2.1简谐运动 讲义-2026-2027学年高二上学期物理人教版选择性必修第一册

本讲义聚焦简谐运动核心知识点，以机械振动（平衡位置、回复力）为基础，通过弹簧振子模型建构，明确简谐运动定义（x-t图像正弦规律）及瞬时性、对称性、周期性特点，再结合实验探究周期与小球质量关系，形成从概念到应用的完整学习支架。 该资料突出科学思维与科学探究融合，题型1通过多情境判断（如光滑斜面小球、浮在水中木筷）及变式题（加速度与平衡位置关系）培养科学推理，题型2实验设计（T²-m图像绘制）强化科学探究能力，助力学生构建运动与相互作用观念。课中辅助教师教学，课后帮助学生巩固提升。

第二章 第1节 简谐运动 内 容 导 航 题型1 简谐运动的定义、运动特点与判断 题型2 探究弹簧振子的周期和小球质量的关系 考 点 演 练 题型1 简谐运动的定义、运动特点与判断 解｜题｜知｜识 一、机械振动 1.机械振动：物体或物体的一部分在一个位置附近的往复运动，简称振动。 2.两个振动中的概念 （1）平衡位置：回复力为零的位置，也是振动物体在静止时所处的位置。 （2）回复力：振动物体偏离平衡位置后所受到的阻碍它离开平衡位置，使它回到平衡位置的力。 ①与圆周运动中的向心力一样，回复力是振动问题中根据力的效果命名的一个效果力，它可由某一个力充当、某几个力的合力充当或某一个力的分力来充当。 ②与圆周运动中的向心力总是指向圆心类似，振动过程中的回复力的方向总是指向平衡位置。 二、弹簧振子 1.定义：小球与弹簧组成的系统，他是一个理想化模型。 2.弹簧振子示意图： 三、简谐运动 1.概念：如果物体的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图像（x﹣t图像）是一条正弦曲线，这样的振动是一种简谐运动。 2.简谐运动是最基本的振动，弹簧振子中小球的运动就是简谐运动。 3.简谐运动是一种变加速运动。 四、简谐运动的特点 瞬时性、对称性和周期性。 【典例1】对于如图甲、乙、丙、丁四种情况，不是简谐运动的是（　　） A．如甲图：倾角为θ的光滑斜面上的小球沿斜面拉下一段距离，然后松开（忽略空气阻力） B．如乙图：粗细均匀的木筷，下端绕几圈铁丝，竖直浮在较大的装有水的杯中。把木筷往上提起一段距离后放手，木筷就在水中上下振动 C．如丙图：小球在半径为R的光滑球面上的A、B（R远大于弧长AB）之间来回运动 D．如丁图：小球在光滑固定的斜面上来回运动 【变式1】做简谐运动的物体经过A点时，加速度大小为1m/s2方向指向B点；当它经过B点时，加速度大小为2m/s2方向指向A点。若A、B之间的距离是6cm，则关于它的平衡位置，说法正确的是（　　） A．平衡位置在AB连线左侧 B．平衡位置在AB连线右侧 C．平衡位置在AB连线之间，但不能确定具体位置 D．平衡位置在AB连线之间，且距离A点为2cm处 【变式2】如图所示，质量为m的物块放置在质量为M的木板上，木板与弹簧相连，它们一起在光滑水平面上做简谐运动，周期为T，振动过程中m、M之间无相对运动，设弹簧的劲度系数为k、物块和木板之间动摩擦因数为μ，则下列说法中正确的是（　　） A．若两时刻的间隔，则在这两个时刻时弹簧的弹性势能一定不相同 B．当弹簧的形变量为x时，物块m与木板M间的摩擦力大小等于kx C．当弹簧的形变量为x时，物块m与木板M间的摩擦力大小等于 D．当弹簧的形变量为x时，物块m与木板M间的摩擦力大小等于 【变式3】简谐运动属于（　　） A．匀速运动 B．匀加速运动 C．匀变速运动 D．变加速运动 题型2 探究弹簧振子的周期和小球质量的关系 解｜题｜知｜识 一、实验目的：研究弹簧振子的周期和小球质量的关系。 二、实验器材：弹簧振子装置、秒表、天平。 三、实验步骤： 1.将弹簧固定在支架上，使弹簧中心位于振子的小球下方； 2.调整弹簧的劲度系数，使小球在自由振动时周期为T0； 3.用天平称量小球的质量m0，记录下此时的状态； 4.在平衡位置附近将小球从静止释放，开始计时，用秒表记录振动周期T1； 5.将小球的质量增加Δm（例如Δm＝0.01kg），重复步骤3、4，记录下此时的质量m1和周期T1； 6.重复步骤5，逐渐增加小球的重量，依次记录各组数据； 四、实验数据处理： 将上述数据记录在表格中，根据表格数据绘制T2−m图象，利用图象可以更直观地得出周期和小球质量的关系。 五、实验结论 根据图象可知，直线斜率k，即周期的平方与小球质量的比值是一个常数，也就是说，弹簧振子的周期与小球质量的平方根成正比。变形可得：T＝2π。 【典例1】将一劲度系数为k的轻质弹簧竖直悬挂，下端系上质量为m的小球，将小球向下拉离平衡位置后松开，小球上下做简谐运动，其振动周期恰好等于以小球平衡时弹簧的伸长量为摆长的单摆周期。重力加速度取g。则： （1）小球做简谐运动的周期T＝　 。 （2）为验证小球振动周期T与质量m的关系，需多次改变m值并测得相应的T值，并通过作图法得到周期与质量的关系．在实验过程中： ①若在弹性限度内，弹簧的最大伸长量为ΔL，则实验时最大振幅A为 ； ②用停表测量周期T，在图示的哪个位置作为计时的开始与终止更好？　 　 （选填“（a）”、“（b）”或“（c）”） （3）为方便用作图法处理数据，横坐标表示m，纵坐标表示T2。借助以上图像，也可以用以测量弹簧的劲度系数，若某同学在测量过程中，误将49次全振动记为50次，那么测得的劲度系数将 　 　 （填“变大”“变小”或“不变”）。 过 关 验 收 （多选）1．如图所示，倾角为α的光滑斜面固定在水平面上，一根劲度系数为k的轻质弹簧下端固定于斜面底部挡板处，弹簧上端放一个质量为m的小物块A，A与弹簧间不拴接，开始时A静止于P点。另一质量也为m的小物块B从斜面上Q点由静止释放，与A发生正碰后立即粘在一起成为组合体，组合体在以后的运动过程中恰好不离开弹簧。已知弹簧的弹性势能与其形变量的关系为，重力加速度为g，弹簧始终未超出弹性限度。下列说法正确的是（　　） A．弹簧的最大弹性势能为 B．组合体动能的最大值为 C．P、Q两点间的距离为 D．P、Q两点间的距离为 2．如图所示，粗细均匀的一根木筷，下端绕几圈铁丝，竖直浮在较大的深水筒中。刚开始时木筷在水中保持静止，现把木筷向上提起一小段距离x0后放手，木筷此后在水中上下振动。已知水的密度为ρ，木筷的横截面积为S，木筷静止时浸入水中的深度为h0，重力加速度为g，水的黏滞阻力忽略不计。 （1）若，求木筷在运动过程中的最大加速度大小； （2）证明木筷做简谐运动。 3．如图甲所示，质量为m的小球用细线悬挂，悬点到球心的距离为l。将小球偏离竖直方向一定角度（≤5°）由静止释放，小球摆动过程中，细线与竖直方向夹角为θ，细绳对小球的拉力大小为F，F随cosθ变化的F﹣cosθ图像如图乙所示（F1、F2为未知量）。已知重力加速度大小为g，将小球静止释放时记为0时刻，求： （1）小球到达最低点的时刻； （2）细绳对小球的最小拉力F1； （3）细绳对小球的最大拉力F2。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 第1节 简谐运动 内 容 导 航 题型1 简谐运动的定义、运动特点与判断 题型2 探究弹簧振子的周期和小球质量的关系 考 点 演 练 题型1 简谐运动的定义、运动特点与判断 解｜题｜知｜识 一、机械振动 1.机械振动：物体或物体的一部分在一个位置附近的往复运动，简称振动。 2.两个振动中的概念 （1）平衡位置：回复力为零的位置，也是振动物体在静止时所处的位置。 （2）回复力：振动物体偏离平衡位置后所受到的阻碍它离开平衡位置，使它回到平衡位置的力。 ①与圆周运动中的向心力一样，回复力是振动问题中根据力的效果命名的一个效果力，它可由某一个力充当、某几个力的合力充当或某一个力的分力来充当。 ②与圆周运动中的向心力总是指向圆心类似，振动过程中的回复力的方向总是指向平衡位置。 二、弹簧振子 1.定义：小球与弹簧组成的系统，他是一个理想化模型。 2.弹簧振子示意图： 三、简谐运动 1.概念：如果物体的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图像（x﹣t图像）是一条正弦曲线，这样的振动是一种简谐运动。 2.简谐运动是最基本的振动，弹簧振子中小球的运动就是简谐运动。 3.简谐运动是一种变加速运动。 四、简谐运动的特点 瞬时性、对称性和周期性。 【典例1】对于如图甲、乙、丙、丁四种情况，不是简谐运动的是（　　） A．如甲图：倾角为θ的光滑斜面上的小球沿斜面拉下一段距离，然后松开（忽略空气阻力） B．如乙图：粗细均匀的木筷，下端绕几圈铁丝，竖直浮在较大的装有水的杯中。把木筷往上提起一段距离后放手，木筷就在水中上下振动 C．如丙图：小球在半径为R的光滑球面上的A、B（R远大于弧长AB）之间来回运动 D．如丁图：小球在光滑固定的斜面上来回运动 【答案】D 【解答】解：A．甲图小球沿斜面方向受到的合力是弹力与重力的分力，当小球在平衡位置上方时，合力方向沿斜面向下，当在平衡位置下方时合力沿斜面向上，弹力与重力的分力的合力与位移成正比，其特点符合简谐振动物体的动力学特征，小球做简谐振动，故A正确； B．乙图木筷在水中受浮力和重力作用，当木筷在平衡位置上方时，合力向下，当木筷在平衡位置下方时，合力向上，重力和浮力的合力与位移成正比，符合简谐振运动的特点，木筷做简谐振动，故B正确； C．丙图小球离开最低点受到重力沿切线方向的分力与位移成正比，方向与小球位移方向相反，为小球提供回复力，小球在最低点附近左右振动属于简谐振动，故C正确； D．丁图斜面光滑，重力沿斜面的分力提供小球做机械振动的回复力，力大小不变，不与位移成正比，故小球的运动为机械振动，不是简谐振动，故D错误。 本题选择不是简谐振动的，故选：D。 【变式1】做简谐运动的物体经过A点时，加速度大小为1m/s2方向指向B点；当它经过B点时，加速度大小为2m/s2方向指向A点。若A、B之间的距离是6cm，则关于它的平衡位置，说法正确的是（　　） A．平衡位置在AB连线左侧 B．平衡位置在AB连线右侧 C．平衡位置在AB连线之间，但不能确定具体位置 D．平衡位置在AB连线之间，且距离A点为2cm处 【答案】D 【解答】解：AB.由于回复力方向总是指向平衡位置，则加速度方向总是指向平衡位置，由题意可知，物体经过A点时，加速度方向指向B点；物体经过B点时，加速度方向指向A点；则平衡位置在AB连线之间，故AB错误； CD.根据牛顿第二定律可知简谐运动物体的加速度大小为 ，可知物体的加速度大小与相对于平衡位置的位移大小成正比，设平衡位置与A点距离为x1，与B点距离为 x2， 则有 x1+x2＝6cm， 因为 aA：aB＝x1：x2＝1：2 代入数据得： x1＝2cm 故C错误，D正确. 故选：D。 【变式2】如图所示，质量为m的物块放置在质量为M的木板上，木板与弹簧相连，它们一起在光滑水平面上做简谐运动，周期为T，振动过程中m、M之间无相对运动，设弹簧的劲度系数为k、物块和木板之间动摩擦因数为μ，则下列说法中正确的是（　　） A．若两时刻的间隔，则在这两个时刻时弹簧的弹性势能一定不相同 B．当弹簧的形变量为x时，物块m与木板M间的摩擦力大小等于kx C．当弹簧的形变量为x时，物块m与木板M间的摩擦力大小等于 D．当弹簧的形变量为x时，物块m与木板M间的摩擦力大小等于 【答案】D 【解答】解：设位移为x，对整体受力分析，受重力、支持力和弹簧的弹力，根据牛顿第二定律，有：kx＝（m+M）a，对m物体受力分析，受重力、支持力和静摩擦力，静摩擦力提供回复力，根据牛顿第二定律，有：f＝ma，所以。 A、若，则在t时刻和（t+Δt）时刻物块的位移大小相等，方向相反，位于相对平衡位置对称的位置上，弹簧的长度一定相同，弹性势能一定相同，故A错误； BCD、由开始时的分析可以知道，当整体离开平衡位置的位移为x时，物块与木板间摩擦力的大小等于，故D正确、BC错误。 故选：D。 【变式3】简谐运动属于（　　） A．匀速运动 B．匀加速运动 C．匀变速运动 D．变加速运动 【答案】D 【解答】解：简谐运动中回复力F＝﹣kx不断变化，由牛顿第二定律可知，加速度a，加速度也是不断变化，故是变加速运动，故ABC错误，D正确； 故选：D。 题型2 探究弹簧振子的周期和小球质量的关系 解｜题｜知｜识 一、实验目的：研究弹簧振子的周期和小球质量的关系。 二、实验器材：弹簧振子装置、秒表、天平。 三、实验步骤： 1.将弹簧固定在支架上，使弹簧中心位于振子的小球下方； 2.调整弹簧的劲度系数，使小球在自由振动时周期为T0； 3.用天平称量小球的质量m0，记录下此时的状态； 4.在平衡位置附近将小球从静止释放，开始计时，用秒表记录振动周期T1； 5.将小球的质量增加Δm（例如Δm＝0.01kg），重复步骤3、4，记录下此时的质量m1和周期T1； 6.重复步骤5，逐渐增加小球的重量，依次记录各组数据； 四、实验数据处理： 将上述数据记录在表格中，根据表格数据绘制T2−m图象，利用图象可以更直观地得出周期和小球质量的关系。 五、实验结论 根据图象可知，直线斜率k，即周期的平方与小球质量的比值是一个常数，也就是说，弹簧振子的周期与小球质量的平方根成正比。变形可得：T＝2π。 【典例1】将一劲度系数为k的轻质弹簧竖直悬挂，下端系上质量为m的小球，将小球向下拉离平衡位置后松开，小球上下做简谐运动，其振动周期恰好等于以小球平衡时弹簧的伸长量为摆长的单摆周期。重力加速度取g。则： （1）小球做简谐运动的周期T＝　　 。 （2）为验证小球振动周期T与质量m的关系，需多次改变m值并测得相应的T值，并通过作图法得到周期与质量的关系．在实验过程中： ①若在弹性限度内，弹簧的最大伸长量为ΔL，则实验时最大振幅A为 　ΔL　 ； ②用停表测量周期T，在图示的哪个位置作为计时的开始与终止更好？　b　 （选填“（a）”、“（b）”或“（c）”） （3）为方便用作图法处理数据，横坐标表示m，纵坐标表示T2。借助以上图像，也可以用以测量弹簧的劲度系数，若某同学在测量过程中，误将49次全振动记为50次，那么测得的劲度系数将 　偏大　 （填“变大”“变小”或“不变”）。 【答案】（1）；（2）ΔL，b，偏大 【解答】解：（1）弹簧振子振动的周期为 T （2）①振幅是小球离开平衡位置的最大距离，当小球静止时弹簧的伸长量为 Δx 所以实验时最大振幅为 A＝ΔL ②用停表测量周期T，从平衡位置作为计时的开始和结束点，故选b； （3）根据弹簧振子周期公式 T 可得 k 若实验中误将49次全振动记为50次，则周期的测量值偏小，导致劲度系数的测量值偏大。 故答案为：（1）；（2）ΔL，b，偏大 过 关 验 收 （多选）1．如图所示，倾角为α的光滑斜面固定在水平面上，一根劲度系数为k的轻质弹簧下端固定于斜面底部挡板处，弹簧上端放一个质量为m的小物块A，A与弹簧间不拴接，开始时A静止于P点。另一质量也为m的小物块B从斜面上Q点由静止释放，与A发生正碰后立即粘在一起成为组合体，组合体在以后的运动过程中恰好不离开弹簧。已知弹簧的弹性势能与其形变量的关系为，重力加速度为g，弹簧始终未超出弹性限度。下列说法正确的是（　　） A．弹簧的最大弹性势能为 B．组合体动能的最大值为 C．P、Q两点间的距离为 D．P、Q两点间的距离为 【答案】AD 【解答】解：A．设O为弹簧处于原长时其上端的位置，x为碰撞前的形变量，则有 kx＝mgsinα 当B与A成为组合体c时，恰好不离开弹簧，所以c最多运动至O处。组合体c做简谐振动，其平衡位置满足 kx′＝2mgsinα 所以弹簧的最大压缩量为 所以弹簧弹性势能的最大值为 故A正确； B．设动能最大位置为O′点，则从O处到O′处有 解得Ek 故B错误； CD．组合体从O运动至P点时 解得EkP 即 解得 设碰撞前b的速度为vb，规定沿斜面向下为正方向，由动量守恒可得 mvb＝2mvp 即 vb＝2vp 物体在斜面上的加速度为 a＝gsinα 所以 故C错误，D正确。 故选：AD。 2．如图所示，粗细均匀的一根木筷，下端绕几圈铁丝，竖直浮在较大的深水筒中。刚开始时木筷在水中保持静止，现把木筷向上提起一小段距离x0后放手，木筷此后在水中上下振动。已知水的密度为ρ，木筷的横截面积为S，木筷静止时浸入水中的深度为h0，重力加速度为g，水的黏滞阻力忽略不计。 （1）若，求木筷在运动过程中的最大加速度大小； （2）证明木筷做简谐运动。 【答案】（1）若，木筷在运动过程中的最大加速度大小为； （2）设木筷的横截面积为S，质量为m，水的密度为ρ，静止时水下长度为h0，根据平衡条件得：ρSgh0＝mg，把木筷往上提起一段距离x， 根据牛顿第二定律得：F合＝ρgS（h0﹣x）﹣mg，解得F合＝﹣ρgSx，木筷的振动是简谐运动。 【解答】解：（1）木筷静止时，根据平衡条件有mg＝ρgSh0。把木筷向上提起一小段距离后放手，此时加速度最大，根据牛顿第二定律D得：mg﹣ρgS（h0）＝ma，代入数据解得：a。 （2）设木筷的横截面积为S，质量为m，水的密度为ρ，静止时水下长度为h0，根据平衡条件得：ρSgh0＝mg，把木筷往上提起一段距离x， 根据牛顿第二定律得：F合＝ρgS（h0﹣x）﹣mg，解得F合＝﹣ρgSx，木筷的振动是简谐运动。 答：（1）若，木筷在运动过程中的最大加速度大小为； （2）设木筷的横截面积为S，质量为m，水的密度为ρ，静止时水下长度为h0，根据平衡条件得：ρSgh0＝mg，把木筷往上提起一段距离x， 根据牛顿第二定律得：F合＝ρgS（h0﹣x）﹣mg，解得F合＝﹣ρgSx，木筷的振动是简谐运动。 3．如图甲所示，质量为m的小球用细线悬挂，悬点到球心的距离为l。将小球偏离竖直方向一定角度（≤5°）由静止释放，小球摆动过程中，细线与竖直方向夹角为θ，细绳对小球的拉力大小为F，F随cosθ变化的F﹣cosθ图像如图乙所示（F1、F2为未知量）。已知重力加速度大小为g，将小球静止释放时记为0时刻，求： （1）小球到达最低点的时刻； （2）细绳对小球的最小拉力F1； （3）细绳对小球的最大拉力F2。 【答案】（1）小球到达最低点的时刻是（n）π； （2）细绳对小球的最小拉力F1是0.996mg； （3）细绳对小球的最大拉力F2是1.008mg。 【解答】解：（1）该单摆的摆动周期 由摆动的周期性可知小球在，，时刻到达最低点 即小球到达最低点的时刻：（n＝0，1，2，3…） 解得：（n＝0，1，2，3…） （2）由题意及图可知，释放小球时cosθ1＝0.996 此时拉力最小，对小球受力分析可得：F1＝mgcosθ1 即F1＝0.996mg （3）在最低点时cosθ2＝1，由机械能守恒定律得 由牛顿第二定律得： 解得：F2＝1.008mg 答：（1）小球到达最低点的时刻是（n）π； （2）细绳对小球的最小拉力F1是0.996mg； （3）细绳对小球的最大拉力F2是1.008mg。 学科网（北京）股份有限公司 $