小明，店内有优惠活动，优惠方式为每买5个面包，其中1个价格最低的面包就免费．因此，小明又去拿了一个，他挑选了香蒜面包．如果小明原本的结账金额为元，则小明后来的结账金额为　 　元．（用含的式子表示） 面包品种 甜甜圈 芒果面包 香蒜面包 切片面包 奶香片 奶油面包 单 价 5元 6元 7.5元 11元 12元 12元 【答案】或或 【解析】解：当小明原本拿的4个面包中最低价格高于或等于香蒜面包的价格时，香蒜面包免费，则小明后来的结账金额为元； 当小明原本拿的4个面包中最低价格低于或等于香蒜面包的价格且没有甜甜圈时，芒果面包免费，则小明后来的结账金额为元； 当小明原本拿的4个面包中最低价格低于或等于香蒜面包的价格，且有甜甜圈时，甜甜圈免费，则小明后来的结账金额为元； 综上所述，小明后来的结账金额为或或元． 故答案为：或或 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分）根据下列，的值，分别求代数式与的值： (1)，； (2)，． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查代数式求值，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）将，的值代入代数式，计算即可； （2）将，的值代入代数式，计算即可； 【详解】（1）解：当，时， （2）解：当，时， 18．（8分）求代数式的值： (1)已知，求代数式的值． (2)若互为倒数，互为相反数，求代数式的值． (3)已知代数式，在时，代数式的值为8．求时，代数式的值． 【答案】(1)29 (2) (3)0 【分析】（1）把直接代入计算； （2）根据互为倒数，互为相反数，得，代入计算； （3）根据时，代数式的值为8，得，求出的值，整体代入时的代数式计算． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）∵互为倒数，互为相反数， ∴， ∴． （3）∵在时，值为8， ∴， ∴， 当时， 原式， ． 【点睛】本题考查了代数式的求值，掌握用数值代替代数式里的字母进行计算，整体代入是解题关键． 19．（8分）如图，在一个底为a，高为h的三角形铁皮上剪去一个半径为r的半圆． （1）用含a，h，r的代数式表示剩下铁皮（阴影部分）的面积S； （2）请求出当，，时，S的值．（结果保留） 【答案】（1）（2） 【解析】（1）解：由题意，得：； （2）解：当a=8,h=6,r=3时， 20．（10分）某书店想买一种贺年卡，在互联网上搜索了甲、乙两家网店，已知两家网店的这种贺年卡的质量相同，请阅读相关信息回答问题： 甲网店：贺年卡1元/张，运费8元(运费只需付一次)，超过30张，全部贺年卡打六折．乙网店：贺年卡0.8元/张，运费8元，超过30张免运费． (1)若该书店想购买x张贺年卡，则在甲、乙两家网店分别需要花多少钱?(用含有x的式子表示) (2)该书店打算购买300张贺年卡，选择哪家网店更省钱? 【答案】(1)当x不超过30时，在甲网店需要花元，在乙网店需要花元；当x超过30时，在甲网店需要花元，在乙网店需要花元； (2)选择甲网店更省钱 【分析】本题考查了列代数式问题，能根据题意列出算式是解此题的关键． （1）分情况讨论：x是否超过30，然后结合题意即可求解； （2）根据，求出甲乙两家网店购买贺卡所需费用，再进行比较即可. 【详解】（1）解：①当x不超过30时，在甲网店需要花元，在乙网店需要花元； ②当x超过30时，在甲网店需要元，在乙网店需要花元； （2）解：∵该书店打算购买300张贺年卡， ∴甲网店花费：（元）， 乙网店花费：（元）， ∵， ∴选择甲网店更省钱． 21．（10分）如图所示，某数学活动小组编制了一道有理数混合运算题，即输入一个有理数，按照自左向右的顺序运算，可得计算结果，其中“”表示一个有理数. （1）若表示2，输入的数为-3，求计算结果； （2）若计算结果为8，且输入的数是4，则表示的数是多少? （3）若输入的数为a，表示的数为b，当计算结果为0时，求出a与b之间的数量关系. 【答案】（1）解：(-3)×(-4)÷2+(-1)-2=3. （2）解：设表示的数为x， 据题意，得4×(-4)÷2+(-1)-x=8. 解得x=-17. 即表示的数是-17. （3）解：由题意，得a·(-4)÷2+(-1)-b=0. 整理，得2a+b=-1. 22．（10分）探索发现：；； 根据你发现的规律，回答下列问题： (1) ， ； (2)类比上述规律计算下列式子：； (3)拓展应用：我国古代数学家杨辉，曾将大小完全相同的圆弹珠逐层堆积、形成“三角垛”、图1有1颗弹珠：图2有3颗弹珠：图3有6颗弹珠，往下依次是第4个图，第5个图，…；若用表示图n的弹珠数，其中则 ． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，图形类的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键． （1）两个连续的正整数的乘积的倒数等于较小的正整数的倒数减去较大的正整数的倒数，据此规律求解即可； （2）根据（1）的规律求解即可； （3）观察可得图n有颗弹珠，则根据（1）的规律可把原式变形为，据此求解即可． 