第2.3节 简谐运动的回复力和能量（高效培优·讲义）物理人教版选择性必修第一册

本讲义聚焦高中物理简谐运动的回复力和能量核心知识点，先推导回复力公式（F=-kx）并解析负号物理意义，再分析动能与势能相互转化规律，明确无阻尼简谐运动机械能守恒条件，构建从力学到能量的完整知识支架。 资料含知识导图梳理脉络，避坑指南分角度提供解题通法，结合真题闯关与分层练习。通过模型建构（如弹簧振子与单摆辨析）和科学推理（动态变化连锁反应口诀）培养科学思维，课中辅助教师系统教学，课后助力学生分层巩固查漏补缺。

第2.3节 简谐运动的回复力和能量 目录 01 本节导航·目标清单 02 教材精研·内容全解 考点01 简谐运动的回复力和能量 03 避坑指南·解题通法 角度01 简谐运动的回复力 角度02 简谐运动的能量问题 角度03 简谐运动过程中速度、加速度（回复力）与位移的变化问题 04 真题闯关·溯源演练 05 课后三阶·精准练习 目标导航 方法指导 1.推导回复力公式（F=-kx），理解负号物理意义 2.分析简谐运动中动能、势能相互转化规律 3.明确简谐运动机械能守恒的条件 1.负号代表回复力方向始终指向平衡位置，与位移反向 2.平衡位置动能最大、势能最小；最大位移处势能最大、动能为0 3.无阻尼简谐运动总机械能保持不变 知识导图 考点01 简谐运动的回复力和能量 1、简谐运动的回复力定义：使振子回到平衡位置的力。 （1）回复力是根据力的效果命名的，回复力可以是弹力,也可以是其它力(包括摩擦力)；可以是某一个力，或几个力的合力,或者某个力的分力，它一定等于振动物体在振动方向上所受的合力。 （2）回复力方向总是指向平衡位置。 2、回复力公式：F＝－kx。 （1）k是比例系数，不一定是弹簧的劲度系数．其值由振动系统决定，与振幅无关。 （2）“－”号表示回复力的方向与偏离平衡位置的位移的方向相反。 3、简谐运动的定义的另一种表述：如果质点所受的力与它偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总是指向平衡位置,质点的运动就是简谐运动。即回复力满足 F= -kx的运动就是简谐运动。 4、简谐运动的加速度：a＝－x，加速度a与位移x的大小成正比，方向与位移方向相反。 5、简谐运动中各个物理量的变化规律 Q Q→O O O→P P X 向左最大 向左减小 0 向右增大 向右最大 F、a 向右最大 向右减小 0 向左增大 向左最大 v 0 向右增大 向右最大 向右减小 0 动能 0 增大 最大 减小 0 势能 最大 减小 0 增大 最大 机械能 不变 6、简谐运动的能量 （1）简谐运动的能量由振动系统和振幅决定，对同一个振动系统，振幅越大，能量越大。 （2）在简谐运动中，振动的能量保持不变，所以振幅保持不变，只要没有能量损耗，它将永不停息地振动下去。 （3）在振动的一个周期内，动能和势能完成两次周期性变化．物体的位移减小，势能转化为动能，位移增大，动能转化为势能。 （4）能量特点：在简谐运动中，振动系统的机械能守恒，而在实际运动中都有一定的能量损耗，因此简谐运动是一种理想化的模型。 【深化点拨】 1．简谐运动的回复力特点：对一般的简谐运动，由于回复力不一定是弹簧的弹力，所以k不一定是劲度系数而是回复力与位移的比例系数。 2．判断物体是否做简谐运动的两种方法 （1）x-t图像为正弦曲线 （2）F-x满足 F=-kx的形式 （3）常用步骤：①找平衡位置；②找回复力；③找F=kx；④找方向关系。 3．简谐运动中各个物理量的变化规律特点 （1）规律：每次经过同一位置处，x、F、a、势能、动能均相同，v大小相等，方向不一定。若连续两次经过同一点，v反向。 （2）简谐运动的加速度大小和方向都随时间做周期性的变化，所以简谐运动是变加速运动。 （3）当物体从最大位移处向平衡位置运动时，由于v与a的方向一致，物体做加速度越来越小的加速运动。 （4）当物体从平衡位置向最大位移处运动时，由于v与a的方向相反，物体做加速度越来越大的减速运动。 （6）简谐运动的能量与振幅有关，振幅越大，振动的能量越大。 （7）势能与动能是标量，同一位置必相同，对称位置也必相同。 1．某弹簧振子做简谐运动的x-t图像如图所示。下列说法正确的是（　　） A．t1时刻，振子的加速度为0 B．该图像从平衡位置开始计时 C．t2时刻，振子偏离平衡位置的位移最小 D．t3时刻，振子正通过平衡位置向负方向运动 【答案】A 【详解】A．简谐运动中 时刻振子位于平衡位置，有，所以，故A正确； B．由图可知，时，振子位于正向最大位移处，不在平衡位置，故B错误。 C．时刻，振子偏离平衡位置的距离为，达到最大值，故C错误； D．时刻且图像的斜率为正，说明振子的速度沿正方向，故D错误。 故选A。 2．（多选）如图所示，弹簧振子在光滑水平杆上的之间做简谐运动，下列说法正确的是（　　） A．小球运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力的作用 B．小球运动过程中受重力、支持力、弹簧弹力和回复力的作用 C．小球由向运动过程中，动能逐渐减小 D．小球由向运动过程中，回复力的方向一直为由指向 【答案】AC 【详解】AB．小球运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力的作用，其中弹簧弹力充当回复力，故A正确，B错误； C．小球由向运动过程中，弹簧弹力做负功，弹簧弹性势能增加，小球动能减小，故C正确； D．回复力方向总是指向平衡位置，所以小球由向运动过程中，回复力的方向一直为由指向，故D错误。 故选AC。 3．如图所示，光滑水平面上放有一个弹簧振子，已知振子滑块的质量m=0.1kg，弹簧劲度系数为k=32N/m，将振子滑块从平衡位置O向左移4cm，由静止释放后在B、C间运动，设系统在B处时具有的弹性势能为5J，问： (1)滑块的加速度的最大值am为多少？ (2)求滑块的最大速度vm (3)滑块完成5次全振动时走过的路程s 【详解】（1）在B点加速度最大，由 可得 （2）系统的机械能守恒 得 （3）滑块完成5次全振动时走过的路程 简谐运动的回复力和能量的综合应用及解题步骤 1.能量转化特点：必须“守住”机械能守恒 理想的简谐运动系统（如弹簧振子），只有弹力或重力做功，系统机械能守恒。 （1）动能（ Ek）与势能（Ep）的互补： 平衡位置：势能最小（弹簧振子为0），动能最大，速度最大。 最大位移处：势能最大，动能为0，速度为0。 （2）总能量决定因素：简谐运动的总能量与振幅有关。振幅越大，能量越大。 2.动态分析逻辑：必须“理清”连锁反应 （1）远离平衡位置时： 位移 x↑→ 回复力 F↑→ 加速度 a↑→ 速度 v↓→ 动能 Ek↓→ 势能 Ep↑。 靠近平衡位置时： 位移 x↓→ 回复力 F↓→ 加速度 a↓→ 速度 v↑→ 动能 Ek↑→ 势能 Ep↓。 （2）核心口诀：“位、加、回”同向且同步，“速、能”反向且同步。（即位移变大，加速度、回复力都变大；但速度、动能变小）。 3.特殊模型辨析：必须“分清”弹簧振子与单摆（虽然都是简谐运动，但能量形式不同）。 （1）水平弹簧振子：势能仅仅是弹性势能。 平衡位置在弹簧原长处（如果不计摩擦）。 （2）单摆：势能是重力势能。 回复力是重力沿切线方向的分力（）。 注意：单摆在最低点（平衡位置）时，拉力大于重力（因为要提供向心力），此时合力不为0，但回复力为0。 （3）避坑点：单摆的回复力不等于合力！在最低点合力向上（提供向心力），但回复力（切向力）为0。 角度01 简谐运动的回复力 1．某质点做简谐运动的位移—时间图像如图所示，下列说法正确的是（     ） A．简谐运动的周期为2 s B．时质点的位移最大 C．简谐运动的振幅为 D．时质点的回复力最大 【答案】B 【详解】A．相邻两次到达正向最大位移处的时刻分别为和，故简谐运动的周期为，故A错误； B．时质点位于负向最大位移处，此时，位移大小达到最大，故B正确； C．质点离开平衡位置的最大距离为，故振幅为，故C错误； D．时质点位于平衡位置，此时，根据简谐运动的回复力公式有 回复力最小，故D错误。 故选B。 2．（多选）如图所示，图甲为以O点为平衡位置，在A、B两点间做简谐运动的弹簧振子，图乙为该弹簧振子的振动图像，由图可知下列说法中正确的是（    ） A．弹簧振子受重力、支持力、弹簧的弹力、回复力 B．t=0.1 s时，弹簧振子的位移为2.5 cm C．从t=0到t=0.2 s的时间内，弹簧振子的动能持续地减小 D．在t=0.2 s与t=0.6 s两个时刻，弹簧振子的回复力不相同 【答案】CD 【详解】A．振子受到重力、支持力和弹簧的弹力，重力与支持力平衡，弹簧的弹力充当回复力，回复力不是额外受到的力，故A错误； B．由图可知振幅，周期，且时振子从平衡位置沿正方向运动，因此振动方程为 在时，，故B错误； C．从到，振子从平衡位置向正向最大位移处运动，速度大小持续减小，动能持续减小，故C正确； D．在与时，振子分别位于正、负最大位移处，回复力满足 两时刻位移方向相反，回复力方向也相反，故D正确。 故选CD。 3．如图，弹簧振子以点为平衡位置，在、两点间做简谐运动，、之间的距离为，是的中点。时刻，振子位于点，时振子刚好第一次回到点。求： (1)弹簧振子的振幅和周期； (2)时振子的位移大小和内振子通过的路程； (3)振子在点和点的回复力大小之比。 【详解】（1）由题可知，该弹簧振子的振幅 周期 （2），故时振子回到点，位移大小 振子一个周期内通过的路程为，内通过的路程 （3）弹簧振子的回复力 点位移大小 点位移大小 所以 角度02 简谐运动的能量问题 4．如图所示，把一个小球套在光滑细杆上，球与轻弹簧相连组成弹簧振子，弹簧与细杆间无接触，小球沿杆在水平方向做简谐运动，小球在A、B间振动，O为平衡位置，如图所示，下列说法正确的是（　　） A．小球在O位置时，动能最大，加速度最大 B．小球在A、B位置时，动能为零，加速度也为零 C．小球从A经O到B的过程中，回复力先做正功，后做负功 D．小球从B到O的过程中，振子振动的能量不断增加 【答案】C 【详解】AB．振子经过平衡位置时，速度最大，位移为零，所以经过平衡位置动能最大，回复力为零，加速度为零；在A、B位置时，速度为零，动能最小，位移最大，回复力最大，加速度最大，故AB错误； CD．由于回复力指向平衡位置，所以振子从A经O到B的过程中，回复力先做正功，后做负功，振子的动能和弹簧的势能相互转化，且总量保持不变，即振动的能量保持不变，故C正确，D错误。 故选C。 5．（多选）关于水平的弹簧振子做简谐运动时的能量，下列说法正确的有（　　） A．等于在平衡位置时振子的动能 B．等于在最大位移时弹簧的弹性势能 C．等于任意时刻振子动能与弹簧弹性势能之和 D．位移越大振动能量也越大 【答案】ABC 【详解】A．由于平衡位置的弹性势能为零，所以总能量就等于平衡位置的动能。故A正确； B．在最大位移处，动能全部转化成弹性势能。故B正确； CD．简谐运动过程中机械能守恒，振子动能与弹簧弹性势能之和。故C正确；D错误。 故选ABC。 6．如图所示，质量均为的物块、与劲度系数为的轻弹簧固定拴接，竖直静止在水平地面上。物块正上方有一个质量也为的物块，将由静止释放，与碰撞后立即粘在一起，碰撞时间极短，之后组合体做简谐运动的过程中物块恰好没有脱离地面。忽略空气阻力，轻弹簧足够长且始终在弹性限度内，重力加速度为。求： (1)组合体做简谐运动的振幅大小； (2)物块与地面间的最大作用力大小； (3)和碰撞过程中损失的能量。 【详解】（1）由题意，组合体做简谐运动的过程中物块恰好没有脱离地面，即组合体上升到最高位置时，弹簧弹力大小恰好等于受到的重力，为，则弹簧的伸长量为 组合体运动至平衡位置时，弹簧的弹力等于与的重力和，则弹簧的压缩量为 所以组合体做简谐运动的振幅为 （2）当组合体下降到最低位置时，弹簧压缩量最大，物块与地面间的最大作用力最大，为 （3）初始时刻弹簧的压缩量为 所以组合体刚开始向下运动时和上升到最高位置时弹簧的弹性势能相同，设刚开始向下运动时的速度大小为，根据机械能守恒定律可得 解得 设与碰撞前瞬间的速度大小为，对、的碰撞过程，根据动量守恒定律有 解得 所以和碰撞过程中损失的能量为 角度03 简谐运动过程中速度、加速度（回复力）与位移的变化问题 7．如图所示为一水平弹簧振子，、是关于对称的两点，某次弹簧振子从经过运动到，则下列说法正确的是（　　） A．振子在、两点时的回复力相同 B．振子在、两点时的加速度相同 C．振子先做匀加速运动，后做匀减速运动 D．振子从点运动到点和从点运动到点的时间相等 【答案】D 【详解】AB．回复力和加速度均是矢量，振子在、两点时的回复力和加速度大小相等，方向相反，故AB错误； C．从点到点回复力先变小后变大，振子做变加速运动，故C错误； D．根据简谐运动的对称性，振子从点运动到点和从点运动到点的时间相等，故D正确。 故选D。 8．（多选）如图甲所示，弹簧振子以点O为平衡位置，在两点之间做简谐运动。取向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化如图乙所示，下列说法正确的是（　　） A．时，振子的速度方向向左 B．时，振子在O点右侧处 C．和时，振子的加速度完全相同 D．到的时间内，振子的速度逐渐减小 【答案】AB 【详解】A．由图可得时，振子经过O点向负方向运动，即向左运动，故A正确； B．由乙可知振子振幅，周期，则可知 则振子振动方程为 当时，振子在O点右侧，且，故B正确； C．和时，振子的位移等大反向，根据可得回复力和加速度也是等大反向，故C错误； D．到的时间内，振子从B点向左运动到平衡位置，其速度逐渐增加，故D错误。 故选AB。 9．如图甲所示，质量为m的物体B放在水平面上，通过轻弹簧与质量为2m的物体A连接，现在竖直方向给物体A一初速度，当物体A运动到最高点时，物体B与水平面间的作用力刚好为零。从某时刻开始计时，物体A的位移随时间的变化规律如图乙所示，已知重力加速度为g，求： (1)物体A的最大加速度； (2)物体B对地面的最大压力大小； (3)物体A的振动方程。 【详解】（1）当A运动到最高点时，B与水平面间的作用力刚好为零，则 解得 （2）当物体A运动到最低点时，物体B对水平面的压力最大，由简谐运动的对称性可知，物体A在最低点时加速度向上，且大小等于1.5g，由牛顿第二定律得 解得 由物体B的受力可知，物体B受水平面的最大支持力为 由牛顿第三定律可得物体B对地面的最大压力大小为6mg； （3）图乙可知，振幅为10cm，周期为1.0s，则 t=0时刻位移为5cm，则 解得 所以 【例1】（2025·甘肃·高考真题）（多选）如图，轻质弹簧上端固定，下端悬挂质量为的小球A，质量为m的小球B与A用细线相连，整个系统处于静止状态。弹簧劲度系数为k，重力加速度为g。现剪断细线，下列说法正确的是（   ） A．小球A运动到弹簧原长处的速度最大 B．剪断细线的瞬间，小球A的加速度大小为 C．小球A运动到最高点时，弹簧的伸长量为 D．小球A运动到最低点时，弹簧的伸长量为 【答案】BC 【详解】A．剪断细线后，弹力大于A的重力，则A先向上做加速运动，随弹力的减小，则向上的加速度减小，当加速度为零时速度最大，此时弹力等于重力，弹簧处于拉伸状态，选项A错误； B．剪断细线之前则 剪断细线瞬间弹簧弹力不变，则对A由牛顿第二定律 解得A的加速度 选项B正确； C．剪断细线之前弹簧伸长量 剪断细线后A做简谐振动，在平衡位置时弹簧伸长量 即振幅为 由对称性可知小球A运动到最高点时，弹簧伸长量为，选项C正确； D．由上述分析可知，小球A运动到最低点时，弹簧伸长量为，选项D错误。 故选BC。 【深化点拨】 （1）考查简谐运动速度极值位置判断，物体加速度为零、合力为零的平衡位置才是速度最大的位置，并非弹簧原长位置。 （2）考查瞬间突变问题的受力分析，剪断细线瞬间弹簧弹力不会立刻改变，依靠瞬时合力快速求解瞬时加速度。 （3）考查竖直方向弹簧简谐运动的对称性，以新平衡位置为中心，最高点和最低点偏离平衡位置的距离完全相等。 （4）考查弹簧弹力与物体重力的静态平衡，通过受力平衡确定剪断细线后小球 A 单独静止时的弹簧伸长量，作为振动平衡位置。 【变式1-1】（2024·北京·高考真题）图甲为用手机和轻弹簧制作的一个振动装置。手机加速度传感器记录了手机在竖直方向的振动情况，以向上为正方向，得到手机振动过程中加速度a随时间t变化的曲线为正弦曲线，如图乙所示。下列说法正确的是（　　） A．时，弹簧弹力为0 B．时，手机位于平衡位置上方 C．从至，手机的动能增大 D．a随t变化的关系式为 【答案】D 【详解】A．由题图乙知，时，手机加速度为0，由牛顿第二定律得弹簧弹力大小为 A错误； B．由题图乙知，时，手机的加速度为正，则手机位于平衡位置下方，B错误； C．由题图乙知，从至，手机的加速度增大，手机从平衡位置向最大位移处运动，速度减小，动能减小，C错误； D．由题图乙知 则角频率 则a随t变化的关系式为 D正确。 故选D。 【变式1-2】（2025·河北·高考真题）（多选）如图，截面为等腰三角形的光滑斜面体固定在水平地面上，两个相同的小物块通过不可伸长的细绳跨过顶端的轻质定滑轮，静止在斜面体两侧，细绳与斜面平行。此外，两物块分别用相同的轻质弹簧与斜面体底端相连，且弹簧均处于原长。将左侧小物块沿斜面缓慢拉下一小段距离，然后松开。弹簧始终在弹性限度内，斜面倾角为，不计摩擦和空气阻力。在两物块运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．左侧小物块沿斜面做简谐运动 B．细绳的拉力随左侧小物块加速度的增大而增大 C．右侧小物块在最高位置的加速度与其在最低位置的加速度大小相等 D．若增大，则右侧小物块从最低位置运动到最高位置所用的时间变长 【答案】AC 【详解】A．对左侧小物块，设沿斜面向下的位移为x，则有 此时，对右侧小物块，有 联立可得 则左侧小物块受到的合外力 ，方向与位移方向相反，故其做简谐运动，故A正确； B．根据以上分析，可得，绳拉力保持不变，故B错误； C．同理可知，右侧小物块也做简谐运动，根据对称性，其在最高和最低位置的加速度大小相等，故C正确； D．弹簧振子振动周期，与斜面夹角无关，故D错误。 故选AC。 【变式1-3】（2025·江西·高考真题）如图所示，在竖直平面内一轻质弹力绳的一端固定于P点，另一端经光滑孔钉Q连接质量为m的小球A，该球穿过与水平直杆（足够长）成角的直杆，两杆平滑连接。点P、Q和O在同一竖直线上，间距为弹力绳原长。将小球A拉至与Q等高的位置由静止释放。当小球A首次运动到斜杆底端O点后，在水平方向与穿在直杆且静止于O点、质量为的小球B发生弹性碰撞。小球A、B与杆间的动摩擦因数均为，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力。弹力绳始终在弹性限度内且满足胡克定律，劲度系数为k，其弹性势能与伸长量x的关系为。已知重力加速度为g，间距为。 (1)求小球A下滑过程中滑动摩擦力的大小； (2)若从碰撞后开始计时，小球A第一次上滑过程中离O点的距离x与时间t关系为（为常数），求小球A第一次速度为零时，小球B与O点的距离。 【详解】（1）如图所示 以点为坐标原点，沿倾斜直杆ON向上为x轴正方向建立坐标系。任意选取小球A下滑过程中的某一位置，设此时弹力绳的伸长量为，小球A受到的滑动摩擦力为，小球A对倾斜直杆的压力为，小球A所受弹力绳的拉力为F，弹力绳与倾斜直杆的夹角为，孔钉Q到倾斜直杆的距离为。设 对小球A进行受力分析，可知，， 由几何关系可得 联立解得 （2）设小球A下滑到斜杆底端点时的速度为，小球由静止释放运动到点的过程中，由动能定理可得 可得 由小球A、B发生弹性碰撞后瞬间的速度分别为、，由动量守恒定律和能量守恒定律有， 解得， 由，可知小球A上滑过程做简谐运动，小球A第一次速度为零时，距离达到最大值，则有 解得 小球B碰撞后开始在直杆OM上做匀减速运动，加速度为，设小球B速度减为0所经历的时间为，则 因，则小球A在碰撞后第一次速度为零时，小球B与点的距离为，则有 联立解得 ⚡基础速刷 1．如图甲所示，某物理兴趣小组利用橡皮槌轻敲音叉演示简谐运动。如图乙所示，取叉臂上某质点来分析，其以O点为中心，在B、C之间做周期性的往返运动。不考虑阻力的影响，下列说法正确的是（     ） A．该质点的运动是匀变速运动 B．该质点到达C点时，具有向右的加速度 C．该质点在O点时的速度最大 D．该质点由B往C运动时，速度先减小后增大 【答案】C 【详解】A．质点做简谐运动，根据简谐运动回复力公式有 根据牛顿第二定律有 联立解得 由于质点的位移随时间不断变化，可知质点的加速度随时间不断变化，则该质点的运动为非匀变速运动，故A错误； B．质点到达点时，质点的位移方向向右，产生的回复力方向向左，根据牛顿第二定律可知质点具有向左的加速度，故B错误； C．点为平衡位置，质点在点时回复力为零，加速度为零，此时质点的速度达到最大值，故C正确； D．质点由往运动时，质点先靠近平衡位置后远离平衡位置，回复力先做正功后做负功，可知质点的速度先增大后减小，故D错误。 故选C。 2．如图（a），“弹簧公仔”玩具由头部、轻弹簧及底座组成，底座固定，用力向下缓慢按压头部，释放后头部的运动可视为简谐运动。以向上为正方向，某时刻经过平衡位置开始计时，头部做简谐运动的位置随时间变化规律如图（b）所示，下列说法正确的是（     ） A．t＝0.4s时，头部的速度最大 B．t＝0.4s时，头部的加速度最大 C．t＝0.6s时，头部的速度最大 D．t＝0.6s时，头部的加速度最小 【答案】A 【详解】A．由位移—时间图像的斜率可知，头部在平衡位置时速度大小最大。时头部位于平衡位置，故A正确； B．简谐运动的加速度满足 时，故，加速度不是最大，故B错误； C．时头部位于正向最大位移处，速度为零，故C错误； D．时最大，故加速度大小最大，不是最小，故D错误。 故选A。 3．如图甲为一个仓鼠小摆件，用力向下按压弹簧后松开，小仓鼠上下振动，其振动的位移随时间变化图像如图乙所示。不计弹簧质量及所有阻力，小仓鼠视为质点，该运动视为简谐运动。下列说法正确的是（　　） A．弹簧原长位置为小仓鼠振动的平衡位置 B．小仓鼠振动的振幅为1cm C．时，小仓鼠速度最大 D．和时，小仓鼠的加速度相同 【答案】C 【详解】A．小仓鼠振动的平衡位置在小仓鼠受力平衡的位置，此时弹簧处于压缩状态，故A错误； B．由图乙可知，小仓鼠的振幅为0.5cm，故B错误； C．由图乙可知，时，小仓鼠处于平衡位置，此时小仓鼠速度最大，故C正确； D．由图乙可知，时，小仓鼠处于正向最大位移处，此时加速度负向最大；时，小仓鼠处于负向最大位移处，此时加速度正向最大，即和时，小仓鼠的加速度大小相等，方向相反，故D错误。 故选C。 4．（多选）对于简谐运动的下列说法，其中正确的是（　　） A．做简谐运动的物体，它经过平衡位置时所受的合外力一定为零 B．做简谐运动的物体，它在运动中所受的合力就是回复力 C．做简谐运动的物体，其回复力的大小一定与其位移大小成正比 D．做简谐运动的物体，当其速度正在变大时，其加速度一定在变小 【答案】CD 【详解】AB．回复力是简谐振动物体受到的指向平衡位置的力，是效果力，所以物体回到平衡位置时，是指向平衡位置的合力为零，但其它方向合力不一定为零，所以合外力不一定为零，更不能认为合力就是回复力，故AB错误； C．根据简谐振动回复力的特点可知，回复力大小一定与位移大小成正比，故C正确； D．做简谐运动的物体，当其速度正在变大时，说明物体正在向平衡位置运动，则它相对于平衡位置的位移在减小，根据回复力特点，回复力大小与位移大小成正比，结合牛顿第二定律可得，加速度也会变小，故D正确。 故选CD。 5．（多选）如图（a）所示，两组同学在光滑水平面上做弹簧振子实验，以水平向右为正方向，得到甲、乙两弹簧振子的x-t图像如图（b），下列说法正确的是（　　） A．甲、乙的频率之比为1：2 B．t =3s时甲的振动方向向右 C．甲的位移-时间函数为 D．在任意相同的时间内，甲、乙振子的路程相等 【答案】AC 【详解】A．由图（b）可知，甲、乙的周期之比为，所以频率之比为，故A正确； B．时甲的振动方向为负，即为向左，故B错误； C．甲周期等于8s，由，故甲的位移-时间函数为，故C正确； D．甲、乙周期不同，在任意相同时间内，完成的全振动次数不同，路程不一定不相等，故D错误。 故选AC。 6．如图所示，光滑水平面上放有一个弹簧振子，已知振子滑块的质量m=0.1kg，弹簧劲度系数为k=62.5N/m，将振子滑块从平衡位置O向左移4cm，由静止释放后在B、C间运动，设系统在B处时具有的弹性势能为0.05J，问： （1）滑块的加速度的最大值am为多少？ （2）求滑块的最大速度vm； （3）滑块完成5次全振动时走过的路程s。 【详解】（1）在B点加速度最大，由 可得 （2）系统的机械能守恒 得 （3）滑块完成5次全振动时走过的路程 🚀能力跃升 7．一质点做简谐运动，其位移与时间的关系曲线如图所示，由图可知（     ） A．振幅为，频率为0.2 Hz B．时质点具有负方向最大加速度 C．从到的时间内质点的路程为 D．该质点的振动方程为 【答案】B 【详解】A．由图读出振幅为 周期为T=4s 则频率，故A错误； B．t=4s时质点在正向最大位移处，由，知质点具有负方向最大加速度，故B正确； C．由 由图可知t=1s时质点处于平衡位置，则从到的时间内质点的路程为，故C错误； D．该质点的振动方程为，故D错误。 故选B。 8．图甲所示的“弹簧公仔”玩具由头部、轻弹簧及底座组成，可简化为如图乙所示模型。现固定底座B，用力向下按物块A，松手后物块A沿竖直方向做简谐运动。取向上为正方向，物块A的位移随时间的变化规律如图丙所示，下列说法正确的是（     ） A．物块A做简谐运动的回复力由弹簧弹力提供 B．时和时，物块A的位移大小相等、方向相反 C．物块A在任意内经过的路程不一定为 D．内，头部的动能与弹簧的弹性势能之和增加 【答案】C 【详解】A．物块A做简谐运动的回复力由弹簧弹力与物块A的重力的合力提供，故A错误； B．物块A做简谐运动，在平衡位置运动的速度最大，离平衡位置越远运动速度越小，时物块A的位移比时大；时和时，物块A的位移均为负值，方向相同，故B错误； C．只有当物块A从平衡位置或最大位移处开始运动时，0.2s内经过的路程才为10cm，从其余位置开始运动时0.2s内路程不一定为10cm，故C正确； D．运动过程中头部与弹簧系统机械能守恒，内，头部向上运动，头部的重力势能增大，头部的动能与弹簧的弹性势能之和减小，故D错误。 故选C。 9．如图甲所示，将一个小球套在光滑细杆上，小球与轻弹簧相连组成弹簧振子，小球沿水平方向在、间做简谐运动，从平衡位置开始计时。取向方向为正，振动图像如图乙所示，下列说法正确的是（　　） A．小球振动的周期为 B．时，小球位移为 C．时，小球由向运动 D．小球在、位置，动能为零，加速度也为零 【答案】C 【详解】A．由图乙，小球振动周期为，故A错误； B．由图乙，小球振幅，角频率 从平衡位置开始计时，取向方向为正，振动图像为正弦函数，故可设振动方程为 时，，故B错误； C．由图乙，时，小球从正向最大位移处向平衡位置移动，即由向运动，故C正确； D．在、位置，处于最大位移处，速度为零，动能为零，但回复力最大，加速度最大，不为零，故D错误。 故选C。 10．（多选）如图甲所示，在光滑水平地面上，劲度系数的轻弹簧一端固定在竖直墙上，另一端与位于水平地面上、质量为的滑块拴接，质量为的滑块静置在滑块的水平上表面。向左轻轻推动滑块压缩弹簧，撤去外力后滑块、一起运动，弹簧右端在、之间运动，运动过程中A、B两滑块始终相对静止，滑块A做简谐运动，它的位移-时间图像如图乙所示。下列说法中正确的是（     ） A．两个滑块之间的摩擦力大小与滑块A偏离平衡位置的位移大小成正比 B．时，滑块受到的摩擦力大小为 C．滑块做简谐运动的周期为 D．内滑块通过的路程为 【答案】AD 【详解】A．滑块水平方向只受静摩擦力，由牛顿第二定律得 对整体由牛顿第二定律得，故，即摩擦力大小与位移大小成正比，故A正确； B．时，。弹簧弹力，整体加速度 滑块受到的摩擦力，故B错误； C．图乙中，时，时，完成一次全振动，即，故C错误； D．单周期路程。内完成全振动次数，总路程。由于、相对静止，的路程等于的路程，为，故D正确。 故选AD。 11．（多选）如图甲所示，弹簧振子在光滑水平杆上的A、B之间做简谐运动，O为平衡位置。以水平向右为正方向，从时刻起，振子的振动图像如图乙所示，下列说法正确的是（     ） A．该振子的振动周期为 B．A、B之间的距离为 C．内，该振子从O向B运动，且其加速度不断增大 D．该振子在处和在处的速度一定相同 【答案】BC 【详解】A．由图乙可知，该振子的振动周期为2s，故A错误； B．由图乙可知振幅为2cm，A、B之间的距离为2倍振幅，即4cm，故B正确； C．0~0.5s内，该振子位移增大，根据可知，该过程加速度不断增大，故C正确； D．根据对称性可知，该振子在1.5cm处和在处的速度大小相等，但方向不一定相同，故D错误。 故选BC。 12．如图甲所示，轻弹簧上端固定，下端系一小球，小球静止时弹簧伸长量为5cm。现将小球竖直向下拉一段距离，然后由静止释放小球， 时小球通过平衡位置且向上运动，小球的振动图像如图乙所示。 不计空气阻力，重力加速度g取 (1)写出小球位移x随时间t变化的关系式。 (2)求 时小球的位移 x和加速度大小a₁。 【详解】（1）因 可知小球位移x随时间t变化的关系式 （2）时小球的位移 开始时 因x=x0=5cm，则加速度大小 🌟思维挑战 13．如图甲所示，在拉力传感器的下端竖直悬挂一个弹簧振子，拉力传感器可以实时测量弹簧弹力大小。图乙是小球简谐运动时传感器示数随时间变化的图像。下列说法正确的是（　　） A．小球的质量为0.8kg，振动的周期为8s B．0~2s内，小球受回复力的冲量大小为0 C．3s~4s和4s~5s内，小球受弹力的冲量相同 D．1s~3s内，小球受弹力的冲量大小为16N·s，方向向上 【答案】D 【详解】A．根据图像可知，t=1s时，弹簧弹力最大，为16N，小球位于最低点；t=3s时，弹簧弹力最小，为零，小球位于最高点。由对称性可知，小球振动的周期为4s，小球位于平衡位置时，弹力为 解得，故A错误； B．小球受到的合外力提供回复力，0~2s内，小球初速度和末速度不为零且大小相等，而方向相反，则速度变化量不为零，根据动量定理可知回复力的冲量大小不为0，故B错误； C．3s~4s和4s~5s内，平均弹力大小不同，小球受弹力的冲量不同，故C错误； D．1s~3s内，由动量定理得 解得，方向向上，故D正确。 故选D。 14．如题图所示，足够大的光滑水平桌面上，一劲度系数为k的轻弹簧一端固定在桌面左端，另一端与一质量为m的小球A拴接。开始时，小球A用细线跨过光滑的定滑轮连接相同小球B，桌面上方的细线与桌面平行，系统处于静止状态，此时小球A的位置记为O。现用外力缓慢推小球A至弹簧原长后释放，在小球A向右运动至最远点时细线断裂。已知弹簧振子的振动周期（其中m为振子的质量，k为弹簧的劲度系数），弹簧的弹性势能（x为弹簧的形变量），小球B距下方地面足够远，重力加速度为g，空气阻力不计，弹簧始终在弹性限度内。则细线断裂后（　　） A．小球A做简谐振动的振幅为 B．小球A第一次向右运动至最远点时到O点的距离为 C．小球A返回O点时速度大小为 D．从细线断裂开始计时，小球A第一次返回O点所用的时间为 【答案】C 【详解】B．当小球静止于O位置时，此时弹簧弹力等于B球重力，伸长量 之后用外力推至原长位置，设释放后A运动到最远点，此时 此过程中A、B和弹簧机械能守恒 可解得 即小球A第一次向右运动至最远时离O点的距离为，故B错误； A．之后细线断掉，小球在做简谐运动的平衡位置即弹簧原长位置，故振幅为，故A错误； C．从最远点返回O点，由机械能守恒，得，故C正确； D．从细线断裂到第一次返回O点。即对应简谐运动从最大位移处运动到一半振幅处，时间应为，故D错误。 故选C。 15．（多选）如图所示，在水平桌面上一端固定轻质弹簧，弹簧另一端与质量m=1kg的物体相连，弹簧原长时物块在O点（图中未画出），弹簧的劲度系数k=100N/m，物块与桌面间动摩擦因数μ=0.2。现将物块拉至弹簧伸长Δx=13cm的A点，撤去拉力后物块从静止开始向左运动，经过O点后到达最远点B。已知简谐运动周期，重力加速度下列说法中正确的是（     ） A．物块从A运动到B的时间为0.1π（s） B．物块从A运动到B的路程为22cm C．物块最终停在O点左侧3cm处 D．物块在B点所受弹力等于在A点所受弹力 【答案】AB 【详解】A．物块从向左运动到的过程中，受到的滑动摩擦力向右，大小为 代入数据解得 设向右为正方向，物块偏离点的位移为，根据牛顿第二定律有 整理得 可知物块做简谐运动，其平衡位置位于点右侧，距离点为 代入数据解得 物块从点由静止释放到第一次速度为零的最远点，该过程的时间恰好为半个周期，即 代入数据解得 这与选项给出的时间相符，故A正确； B．由A选项分析可知，点距离点为，则该段简谐运动的振幅为 代入数据解得 点位于该平衡位置左侧处，即点在点左侧，距离点为 代入数据解得 物块从运动到的路程为 代入数据解得 这与选项给出的路程相符，故B正确； C．物块在点时，所受的弹力大小为 代入数据解得 由于，所以物块将在点向右返回，同理可得新平衡位置在点左侧处，向右运动的振幅为 代入数据解得 物块到达右侧最远点时，其位于点右侧处，此时弹力为，大于最大静摩擦力，物块再次向左返回，新平衡位置在点右侧处，向左运动的振幅为 代入数据解得 物块到达左侧最远点时，其位于点左侧处，此时弹力大小为 代入数据解得 因为此时弹力小于最大静摩擦力，物块停止运动，即最终停在点左侧处，故C错误； D．物块在点所受弹力大小为 代入数据解得 由C选项分析可知，物块在点所受弹力大小为 两者大小不相等，故D错误。 故选AB。 16．（多选）如图所示，水平地面上竖直放置着用轻质弹簧拴接的物块A、B，弹簧劲度系数为k，A的质量为。质量也为的物块C从距A高度为处由静止释放，与A碰撞后粘在一起，之后它们运动到最高点时，B与地面间的弹力恰好减小为0.已知弹簧的弹性势能为（x为弹簧的形变量），质量为m的弹簧振子的振动周期为，重力加速度为g，不计碰撞时间及空气阻力，弹簧足够长且弹力始终在弹性限度内。下列说法正确的是（　　） A．A、C物块相撞过程中损失的机械能为 B．物块A、C粘在一起后做简谐运动的振幅为 C．A、C碰撞后，第一次运动至最低点的时间为 D．A、C运动到最低点时，地面对B的支持力大小为 【答案】AD 【详解】A．物块自由下落的过程机械能守恒，设与碰撞前的速度为，则有， 代入解得 与发生完全非弹性碰撞，设碰撞后的共同速度为，由动量守恒定律得 碰撞后瞬间、的动能为 碰撞过程中损失的机械能为，故A正确； B．碰撞前，处于平衡状态，弹簧的压缩量为 碰撞后，、组成的系统做简谐运动，其新平衡位置处的弹簧压缩量为 此时系统偏离新平衡位置的初始位移大小为 根据简谐运动的能量守恒，系统的最大弹性势能（相对于平衡位置）等于初始动能与势能之和 代入数据解得系统的振幅为，故B错误； CD．系统运动到最高点时，弹簧处于伸长状态，伸长量 此时地面对的支持力恰好为0，说明弹簧向上的拉力等于的重力，即 系统运动到最低点时，弹簧的压缩量达到最大 此时地面对的支持力为 碰后瞬间，、处于平衡位置上方（即的位置），且速度向下。利用参考圆分析可知，从该位置第一次运动到最低点经历的相位角为 由于周期，对应的时间为。故C错误，D正确。 故选AD。 17．如图，质量的木板静止在光滑水平地面上，右侧的竖直墙面固定一劲度系数的轻弹簧，弹簧处于自然状态。质量的小物块以水平向右的速度滑上木板左端，两者共速时木板恰好与弹簧接触。木板足够长，物块与木板间的动摩擦因数，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。弹簧始终处在弹性限度内。取重力加速度。 (1)求木板刚接触弹簧时的速度及运动的距离； (2)求木板与弹簧接触以后继续向右运动，物块与木板即将相对滑动时弹簧的压缩量； (3)已知物块与木板即将相对滑动时木板速度为，此后木板向右运动的速度从减小到0所用时间为。求从相对滑动开始到之后木板速度大小首次与相同的过程中，物块的位移。 【详解】（1）木板接触弹簧前，地面光滑，、组成的系统水平方向动量守恒，有 代入、、 解得 对木板，水平方向仅受物块给它的滑动摩擦力，大小 木板加速度 由速度与位移关系有 解得 （2）木板接触弹簧后，若物块和木板仍相对静止，把二者看成整体，弹簧压缩量为时整体加速度大小 物块所需静摩擦力大小 即将相对滑动时 解得 （3）从相对滑动开始，物块受向左的滑动摩擦力，做匀减速直线运动，加速度大小 此后木板受弹簧弹力和恒定滑动摩擦力作用，木板关于新的平衡位置做简谐运动。从木板速率由减为0到速率再次等于，由简谐运动对称性可知总时间 物块的位移满足 代入、、 解得 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2.3节 简谐运动的回复力和能量 目录 01 本节导航·目标清单 02 教材精研·内容全解 考点01 简谐运动的回复力和能量 03 避坑指南·解题通法 角度01 简谐运动的回复力 角度02 简谐运动的能量问题 角度03 简谐运动过程中速度、加速度（回复力）与位移的变化问题 04 真题闯关·溯源演练 05 课后三阶·精准练习 目标导航 方法指导 1.推导回复力公式（F=-kx），理解负号物理意义 2.分析简谐运动中动能、势能相互转化规律 3.明确简谐运动机械能守恒的条件 1.负号代表回复力方向始终指向平衡位置，与位移反向 2.平衡位置动能最大、势能最小；最大位移处势能最大、动能为0 3.无阻尼简谐运动总机械能保持不变 知识导图 考点01 简谐运动的回复力和能量 1、简谐运动的回复力定义：使振子 的力。 （1）回复力是根据力的效果命名的，回复力可以是弹力,也可以是其它力(包括摩擦力)；可以是某一个力，或几个力的合力,或者某个力的分力，它一定等于振动物体在振动方向上所受的合力。 （2）回复力方向总是指向平衡位置。 2、回复力公式：F＝－kx。 （1）k是比例系数，不一定是弹簧的劲度系数．其值由振动系统决定，与振幅无关。 （2）“－”号表示回复力的方向与偏离平衡位置的位移的方向相反。 3、简谐运动的定义的另一种表述：如果质点所受的力与它偏离平衡位置的位移大小成 ，并且总是指向平衡位置,质点的运动就是简谐运动。即回复力满足 F= -kx的运动就是简谐运动。 4、简谐运动的加速度：a＝－x，加速度a与位移x的大小成正比，方向与位移方向相反。 5、简谐运动中各个物理量的变化规律 Q Q→O O O→P P X 向左最大 向左减小 0 向右增大 向右最大 F、a 向右最大 向右减小 0 向左增大 向左最大 v 0 向右增大 向右最大 向右减小 0 动能 0 增大 最大 减小 0 势能 最大 减小 0 增大 最大 机械能 不变 6、简谐运动的能量 （1）简谐运动的能量由振动系统和振幅决定，对同一个振动系统，振幅越大，能量越大。 （2）在简谐运动中，振动的能量保持不变，所以振幅保持不变，只要没有能量损耗，它将永不停息地振动下去。 （3）在振动的一个周期内，动能和势能完成两次周期性变化．物体的位移减小，势能转化为动能，位移增大，动能转化为势能。 （4）能量特点：在简谐运动中，振动系统的机械能 ，而在实际运动中都有一定的能量损耗，因此简谐运动是一种 。 【深化点拨】 1．简谐运动的回复力特点：对一般的简谐运动，由于回复力不一定是弹簧的弹力，所以k不一定是劲度系数而是回复力与位移的比例系数。 2．判断物体是否做简谐运动的两种方法 （1）x-t图像为正弦曲线 （2）F-x满足 F=-kx的形式 （3）常用步骤：①找平衡位置；②找回复力；③找F=kx；④找方向关系。 3．简谐运动中各个物理量的变化规律特点 （1）规律：每次经过同一位置处，x、F、a、势能、动能均相同，v大小相等，方向不一定。若连续两次经过同一点，v反向。 （2）简谐运动的加速度大小和方向都随时间做周期性的变化，所以简谐运动是变加速运动。 （3）当物体从最大位移处向平衡位置运动时，由于v与a的方向一致，物体做加速度越来越小的加速运动。 （4）当物体从平衡位置向最大位移处运动时，由于v与a的方向相反，物体做加速度越来越大的减速运动。 （6）简谐运动的能量与振幅有关，振幅越大，振动的能量越大。 （7）势能与动能是标量，同一位置必相同，对称位置也必相同。 1．某弹簧振子做简谐运动的x-t图像如图所示。下列说法正确的是（　　） A．t1时刻，振子的加速度为0 B．该图像从平衡位置开始计时 C．t2时刻，振子偏离平衡位置的位移最小 D．t3时刻，振子正通过平衡位置向负方向运动 2．（多选）如图所示，弹簧振子在光滑水平杆上的之间做简谐运动，下列说法正确的是（　　） A．小球运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力的作用 B．小球运动过程中受重力、支持力、弹簧弹力和回复力的作用 C．小球由向运动过程中，动能逐渐减小 D．小球由向运动过程中，回复力的方向一直为由指向 3．如图所示，光滑水平面上放有一个弹簧振子，已知振子滑块的质量m=0.1kg，弹簧劲度系数为k=32N/m，将振子滑块从平衡位置O向左移4cm，由静止释放后在B、C间运动，设系统在B处时具有的弹性势能为5J，问： (1)滑块的加速度的最大值am为多少？ (2)求滑块的最大速度vm (3)滑块完成5次全振动时走过的路程s 简谐运动的回复力和能量的综合应用及解题步骤 1.能量转化特点：必须“守住”机械能守恒 理想的简谐运动系统（如弹簧振子），只有弹力或重力做功，系统机械能守恒。 （1）动能（ Ek）与势能（Ep）的互补： 平衡位置：势能最小（弹簧振子为0），动能最大，速度最大。 最大位移处：势能最大，动能为0，速度为0。 （2）总能量决定因素：简谐运动的总能量与振幅有关。振幅越大，能量越大。 2.动态分析逻辑：必须“理清”连锁反应 （1）远离平衡位置时： 位移 x↑→ 回复力 F↑→ 加速度 a↑→ 速度 v↓→ 动能 Ek↓→ 势能 Ep↑。 靠近平衡位置时： 位移 x↓→ 回复力 F↓→ 加速度 a↓→ 速度 v↑→ 动能 Ek↑→ 势能 Ep↓。 （2）核心口诀：“位、加、回”同向且同步，“速、能”反向且同步。（即位移变大，加速度、回复力都变大；但速度、动能变小）。 3.特殊模型辨析：必须“分清”弹簧振子与单摆（虽然都是简谐运动，但能量形式不同）。 （1）水平弹簧振子：势能仅仅是弹性势能。 平衡位置在弹簧原长处（如果不计摩擦）。 （2）单摆：势能是重力势能。 回复力是重力沿切线方向的分力（）。 注意：单摆在最低点（平衡位置）时，拉力大于重力（因为要提供向心力），此时合力不为0，但回复力为0。 （3）避坑点：单摆的回复力不等于合力！在最低点合力向上（提供向心力），但回复力（切向力）为0。 角度01 简谐运动的回复力 1．某质点做简谐运动的位移—时间图像如图所示，下列说法正确的是（     ） A．简谐运动的周期为2 s B．时质点的位移最大 C．简谐运动的振幅为 D．时质点的回复力最大 2．（多选）如图所示，图甲为以O点为平衡位置，在A、B两点间做简谐运动的弹簧振子，图乙为该弹簧振子的振动图像，由图可知下列说法中正确的是（    ） A．弹簧振子受重力、支持力、弹簧的弹力、回复力 B．t=0.1 s时，弹簧振子的位移为2.5 cm C．从t=0到t=0.2 s的时间内，弹簧振子的动能持续地减小 D．在t=0.2 s与t=0.6 s两个时刻，弹簧振子的回复力不相同 3．如图，弹簧振子以点为平衡位置，在、两点间做简谐运动，、之间的距离为，是的中点。时刻，振子位于点，时振子刚好第一次回到点。求： (1)弹簧振子的振幅和周期； (2)时振子的位移大小和内振子通过的路程； (3)振子在点和点的回复力大小之比。 角度02 简谐运动的能量问题 4．如图所示，把一个小球套在光滑细杆上，球与轻弹簧相连组成弹簧振子，弹簧与细杆间无接触，小球沿杆在水平方向做简谐运动，小球在A、B间振动，O为平衡位置，如图所示，下列说法正确的是（　　） A．小球在O位置时，动能最大，加速度最大 B．小球在A、B位置时，动能为零，加速度也为零 C．小球从A经O到B的过程中，回复力先做正功，后做负功 D．小球从B到O的过程中，振子振动的能量不断增加 5．（多选）关于水平的弹簧振子做简谐运动时的能量，下列说法正确的有（　　） A．等于在平衡位置时振子的动能 B．等于在最大位移时弹簧的弹性势能 C．等于任意时刻振子动能与弹簧弹性势能之和 D．位移越大振动能量也越大 6．如图所示，质量均为的物块、与劲度系数为的轻弹簧固定拴接，竖直静止在水平地面上。物块正上方有一个质量也为的物块，将由静止释放，与碰撞后立即粘在一起，碰撞时间极短，之后组合体做简谐运动的过程中物块恰好没有脱离地面。忽略空气阻力，轻弹簧足够长且始终在弹性限度内，重力加速度为。求： (1)组合体做简谐运动的振幅大小； (2)物块与地面间的最大作用力大小； (3)和碰撞过程中损失的能量。 角度03 简谐运动过程中速度、加速度（回复力）与位移的变化问题 7．如图所示为一水平弹簧振子，、是关于对称的两点，某次弹簧振子从经过运动到，则下列说法正确的是（　　） A．振子在、两点时的回复力相同 B．振子在、两点时的加速度相同 C．振子先做匀加速运动，后做匀减速运动 D．振子从点运动到点和从点运动到点的时间相等 8．（多选）如图甲所示，弹簧振子以点O为平衡位置，在两点之间做简谐运动。取向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化如图乙所示，下列说法正确的是（　　） A．时，振子的速度方向向左 B．时，振子在O点右侧处 C．和时，振子的加速度完全相同 D．到的时间内，振子的速度逐渐减小 9．如图甲所示，质量为m的物体B放在水平面上，通过轻弹簧与质量为2m的物体A连接，现在竖直方向给物体A一初速度，当物体A运动到最高点时，物体B与水平面间的作用力刚好为零。从某时刻开始计时，物体A的位移随时间的变化规律如图乙所示，已知重力加速度为g，求： (1)物体A的最大加速度； (2)物体B对地面的最大压力大小； (3)物体A的振动方程。 【例1】（2025·甘肃·高考真题）（多选）如图，轻质弹簧上端固定，下端悬挂质量为的小球A，质量为m的小球B与A用细线相连，整个系统处于静止状态。弹簧劲度系数为k，重力加速度为g。现剪断细线，下列说法正确的是（   ） A．小球A运动到弹簧原长处的速度最大 B．剪断细线的瞬间，小球A的加速度大小为 C．小球A运动到最高点时，弹簧的伸长量为 D．小球A运动到最低点时，弹簧的伸长量为 【深化点拨】 （1）考查简谐运动速度极值位置判断，物体加速度为零、合力为零的平衡位置才是速度最大的位置，并非弹簧原长位置。 （2）考查瞬间突变问题的受力分析，剪断细线瞬间弹簧弹力不会立刻改变，依靠瞬时合力快速求解瞬时加速度。 （3）考查竖直方向弹簧简谐运动的对称性，以新平衡位置为中心，最高点和最低点偏离平衡位置的距离完全相等。 （4）考查弹簧弹力与物体重力的静态平衡，通过受力平衡确定剪断细线后小球 A 单独静止时的弹簧伸长量，作为振动平衡位置。 【变式1-1】（2024·北京·高考真题）图甲为用手机和轻弹簧制作的一个振动装置。手机加速度传感器记录了手机在竖直方向的振动情况，以向上为正方向，得到手机振动过程中加速度a随时间t变化的曲线为正弦曲线，如图乙所示。下列说法正确的是（　　） A．时，弹簧弹力为0 B．时，手机位于平衡位置上方 C．从至，手机的动能增大 D．a随t变化的关系式为 【变式1-2】（2025·河北·高考真题）（多选）如图，截面为等腰三角形的光滑斜面体固定在水平地面上，两个相同的小物块通过不可伸长的细绳跨过顶端的轻质定滑轮，静止在斜面体两侧，细绳与斜面平行。此外，两物块分别用相同的轻质弹簧与斜面体底端相连，且弹簧均处于原长。将左侧小物块沿斜面缓慢拉下一小段距离，然后松开。弹簧始终在弹性限度内，斜面倾角为，不计摩擦和空气阻力。在两物块运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．左侧小物块沿斜面做简谐运动 B．细绳的拉力随左侧小物块加速度的增大而增大 C．右侧小物块在最高位置的加速度与其在最低位置的加速度大小相等 D．若增大，则右侧小物块从最低位置运动到最高位置所用的时间变长 【变式1-3】（2025·江西·高考真题）如图所示，在竖直平面内一轻质弹力绳的一端固定于P点，另一端经光滑孔钉Q连接质量为m的小球A，该球穿过与水平直杆（足够长）成角的直杆，两杆平滑连接。点P、Q和O在同一竖直线上，间距为弹力绳原长。将小球A拉至与Q等高的位置由静止释放。当小球A首次运动到斜杆底端O点后，在水平方向与穿在直杆且静止于O点、质量为的小球B发生弹性碰撞。小球A、B与杆间的动摩擦因数均为，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力。弹力绳始终在弹性限度内且满足胡克定律，劲度系数为k，其弹性势能与伸长量x的关系为。已知重力加速度为g，间距为。 (1)求小球A下滑过程中滑动摩擦力的大小； (2)若从碰撞后开始计时，小球A第一次上滑过程中离O点的距离x与时间t关系为（为常数），求小球A第一次速度为零时，小球B与O点的距离。 ⚡基础速刷 1．如图甲所示，某物理兴趣小组利用橡皮槌轻敲音叉演示简谐运动。如图乙所示，取叉臂上某质点来分析，其以O点为中心，在B、C之间做周期性的往返运动。不考虑阻力的影响，下列说法正确的是（     ） A．该质点的运动是匀变速运动 B．该质点到达C点时，具有向右的加速度 C．该质点在O点时的速度最大 D．该质点由B往C运动时，速度先减小后增大 2．如图（a），“弹簧公仔”玩具由头部、轻弹簧及底座组成，底座固定，用力向下缓慢按压头部，释放后头部的运动可视为简谐运动。以向上为正方向，某时刻经过平衡位置开始计时，头部做简谐运动的位置随时间变化规律如图（b）所示，下列说法正确的是（     ） A．t＝0.4s时，头部的速度最大 B．t＝0.4s时，头部的加速度最大 C．t＝0.6s时，头部的速度最大 D．t＝0.6s时，头部的加速度最小 3．如图甲为一个仓鼠小摆件，用力向下按压弹簧后松开，小仓鼠上下振动，其振动的位移随时间变化图像如图乙所示。不计弹簧质量及所有阻力，小仓鼠视为质点，该运动视为简谐运动。下列说法正确的是（　　） A．弹簧原长位置为小仓鼠振动的平衡位置 B．小仓鼠振动的振幅为1cm C．时，小仓鼠速度最大 D．和时，小仓鼠的加速度相同 4．（多选）对于简谐运动的下列说法，其中正确的是（　　） A．做简谐运动的物体，它经过平衡位置时所受的合外力一定为零 B．做简谐运动的物体，它在运动中所受的合力就是回复力 C．做简谐运动的物体，其回复力的大小一定与其位移大小成正比 D．做简谐运动的物体，当其速度正在变大时，其加速度一定在变小 5．（多选）如图（a）所示，两组同学在光滑水平面上做弹簧振子实验，以水平向右为正方向，得到甲、乙两弹簧振子的x-t图像如图（b），下列说法正确的是（　　） A．甲、乙的频率之比为1：2 B．t =3s时甲的振动方向向右 C．甲的位移-时间函数为 D．在任意相同的时间内，甲、乙振子的路程相等 6．如图所示，光滑水平面上放有一个弹簧振子，已知振子滑块的质量m=0.1kg，弹簧劲度系数为k=62.5N/m，将振子滑块从平衡位置O向左移4cm，由静止释放后在B、C间运动，设系统在B处时具有的弹性势能为0.05J，问： （1）滑块的加速度的最大值am为多少？ （2）求滑块的最大速度vm； （3）滑块完成5次全振动时走过的路程s。 🚀能力跃升 7．一质点做简谐运动，其位移与时间的关系曲线如图所示，由图可知（     ） A．振幅为，频率为0.2 Hz B．时质点具有负方向最大加速度 C．从到的时间内质点的路程为 D．该质点的振动方程为 8．图甲所示的“弹簧公仔”玩具由头部、轻弹簧及底座组成，可简化为如图乙所示模型。现固定底座B，用力向下按物块A，松手后物块A沿竖直方向做简谐运动。取向上为正方向，物块A的位移随时间的变化规律如图丙所示，下列说法正确的是（     ） A．物块A做简谐运动的回复力由弹簧弹力提供 B．时和时，物块A的位移大小相等、方向相反 C．物块A在任意内经过的路程不一定为 D．内，头部的动能与弹簧的弹性势能之和增加 9．如图甲所示，将一个小球套在光滑细杆上，小球与轻弹簧相连组成弹簧振子，小球沿水平方向在、间做简谐运动，从平衡位置开始计时。取向方向为正，振动图像如图乙所示，下列说法正确的是（　　） A．小球振动的周期为 B．时，小球位移为 C．时，小球由向运动 D．小球在、位置，动能为零，加速度也为零 10．（多选）如图甲所示，在光滑水平地面上，劲度系数的轻弹簧一端固定在竖直墙上，另一端与位于水平地面上、质量为的滑块拴接，质量为的滑块静置在滑块的水平上表面。向左轻轻推动滑块压缩弹簧，撤去外力后滑块、一起运动，弹簧右端在、之间运动，运动过程中A、B两滑块始终相对静止，滑块A做简谐运动，它的位移-时间图像如图乙所示。下列说法中正确的是（     ） A．两个滑块之间的摩擦力大小与滑块A偏离平衡位置的位移大小成正比 B．时，滑块受到的摩擦力大小为 C．滑块做简谐运动的周期为 D．内滑块通过的路程为 11．（多选）如图甲所示，弹簧振子在光滑水平杆上的A、B之间做简谐运动，O为平衡位置。以水平向右为正方向，从时刻起，振子的振动图像如图乙所示，下列说法正确的是（     ） A．该振子的振动周期为 B．A、B之间的距离为 C．内，该振子从O向B运动，且其加速度不断增大 D．该振子在处和在处的速度一定相同 12．如图甲所示，轻弹簧上端固定，下端系一小球，小球静止时弹簧伸长量为5cm。现将小球竖直向下拉一段距离，然后由静止释放小球， 时小球通过平衡位置且向上运动，小球的振动图像如图乙所示。 不计空气阻力，重力加速度g取 (1)写出小球位移x随时间t变化的关系式。 (2)求 时小球的位移 x和加速度大小a₁。 🌟思维挑战 13．如图甲所示，在拉力传感器的下端竖直悬挂一个弹簧振子，拉力传感器可以实时测量弹簧弹力大小。图乙是小球简谐运动时传感器示数随时间变化的图像。下列说法正确的是（　　） A．小球的质量为0.8kg，振动的周期为8s B．0~2s内，小球受回复力的冲量大小为0 C．3s~4s和4s~5s内，小球受弹力的冲量相同 D．1s~3s内，小球受弹力的冲量大小为16N·s，方向向上 14．如题图所示，足够大的光滑水平桌面上，一劲度系数为k的轻弹簧一端固定在桌面左端，另一端与一质量为m的小球A拴接。开始时，小球A用细线跨过光滑的定滑轮连接相同小球B，桌面上方的细线与桌面平行，系统处于静止状态，此时小球A的位置记为O。现用外力缓慢推小球A至弹簧原长后释放，在小球A向右运动至最远点时细线断裂。已知弹簧振子的振动周期（其中m为振子的质量，k为弹簧的劲度系数），弹簧的弹性势能（x为弹簧的形变量），小球B距下方地面足够远，重力加速度为g，空气阻力不计，弹簧始终在弹性限度内。则细线断裂后（　　） A．小球A做简谐振动的振幅为 B．小球A第一次向右运动至最远点时到O点的距离为 C．小球A返回O点时速度大小为 D．从细线断裂开始计时，小球A第一次返回O点所用的时间为 15．（多选）如图所示，在水平桌面上一端固定轻质弹簧，弹簧另一端与质量m=1kg的物体相连，弹簧原长时物块在O点（图中未画出），弹簧的劲度系数k=100N/m，物块与桌面间动摩擦因数μ=0.2。现将物块拉至弹簧伸长Δx=13cm的A点，撤去拉力后物块从静止开始向左运动，经过O点后到达最远点B。已知简谐运动周期，重力加速度下列说法中正确的是（     ） A．物块从A运动到B的时间为0.1π（s） B．物块从A运动到B的路程为22cm C．物块最终停在O点左侧3cm处 D．物块在B点所受弹力等于在A点所受弹力 16．（多选）如图所示，水平地面上竖直放置着用轻质弹簧拴接的物块A、B，弹簧劲度系数为k，A的质量为。质量也为的物块C从距A高度为处由静止释放，与A碰撞后粘在一起，之后它们运动到最高点时，B与地面间的弹力恰好减小为0.已知弹簧的弹性势能为（x为弹簧的形变量），质量为m的弹簧振子的振动周期为，重力加速度为g，不计碰撞时间及空气阻力，弹簧足够长且弹力始终在弹性限度内。下列说法正确的是（　　） A．A、C物块相撞过程中损失的机械能为 B．物块A、C粘在一起后做简谐运动的振幅为 C．A、C碰撞后，第一次运动至最低点的时间为 D．A、C运动到最低点时，地面对B的支持力大小为 17．如图，质量的木板静止在光滑水平地面上，右侧的竖直墙面固定一劲度系数的轻弹簧，弹簧处于自然状态。质量的小物块以水平向右的速度滑上木板左端，两者共速时木板恰好与弹簧接触。木板足够长，物块与木板间的动摩擦因数，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。弹簧始终处在弹性限度内。取重力加速度。 (1)求木板刚接触弹簧时的速度及运动的距离； (2)求木板与弹簧接触以后继续向右运动，物块与木板即将相对滑动时弹簧的压缩量； (3)已知物块与木板即将相对滑动时木板速度为，此后木板向右运动的速度从减小到0所用时间为。求从相对滑动开始到之后木板速度大小首次与相同的过程中，物块的位移。 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $