2.5 实验：用单摆测量重力加速度 讲义-2026-2027学年高二上学期物理人教版选择性必修第一册

本讲义聚焦“用单摆测量重力加速度”核心实验，系统梳理基于单摆周期公式T=2π√(L/g)的测量原理，衔接单摆简谐运动条件（摆角小于10°）与实验误差分析，以学习支架形式呈现实验器材、步骤及注意事项。 资料以科学探究为核心，通过规范实验操作（如摆长含线长与球半径、周期测30-50次全振动）培养科学思维，典例及变式题（如摆长测量正误辨析、T²-L图像应用）强化模型建构，课中辅助教师演示要点，课后过关验收题（如海底、宇宙飞船情境）提升解决实际问题能力，落实科学态度与责任。

第二章 第5节 实验：用单摆测量重力加速度 内 容 导 航 题型1 用单摆测定重力加速度 考 点 演 练 题型1 用单摆测定重力加速度 解｜题｜知｜识 1．单摆测定重力加速度． （1）实验原理 一个小球和一根细线就可以组成一个单摆．单摆在摆角很小的情况下做简谐运动．单摆的周期与振幅、摆球的质量无关．与摆长的二次方根成正比．与重力加速度的二次方根成反比．单摆做简谐运动时，其周期为：T＝2π，固有：g．因此只要测出单摆的摆长L和振动周期T，就可以求出当地的重力加速度g的值，并可研究单摆的周期跟摆长的关系． （2）实验器材 带孔小钢球一个，约1m长的细线一条，铁架台，米尺，秒表，游标卡尺． （3）实验内容． ①取约1m长的细线穿过带孔的小钢球，并打一个比小孔大一些的结，然后拴在桌边的支架上，如图所示． ②用米尺量出悬线长L′，准确到毫米；用游标卡尺测摆球直径，算出半径r，也准确到毫米．则单摆的摆长为L′+r． ③把单摆从平衡位置拉开一个很小的角度（例如不超过10°），然后放开小球让它摆动，用停表测量单摆完成30次全振动（或50次）所用的时间，求出完成一次全振动所需要的时间，这个平均时间就是单摆的周期． ④把测得的周期和摆长的数值代入公式g，求出重力加速度g的值． ⑤改变摆长，重做几次实验．设计一个表格，把测得的数据和计算结果填入表格中，计算出每次实验的重力加速度．最后求出几次实验得到的重力加速度的平均值，即可看作本地区的重力加速度． ⑥原始数据记录样表． 2．注意事项 ①选择材料时应选择细轻又不易伸长的线，长度一般在1m左右，小球应选用密度较大的金属球，直径应较小，最好不超过2cm； ②单摆悬线的上端不可随意卷在铁夹的杆上，应夹紧在铁夹中，以免摆动时发生摆线下滑或悬点不固定，摆长改变的现象； ③注意摆动时摆角不宜过大，不能超过10°，以保证单摆做简谐运动； ④摆球摆动时，要使之保持在同一个竖直平面内，不要形成圆锥摆． ⑤测量应在摆球通过平衡位置时开始计时，因为在此位置摆球速度最大，易于分辩小球过此位置的时刻；画出单摆的平衡位置，作为记时的参照点．必须是摆球同方向经过平衡位置记一次数． ⑥测量单摆的摆长时应使摆球处于自然下垂状态，用米尺测量出摆线的长度，再用游标卡尺测出摆球的直径，然后算出摆长． 3．秒表的使用和读数： 秒表的读数等于内侧分针的读数与外侧秒针的读数之和． 注意：当内侧分针没有超过半格时，外侧秒针读小于30的数字．超过半格时，外侧秒针读大于30的数字．机械式停表只能精确到0.1s，读数时不需估读． 【典例1】某同学利用单摆测定当地的重力加速度，实验装置如图所示，下列说法正确的是（　　） A．在摆球通过最低点时开始计时，可减小单摆周期的测量误差 B．摆长等于摆线的长度加上摆球的直径 C．测量摆球通过最低点50次的时间为t，则单摆周期为 D．如果有两个大小相等且都带孔的铜球和木球，应选用木球作摆球 【答案】A 【解答】解：A．摆球在最低点时速度最大，则在摆球通过最低点时开始计时，可减小单摆周期的测量误差，故A正确； B．摆长等于摆线的长度加上摆球的半径，故B错误； C．摆球相邻两次通过最低点的时间为半个周期，通过最低点50次的时间为t，则单摆周期不等于，故C错误； D．为了减小空气阻力，摆球选择质量大一些，体积小一些的小球，如果有两个大小相等且都带孔的铜球和木球，应选用铜球作摆球，故D错误。 故选：A。 【变式1】在“用单摆测定重力加速度”的实验中，采用了以下几种不同的测量摆长的方法，其中正确的是（　　） A．装好单摆，用力拉紧摆线，用米尺测出摆线长度，然后加上摆球的半径 B．用手托住摆球使其静止，用米尺直接测出悬点到球心的距离． C．让单摆自然下垂，用米尺测出摆线长度，然后加上摆球的半径 D．把单摆取下并放在桌面上，用米尺测出摆线长度，然后加上摆球的半径 【答案】C 【解答】解：实验中单摆摆长等于摆球半径与摆线长度之和，应先用游标卡尺测出摆球直径；然后把单摆悬挂好，再用米尺测出单摆自然下垂时摆线长度，摆球半径与摆线长度之和是单摆摆长，故C正确，A、B、D错误。 故选：C。 【变式2】在一次分组实验探究活动中，甲、乙两位同学利用假期分别在两个地方做“用单摆测重力加速度”的实验，回来后共同绘制了T2﹣L图象，如图甲中A、B所示，此外甲同学还顺便利用其实验的单摆探究了受迫振动，并绘制了单摆的共振曲线，如图乙所示，那么下列说法正确的是（　　） A．由图甲分析可知，A图线所对应的实验地点重力加速度较大 B．单摆的固有周期由摆长和所处环境的重力加速度共同决定 C．若将单摆放入绕地稳定飞行的宇宙飞船中，同样可以利用单摆测出飞船轨道处的引力加速度 D．由图乙可知，甲同学探究受迫振动的单摆摆长为8 cm 【答案】B 【解答】解：A.根据T＝2π，得T2•L，所以T2﹣L图象的斜率k，图甲中A图线的斜率大于B图线的斜率，故A图线对应的重力加速度较小，故A错误； B.