【详解】（1）解：； ； ； ……， 以此类推，可知（n为正整数）， ∴，； （2）解： ； （3）解：图1有1颗弹珠： 图2有颗弹珠： 图3有颗弹珠， 图4有颗弹珠， ……， 以此类推，可知图n有颗弹珠， ∴ ． 23．（10分）秋风起，桂花飘香，也就进入了吃螃蟹的最好季节，清代文人李渔把秋天称作“蟹秋”意为错过了螃蟹，便是错过了整个秋季，小贤去水产市场采购大闸蟹，极品母蟹每只元，至尊公蟹每只元．商家在开展促销活动期间，向客户提供以下两种优惠方案： 方案①极品母蟹和至尊公蟹都按定价的折销售； 方案②买一只极品母蟹送一只至尊公蟹． 现小贤要购买极品母蟹只，至尊公蟹只． (1)按方案①购买极品母蟹和至尊公蟹共需付款______元（用含的式子表示）；按方案②购买极品母蟹和至尊公蟹共需付款______元（用含的式子表示）． (2)当时，通过计算说明此时按上述哪种方案购买较合算． (3)若两种优惠方案可同时使用，当时，你能通过计算给出一种最为省钱的购买方案吗？ 【答案】(1)， (2)方案② (3)先按方案②购买极品母蟹，再送只至尊公蟹，然后按方案①购买只至尊公蟹 【分析】（1）分别按照方案和方案的优惠方案，进行计算即可解答； （2）把代入（1）中的结论，进行计算即可解答； （3）两种优惠方案可同时使用，可先按方案购买极品母蟹，再送只至尊公蟹，然后按方案购买只至尊公蟹，最后进行计算比较即可解答． 【详解】（1）解：由题意得：按方案购买极品母蟹和至尊公蟹共需付款 元， 按方案购买极品母蟹和至尊公蟹共需付款 元， 按方案购买极品母蟹和至尊公蟹共需付款元；按方案购买极品母蟹和至尊公蟹共需付款元， 故答案为：，； （2）当时， 按方案购买极品母蟹和至尊公蟹共需付款 元， 按方案购买极品母蟹和至尊公蟹共需付款 元， ， 按方案购买较为合算； （3）若两种优惠方案可同时使用，则可先按方案购买极品母蟹，再送只至尊公蟹，然后按方案购买只至尊公蟹， 理由： 元， ， 最为省钱的购买方案是：先按方案购买极品母蟹，再送只至尊公蟹，然后按方案购买只至尊公蟹． 【点睛】本题考查了列代数式，代数式求值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 24．（10分）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的“探究”． 【提出问题】三个有理数、、满足，求的值． 【解决问题】解：由题意得：，，三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． 当，，都是正数，即，，时， 则； 当，，有个一为正数，另外两个为负数时，设，，， 则， 所以的值为或． 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： （1）已知三个有理数，，满足，求； （2）已知，，且，求的值． 【答案】（1）解：由题意得：，，三个有理数都为负数或其中一个为负数，另两个为正数． 当，，都是负数，即，，时， 则：； 当，，有一个为负数，另两个为正数时，设，，， 则：． 的值为或； （2）解：，， ，， ， ，或，， 或． 答：的值为或． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 代数式 单元测试卷 数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列式子，符合代数式书写格式的是（） A． B． C． D．人 2．下列各式中，代数式的个数是（   ） ①  ②  ③  ④ ⑤  ⑥a  ⑦  ⑧． A．5 B．6 C．7 D．8 3．已知甲数比乙数的6倍少5，则下列说法正确的是（    ） A．设乙数为x，则甲数为 B．设甲数为x，则乙数为 C．设甲数为x，则乙数为 D．设甲数为x，则乙数为 4．请仔细分析下列赋予实际意义的例子中错误的是（　　） A．若葡萄的价格是4元，则表示买葡萄的金额 B．若a表示一个正方形的边长，则表示这个正方形的周长 C．若4和a分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字，则表示这个两位数 D．某款凉鞋进价为a元，销售这款凉鞋盈利，则销售两双的销售额为元 5．一个三位数，百位上的数是，十位上的数是，个位上的数是，这个三位数用字母表示为（    ） A． B． C． D． 6．如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，其余的三边、、用篱笆围成，且这三边的和为40米．若设的长米，则的长度可以表示为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 7．乐乐在数学学习中遇到了神奇的“数值转换机”，按如图所示的程序运算，若输入一个有理数，则可相应的输出一个结果若输入的值为，则输出的结果为（　　） A． B． C． D． 8．当时，代数式的值是2009，则当时，代数式的值是（    ） A． B． C． D．2008 9．有一列数：，4，，16，，…，按这样的规律排列，则第n个数是（　　） A． B． C． D． 10．设三个互不相等的有理数，既可以表示成1、m+n、m的形式，又可以表示成0、 、n的形式，则m2021+n2021的值为（　　） A．0 B．1 C．-1 D．2 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．用代数式表示“比x的平方的2倍大1的数” ． 12．若，则 ． 13．观察下列各数：0，，，，，…，根据它们的排列规律写出第45个数为 ． 14．根据如图所示的程序计算，若输入x的值为2，则输出的值为 　 　． 15．把一些规格相同的杯子叠起来，如图，4个杯子叠起来高20cm，6个杯子叠起来高26cm．个杯子叠起来的高度是 厘米． 16．如表是某面包店的价目表．小明原本拿了4个面包去结账，结账时收银员告诉小明，店内有优惠活动，优惠方式为每买5个面包，其中1个价格最低的面包就免费．因此，小明又去拿了一个，他挑选了香蒜面包．如果小明原本的结账金额为元，则小明后来的结账金额为　 　元．（用含的式子表示） 面包品种 甜甜圈 芒果面包 香蒜面包 切片面包 奶香片 奶油面包 单 价 5元 6元 7.5元 11元 12元 12元 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分）根据下列，的值，分别求代数式与的值： (1)，； (2)，． 18．（8分）求代数式的值： (1)已知，求代数式的值． (2)若互为倒数，互为相反数，求代数式的值． (3)已知代数式，在时，代数式的值为8．求时，代数式的值． 19．（8分）如图，在一个底为a，高为h的三角形铁皮上剪去一个半径为r的半圆． （1）用含a，h，r的代数式表示剩下铁皮（阴影部分）的面积S； （2）请求出当，，时，S的值．（结果保留） 20．（10分）某书店想买一种贺年卡，在互联网上搜索了甲、乙两家网店，已知两家网店的这种贺年卡的质量相同，请阅读相关信息回答问题： 甲网店：贺年卡1元/张，运费8元(运费只需付一次)，超过30张，全部贺年卡打六折．乙网店：贺年卡0.8元/张，运费8元，超过30张免运费． (1)若该书店想购买x张贺年卡，则在甲、乙两家网店分别需要花多少钱?(用含有x的式子表示) (2)该书店打算购买300张贺年卡，选择哪家网店更省钱? 21．（10分）如图所示，某数学活动小组编制了一道有理数混合运算题，即输入一个有理数，按照自左向右的顺序运算，可得计算结果，其中“”表示一个有理数. （1）若表示2，输入的数为-3，求计算结果； （2）若计算结果为8，且输入的数是4，则表示的数是多少? （3）若输入的数为a，表示的数为b，当计算结果为0时，求出a与b之间的数量关系. 22．（10分）探索发现：；； 根据你发现的规律，回答下列问题： (1) ， ； (2)类比上述规律计算下列式子：； (3)拓展应用：我国古代数学家杨辉，曾将大小完全相同的圆弹珠逐层堆积、形成“三角垛”、图1有1颗弹珠：图2有3颗弹珠：图3有6颗弹珠，往下依次是第4个图，第5个图，…；若用表示图n的弹珠数，其中则 ． 23．（10分）秋风起，桂花飘香，也就进入了吃螃蟹的最好季节，清代文人李渔把秋天称作“蟹秋”意为错过了螃蟹，便是错过了整个秋季，小贤去水产市场采购大闸蟹，极品母蟹每只元，至尊公蟹每只元．商家在开展促销活动期间，向客户提供以下两种优惠方案： 方案①极品母蟹和至尊公蟹都按定价的折销售； 方案②买一只极品母蟹送一只至尊公蟹． 现小贤要购买极品母蟹只，至尊公蟹只． (1)按方案①购买极品母蟹和至尊公蟹共需付款______元（用含的式子表示）；按方案②购买极品母蟹和至尊公蟹共需付款______元（用含的式子表示）． (2)当时，通过计算说明此时按上述哪种方案购买较合算． (3)若两种优惠方案可同时使用，当时，你能通过计算给出一种最为省钱的购买方案吗？ 24．（10分）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的“探究”． 【提出问题】三个有理数、、满足，求的值． 【解决问题】解：由题意得：，，三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． 当，，都是正数，即，，时， 则； 当，，有个一为正数，另外两个为负数时，设，，， 则， 所以的值为或． 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： （1）已知三个有理数，，满足，求； （2）已知，，且，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $