第2章 5 实验：用单摆测量重力加速度（配套Word）-【精讲精练】2026-2027学年高中物理选择性必修第一册（人教版）

本讲义聚焦“用单摆测量重力加速度”核心实验，基于单摆周期公式T=2π√(l/g)，系统梳理从实验原理推导（g=4π²l/T²）、器材选择（细无伸缩线、小密度大球）、物理量测量（摆长含球半径、周期测多次全振动）到数据处理（平均值法、T²-l图像法）及误差分析的完整脉络，构建递进式学习支架。 该资料以科学探究为核心，通过实验装置优化（如悬点固定方式选择）、数据处理（T²-l图像斜率求g）培养科学思维，结合高考真题探究点强化科学论证。课中辅助教师系统授课，课后练习题助学生巩固实验细节，提升严谨的科学态度与责任。

5　实验：用单摆测量重力加速度 科学探究 1．知道用单摆测量重力加速度的原理。 2．会用单摆测量当地的重力加速度。 [对应学生用书P55] 一、实验思路 1．结合单摆的相关知识如何测量当地的重力加速度？需要测量哪些物理量？ 答　由T＝2π ，得g＝，则测出单摆的摆长和周期，即可求出当地的重力加速度。 2．为实现所需物理量的测量，应选择哪些实验器材、又应如何设计实验装置(试绘出简易装置示意图)? 答　带孔小钢球一个(直径不大于2 cm)、细线一根(长度不短于1 m)、铁架台、刻度尺、秒表、游标卡尺、铁架台及铁夹。 二、实验装置 1．线有粗细、长短的不同，伸缩性也有区别。不同的小球，质量和体积有差异。应如何选择摆线和摆球？ 答　摆线选细而无伸缩性的；摆球选体积小而密度大的。 2．如图所示，细线上端的图(b)、图(c)两种不同悬挂方式，应该选用哪种方式？ 答　图(c) 三、物理量的测量 1．摆长就是摆线长度吗？如果不是，摆长应是什么长度？怎样测量才能减小误差？ 答　不是，摆线长加小球的半径，悬挂起来测量。 2. (1)实验时，可以测量单摆做一次全振动的时间作为它的周期的测量值，也可以测量单摆做多次全振动(例如几十次)的时间，然后通过计算求出它的周期的测量值。哪种方法比较好？ (2)实验时，为精确测量单摆周期，全振动的计时起点选在平衡位置、端点还是任意位置？ 答　(1)测量单摆做多次全振动的时间 (2)平衡位置 四、数据处理 1．平均值法：每改变一次摆长，将相应的l和T代入公式g＝中求出g值，最后求出g的平均值。 设计如下所示实验表格 实验次数 摆长l/m 周期T/s 加速度g/(m·s－2) g平均值 1 g＝ 2 3 2．图像法：由T＝2π得T2＝l，作出T2­l图像，即以T2为纵轴，以l为横轴。其斜率k＝，由图像的斜率即可求出重力加速度g。 五、误差分析 1．本实验的系统误差主要来源于单摆模型本身是否符合要求，即悬点是否固定；是单摆还是复摆；球、线是否符合要求；振动是圆锥摆还是同一竖直平面内振动以及测量哪段长度作为摆长等等。只要注意了上面这些方面，就可以使系统误差减小到远远小于偶然误差从而忽略不计的程度。 2．本实验的偶然误差主要来自时间(即单摆周期)的测量上。因此要注意测准时间(周期)，要从摆球通过平衡位置开始计时，不能多记或漏记振动次数。为了减小偶然误差，应进行多次测量后取平均值。 3．本实验中在测量长度(摆线长、摆球的直径)时，读数读到毫米即可(即使用游标卡尺测摆球直径也只需读到毫米)。 六、注意事项 1．选择材料时应选择细而不易伸长的线，比如用单根尼龙丝、丝线等，长度一般不应短于1 m，小球应选用密度较大的金属球，直径应较小，最好不超过2 cm。 2．摆动时控制摆线偏离竖直方向的角度应很小。 3．摆球摆动时，要使之保持在同一竖直平面内，不要形成圆锥摆。 4．计算单摆的振动次数时，应从摆球通过最低位置时开始计时，以后摆球从同一方向通过最低点时计数，要测多次(如30次或50次)全振动的时间，用取平均值的办法求周期。 [对应学生用书P56] 探究点一　实验原理与数据分析 　(1)物理课外小组研究“用单摆测重力加速度”实验，他们依照教材实验直接测量的物理量应为__________、______、______，其公式为________。 (2)他们测出不同的摆长(l)所对应的周期(T)，在进行数据处理时： ①如果甲同学以摆长(l)为横坐标、周期(T)的二次方为纵坐标作出了T2­l图像，若他测得的图像的斜率为k，则测得的重力加速度g＝________。若甲同学测摆长时，忘记测摆球的半径，则他用图像法求得的重力加速度________(选填“偏小”“偏大”或“准确”)。 ②乙同学根据公式：T＝2π得出g＝，并计算重力加速度，若乙同学测摆长时，也忘记了测摆球的半径，则他测得的重力加速度________(选填“偏小”“偏大”或“准确”)。 (3)甲同学测量5种不同摆长下单摆的振动周期，记录结果如表所示。 l/m 0.5 0.8 0.9 1.0 1.2 T/s 1.42 1.79 1.90 2.00 2.20 T2/s2 2.02 3.20 3.61 4.00 4.84 以摆长(l)为横坐标、周期(T)的二次方为纵坐标，作出T2­l图像，请你替他在虚线框中作出T2­l图像，利用此图像求出的重力加速度为____________ m/s2。 [思路点拨] (1)单摆摆长是指悬挂点到球心的距离； (2)测量时间的开始位置应该是小球经过它时能够准确判断出来的位置，一般选取小球运动的最低点。 [解析]　(1)本实验是利用单摆的周期公式T＝2π得出g＝，即只要测出摆长l和周期T就能求出当地的重力加速度g，而l＝l0＋，T＝。显然，本实验直接测量的物理量应为摆线长l0、摆球直径d以及完成n次全振动所用的时间t。其公式为g＝。 (2)①若依据测量数据，作出T2­l图像，其斜率为k＝，而g＝，故有g＝。图像函数式应为T2＝，如果忘记测摆球的半径，将摆线长误为摆长，显然图像的斜率不变，所以加速度的测量值不变。②若根据公式T＝2π，得g＝，并计算重力加速度。如果忘记测量摆球的半径，将摆线长误为摆长，即摆长l的测量值偏小，所以重力加速度的测量值偏小。 (3)建立如图坐标系，并标出适当的标度，依据数学描点法画出T2­l图像如图所示，则图像的斜率大约为k＝4.0。依据图像求出重力加速度为g＝≈9.86 m/s2。 [答案]　(1)摆线长l0　摆球直径d　n次全振动的时间t　g＝　(2)①　准确　②偏小　(3)T2­l图像见解析　9.86 探究点二　实验操作与误差分析 　(2023·重庆卷)某实验小组用单摆测量重力加速度。所用实验器材有摆球、长度可调的轻质摆线、刻度尺、50分度的游标卡尺、摄像装置等。 (1)用游标卡尺测量摆球直径d。当量爪并拢时，游标尺和主尺的零刻度线对齐。放置摆球后游标卡尺示数如图甲所示，则摆球的直径d为____________mm。 (2)用摆线和摆球组成单摆，如图乙所示。当摆线长度l＝990.1 mm时，记录并分析单摆的振动视频，得到单摆的振动周期T＝2.00 s，由此算得重力加速度g为__________m/s2(保留3位有效数字)。 (3)改变摆线长度l，记录并分析单摆的振动视频，得到相应的振动周期。他们发现，分别用l和l＋作为摆长，这两种计算方法得到的重力加速度数值的差异大小Δg随摆线长度l的变化曲线如图所示。由图可知，该实验中，随着摆线长度l的增加，Δg的变化特点是________，原因是__________________________________________。 [解析]　(1)用游标卡尺测量摆球直径d＝19 mm＋0.02 mm×10＝19.20 mm。 (2)单摆的摆长为L＝990.1 mm＋×19.20 mm＝999.7 mm，根据T＝2π，g＝，代入数据解得g＝ m/s2＝9.87 m/s2。 (3)由题图可知，随着摆线长度l的增加，Δg逐渐减小，原因是随着摆线长度l的增加，则l＋越接近于l，此时计算得到的g的差值越小。 [答案]　(1)19.20　(2)9.87　(3)逐渐减小　随着摆线长度l的增加，则l＋越接近于l，此时计算得到的g的差值越小 [对应学生用书P57] 1．某实验小组在利用单摆测定当地重力加速度的实验中： (1)用游标卡尺测定摆球的直径，测量结果如图所示，则该摆球的直径为________cm。 (2)小组成员在实验过程中有如下说法，其中正确的是________。(填字母) A．把单摆从平衡位置拉开30°的摆角，并在释放摆球的同时开始计时 B．测量摆球通过最低点100次的时间t，则单摆周期为 C．用悬线的长度加摆球的直径作为摆长，代入单摆周期公式计算得到的重力加速度值偏大 D．选择密度较小的摆球，测得的重力加速度值误差较小 解析　(1)游标卡尺读数＝主尺读数＋游标尺读数＝0.9 cm＋7×0.01 cm＝0.97 cm。 (2)要使摆球做简谐运动，摆角应小于5°，应选择密度较大的摆球，阻力的影响较小，测得重力加速度误差较小，A、D错；摆球通过最低点100次，完成50次全振动，周期是，B错；摆长应是l′＋(l′为悬线的长度)，若用悬线的长度加摆球直径，则测出的重力加速度值偏大，C对。 答案　(1)0.97　(2)C 2．在“用单摆测定重力加速度”的实验中，由单摆做简谐运动的周期公式得到g＝。只要测出多组单摆的摆长l和运动周期T，作出T2­l图像，就可以求出当地的重力加速度。理论上T2­l图像是一条过坐标原点的直线，某同学根据实验数据作出的图像如图所示。 (1)造成图像不过坐标原点的原因可能是______________________。 (2)由图像求出的重力加速度g＝______m/s2。(取π2＝9.87) 解析　(1)既然所画T2­l图像与纵坐标有正截距，这就表明l的测量值与真实值相比偏小了，则意味着测摆长时可能漏掉了摆球半径。 (2)图像的斜率k＝＝4，则g＝＝9.87 m/s2。 答案　(1)测摆长时漏掉了摆球半径　(2)9.87 3．(2025·海南卷)小组用如图所示的单摆测量当地重力加速度。 (1)用游标卡尺测得小球直径d＝20 mm，刻度尺测得摆线长l＝79 cm，则单摆摆长L＝________ cm(保留四位有效数字)。 (2)拉动小球，使摆线伸直且与竖直方向的夹角为θ(θ<5°)，无初速度的释放小球，小球经过________(选填“最高”或“最低”)点时，开始计时，记录小球做了30次全振动用时t＝54.00 s，则单摆周期T＝________ s，由此可得当地重力加速度g＝________ m/s2(π2≈10，保留三位有效数字)。 解析　(1)单摆的摆长为L＝l＋＝80.00 cm。 (2)为减小实验误差，需小球经过最低点时开始计时；单摆周期T＝＝ s＝1.8 s，根据单摆周期公式T＝2π，可得g＝，代入数值得g＝9.88 m/s2。 答案　(1)80.00　(2)最低　1.8　9.88 4．(2024·湖北卷)某同学设计了一个测量重力加速度大小g的实验方案，所用器材有：2 g砝码若干、托盘1个、轻质弹簧1根、米尺1把、光电门1个、数字计时器1台等。具体步骤如下： 图(a) ①将弹簧竖直悬挂在固定支架上，弹簧下面挂上装有遮光片的托盘，在托盘内放入一个砝码，如图(a)所示。 ②用米尺测量平衡时弹簧的长度l，并安装光电门。 ③将弹簧在弹性限度内拉伸一定长度后释放，使其在竖直方向振动。 ④用数字计时器记录30次全振动所用时间t。 ⑤逐次增加托盘内砝码的数量，重复②③④的操作。 该同学将振动系统理想化为弹簧振子。已知弹簧振子的振动周期T＝2π，其中k为弹簧的劲度系数，M为振子的质量。 (1)由步骤④，可知振动周期T＝________。 (2)设弹簧的原长为l0，则l与g、l0、T的关系式为l＝________。 (3)由实验数据作出的l­T2图线如图(b)所示，可得g＝________m/s2(保留三位有效数字，π2取9.87)。 图(b) (4)本实验的误差来源包括________(双选，填标号)。 A．空气阻力 B．弹簧质量不为零 C．光电门的位置稍微偏离托盘的平衡位置 解析　(1)由于30次全振动所用的时间为t，则1次全振动的时间，即振动周期T＝。 (2)弹簧振子平衡时，由力的平衡条件有k(l－l0)＝Mg，又T＝2π，联立可得l＝l0＋T2。 (3)结合(2)问分析可知l­T2图线的斜率k＝，由题图(b)可知k＝ m/s2，联立解得g＝9.65 m/s2。 (4)空气阻力会使本实验中的振动系统做阻尼振动，即本实验中的振动系统并不是理想化的弹簧振子，而本实验中是将振动系统理想化为弹簧振子，从而测出重力加速度的，所以空气阻力是本实验的一个误差来源，A正确；(2)问分析中将弹簧振子的质量等效为托盘及其上物体的总质量，但是实际上弹簧振子的质量为弹簧的质量和托盘及其上物体的总质量之和，所以弹簧质量不为零是本实验的一个误差来源，B正确；由于数字计时器记录的是30次全振动的时间，所以光电门的位置只要在托盘经过的位置均可，即光电门的位置稍微偏离托盘的平衡位置不是本实验的误差来源，C错误。 答案　(1)　(2)l0＋T2　(3)9.65(9.55～9.75均可)　(4)AB 5．(2023·新课标卷)一学生小组做“用单摆测量重力加速度的大小”实验。 (1)用实验室提供的螺旋测微器测量摆球直径。 首先，调节螺旋测微器，拧动微调旋钮使测微螺杆和测砧相触时，发现固定刻度的横线与可动刻度上的零刻度线未对齐，如图(a)所示，该示数为____________mm；螺旋测微器在夹有摆球时示数如图(b)所示，该示数为__________mm，则摆球的直径为__________mm。 (2)单摆实验的装置示意图如图(c)所示，其中角度盘需要固定在杆上的确定点O处，摆线在角度盘上所指的示数为摆角的大小。若将角度盘固定在O点上方，则摆线在角度盘上所指的示数为5°时，实际摆角__________(选填“大于”或“小于”)5°。 (3)某次实验所用单摆的摆线长度为81.50 cm，则摆长为__________ cm。实验中观测到从摆球第1次经过最低点到第61次经过最低点的时间间隔为54.60 s，则此单摆周期为__________ s，该小组测得的重力加速度大小为__________m/s2。(结果均保留3位有效数字，π2取9.870) 解析　(1)题图(a)中，螺旋测微器固定刻度读数为0.0 mm，可动刻度部分读数为0.8×0.01 mm＝0.008 mm，所以读数为0.008 mm；题图(b)中，螺旋测微器固定刻度读数为20.0 mm，可动刻度部分读数为3.5×0.01 mm＝0.035 mm，所以读数为20.035 mm；摆球的直径d＝20.035 mm－0.008 mm＝20.027 mm。 (2)角度盘固定在O点时，摆线在角度盘上所指角度为摆角大小，若将角度盘固定在O点上方，由几何知识可知，摆线在角度盘上所指的示数为5°时，实际摆角大于5°。 (3)单摆的摆长L等于摆线长l与摆球半径之和，即L＝l＋＝82.5 cm；从摆球第1次经过最低点到第61次经过最低点，单摆完成30次全振动，故单摆的周期T＝s＝1.82 s；由单摆的周期公式T＝2π可得g＝，代入相关数据解得g＝9.83 m/s2。 答案　(1)0.008(0.007～0.009均可) 20.035(20.034～20.036均可) 20.027(20.025～20.029均可)　(2)大于 (3)82.5　1.82　9.83 学科网（北京）股份有限公司 $