单摆的固有周期公式为T＝2π，其中L为摆长，g为当地重力加速度，故B正确； C.若将单摆放入绕地稳定飞行的宇宙飞船中，摆球处于完全失重状态，不能在竖直平面内来回摆动，故C错误； D.由图乙可知，当驱动力的频率为0.5Hz时，摆球发生共振，故系统的固有频率为0.5Hz，固有周期Ts＝2s，根据T＝2π，解得摆长L≈1m，故D错误。 故选：B。 【变式3】如图所示，一根质量不计的细线和一根很轻的硬杆连接一个小球组成“杆线摆”，小球可以绕着固定轴来回摆动。摆球的运动轨迹被约束在一个倾斜的平面内，这相当于单摆在光滑斜面上来回摆动，轻杆长为L，摆角很小时，“杆线摆”的周期为T，则用该装置测量重力加速度的表达式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：根据题图可知等效重力加速度 g′＝gsinθ “杆线摆”的周期为 解得 故A正确，BCD错误。 故选：A。 过 关 验 收 1．某实验小组设计了用单摆测量海底深度的实验。在静止于海底的蛟龙号里，测得摆长为l的单摆，完成N次全振动用时为t。设地球为均质球体，半径为R，地球表面的重力加速度大小为g。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。则下列说法正确的是（　　） A．此海底处的重力加速度大于地球表面的重力加速度 B．此海底处的重力加速度为无穷大 C．此海底处的深度为 D．此海底处的重力加速度大小为 【答案】D 【解答】解：AB．根据星球表面万有引力和重力近似相等有 整理得 已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，所以此海底处的R减小，重力加速度减小，故AB错误； CD．根据单摆周期公式 则此海底处的重力加速度大小为 根据对A、B选项分析可知 结合上述公式可得 则此海底处的深度为 故C错误，D正确。 故选：D。 2．某同学在做“用单摆测定重力加速度”实验时，用游标卡尺测量摆球的直径时，示数如图甲所示。把摆球用细线悬挂在铁架台上，用毫米刻度尺测得摆线长l，用秒表记下单摆做n次全振动的时间t。 （1）读出摆球的直径D＝　1.050　 cm。 （2）用秒表测量n次全振动的时间时，应从摆球在　平衡位置　 位置开始计时。 （3）该同学改进了处理数据的方法，测量了5组摆长L（摆线长与小球半径之和）和对应的周期T，画出图乙所示的L﹣T2图线，然后在图线上选取A、B两个点，坐标如图所示，则当地重力加速度的表达式为g＝　　 。 （4）该同学在描绘L﹣T2图像时，将每次测得的摆线长误认为摆长，其描绘的图像应为丙图中　③　 （选填①②③，a图线为正确图像）。 【答案】（1）1.050；（2）平衡位置；（3）；（4）③。 【解答】解：（1）由图示游标卡尺可知，其精度为0.05mm，摆球的直径为D＝10mm+10×0.05mm＝10.50mm＝1.050cm （2）由于摆球经过平衡位置时速度最大，误差较小，所以用秒表测量n次全振动的时间时，应从摆球在平衡位置开始计时。 （3）根据单摆的周期公式，解得，根据图示图像可知，解得 （4）将每次测得的摆线长误认为摆长，则，所以，①②错误，③正确，故选③。 故答案为：（1）1.050；（2）平衡位置；（3）；（4）③。 3．一位同学做“用单摆测定重力加速度”的实验。 （1）如图1所示，用游标卡尺测摆球直径。摆球直径d＝　16.50　 mm。 （2）下列是供学生自主选择的器材。你认为应选用的器材是 　AE　 。（填写器材的字母代号） A．约1m长的细线 B．约0.3m长的铜丝 C．约0.8m长的橡皮筋 D．直径约1cm的实心木球 E．直径约1cm的实心钢球 F．直径约1cm的空心铝球 （3）该同学在安装好如图2所示的实验装置后，测得单摆的摆长为L，然后让小球在竖直平面内小角度摆动。当小球某次经过最低点时开始计时，在完成N次全振动时停止计时，测得时间为t。请写出测量当地重力加速度的表达式：g＝　　 。（用以上测量的物理量和已知量的字母表示） （4）为减小实验误差，该同学又多次改变摆长L，测量多组对应的单摆周期T，准备利用T2﹣L的关系图线求出当地重力加速度值。相关测量数据如表： 次数 1 2 3 4 5 L/m 0.800 0.900 1.000 1.100 1.200 T/s 1.79 1.90 2.01 2.11 2.20 T2/s2 3.22 3.61 4.04 4.45 4.84 该同学在图3中已标出第1、2、3、5次实验数据对应的坐标，请你在该图中用符号“+”标出与第4次实验数据对应的坐标点，并画出T2﹣L关系图线。 （5）根据绘制出的T2﹣L关系图线，可求得g的测量值为 　9.9　 m/s2（π取3.14，计算结果保留2位有效数字）。 【答案】（1）16.50；（2）AE；（3）；（4）见解析；（5）9.9。 【解答】解：（1）20分度游标卡尺的精确度为0.05mm，读数为16mm+10×0.05mm＝16.50mm （2）根据单摆模型，摆长为长约1m质量不计且不可伸长的细线，不能用铜丝和橡皮筋； 为了减小空气阻力的影响，摆球选择密度大、体积小的实心钢球，故AE正确，BCD错误。 故选：AE。 （3）单摆振动周期为 根据单摆周期公式 可得 （4）根据描点作图法，作图时使尽量多的点落在直线上，不能落在直线上的要均匀分别在直线两侧，舍弃个别相差较远的点，如图所示： （5）根据单摆周期公式可知 直线的斜率是 根据图像求得直线斜率 解得重力加速度g＝9.9m/s2。 故答案为：（1）16.50；（2）AE；（3）；（4）见解析；（5）9.9。 4．某同学在“用单摆测重力加速度”的实验中进行了如下的操作： （1）用游标上有10个小格的游标卡尺测量摆球直径如图甲所示，摆球直径为d＝ 　2.06　 cm，把摆球用细线悬挂在铁架台上，测量摆线长l0，通过计算得到摆长L。 （2）用秒表测量单摆的周期。当单摆摆动稳定且到达最低点时开始计时并记为0次。单摆每经过最低点记一次数，当数到n次时秒表的示数如图乙所示，此时秒表的读数为t＝ 　67.4　 s，该单摆的周期T＝ 　　 （用t、n表示）。 （3）测量出多组周期T、摆长L数值后，画出T2﹣L图像如图丙，造成图线不过坐标原点的原因可能是 　B　 。 A．摆球的振幅过小 B．将l0计为摆长L C．将（l0+d）计为摆长L D．摆球质量过大 （4）该小组的另一同学没有使用游标卡尺也测出了重力加速度。他采用的方法是：先测出一摆线较长的单摆的振动周期T1，然后把摆线缩短适当的长度ΔL，再测出其振动周期T2。用该同学测出的物理量表示重力加速度为g＝ 　　 。 【答案】（1）2.06；（2）67.4，；（3）B；（4）。 【解答】解：（1）游标卡尺的分度值为0.1mm，主尺读数为20mm，游标尺读数为6×0.1m0.6mm，则摆球直径为d＝20mm+6×0.1mm＝20.6mm＝2.06cm （2）秒表的小圈分度值为30s，读数为60s，大圈的分度值为0.1s，读数为7.4s，则秒表的读数为t＝60s+7.4s＝67.4s 该单摆的周期 （3）A．由 可得 周期与振幅和摆球的质量无关，纵轴有一个正的截距，说明摆长为零时，周期不为零，所以可能是把摆线长记为了摆长，漏记了小球的半径，故ACD错误，B正确。 故选B； （4）根据上述可得 可得 故答案为：（1）2.06；（2）67.4，；（3）B；（4）。 5．小东在家里做“用单摆测量重力加速度的大小”的实验。如图1他找到了一块外形不规则的小石块代替摆球，设计的实验步骤是： A．将小石块用不可伸长的细线系好，结点为N，细线的上端固定于O点； B．用刻度尺测量ON间细线的长度l作为摆长； C．将石块拉开一个大约α＝5°的角度，然后由静止释放； D．从石块摆至某一位置处开始计时，测出30次全振动的总时间t，由得出周期； E．改变ON间细线的长度再做几次实验，记下相应的l和T； F．根据公式，分别计算出每组l和T对应的重力加速度g，然后取平均值即可作为重力加速度的测量结果。 （1）为使测量更加准确，步骤D中，小明应从 　平衡位置　 （选填“最大位移”或“平衡位置”）处开始计时。 （2）小石块摆动的过程中，充当回复力的是 　D　 。 A．重力 B．拉力 C．拉力沿水平方向的分力 D．重力沿圆弧切线方向的分力 （3）小明用ON的长l为摆长，利用公式，求出的重力加速度的测量值比真实值 　偏小　 （选填“偏大”、“偏小”、“相等”）。 （4）小红利用小明测出的多组摆长l和周期T的值，作出T2﹣l图线如图2所示，通过测量计算出图线的斜率为k，由斜率k求重力加速度的表达式是g＝　　 。 （5）在步骤F中，有同学认为可以先将多次测量的摆长l取平均值得到，周期T取平均值得到，再代入公式，得到重力加速度g的测量结果，你认为这种做法是否正确 　错误　 。（填“正确”或“错误”） 【答案】（1）平衡位置；（2）D；（3）偏小；（4）；（5）错误。 【解答】解：（1）摆球通过平衡位置时速度增大，摆球停留的时间短，为了减小测量时间的误差，小明应从平衡位置处开始计时； （2）小石块摆动的过程中，重力沿圆弧切线方向的分力提供回复力，故ABC错误，D正确。 故选：D。 （3）根据单摆周期公式 得重力加速度 小明用ON的长l为摆长，则代入公式的摆长小于实际摆长，则求出的重力加速度的测量值比真实偏小。 （4）设小石块重心到N点的距离为R，则实际摆长为L＝l+R 由单摆的周期公式，可得 整理可得 结合T2﹣l图像斜率的含义，图像斜率 解得重力加速度 （5）由单摆的周期公式可知，单摆周期与摆长的关系为T2∝l，不是一次函数关系，不能将多次测量的摆长l取平均值得到，多次测量的周期T取平均值得到，再代入公式，得到重力加速度g的测量结果，因此这种做法是错误的。 故答案为：（1）平衡位置；（2）D；（3）偏小；（4）；（5）错误。 6．“用单摆测量重力加速度”的实验中： （1）用游标卡尺测量小球的直径，如图所示，测出的小球直径为 　14.5　 mm； （2）实验中下列做法正确的是 　BD　 （多选）； A.摆线要选择伸缩性大些的，并且尽可能短一些 B.摆球要选择质量大些、体积小些的 C.拉开摆球，在释放摆球的同时开始计时，当摆球回到开始位置时停止计时，此时间间隔作为单摆周期T的测量值 D.拉开摆球，使摆线偏离平衡位置角度较小。释放抾球，从平衡位置开始计时，记下摆球做30次全振动所用的时间t，则单摆周期 【答案】（1）14.5；（2）BD。 【解答】解：（1）10分度游标卡尺的精确度为0.1mm，小球直径D＝14mm+5×0.1mm＝14.5mm； （2）A.摆线要选择伸缩性小些的，长度约为1m的细线，故A错误； B.摆球要选择密度大些、质量大、体积小些的金属球作为摆球，故B正确； C.测量单摆周期时，要在摆球通过最低点开始计时，且要让摆球完成30﹣50次全振动的时间求解单摆的周期，故C错误； D.拉开摆球，使摆线偏离平衡位置角度较小，释放摆球，从平衡位置开始计时，记下摆球做30次全振动所用的时间t，则单摆周期，故D正确。 故选：BD。 故答案为：（1）14.5；（2）BD。 7．某同学想在家里做“用单摆测量重力加速度的大小”的实验，但没有合适的摆球。他找到了一块大小为3cm左右、外形不规则的小石块代替小球。他设计了以下实验步骤： A．如图，用细线将石块系好，结点为M，将细线的上端固定于O点； B．用刻度尺测量OM间细线的长度l； C．将石块拉至一个大约30°的角度，然后由静止释放； D．从石块摆到最低点时开始计时，测出50次全振动的总时间t，由得出周期。 （1）以上实验步骤中有错误的是 　C　 ，理由是 　摆角过大，单摆的运动不是简谐运动　 ； （2）若该同学用OM的长l作为摆长，这样做引起的系统误差将使重力加速度的测量值比真实值 　偏小　 （选填“偏大”或“偏小”）； （3）若该同学改正了错误，改变OM间细线的长度后做了两次实验，记下每次相应的细线长度l1、l2和周期T1、T2，则由上述四个量得到的重力加速度表达式是g＝　　 。 【答案】（1）C；摆角过大，单摆的运动不是简谐运动；（2）偏小；（3）。 【解答】解：（1）单摆在摆角小于5°时的运动是简谐运动，如果单摆摆角过大，单摆的运动不是简谐运动，不能根据单摆周期公式求出重力加速度；因此实验步骤C错误，单摆摆角太大，单摆的运动不是简谐运动。 （2）由单摆周期公式T＝2π可知，重力加速度g，摆线悬点到石头重心的距离是摆长L，摆线的长度l小于摆长L，则重力加速度的测量值小于真实值。 （3）设M点到石头重心的距离为r，由单摆周期公式得：T1＝2π，T2＝2π，解得重力加速度：g 故答案为：（1）C；摆角过大，单摆的运动不是简谐运动；（2）偏小；（3）。 8．居家防疫期间，小明在家做“用单摆测定重力加速度”的实验。他使用一块外形不规则的小石块代替摆球，如图甲所示。设计的实验步骤是： A．将小石块用不可伸长的细线系好，结点为N，细线的上端固定于O点； B．用刻度尺测量ON间细线的长度l作为摆长； C．将石块拉开一个大约α＝5°的角度，然后由静止释放； D．从石块摆至某一位置处开始计时，测出30次全振动的总时间t，由T得出周期； E．改变ON间细线的长度再做几次实验，记下相应的l和T； F．根据公式gl，分别计算出每组l和T对应的重力加速度g，然后取平均值即可作为重力加速度的测量结果。 （1）为减小实验误差，应从石块摆到 　最低点　 （选填“最低点”或“最高点”）位置开始计时。 （2）小明用ON的长l为摆长，利用公式gl求出的重力加速度的测量值比真实值 　偏小　 （选填“偏大”或“偏小”）。 （3）小明利用测出的多组摆长l和周期T的数值，作出T2﹣l图像如图乙所示，若图像的斜率为k，则重力加速度的表达式是g＝　　 。 （4）若测得的重力加速度g值偏小，可能的原因是 　BC　 （选填字母代号）。 A．把悬点到摆球下端的长度记为摆长 B．把摆线的长度记为摆长 C．摆线上端未牢固地系于悬点，在振动过程中出现松动 D．实验中误将摆球经过平衡位置49次记为50次 【答案】（1）最低点；（2）偏小；（3）；（4）BC. 【解答】解：（1）为了减小实验误差，应从石块摆到最低点位置开始计时； （2）由单摆的周期公式T＝2可得：g，用ON的长l作为摆长，则摆长偏短，则测得的重力加速度偏小； （3）设石块质心到N点的距离为R，则实际摆长为L＝l+R，则可得：T＝2 则T2（l+R） 可知T2﹣l图像的斜率为：k 可得重力加速度为：g （4）根据T＝2可得：g，若测得的重力加速度g值偏小，则 A、把悬点到摆球下端的长度记为摆长，则L测量值偏大，则测得的g偏大，故A错误； B、把摆线的长度记为摆长，则L测量值偏小，则测得的g偏小，故B正确； C、摆线上端未牢固地系于悬点，在振动过程中出现松动，则实际摆长变大，计算所用的摆长偏小，则测得的g偏小，故C正确； D、实验中误将摆球经过平衡位置49次记为50次，则周期偏小，g偏大，故D错误； 故选：BC。 故答案为：（1）最低点；（2）偏小；（3）；（4）BC. 9．惠更斯在推导出单摆的周期公式后，用一个单摆测出了巴黎的重力加速度。我们也可以采用同样的办法，测量所在地区的重力加速度。 某同学的实验步骤如下： （1）正确安装单摆，测出摆线长l； （2）释放摆球，从摆球第1次经过平衡位置开始计时，第n次经过平衡位置结束计时，秒表记录的时间为t，则单摆周期T＝　　 。 （3）改变摆长，测出几组摆线长l和对应的周期T，作出l﹣T2图像，如图所示。 （4）测得图像的斜率为k，纵截距为﹣b，则重力加速度g＝　4π2k　 ，摆球的直径为 　2b　 （用所测物理量符号表示）。 【答案】（2）；（4）4π2k，2b。 【解答】解：（2）球在一个周期内两次经过平衡位置，有 得周期为 故填； （4）单摆的周期公式为 摆长等于摆线的长度与摆球的半径之和 得 则斜率 得重力加速度为 g＝4π2k 由截距为﹣b，有 得 d＝2b 故填2b。 故答案为：（2）；（4）4π2k，2b。 10．小明同学想用单摆来测重力加速度，设计的实验装置如图甲所示，在摆球的平衡位置处安放一个光电门，连接数字计时器。记录小球第1次经过光电门到第n次经过光电门的时间间隔t。 （1）下列说法中正确的是 　A　 。（单选，填正确答案标号） A.当摆球运动到平衡位置时开始计时 B.可选择有弹性的细绳作为摆线 C.摆球全振动的周期为 （2）在摆球自然悬垂的情况下，用毫米刻度尺测得从悬点至摆球顶端的长度为L，再用螺旋测微器测量摆球直径（图乙），摆球直径d＝ 　7.875　 mm； （3）实验中该同学测得的重力加速度经查证明显小于当地的重力加速度值，下列原因可能的是 　C　 。（单选，填正确答案标号） A.摆球的振幅偏小 B.计算时使用L+d作为摆长 C.摆线上端未牢固地系于悬点，实验过程中出现松动，没注意到摆线长度增加了 【答案】（1）A；（2）7.875；（3）C。 【解答】解：（1）A.当摆球运动到平衡位置时速度最大，摆球停留时间短，计时误差小，因此摆球运动平衡位置开始计时，故A正确； B.为了保持单摆的摆长不变，单摆要选择弹性很小的细绳作为摆线，故B错误； C.小球第1次经过光电门到第n次经过光电门，全振动的次数，摆球全振动的周期为，故C错误。 故选：A。 （2）螺旋测微器的精确度为0.01mm，摆球直径d＝7.5mm+37.5×0.01mm＝7.875mm （3）根据单摆周期公式 重力加速度 A.在摆角小于5°的前提下，重力加速度与摆球的振幅大小无关，故A错误； B.计算时使用L+d作为摆长，根据重力加速度的计算公式可知，重力加速度的测量值偏大，测量值大于真实值，故B错误； C.摆线上端未牢固地系于悬点，实验过程中出现松动，没注意到摆线长度增加了，根据重力加速度的计算公式可知，重力加速度的真实值偏大，即测量值小于真实值，故C正确。 故选：C。 故答案为：（1）A；（2）7.875；（3）C。 11．某物理兴趣小组在做“用单摆测重力加速度”的实验研究。 （1）该小组组装单摆时，设计了如图1的4种装置，其中最合理的装置是 　D　 。 （2）该小组选择合适的装置，装好单摆后在摆球自然悬垂的情况下，用毫米刻度尺测量出从悬点量到摆球的最底端的长度l＝0.8888m，再用游标卡尺（如图1）测量出摆球直径D＝　10.10　 mm，则单摆摆长L＝　0.88375　 m。 （3）该小组完成试验后发现测得的重力加速度g值偏大，可能的原因是 　A　 。 A．测摆线长时摆线拉得过紧 B．实验中误将50次全振动数为49次 C．计时时，过早按下秒表 D．摆线上端未牢固地系于悬点，振动中出现松动，使摆线长度增加了 【答案】（1）D；（2）10.10；0.88375；（3）A。 【解答】解：（1）A．弹性棉线，伸缩性较好，不适合做摆线，故A错误； B．塑料球密度小，摆动时，空气阻力影响较大。故B错误； C．悬点不固定，实验时，摆长改变，弹性棉线，伸缩性较好，不适合做摆线，塑料球密度小，摆动时，空气阻力影响较大。故C错误； D．铁夹直接夹住细丝线，悬点固定，细丝线弹性较差，适合做摆线，铁球密度大，实验时所受空气阻力影响小。故D正确。 故选：D。 （2）游标卡尺的最小分度值为0.05mm，测量出摆球直径为：D＝10mm+2×0.05mm＝10.10mm 单摆摆长为：0.88375m （3）A．根据 解得 测摆线长时摆线拉得过紧，所测摆长L偏大，所测g偏大，故A正确； B．实验中误将50次全振动数为49次，所测周期T偏大，所测g偏小，故B错误； C．开始计时，秒表过早按下，所测周期T偏大，所测g偏小，故C错误； D．摆线上端未牢固地系于悬点，振动中出现松动，使摆线长度增加了，实际计算的摆长偏小，所以测g偏小。故D错误。 故选A。 故答案为：（1）D；（2）10.10；0.88375；（3）A。 12．某实验小组探究单摆做简谐运动的周期和小球的质量、单摆摆长的关系。 （1）小组内的两位同学各自组装了一套实验装置，分别如图甲、乙所示。为了保证小球在竖直面内摆动，选用图 　乙　 （选填“甲”或“乙”）所示的实验装置效果更好。 （2）关于该实验，下列说法正确的是 　AB　 。 A.该探究方法为控制变量法 B.实验所用小球的质量要尽量大，体积要尽量小 C.实验时细线的最大摆角约为45° D.测量小球的摆动周期时，应该从小球处于最高点时开始计时 （3）当小球的质量一定，探究单摆做简谐运动的周期和摆长的关系时，该小组同学利用正确装置通过改变摆长进行了多次实验，画出的T2﹣l图像如图丙所示，周期的平方跟摆长成正比，由图丙也可求出当地的重力加速度为 　　 。（用“π、a、b”表示） 【答案】（1）乙；（2）AB；（3）。 【解答】解：（1）为了保证小球在确定的竖直面内摆动，应选用图乙所示的实验装置； （2）A．探究单摆做简谐运动的周期和小球的质量关系时，应控制单摆摆长相同；探究单摆做简谐运动的周期与单摆摆长的关系，应控制小球的质量相同，故该探究方法为控制变量法，故A正确； B．实验所用小球的质量要尽量大，体积要尽量小，可以减小空气阻力的影响，故B正确； C．小球做单摆运动，实验时细线的最大摆角约为5°，故C错误； D．测量小球的摆动周期时，应该从小球处于最低点时开始计时，故D错误。 故选：AB。 （3）根据单摆的周期公式 可得 结合图像可得 所以 故答案为：（1）乙；（2）AB；（3）。 13．某同学用实验的方法探究影响单摆周期的因素。 （1）下列关于单摆实验的操作，正确的是 　BD　 。 A．摆球运动过程中摆角应大于30° B．摆球到达平衡位置时开始计时 C．摆球应选用泡沫小球 D．保证摆球在同一竖直平面内摆动 （2）正确组装单摆后在摆球自然悬垂的情况下，用毫米刻度尺量出从悬点到细线与摆球连接点的长度l'＝0.9870m，再用游标卡尺测出摆球直径，结果如图1所示，则该摆球的直径为 　12.0　 mm，单摆摆长l＝　0.9930　 m。 （3）实验中，测出不同摆长l对应的周期值T，作出T2﹣l图像，如图2所示，已知图线上A、B两点的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），可求出g＝　（x2﹣x1）　 。 【答案】（1）BD；（2）12.0、0.9930；（3）（x2﹣x1）。 【解答】解：（1）A、摆球运动过程中摆角大于30°，不能看成简谐运动，故A错误； B、在平衡位置摆球的速度最大，计时比较准确，故B正确； C、摆球选用泡沫小球，在摆动中受空气阻力较大，故C错误； D、摆球不在同一竖直平面内摆动，将成为圆锥摆，不是单摆，所以要保证摆球在同一竖直平面内摆动，故D正确。 故选：BD。 （2）游标卡尺的精度为0.1mm。主尺的读数为12mm，游标尺的读数为0.1mm×0＝0，该摆球的直径为12mm+0.1mm×0＝12.0mm，单摆的摆长为：L＝0.9870mmm＝0.9930m。 （3）根据单摆的周期公式T＝2π，变形得到：T2l，有y1x1，y2x2，联立解得：g（x2﹣x1）。 故答案为：（1）BD；（2）12.0、0.9930；（3）（x2﹣x1）。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 第5节 实验：用单摆测量重力加速度 内 容 导 航 题型1 用单摆测定重力加速度 考 点 演 练 题型1 用单摆测定重力加速度 解｜题｜知｜识 1．单摆测定重力加速度． （1）实验原理 一个小球和一根细线就可以组成一个单摆．单摆在摆角很小的情况下做简谐运动．单摆的周期与振幅、摆球的质量无关．与摆长的二次方根成正比．与重力加速度的二次方根成反比．单摆做简谐运动时，其周期为：T＝2π，固有：g．因此只要测出单摆的摆长L和振动周期T，就可以求出当地的重力加速度g的值，并可研究单摆的周期跟摆长的关系． （2）实验器材 带孔小钢球一个，约1m长的细线一条，铁架台，米尺，秒表，游标卡尺． （3）实验内容． ①取约1m长的细线穿过带孔的小钢球，并打一个比小孔大一些的结，然后拴在桌边的支架上，如图所示． ②用米尺量出悬线长L′，准确到毫米；用游标卡尺测摆球直径，算出半径r，也准确到毫米．则单摆的摆长为L′+r． ③把单摆从平衡位置拉开一个很小的角度（例如不超过10°），然后放开小球让它摆动，用停表测量单摆完成30次全振动（或50次）所用的时间，求出完成一次全振动所需要的时间，这个平均时间就是单摆的周期． ④把测得的周期和摆长的数值代入公式g，求出重力加速度g的值． ⑤改变摆长，重做几次实验．设计一个表格，把测得的数据和计算结果填入表格中，计算出每次实验的重力加速度．最后求出几次实验得到的重力加速度的平均值，即可看作本地区的重力加速度． ⑥原始数据记录样表． 2．注意事项 ①选择材料时应选择细轻又不易伸长的线，长度一般在1m左右，小球应选用密度较大的金属球，直径应较小，最好不超过2cm； ②单摆悬线的上端不可随意卷在铁夹的杆上，应夹紧在铁夹中，以免摆动时发生摆线下滑或悬点不固定，摆长改变的现象； ③注意摆动时摆角不宜过大，不能超过10°，以保证单摆做简谐运动； ④摆球摆动时，要使之保持在同一个竖直平面内，不要形成圆锥摆． ⑤测量应在摆球通过平衡位置时开始计时，因为在此位置摆球速度最大，易于分辩小球过此位置的时刻；画出单摆的平衡位置，作为记时的参照点．必须是摆球同方向经过平衡位置记一次数． ⑥测量单摆的摆长时应使摆球处于自然下垂状态，用米尺测量出摆线的长度，再用游标卡尺测出摆球的直径，然后算出摆长． 3．秒表的使用和读数： 秒表的读数等于内侧分针的读数与外侧秒针的读数之和． 注意：当内侧分针没有超过半格时，外侧秒针读小于30的数字．超过半格时，外侧秒针读大于30的数字．机械式停表只能精确到0.1s，读数时不需估读． 【典例1】某同学利用单摆测定当地的重力加速度，实验装置如图所示，下列说法正确的是（　　） A．在摆球通过最低点时开始计时，可减小单摆周期的测量误差 B．摆长等于摆线的长度加上摆球的直径 C．测量摆球通过最低点50次的时间为t，则单摆周期为 D．如果有两个大小相等且都带孔的铜球和木球，应选用木球作摆球 【变式1】在“用单摆测定重力加速度”的实验中，采用了以下几种不同的测量摆长的方法，其中正确的是（　　） A．装好单摆，用力拉紧摆线，用米尺测出摆线长度，然后加上摆球的半径 B．用手托住摆球使其静止，用米尺直接测出悬点到球心的距离． C．让单摆自然下垂，用米尺测出摆线长度，然后加上摆球的半径 D．把单摆取下并放在桌面上，用米尺测出摆线长度，然后加上摆球的半径 【变式2】在一次分组实验探究活动中，甲、乙两位同学利用假期分别在两个地方做“用单摆测重力加速度”的实验，回来后共同绘制了T2﹣L图象，如图甲中A、B所示，此外甲同学还顺便利用其实验的单摆探究了受迫振动，并绘制了单摆的共振曲线，如图乙所示，那么下列说法正确的是（　　） A．由图甲分析可知，A图线所对应的实验地点重力加速度较大 B．单摆的固有周期由摆长和所处环境的重力加速度共同决定 C．若将单摆放入绕地稳定飞行的宇宙飞船中，同样可以利用单摆测出飞船轨道处的引力加速度 D．由图乙可知，甲同学探究受迫振动的单摆摆长为8 cm 【变式3】如图所示，一根质量不计的细线和一根很轻的硬杆连接一个小球组成“杆线摆”，小球可以绕着固定轴来回摆动。摆球的运动轨迹被约束在一个倾斜的平面内，这相当于单摆在光滑斜面上来回摆动，轻杆长为L，摆角很小时，“杆线摆”的周期为T，则用该装置测量重力加速度的表达式为（　　） A． B． C． D． 过 关 验 收 1．某实验小组设计了用单摆测量海底深度的实验。在静止于海底的蛟龙号里，测得摆长为l的单摆，完成N次全振动用时为t。设地球为均质球体，半径为R，地球表面的重力加速度大小为g。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。则下列说法正确的是（　　） A．此海底处的重力加速度大于地球表面的重力加速度 B．此海底处的重力加速度为无穷大 C．此海底处的深度为 D．此海底处的重力加速度大小为 2．某同学在做“用单摆测定重力加速度”实验时，用游标卡尺测量摆球的直径时，示数如图甲所示。把摆球用细线悬挂在铁架台上，用毫米刻度尺测得摆线长l，用秒表记下单摆做n次全振动的时间t。 （1）读出摆球的直径D＝　 　 cm。 （2）用秒表测量n次全振动的时间时，应从摆球在　 　 位置开始计时。 （3）该同学改进了处理数据的方法，测量了5组摆长L（摆线长与小球半径之和）和对应的周期T，画出图乙所示的L﹣T2图线，然后在图线上选取A、B两个点，坐标如图所示，则当地重力加速度的表达式为g＝ 。 （4）该同学在描绘L﹣T2图像时，将每次测得的摆线长误认为摆长，其描绘的图像应为丙图中　 　 （选填①②③，a图线为正确图像）。 3．一位同学做“用单摆测定重力加速度”的实验。 （1）如图1所示，用游标卡尺测摆球直径。摆球直径d＝　 　 mm。 （2）下列是供学生自主选择的器材。你认为应选用的器材是 　 　 。（填写器材的字母代号） A．约1m长的细线 B．约0.3m长的铜丝 C．约0.8m长的橡皮筋 D．直径约1cm的实心木球 E．直径约1cm的实心钢球 F．直径约1cm的空心铝球 （3）该同学在安装好如图2所示的实验装置后，测得单摆的摆长为L，然后让小球在竖直平面内小角度摆动。当小球某次经过最低点时开始计时，在完成N次全振动时停止计时，测得时间为t。请写出测量当地重力加速度的表达式：g＝ 。（用以上测量的物理量和已知量的字母表示） （4）为减小实验误差，该同学又多次改变摆长L，测量多组对应的单摆周期T，准备利用T2﹣L的关系图线求出当地重力加速度值。相关测量数据如表： 次数 1 2 3 4 5 L/m 0.800 0.900 1.000 1.100 1.200 T/s 1.79 1.90 2.01 2.11 2.20 T2/s2 3.22 3.61 4.04 4.45 4.84 该同学在图3中已标出第1、2、3、5次实验数据对应的坐标，请你在该图中用符号“+”标出与第4次实验数据对应的坐标点，并画出T2﹣L关系图线。 （5）根据绘制出的T2﹣L关系图线，可求得g的测量值为 　 　 m/s2（π取3.14，计算结果保留2位有效数字）。 4．某同学在“用单摆测重力加速度”的实验中进行了如下的操作： （1）用游标上有10个小格的游标卡尺测量摆球直径如图甲所示，摆球直径为d＝______ 　 　 cm，把摆球用细线悬挂在铁架台上，测量摆线长l0，通过计算得到摆长L。 （2）用秒表测量单摆的周期。当单摆摆动稳定且到达最低点时开始计时并记为0次。单摆每经过最低点记一次数，当数到n次时秒表的示数如图乙所示，此时秒表的读数为t＝ 　 　 s，该单摆的周期T＝ 　 （用t、n表示）。 （3）测量出多组周期T、摆长L数值后，画出T2﹣L图像如图丙，造成图线不过坐标原点的原因可能是 　 　 。 A．摆球的振幅过小 B．将l0计为摆长L C．将（l0+d）计为摆长L D．摆球质量过大 （4）该小组的另一同学没有使用游标卡尺也测出了重力加速度。他采用的方法是：先测出一摆线较长的单摆的振动周期T1，然后把摆线缩短适当的长度ΔL，再测出其振动周期T2。用该同学测出的物理量表示重力加速度为g＝ 。 5．小东在家里做“用单摆测量重力加速度的大小”的实验。如图1他找到了一块外形不规则的小石块代替摆球，设计的实验步骤是： A．将小石块用不可伸长的细线系好，结点为N，细线的上端固定于O点； B．用刻度尺测量ON间细线的长度l作为摆长； C．将石块拉开一个大约α＝5°的角度，然后由静止释放； D．从石块摆至某一位置处开始计时，测出30次全振动的总时间t，由得出周期； E．改变ON间细线的长度再做几次实验，记下相应的l和T； F．根据公式，分别计算出每组l和T对应的重力加速度g，然后取平均值即可作为重力加速度的测量结果。 （1）为使测量更加准确，步骤D中，小明应从 　 　 （选填“最大位移”或“平衡位置”）处开始计时。 （2）小石块摆动的过程中，充当回复力的是 　 　 。 A．重力 B．拉力 C．拉力沿水平方向的分力 D．重力沿圆弧切线方向的分力 （3）小明用ON的长l为摆长，利用公式，求出的重力加速度的测量值比真实值 　 　 （选填“偏大”、“偏小”、“相等”）。 （4）小红利用小明测出的多组摆长l和周期T的值，作出T2﹣l图线如图2所示，通过测量计算出图线的斜率为k，由斜率k求重力加速度的表达式是g＝ 。 （5）在步骤F中，有同学认为可以先将多次测量的摆长l取平均值得到，周期T取平均值得到，再代入公式，得到重力加速度g的测量结果，你认为这种做法是否正确 　 。（填“正确”或“错误”） 6．“用单摆测量重力加速度”的实验中： （1）用游标卡尺测量小球的直径，如图所示，测出的小球直径为 　 　 mm； （2）实验中下列做法正确的是 　 　 （多选）； A.摆线要选择伸缩性大些的，并且尽可能短一些 B.摆球要选择质量大些、体积小些的 C.拉开摆球，在释放摆球的同时开始计时，当摆球回到开始位置时停止计时，此时间间隔作为单摆周期T的测量值 D.拉开摆球，使摆线偏离平衡位置角度较小。释放抾球，从平衡位置开始计时，记下摆球做30次全振动所用的时间t，则单摆周期 7．某同学想在家里做“用单摆测量重力加速度的大小”的实验，但没有合适的摆球。他找到了一块大小为3cm左右、外形不规则的小石块代替小球。他设计了以下实验步骤： A．如图，用细线将石块系好，结点为M，将细线的上端固定于O点； B．用刻度尺测量OM间细线的长度l； C．将石块拉至一个大约30°的角度，然后由静止释放； D．从石块摆到最低点时开始计时，测出50次全振动的总时间t，由得出周期。 （1）以上实验步骤中有错误的是 　 　 ，理由是 　 　 ； （2）若该同学用OM的长l作为摆长，这样做引起的系统误差将使重力加速度的测量值比真实值 　 　 （选填“偏大”或“偏小”）； （3）若该同学改正了错误，改变OM间细线的长度后做了两次实验，记下每次相应的细线长度l1、l2和周期T1、T2，则由上述四个量得到的重力加速度表达式是g＝　 。 8．居家防疫期间，小明在家做“用单摆测定重力加速度”的实验。他使用一块外形不规则的小石块代替摆球，如图甲所示。设计的实验步骤是： A．将小石块用不可伸长的细线系好，结点为N，细线的上端固定于O点； B．用刻度尺测量ON间细线的长度l作为摆长； C．将石块拉开一个大约α＝5°的角度，然后由静止释放； D．从石块摆至某一位置处开始计时，测出30次全振动的总时间t，由T得出周期； E．改变ON间细线的长度再做几次实验，记下相应的l和T； F．根据公式gl，分别计算出每组l和T对应的重力加速度g，然后取平均值即可作为重力加速度的测量结果。 （1）为减小实验误差，应从石块摆到 　 　 （选填“最低点”或“最高点”）位置开始计时。 （2）小明用ON的长l为摆长，利用公式gl求出的重力加速度的测量值比真实值_____________ （选填“偏大”或“偏小”）。 （3）小明利用测出的多组摆长l和周期T的数值，作出T2﹣l图像如图乙所示，若图像的斜率为k，则重力加速度的表达式是g＝ 。 （4）若测得的重力加速度g值偏小，可能的原因是 　 　 （选填字母代号）。 A．把悬点到摆球下端的长度记为摆长 B．把摆线的长度记为摆长 C．摆线上端未牢固地系于悬点，在振动过程中出现松动 D．实验中误将摆球经过平衡位置49次记为50次 9．惠更斯在推导出单摆的周期公式后，用一个单摆测出了巴黎的重力加速度。我们也可以采用同样的办法，测量所在地区的重力加速度。 某同学的实验步骤如下： （1）正确安装单摆，测出摆线长l； （2）释放摆球，从摆球第1次经过平衡位置开始计时，第n次经过平衡位置结束计时，秒表记录的时间为t，则单摆周期T＝ 。 （3）改变摆长，测出几组摆线长l和对应的周期T，作出l﹣T2图像，如图所示。 （4）测得图像的斜率为k，纵截距为﹣b，则重力加速度g＝　 　 ，摆球的直径为____ 　 　 （用所测物理量符号表示）。 10．小明同学想用单摆来测重力加速度，设计的实验装置如图甲所示，在摆球的平衡位置处安放一个光电门，连接数字计时器。记录小球第1次经过光电门到第n次经过光电门的时间间隔t。 （1）下列说法中正确的是 　 　 。（单选，填正确答案标号） A.当摆球运动到平衡位置时开始计时 B.可选择有弹性的细绳作为摆线 C.摆球全振动的周期为 （2）在摆球自然悬垂的情况下，用毫米刻度尺测得从悬点至摆球顶端的长度为L，再用螺旋测微器测量摆球直径（图乙），摆球直径d＝ 　 　 mm； （3）实验中该同学测得的重力加速度经查证明显小于当地的重力加速度值，下列原因可能的是 　 　 。（单选，填正确答案标号） A.摆球的振幅偏小 B.计算时使用L+d作为摆长 C.摆线上端未牢固地系于悬点，实验过程中出现松动，没注意到摆线长度增加了 11．某物理兴趣小组在做“用单摆测重力加速度”的实验研究。 （1）该小组组装单摆时，设计了如图1的4种装置，其中最合理的装置是 　 。 （2）该小组选择合适的装置，装好单摆后在摆球自然悬垂的情况下，用毫米刻度尺测量出从悬点量到摆球的最底端的长度l＝0.8888m，再用游标卡尺（如图1）测量出摆球直径D＝　 　 mm，则单摆摆长L＝　 　 m。 （3）该小组完成试验后发现测得的重力加速度g值偏大，可能的原因是 　 　 。 A．测摆线长时摆线拉得过紧 B．实验中误将50次全振动数为49次 C．计时时，过早按下秒表 D．摆线上端未牢固地系于悬点，振动中出现松动，使摆线长度增加了 12．某实验小组探究单摆做简谐运动的周期和小球的质量、单摆摆长的关系。 （1）小组内的两位同学各自组装了一套实验装置，分别如图甲、乙所示。为了保证小球在竖直面内摆动，选用图 　 　 （选填“甲”或“乙”）所示的实验装置效果更好。 （2）关于该实验，下列说法正确的是 　 　 。 A.该探究方法为控制变量法 B.实验所用小球的质量要尽量大，体积要尽量小 C.实验时细线的最大摆角约为45° D.测量小球的摆动周期时，应该从小球处于最高点时开始计时 （3）当小球的质量一定，探究单摆做简谐运动的周期和摆长的关系时，该小组同学利用正确装置通过改变摆长进行了多次实验，画出的T2﹣l图像如图丙所示，周期的平方跟摆长成正比，由图丙也可求出当地的重力加速度为 。（用“π、a、b”表示） 13．某同学用实验的方法探究影响单摆周期的因素。 （1）下列关于单摆实验的操作，正确的是 　 　 。 A．摆球运动过程中摆角应大于30° B．摆球到达平衡位置时开始计时 C．摆球应选用泡沫小球 D．保证摆球在同一竖直平面内摆动 （2）正确组装单摆后在摆球自然悬垂的情况下，用毫米刻度尺量出从悬点到细线与摆球连接点的长度l'＝0.9870m，再用游标卡尺测出摆球直径，结果如图1所示，则该摆球的直径为 　 　 mm，单摆摆长l＝　 　 m。 （3）实验中，测出不同摆长l对应的周期值T，作出T2﹣l图像，如图2所示，已知图线上A、B两点的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），可求出g＝ 。 学科网（北京）股份有限公司 $